CONJUNTOS POR EXTENSIÓN Y COMPRENSIÓN

Conjuntos por Extensión:

1: Determinar el conjunto A formado por los números enteros positivos entre 3 y 12

A = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

2: Determinar el conjunto B formado por los enteros positivos pares menores de 15

B = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

3. El conjunto B = {x | x es natural e impar y x 3}

Está formado por todos los números naturales impares mayores o iguales a 3. En este caso se trata de un conjuntocon un número infinito de elementos, y por lo tanto no podemos definirlo por extensión.

4. El conjunto C = {x | x es natural y 2 x 26 y x es potencia de 2}

Es el conjunto formado por los elementos 2, 4, 8, 16, 32 y 64. El conjunto C se define también porextensión como:

C = {2, 4, 8, 16, 32, 64}.

Conjuntos por Comprensión

. 1: Seleccionar el conjunto B de los números impares

Se representa así: B = x / x es impar , esta es otra forma de representar un conjunto y se lee: “ B es elconjunto de los números x, tales que x es impar “

2: B:= {p Z / p es par

Conjuntos por comprensión A = { x / x es número entero}

B = { x / x es un número par menor que 10}

C = { x / x es una letra de la palabra conjuntos}

D = {x / x es una mujer de nacionalidad venezolana }

E = {x / x es color básico}

P= {x/x es un planeta} Se lee El conjunto P formado por los elementos x tal que x es un planeta Q= {x/x es un elemento químico} Se lee El conjunto Q formado por los elementos x tal que x es un elemento químico.

Conjunto Vació.-

A= {x/x es un perro que tiene alas} B= {x/ x3 = 27 donde x es par} C= {x/x ∈ N; 12< x2}

: Dado el conjunto A = {x | x > 0 y x < 0}

no tiene elementos, ya que ningún número es positivo y además negativo. Por lo tanto A es un conjunto vacío, ylo denotamos como:

A = . o también como A = { }.

2: Determinar si los siguientes conjuntos son conjunto

X = x : x2 = 9 , 2 x = 4

Resolviendo x2 =9 x = -3, 3 y 2 x = 4 x = 2

No existe ningún número que cumpla al mismo tiempo con las dos ecuaciones anteriores, por lo tanto x esconjunto vacío , x =

A continuación se muestran algunos ejemplos de conjunto vacío

A = { Las personas que vuelan } A = { } A = Ø

B = { x I x numero racional e irracional} B = { } B = Ø

C = { x I x es una solución real de } C = { } C = Ø

D = { x I x es rojo y verde a la vez} D = { } D = Ø

E = { x I x es un número real e imaginario} E = { } F = Ø

Conjunto Unitario.

P= {x/x esta formado por satélites de la tierra}Q= {x/x + 2 =7} R= {2, 2, 2, 2} “ojo tiene un solo elemento”.

A = { 5 }

B = {números pares entre 6 y 10} = { 8 }

C = {la capital del Venezuela } = { Caracas }

D = {x / 2x = 6} = {3}

E = { 1 }

F = {x / x es la solución de }

G = {números pares entre 2 y 6} = { 4 }

H = {La capital de Chile }

Conjunto Universal.-

U como el conjunto de todos los Elementos Químicos, entonces dentro de U existirán subconjuntos de elementos sólidos, líquidos, gaseosos, radiactivos, metales, etc

A = {x | x es un natural par}, B = {x | x es un natural mayor que 4}C = {x | x es un natural menor que 23}X = {cuadrado, rectángulo, rombo}, Y = {triángulo, hexágono}Z = { decágono, eneágono, octógono, heptágono}

Conjunto Finito.

A= {El número computadoras del salón de clase} B= {275 paginas del libro} C= {números impares de 5 al 21}

Conjunto Infinito.

A= {x∈Z; x >2} B= {x/x Es un número real}

PROBLEMAS

A = Estaciones del año

B = Meses del año

C = Enteros positivos menores de 1

D =Enteros impares

E = Enteros positivos divisores de 12

F = Gatos que viven en el Estado Mérida

Solución:

A : Es Finito porque hay 4 estaciones en el año, n (A) = 4B: Es finito porque hay 12 meses en un año, n(B) = 12C: No hay enteros menores que 1, así que C es vacío. Por lo tanto n(C) =0D: Este conjunto es infinitoE: Los enteros positivos divisores de 12 son 1,2,3,4,6 y 12, por lo tanto E es finito n (E) = 6F: Aunque es difícil contar con exactitud todos los gatos que viven en el Estado, se dice que F es finito

Determinar si los siguientes conjuntos son finitos e infinitos

A = { x I x es la solución de } Conjunto finito

B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } Conjunto infinito

C = { x I x es un número par Conjunto infinito

W = { 3, 6, 9, 12, 15, 18,21, 24, 27} Conjunto finito

Inclusión (⊂).

