Prof. Héctor Palma Valenzuela. 1

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONFACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

Resumen sobre cónicas

En general, cualquier ecuación de segundo grado en las variables x e y, de laforma

Ax2 +By2 +Dx+Ey + F = 0

se puede transformar en una de los tipos descritos a continuación. O sea, es laecuación de una cónica con eje(s) de simetría paralelo a los ejes coordenados. Estatransformación se realiza vía el procedimiento de completación de cuadrados en cadavariable.Note que en esta discusión no se considera en la ecuación el términoCxy (también

cuadrático), que llevaría a una cónica “rotada”.

Parábolas.-

(x− h)2 = 4p(y − k)V : (h, k)F : (h, k + p)D : y = k − pEje simet: x = h

p > 0 p < 0

(y − k)2 = 4p(x− h)V : (h, k)F : (h+ p, k)D : x = h− pEje simet: y = k

p > 0 p < 0

Ejemplo.- La ecuación y = x2+4x+1 se puede escribir en la forma (x+2)2 = y+3y corresponde a una parábola con vértice V = (−2,−3). Como p = 1

4, su foco es

F =³−2,−11

4

´y su directriz D : y = −13

4

-2

0

2

4

6

y

-5 -4 -3 -2 -1 1x

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Elipses.- Ecuación general:

(x− h)2a2

+(y − k)2b2

= 1

Caso a > b.-C = (h, k)F1 = (h− c, k)F2 = (h+ c, k)V1 = (h+ a, k)V2 = (h− a, k)donde c2 = a2 − b2

Caso a < b.-C = (h, k)F1 = (h, k − c)F2 = (h, k + c)V1 = (h, k + a)V2 = (h, k − a)donde c2 = b2 − a2

Ejemplo.- La ecuación 2x2 + 3y2− 8x− 6y− 7 = 0 se transforma en la ecuación(x− 2)29

+(y − 1)26

= 1

que corresponde a una elipse con centro C = (2, 1). Además, c2 = 9− 6 = 3 implicac =√3. Luego, los focos son F1 =

³2 +√3, 1

´y F2 =

³2−√3, 1

´

-4

-2

0

2

4

y

-2 2 4 6x

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Hipérbolas.-

(x− h)2a2

− (y − k)2

b2= 1

C = (h, k)F1 = (h− c, k)F2 = (h+ c, k)donde c2 = a2 + b2

V1 = (h− a, k)V2 = (h+ a, k)Asíntotas:L1 : y − k = b

a(x− h)

L2 : y − k = − ba(x− h)

(y − k)2b2

− (x− h)2

a2= 1

C = (h, k)F1 = (h, k − c)F2 = (h, k + c)donde c2 = a2 + b2

V1 = (h, k − a)V2 = (h, k + a)Asíntotas:L1 : y − k = b

a(x− h)

L2 : y − k = − ba(x− h)

Ejemplo.- La ecuación 4x2 − 9y2 + 16x+ 18y = 29 se transforma en

(x+ 2)2

9− (y − 1)

2

4= 1

Esta es una hipérbola con centro en C = (−2, 1). Además c2 = 9 + 4 = 13 implicac =

√13. Luego, los focos son F1 =

³−2−√13, 1

´y F2 =

³−2 +√13, 1

´. Las

asíntotas son las rectas: L1 : y − 1 = 23(x+ 2) y L2 : y − 1 = −23(x+ 2)

53.752.51.250-1.25-2.5-3.75-5-6.25-7.5

54.543.532.521.510.50

-0.5-1-1.5-2-2.5-3-3.5

x

y

x

y