Control Digital/Avanzado Control Digital/Avanzado Respuesta en FrecuenciaRespuesta en Frecuencia

M. en C. Luis Adrián Lizama PérezM. en C. Luis Adrián Lizama Pérez

La entrada al sistema es senoidalLa entrada al sistema es senoidal Es útil como entrada de prueba y fuente de Es útil como entrada de prueba y fuente de

información para auxiliar en el análisis y información para auxiliar en el análisis y diseño de sistemasdiseño de sistemas

La respuesta en frecuencia se define como la La respuesta en frecuencia se define como la respuesta en estado estable de un sistema a una respuesta en estado estable de un sistema a una entrada senoidalentrada senoidal

La respuesta en estado estable es la que La respuesta en estado estable es la que permanece después de que han desaparecido permanece después de que han desaparecido los transitorioslos transitorios

Existen varias técnicas para analizar la Existen varias técnicas para analizar la respuesta en frecuencia: Diagramas de Bode y respuesta en frecuencia: Diagramas de Bode y de Nyquistde Nyquist

Si a un sistema lineal se aplica una entrada senoidal, Si a un sistema lineal se aplica una entrada senoidal, la salida es también una senoidal y de la misma la salida es también una senoidal y de la misma frecuenciafrecuencia

La salida puede diferir de la entrada en amplitud y La salida puede diferir de la entrada en amplitud y fasefase

El cociente de la amplitud de la salida entre la El cociente de la amplitud de la salida entre la amplitud de la entrada se conoce como magnitudamplitud de la entrada se conoce como magnitud

El corrimiento de fase de la senoidal de salida en El corrimiento de fase de la senoidal de salida en relación con la entrada se denomina faserelación con la entrada se denomina fase

La variación de la magnitud y la fase se denomina La variación de la magnitud y la fase se denomina respuesta en frecuencia del sistemarespuesta en frecuencia del sistema

La función G(jLa función G(j), la cual se obtiene cuando s ), la cual se obtiene cuando s se reemplaza por jse reemplaza por j se denomina función de se denomina función de respuesta en frecuenciarespuesta en frecuencia

|G(j|G(j)| es la magnitud de la función de )| es la magnitud de la función de transferencia G(s)transferencia G(s)

Al separar s en G(s) por jAl separar s en G(s) por j permite separar las permite separar las partes real e imaginaria e identificar la partes real e imaginaria e identificar la magnitud y fasemagnitud y fase

Ejemplo: Ejemplo:

G(s)=1/(s+2), si se hace s=jG(s)=1/(s+2), si se hace s=j entonces entonces

G(jG(j)= 1 / (j)= 1 / (j + 2) + 2)

G(jG(j)= 2 / ()= 2 / (22 + 4) – j + 4) – j / ( / (22 + 4) + 4)

La magnitud es:La magnitud es:

|G(j|G(j)| = 1 / ()| = 1 / ( 22 + 4) + 4)

Y la fase:Y la fase:

tan tan = - = - /2/2

Ejemplo: ¿Cuáles son la magnitud y la fase de Ejemplo: ¿Cuáles son la magnitud y la fase de salida en estado estable de un sistema con entrada salida en estado estable de un sistema con entrada i= 2sen(3t + 60°), si se tiene una F.T. i= 2sen(3t + 60°), si se tiene una F.T. G(s)=4/s+1?G(s)=4/s+1? G(jG(j)= 4 / (j)= 4 / (j + 1) al cambiar s=j + 1) al cambiar s=j G(jG(j)= 4 / ()= 4 / (22 + 1) – j4 + 1) – j4 / ( / (22 + 1) + 1)

La magnitud es:La magnitud es:|G(j|G(j)| = 4 / ()| = 4 / ( 22 + 1) + 1)