A= {radio, televisor, refrigeradora} B= {Artefactos eléctricos} ∴ A ⊂ B (A esta incluido en B)

Sean los conjuntos: P= {6, 7, 8, 9,10} R ⊂ P o P ⊃ R ⊂ Se lee “......esta incluído......” ⊃ Se lee “........incluye a......”Q= {6, 8,10} Q ⊂ P o P ⊃ Q R= {6,10} R ⊂ Q o Q ⊃ R

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos su forma es: A=B además se cumple:A ⊂ B y B ⊂ A

CONJUNTOS DISJUNTOS

C = 2, 4, 6 y D = 1, 3 5, 7

Se observa que ningún elemento de C pertenece a D, así como ningún elemento de D pertenece a C

1: Considere los siguientes conjuntos

A = 1, 2 B = 1, 2, 3, 4 C = 1, 5 D = 3, 4, 5 E = 4, 5

¿Cuáles de los siguientes conjuntos son Disjuntos?

Solución: Son disjuntos A y D, y también A y E

Conjunto Potencia.

Hallar la potencia del siguiente conjunto: A= {1, 2,3} Donde A tiene 3 elementos P(A)= {{1} ;{2} ;{3} ;{1,2} ;{1,3} ;{2,3} ;{1, 2, 3};∅} Donde: ∴2 3 = 8

Hallar el número de subconjuntos y el número de subconjuntos propios en: B= {f, g, h, i} P(B)={∅;{f};{g};{h};{i}:{f,g};{f,h};{f,i};{g,h};{g,i};{h,i};{f,g,h};{f,h,i}; {g, h, i};{f, g, i};{f, g, h, i,}} El número de elementos de B: n(B)=4 El número de conjuntos potencia de B será: n[P(B)]= 2n =16 El número de Subconjuntos de B: 16 El número de Subconjuntos Propios de B: 2n -1=15

Unión de Conjuntos

Sean A y B dos conjuntos.

EJEMPLO 1.

Si A = {1, 4, 9} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, entonces A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

EJEMPLO 2.

Si A = {x | x es múltiplo de 5} y B = {x | x es múltiplo de 10}, entoncesA B = {x | x es múltiplo de 5 }

Dado que todo número múltiplo de 10 es también es múltiplo de 5. En este caso, B A.La unión de un conjunto A con el conjunto vacío es el mismo conjunto A, puesto que, notiene elementos: A = A

La unión de un conjunto A con A es el mismo conjunto A: A A = A.

Intersección de Conjuntos

EJEMPLO 1.

Si consideramos los intervalos [0, 5) y (3, 6], entonces:

[0, 5) (3, 6] = [0, 6] y [0, 5) (3, 6] = (3, 5)

Si A es un subconjunto de B, esto es A B, entoncesA B = A.

En particular A A = A y A =

En un diagrama de Venn la intersección de dos conjuntos se representa por la región que está determinada por elinterior de las curvas cerradas que determinan los conjuntos. Esta región se la destaca con un sombreado osubrayado (ver Figura 2). Obsérvese que la intersección de dos conjuntos es vacía si y solo si no hay elementoscomunes entre ellos. Esto se grafica con dos curvas cerradas que no se cortan.

Figura 2: Intersección entre A y B

Ejemplo 2: Dados los siguientes conjuntos:

A = {2,4,6,8,10}, B = {0,1,2,3 }, C = { -1,-2, 0,3}

Construye los diagramas de Venn de: a). A B, b). A C c). BC

Solución:

a)

b) AC,

c). BC

Complemento de un Conjunto

Ejem: Sean: U = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8} A = {1, 3, 4, 7, 8} A C = {2, 5, 6}

Diferencia de Conjuntos

Sean A y B dos conjuntos.

A - B = {x | x A y x B}

Observemos que Ac = U - A. En un diagrama de Venn representamos la diferencia entre losConjuntos A y B, destacando la región que es interior a A y exterior a B (ver Figura 4).

. Diferencia Simétrica

Se denomina al conjunto cuyos elementos pertenecen a A o a B, pero no a ambos, se representa de la siguientemanera:

A B = x / x A B y x A B

Se cumple que: A B = ( A – B ) ( B – A )

Ej.: Sean los conjuntos: A = {1, 2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 7, 8} C = {4, 7, 8} ⇒ A - B = {1, 3} B - C = {2, 6} A - C = {1, 2, 3, 6}

Propiedades de las Operaciones

PROPIEDADES UNION INTERSECCION

1.- Idempotencia A A = A A A = A

2.- Conmutativa A B = B A A B = B A

3.- Asociativa A ( B C ) = ( A B ) C A ( B C ) = ( A B ) C

4.- Absorción A ( A B ) = A A ( A B ) = A

5.- Distributiva A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) A ( B C ) = ( A B ) ( A C )

6.- Complemento A A' = U A A' =

ECUACIONES

Ejemplo 1. Resolver la ecuación: 6 4x

.Resolución: Se resta 6 en ambos términos de la ecuación (lo cual es equivalente a transponer el 6 al segundo miembro de laecuación)

6 4 6 6 4 6 2x x x

+ 6 – 6

o también como: 6 4 4 6 2x x

Ejemplo 2. Resolver la ecuación: 2 7y

.Resolución: Se suma 2 en ambos términos de la ecuación (lo cual es equivalente a transponer el – 2 al segundo miembro dela ecuación)

2 7 2 2 7 2 9y y y

–2 + 2

o también como: 2 7 7 2 9y y

Ejemplo 3. Resolver la ecuación: 3 2 7x

.Resolución: Primero se suma 2 en ambos términos de la ecuación y después se dividen entre 3 los términos de la ecuaciónequivalente que resulta.

3 93 2 7 3 2 2 7 2 3 9 3

3 3

xx x x x

Por transposición de términos el proceso sería:

–2 + 2

93 2 7 3 7 2 9 3

3x x x

3· ÷3

Ejemplo 4. Resolver la ecuación:

2 73

x

.Resolución: Primero se suma 2 en ambos términos de la ecuación y después se multiplican por 3 los términos de la ecuaciónequivalente que resulta.

2 7 2 2 7 2 9 (3) (9)(3) 273 3 3 3

x x x xx

Por transposición de términos el proceso sería:

–2 + 2

2 7 7 2 9 (3)(9) 273 3

x xx

÷3 3·Otra forma de resolver esta ecuación sería: primero multiplicar ambos miembros de la ecuación por el m.c.m delos denominadores, que es 3, y después transponer el término numérico que resulta en el miembro izquierdo:

32 7 (3) 2 (3)(7) 6 21 21 6 27

3 3 3

x x xx

Ejemplo 5. Resolver la ecuación: x(x + 2) + 5 = (x + 7)(x – 3).Resolución:

Para resolver esta ecuación se efectúan primeramente las multiplicaciones indicadas en cada miembro:

21x4x5x2x 22

Después se suprimen los términos

2xque están en cada miembro:

2x + 5 = 4x – 21

Ahora se traspone el término 5 al segundo miembro y el término 4x al primer miembro (así la variable aparecesólo en el primer miembro de la ecuación):

2x – 4x = – 21 – 5 (enseguida se reducen los términos semejantes)

– 2x = – 26 (enseguida se traspasa el factor – 2)

x = 26 / 2

(finalmente se calcula el cociente)

x = 13 (y se obtiene la posible solución)

Nota: En los ejemplos anteriores no se ha comprobado que las soluciones obtenidas sean las correctas, sinembargo, para estar seguros de que la solución obtenida es la correcta se puede hacer la comprobación. Paraesto se sustituye el valor de x en ambos miembros de la ecuación original y se realizan las operaciones indicadaspara ver si coinciden los valores numéricos de ambos miembros, en caso afirmativo el valor de x encontrado serála solución de la ecuación. Para este ejemplo la comprobación será:

M.I. : 13 (13+ 2) + 5 = (13) (15) + 5 = 195 + 5 = 200M.D. : (13 + 7)(13 – 3) = (20) (10) = 200

Ejemplo 6. Resolver la ecuación: )x24(8x)2x5(x9

.Resolución: Se eliminan los paréntesis aplicando el procedimiento estudiado, obtenemos: 9x 5x + 2 x = 8 + 4 2x

3x + 2 = 12 2x

3x + 2x = 12 2 5x = 10

x = 10 / 5 x = 2 Comprobación:M.I.: (9)(2) [(5)(2) 2] 2 = 18 8 2 = 8M.D.: 8 + [4 (2)(2)] = 8 + 0 = 8

Ejemplo 7. Resolver la ecuación: x10x213)4x)(1x2( 2

.Resolución: Primero hay que calcular el producto indicado:

134xx8x2 2

= x10x2 2

9x7x2 2

= x10x2 2

7x + 9 = 10x 7x + 10x = 9 3x = 9

x = 3

Comprobación: M.I. = M.D.

13431)3(2

= 31032

2

13)7)(5(

= 30)9)(2(

1335

= 3018

48 = 48

Ecuaciones de 2º grado completas

Las ecuaciones de segundo grado deben tener una x elevada al cuadrado.

Por tanto, como M.I. = M.D. , entonces, x = 13 es la solución.

la solución es: x = 2

x = – 3

Ecuaciones de tercer grado

1..2x3 − 7x2 + 8x − 3 = 0

P(1) = 2 · 1 3 − 7 · 1 2 + 8 · 1 − 3 = 0

(x −1 ) · (2x 2 − 5x + 3 ) = 0

P(1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0

(x −1 ) 2 · (2x −3 ) = 0

Las raíces son: x = 3/2 y x = 1

2..x3 − x2 − 4 = 0

{±1, ±2, ±4 }

P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0

P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0

P(2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0

(x − 2) · (x 2+ x + 2 ) = 0

x2+ x + 2 = 0

(x − 2) · (x 2+ x + 2 ) = 0

Raíz: x = 2.

3.. 6x3 + 7x2 − 9x + 2= 0

{±1, ±2}

P(1) = 6 · 1 3 + 7 · 1 2 − 9 · 1 + 2 ≠ 0

P(−1) = 6 · (−1) 3 + 7 · (−1) 2 − 9 · (−1) + 2 ≠ 0

P(2) = 6 · 2 3 + 7 · 2 2 − 9 · 2 + 2 ≠ 0

P(−2) = 6 · (−2) 3 + 7 · (−2) 2 − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28 + 18 + 2 = 0

(x+2) · (6x2 −5x +1) = 0

6x2 −5x +1 = 0

6 (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3) = 0

Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3

Valor absoluto

1) x + |1 + 2x| = - 2

Ambas soluciones cumplen la ecuación, por tanto:

S = { -1 , 1}

2) 3|x + 4| - 2 = x

Al comprobar las soluciones se observa que no cumplen la ecuación.

Por tanto, la ecuación no tiene solución.

3) |x2 - 2| = 2 - 3x

Por otro lado, tenemos dos posibilidades para la igualdad:

• x2 - 2 = 2 - 3x ⇔ x2 + 3x - 4 = 0

• x2 - 2 = - (2 - 3x) = - 2 + 3x ⇔ x2 - 3x = 0 ⇔ x ( x - 3) = 0

Comprobamos si las soluciones cumplen la ecuación:

x = 1: |12 - 2| = 2 - 3·1 ⇔ 1 ≠ -1 x = 1 no es solución

Hacemos lo mismo para el resto de soluciones.

x = - 4 es solución

x = 0 es solución

x = 3 no es solución

Por tanto, el conjunto solución es:

S = { -4 , 0 }

4) |x + 1| = |x - 5|

Se comprueba la solución x = 2 y la cumple la ecuación.

x = 2

FUNCION CUADRATICA

1º Elevamos al cuadrado los dos miembros:

2ºResolvemos la ecuación:

3ºComprobamos:

La ecuación tiene por solución x = 2.

.- x2 −3x −4 = 0

2.- 5 x2 −6x −1 = 0

3.- 3 x2 −24 x = 0

4.- 3 ( x2 – 9) = 0

Soluciones

1.- Se trata de una ecuación cuadrática completa. Primer paso definir quiénes son los coeficientes a,b y c.

Segundo paso aplicar fórmula cuadrática para resolverla.

a= 1; b= -3 y c= 4

Resolución:

2.- Se trata de una ecuación cuadrática completa. Primer paso definir quiénes son los coeficientes a,b y c.

Segundo paso aplicar fórmula cuadrática para resolverla.

a= 5, b= -6 y c= -1

Resolución:

3.- En este caso se trata de una ecuación cuadrática incompleta, en la que falta el término independiente, o sea

el coeficiente c. Es posible resolver esta ecuación utilizando la fórmula cuadrática y asignando a “c” el valor

cero. Pero como ya habrás leído, existe una manera más sencilla de resolverla que comienza por sacar factor

común “x” de ambos términos. Como queda un producto de dos factores cuyo resultado es cero, uno de los dos

tiene que ser cero y esa es precisamente la base de las dos soluciones que estamos buscando. Presta atención

y compara con tus propios resultados:

4.- En este caso es una ecuación cuadrática incompleta a la que falta su término lineal (vale decir “b=0″), pero

que además requiere realizar una operación previa hasta llegar a su forma tipo. He aquí los pasos para su

resolución:

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Inecuaciones de primer grado

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita

Cuando tenemos un sistema de desigualdades resolvemos cada una de ellas por separado, la solución va a ser la común a las desigualdades.

Inecuaciones de segundo grado

Para resolver desigualdades de segundo grado o de grado superior es necesario descomponer en factores. Recuerda que para hacer la descomposición factorial dependiendo de la ecuación podemos sacar factor común, resolver la ecuación de segundo grado o aplicar la regla de Ruffini.

Inecuaciones con denominadores

Inecuaciones de grado superior a dos

Ecuaciones de Segundo grado

x2 − 6x + 8 > 0

x2 − 6x + 8 = 0

P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0

P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

S = (-∞, 2) (4, ∞)

………….x 2 + 2x +1 = 0

(x + 1)2 ≥ 0

Todo número elevado al cuadrado es mayor o igual que cero.

S =

…………x2 + x +1 > 0

x2 + x +1 = 0

P(0) = 0 + 0 + 1 > 0

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es .

……..7x2 + 21x − 28 < 0

x2 +3x − 4 < 0

x2 +3x − 4 = 0

P(−6) = (−6)2 +3 · (−6)− 4 > 0

P(0) = 02 +3 · 0 − 4 < 0

P(3) = 32 +3 · 3 − 4 > 0

(−4, 1)

…………−x2 + 4x − 7 < 0

x2 − 4x + 7 = 0

P(0) = −02 + 4 ·0 − 7 < 0

S =

x4 − 25x2 − 144 < 0

x4 − 25x2 − 144 = 0

(−4, −3) (−3, 3 ) (3, 4) .

Inecuaciones con valor absoluto

4) Resuelve las siguientes inecuaciones:

1) |x - 3| < 2

- 2 < x - 3 < 2

- 2 + 3 < x < 2 + 3

1 < x < 5

x ∈ (1 , 5)

2) |4x + 1| > 0

Siempre se tiene que: |x| ≥ 0 x ∈ R

Como la desigualdad del enunciado es esctricta, el conjunto de soluciones vendrá dado por:

R - { x ∈ R | |4x + 1| = 0 }

|4x + 1| = 0 ⇔ 4x + 1 = 0 ⇔ x = - 1/4

Luego |4x + 1| > 0 ⇔ x ∈ R - { -1/4 }

3) |x - 1| < 5

Los valores reales que verifican dicha expresión son:

|x - 1| < 5 ⇔ - 5 < x - 1 < 5

Por un lado tenemos:

- 5 < x - 1 ⇒ - 5 + 1 < x ⇒ - 4 < x

Por otro:

x - 1 < 5 ⇒ x < 5 + 1 ⇒ x < 6

Por tanto, como - 4 < x < 6 , el conjunto solución es:

S = (-4 , 6)

4) |3x + 1| ≥ 5

Los valores reales que verifican dicha expresión son:

|3x + 1| ≥ 5 ⇔ 3x + 1 ≤ - 5 o 3x + 1 ≥ 5

Por un lado tenemos:

3x + 1 ≤ - 5 ⇒ 3x ≤ - 6 ⇒ x ≤ - 2 ⇒ x ∈ (-∞ , - 2]

Por otro:

3x - 1 ≥ 5 ⇒ 3x ≥ 6 ⇒ x ≥ 2 ⇒ x ∈ [2 , ∞)

Por tanto, el conjunto solución es el intervalo:

S = (-∞ , - 2] ∪ [2 , ∞)

6) Resuelve la siguiente inecuación:

4 + |x| ≥ 3x

4 + |x| ≥ 3x

|x| ≥ 3x - 4

x ≤ - (3x - 4) ó x ≥ 3x - 4

x ≤ - (3x - 4) ⇔ x ≤ - 3x + 4 ⇔ 4x ≤ 4 ⇔ x ≤ 1

x ≥ 3x - 4 ⇔ - 2x ≥ - 4 ⇔ 2x ≤ 4 ⇔ x ≤ 2

La solución será el conjunto de valores de x que cumplan la primera

desigualdad ó la segunda.

x ∈ (-∞ , 1] ∪ (-∞ , 2] = (-∞ , 2]

1) |x - 3| > 1

x - 3 < - 1 ó x - 3 > 1

x - 3 < - 1 ⇔ x < - 1 + 3 ⇔ x < 2

x - 3 > 1 ⇔ x > 1 + 3 ⇔ x > 4

x ∈ (-∞ , 2) ∪ (4 , ∞)

2) |x - 3| < 1

- 1 < x - 3 < 1

- 1 + 3 < x < 1 + 3

2 < x < 4

x ∈ (2 ,4)

3) |x - 3| ≤ 1

- 1 ≤ x - 3 ≤ 1

- 1 + 3 ≤ x ≤ 1 + 32 ≤ x ≤ 4

x ∈ [2 ,4]

PRODUCTO CARTESIANO

Relaciones binarias

Ejemplos [

Dado el conjunto de los números reales, definimos la relación binaria de los puntos e en el

plano , según la función cuadrática , de forma que se anota:

Partiendo del conjunto de los automóviles de una localidad, y otro conjunto de las personas que

manejan automóviles en esa localidad, podemos definir la relación binaria «... conduce ...» entre ambos

conjuntos y , formada por cada automóvil , y quien lo conduce de forma que se anota formalmente:

Dominio y rango de una relación

El dominio de una relación es el conjunto de preimágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que

están relacionados. Al conjunto de imágenes, esto es, elementos del conjunto de llegada que están relacionados, se le

denomina recorrido o rango.

Ejemplo 3

Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “y es el doble de x” o “y = 2x”,

encontrar dominio y rango de la relación.

Solución

El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es:

A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4,

8)}

Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo:

R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}

En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo, “2 es preimagen de 4”.

Así, el dominio y rango son:

D = {2, 3, 4}

Rg = {4, 6, 8}

Según lo que vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y el conjunto de partida?

En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida, por lo tanto el Dominio es un subconjunto de A.

Otra pregunta: ¿Todo elemento del conjunto de llegada es elemento del rango?

La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7.

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACION

El dominio de una relación es el conjunto de preimágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que están relacionados.Al conjunto de imágenes, esto es, elementos del conjunto de llegada que están relacionados, se le denomina recorrido o rango.

Ejemplo

Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “y es el doble de x” o “y = 2x”, encontrar dominio y rango de la relación.

Solución

El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es:

A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4,6), (4, 7), (4, 8)}

Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo:

R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}

En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo, “2 es preimagen de 4”.

Así, el dominio y rango son: D = {2, 3, 4} Rg = {4, 6, 8} Según lo que vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y el conjunto de partida?

En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida, por lo tanto el Dominio es un subconjunto de A.

Otra pregunta: ¿Todo elemento del conjunto de llegada es elemento del rango? La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7.

Ejemplos:

-Conjunto de los Numeros Mayores o menores que A y menores o iguales que B.

[a, b]a≤x≤b

Función lineal

1..Pasa por los puntos A(−1, 5) y B(3, 7).

5 = −m + n −5 = m − n

7 = 3m + n 7 = 3m + n

2 = 4m m = ½ n = 11/2

y= ½x + 11/2

x y = ½x + 11/2

0 11/2

1 6

2..Tiene por pendiente 4 y pasa por el punto (−3, 2).

y = 4 x + n 2 = 4 · (−3) + n n= 14

y = 4 x + 14

x y = 4x + 14

0 14

1 18

3..Representa la siguiente función, sabiendoque:

Tiene pendiente -3 y ordenada en el origen-1.

y = -3x -1

x y = −3x – 1

0 -1

1 −4

4..Representa la función afín:

y = -¾x - 1

x y = -¾x – 1

0 −1

4 −4

Representa la función lineal

y = 2x

x f(x)=2x

0 0

1 2

Función cuadratica

Graficar la siguiente función cuadrática:

y = x2 – 4x + 3.

Graficar la siguiente función cuadrática:

y = x2 –2x + 3.

Graficar la siguiente función cuadrática:

y = x2 -4x + 4

Graficar la siguiente función cuadrática:

y = - x2 + 2x + 3.

Concavidad

1

2

3

4

f" no se anula.

5

6

Función constante

Ejemplo 1.

La función f(x) = 4 es una función constante porque independientemente del valor de x el valor de la funciónsiempre es 4.

Otra manera de representar una función es por medio de una lista de parejas ordenadas de la forma ( x, f(x)) frecuentemente en una tabla.

Ejemplo 2.

La función f(x)=3 se puede representar en forma tabular para algunos valores de x:

x f(x)-1 30 31 3

2 3

1.5 35

2

3

La gráfica de esta función para los valores de x entre -3 y 3 es:

Ejemplo 3.

Sea la función f(x)=-2 , encontrar su representación tabular y gráfica.

x f(x)-3 -2

-1.75 -2-1 -20 -21 -2

2.99 -2

Una función constante f(x) = c : tiene el mismo valor de y = f(x) para cualquier valor de x, tiene como gráfica una línea horizontal, nunca cruza el eje x, excepto cuando f(x) = 0, cruza una sola vez el eje y en el punto (0, c), es aquella en que el exponente máximo de la x es cero,

Nota. Dado que

0 1x , entonces

04 4(1) 4f x x .

Función valor absoluto

Representa la siguiente función con todas sus características: y = |x| - 2

Dom(f) = R

Im(f) = [-2, +∞)

Puntos de corte:

• Para x = 0 tenemos que f(0) = - 2 ⇒ El punto de corte con el eje Y es (0, - 2)

• Para que f(x) = 0 ⇒ 0 = |x| - 2 ⇒ |x| = 2 ⇒ x = ±2 ⇒ Corta al eje X en los puntos (- 2, 0) y (2, 0)

Monotonía:

• La función es decreciente en el intervalo (-∞, 0) puesto que y = - x - 2 tiene pendiente negativa (m = - 1) .

• La función es creciente en el intervalo (0, +∞) puesto que y = x - 2 tiene pendiente positiva (m = 1) .

Máximos y mínimos:

La función posee un mínimo absoluto en el punto (0, - 2) ya que f(x) ≥ - 2 para cualquier valor de x .

La gráfica es el resultado de trasladar verticalmente hacia abajo dos unidades a la función f(x) = |x|

Es decir, y = f(x) - 2 = |x| - 2

Exprese la siguiente función como una función definida a trozos: f(x) = |x| + |x -2|

Estudiamos cada valor absoluto por separado:

A continuación, estudiamos la suma de los valores de |x| y |x - 2| en los tres intervalos que se generan: (-∞ 0) , (0, 2) y (2, +∞) .

Por lo tanto la función queda definida de la siguiente forma:

Representa la siguiente función con todas sus características: y = |x + 3| + |x - 3|

Estudiamos cada valor absoluto por separado:

A continuación, estudiamos la suma de los valores de |x + 3| y |x - 3| en los tres intervalos que se generan: (-∞, -3) , (-3, 3) y (3, +∞) .

Por lo tanto la función queda definida de la siguiente forma:

Dom(f) = R

Im(f) = [6 , +∞)

Puntos de corte:

• x = 0 ⇒ f(0) = 6 ⇒ No corta al eje Y

• f(x) = 0 ⇒ - 2x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ No corta al eje X puesto que x = 0 no pertenece a dicho intervalo.

⇒ 6 ≠ 0 ⇒ No corta al eje X

⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ No corta al eje X puesto que x = 0 no pertenece a dicho intervalo.

Monotonía:

• La función es decreciente en el intervalo (-∞, -3) puesto que y = -2x tiene pendientenegativa (m = -2) .

• La función no es creciente ni decreciente enel intervalo (-3, 3) puesto quees una funciónconstante.

• La función es creciente en el intervalo (3,+∞) puesto que y = 2x tiene pendientepositiva (m = 2) .

Función polinómica

Ejemplo 1:

Encontrar las raíces de la función f x = x 3 + 3 x 2 + 2 x

Solución:

Buscamos resolver la ecuación f(x)=0. Factorizando la expresión obtenemos:

f x = x x+1 x+2

Recordemos que si A×B=0 entonces A=0 o B=0. Por lo que:

x = 0 o x+1 = 0 x = -1 o x+2 = 0 x = -2

Las raíces de la función f x = x 3 + 3 x 2 + 2 x son x=0, x=-1 y x=-2

Puedes visualizar estas raíces observando la gráfica de esta función, que es la siguiente:

Ejemplo 2:

Encontrar las raíces de la función f x = x 3 + 5 x 2 + 4 x

Solución:

Buscamos resolver la ecuación f(x)=0. Factorizando la expresión obtenemos:

f x = x x+1 x+4

Recordemos que si A×B=0 entonces A=0 o B=0. Por lo que:

x = 0 o x+1 = 0 x = -1 o x+4 = 0 x = -4

Las raíces de la función f x = x 3 + 5 x 2 + 4 x son x=0, x=-1 y x=-4

Puedes visualizar estas raíces observando la gráfica de esta función, que es la siguiente:

Ejemplo 1:

Encontrar las raíces de la función f x = x 3 + 2 x 2 + x

Solución:

Buscamos resolver la ecuación f(x)=0. Factorizando la expresión obtenemos:

f x = x x+12

Por lo que:

x = 0 O x+1 = 0 x = -1

Las raíces de la función f x = x 3 + 2 x 2 + x son x=0 y x=-1

Puedes visualizar estas raíces observando la gráfica de esta función, que es la siguiente:

0

Vemos que el factor (x+1) aparece dos veces. Este genera una raíz doble x=-1. Vemos en la gráfica que la curva toca el eje x pero no lo cruza.

1

Asíntota horizontal:

Asíntotas verticales.

Asíntotas oblicuas.

2

Asíntota horizontal:

Asíntotas verticales.

Asíntota oblicua.

3

Asíntota horizontal

Asíntotas verticales.

Asíntota oblicua.

No tiene asintota oblicua.

Función irracional

Representa la siguiente función irracional:

1) Dominio:

Como n es par, el dominio de f(x) es el conjunto de valores donde x ≥ 0 , es decir, Dom(f) = [0, +∞)

2) Puntos de corte:

f(0) = √0 = 0 , es decir, el punto de corte coincide con el eje de coordenadas (0, 0).

3) Tabla de valores:

Representa la siguiente función irracional:

1) Tipo de función: es una función con radicales o función irracional.

2) Dominio: como es una función con radicales, su radicando tiene que ser mayor o igual que 0.

x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ - 2

Dom(f) = [- 2, +∞) .

3) Recorrido o imagen: Im(f) = [-3, + ∞) .

4) Continuidad: es continua en [- 2, +∞)

5) Simetría:

f(- x) = - 3 + √(- x + 2)

- f(x) = 3 - √(x + 2)

f(- x) ≠ - f(x)

Por lo tanto la función no es simétrica.

6) Corte con los ejes:

• x = 0 ⇒ La función corta el eje Y en el punto (0, - 3 + √2)

• y = 0 ⇒ La función corta el eje X cuando: - 3 + √(x + 2) = 0

√(x + 2) = 3 ⇒ x + 2 = 9 ⇒ x = 7 ⇒ (7, 0)

7) Monotonía:

Si x1 < x2 ⇒ x1 + 2 < x2 + 2 ⇒ √x1 + 2 < √x2 + 2

- 3 + √(x1 + 2) < - 3 + √(x2 + 2) ⇒ f(x1) < f(x2)

La función es creciente en: [- 2, +∞) .

8) Máximos y mínimos relativos:

La función tiene un mínimo absoluto en el punto (- 2, - 3) .

9) Asíntotas:

La función no tiene asíntotas verticales ni horizontales.

La gráfica corresponde a una traslación vertical hacia abajo en tres unidades y horizontal hacia la izquierda dos unidades de la función: f(x) = √x

Representa la siguiente función irracional:

1) Tipo de función: es una función con radicales o función irracional.

Es una función irracional del tipo estudiado: k/ n √x

2) Dominio: como es una función con radicales, su radicando tiene que ser mayor o igual que 0. Además, al tener el radical en el denominador, este tiene que ser distinto de 0.

x + 1 > 0 ⇒ x > - 1

Dom(f) = (- 1, +∞) .

3) Recorrido o imagen: Im(f) = (3, + ∞) .

4) Continuidad: es continua en (- 1, +∞) .

5) Simetría:

f(- x) ≠ - f(x) ⇒ Por lo tanto la función no es simétrica.

6) Corte con los ejes:

• x = 0 ⇒ La función corta el eje Y en el punto (0, 5)

• y = 0 ⇒ La función corta el eje X cuando:

La igualdad se cumple para un valor de x que no pertenece al dominio de la función. Por lo tanto, la función no corta al eje X .

7) Monotonía:

La función es decreciente en: (- 1, +∞) .

8) Máximos y mínimos relativos:

La función no tiene máximos ni mínimos.

9) Asíntotas:

La función tiene una asíntota vertical en x = - 1 . (valor para el que se anula el denominador)

La función tiene una asíntota horizontal en y = 3 .

La gráfica corresponde a una traslación vertical hacia arriba en tres unidades y horizontal hacia la izquierda una unidad de la función: f(x) = 2 / √x

Representa la siguiente función irracional:

1) Tipo de función: es una función con radicales o función irracional.

Es una función irracional del tipo estudiado: k/ n √x

2) Dominio: el único valor que anula al denominador es x = 3 .

Dom(f) = R - {3} .

3) Recorrido o imagen: Im(f) = R - {0} .

4) Continuidad: es continua en R - {3} .

5) Simetría:

f(- x) ≠ - f(x) ⇒ Por lo tanto la función no es simétrica.

6) Corte con los ejes:

• x = 0 ⇒ La función corta el eje Y en el punto (0, 1,38)

• y = 0 ⇒ La función no corta al eje X puesto que:

7) Monotonía:

La función es creciente en todo su dominio.

8) Máximos y mínimos relativos:

La función no tiene máximos ni mínimos.

9) Asíntotas:

La función tiene una asíntota vertical en x = 3 .

(valor para el que se anula el denominador)

La función tiene una asíntota horizontal en y = 0 .

La gráfica corresponde a una traslación horizontal hacia la derechatres unidades de la función: f(x) = -2 / 3√x

Función exponencial

Ejemplos

X y = 2x

-3 1/8

-2 1/4

-1 1/2

0 1

1 2

2 4

3 8

X y = (½)x

-3

8

-2 4

-1 2

0 1

1 1/2

2 1/4

3 1/8

EJEMPLO 1 Elabore la gráfica de la curva correspondiente a y = 8x  en el intervalo [­1, 1], usando una tabla de valores. 

Solución

Hasta aquí hemos restringido nuestra atención a las funciones exponenciales de la forma y = f(x) = bx, donde b > 1. Todasestas gráficas tienen la misma forma de la función y = 2x. Para b = 1, y = bx = 1x  = 1 para todo valor de x. Como en este casose trata de una función constante. f(x) = l, no usamos la base b = 1 en la clasificación de las funciones exponenciales. 

Ahora, exploremos las funciones exponenciales y = f(x) = bx para las cuales tenemos: 0 < b < 1. En particular, si 

b 12

,

tenemos: 

y 12

x

12x

; o sea: y = 2­x .

También   es   posible   elaborar   la   gráfica   de  

y g x 12x

  relacionándola   con   la   gráfica   de    

y f x 2x

.   Como

g x 12x 2x f x

, los valores de y para la función g son los mismos valores de y correspondientes a f,  pero en ellado opuesto del eje de las y. En otras palabras, la gráfica de g es el reflejo de la gráfica de f, respecto del eje de las y. 

Todas las curvas correspondientes a y = bx, para 0 < b < 1, tienen la misma forma básica.La curva es cóncava hacia arriba, la función resulta decreciente y la recta definida por y =O es una asíntota horizontal que se extiende hacia la derecha. 

FUNCION LOGARITMICA

Ejemplos

x

1/8 -3

1/4 -2

1/2 -1

1 0

2 1

4 2

8 3

x

1/8 3

1/4 2

1/2 1

1 0

2 −1

4 −2

8 −3

EJEMPLO 1 Escriba la ecuación de g, la función inversa de y = f(x) = 2x y elabore las gráficas de ambas en los mismosejes coordenados. 

Solución La inversa g tiene la ecuación y = f(x) = 2x, y su gráfica se puede obtener reflejando y = f(x) = 2x al otro ladode la recta definida por y = x. 

VERIFIQUE SU COMPRENSION

1. Encuentre la ecuación de la inversa de y = 3x elabore la gráfica de ambas funciones en losmismos ejes. 

2. Encuentre la ecuación de 

y 13

x

y elabore la gráfica de las funciones en los mismos ejes. Sea y = f(x) = log5x, Describa usted como se puede obtener la gráfica de cada una de lassiguientes funciones, a partir de la gráfica de f

3. 

g x log5 x 2                      4. 

g x 2 log5 x

5. 

g x log5 x                           6. 

g x 2log5 x

Encontramos  y = logbx  intercambiando el papel que desempeñan las variables de  y = bx.. Como consecuencia de esteintercambio, también se intercambian los dos dominios y rangos de las dos funciones. Por consiguiente, 

El dominio de es igual al rango de y = bx.El rango de y = logbx es igual al dominio de y = bx.