Y la fase:Y la fase:tan tan = - = -

Para una entrada específica Para una entrada específica =3 rad/s=3 rad/s

|G(j|G(j)| = 4 / ()| = 4 / ( 3 322 + 1)=1.3 + 1)=1.3

y y = tan = tan-1-1(-3)= -72°(-3)= -72°

La salida es La salida es

o= 2(1.3)sen(3t + 60°-72°)o= 2(1.3)sen(3t + 60°-72°)

o= 2.6sen(3t - 12°)o= 2.6sen(3t - 12°)

Ej: Para un sistema que tiene una F.T. G(s)=3/s+2 Ej: Para un sistema que tiene una F.T. G(s)=3/s+2 determinar la magnitud y fase de la respuesta en determinar la magnitud y fase de la respuesta en frecuenciafrecuencia

Gráficas de BodeGráficas de Bode

Consiste de dos gráficas: una de la magnitud Consiste de dos gráficas: una de la magnitud contra la frecuencia y otra de la fase graficada contra la frecuencia y otra de la fase graficada contra la frecuenciacontra la frecuencia

La magnitud y la frecuencia se grafican La magnitud y la frecuencia se grafican usando escalas logarítmicasusando escalas logarítmicas

Es común expresar la magnitud en unidades de Es común expresar la magnitud en unidades de decibeles (dB):decibeles (dB):

Magnitud en dB= 20 log |G(jMagnitud en dB= 20 log |G(j)|)|p.e. si |G(jp.e. si |G(j)|=2 entonces la magnitud es 6dB)|=2 entonces la magnitud es 6dB

Ej: Ganancia constante. G(s)=K, G(jEj: Ganancia constante. G(s)=K, G(j)=K)=K

|G(j|G(j)|=20 log K y la fase es cero)|=20 log K y la fase es cero

0.1 1 10 100 rad/s

20 log10 KMagnitud

en dB

0.1 1 10 100 rad/s

Fase90°

-90°

Ej: Un polo en el origen. G(s)=1/s, G(jEj: Un polo en el origen. G(s)=1/s, G(j)=-j/)=-j/|G(j|G(j)|=20log(1/)|=20log(1/)=-20log()=-20log() y la fase es ) y la fase es

tan tan = (-1/ = (-1/)/0=-)/0=-, , =-90°=-90°

0.1 1 10 100 rad/s

Magnitud en dB

20

-20

0.1 1 10 100 rad/sFase

90°

-90°

Ej: Un cero en el origen. G(s)=s, G(jEj: Un cero en el origen. G(s)=s, G(j)=j)=j|G(j|G(j)|=20log()|=20log() y la fase es ) y la fase es

tan tan = ( = (/0) = +/0) = +, , =90°=90°

0.1 1 10 100 rad/s

Magnitud en dB

20

-20

0.1 1 10 100 rad/sFase

90°

-90°

Diagramas de NyquistDiagramas de Nyquist

Para especificar el comportamiento de un Para especificar el comportamiento de un sistema a una entrada senoidal en una sistema a una entrada senoidal en una frecuencia angular particular frecuencia angular particular , se deben , se deben establecer tanto la magnitud |G(jestablecer tanto la magnitud |G(j)| como la )| como la fase fase

El diagrama de Nyquist es una gráfica polar de El diagrama de Nyquist es una gráfica polar de la respuesta en frecuencia del sistemala respuesta en frecuencia del sistema

Al trazar digramas de Nyquist existen cuatro Al trazar digramas de Nyquist existen cuatro puntos clave que se deben representar:puntos clave que se deben representar: El inicio de la traza, donde El inicio de la traza, donde =0=0 El fin de la traza, donde El fin de la traza, donde == Donde la traza cruza al eje real, Donde la traza cruza al eje real, =0° ó =0° ó 180°180° Y donde cruza al eje imaginario Y donde cruza al eje imaginario ==90°90°

Ej: Para un sistema de primer orden, donde Ej: Para un sistema de primer orden, donde G(s)=1/(1+G(s)=1/(1+s) aquí s) aquí es la constante de tiempo es la constante de tiempo

G(jG(j)=1/(1+j)=1/(1+j)= (1- j)= (1- j)/(1 + )/(1 + 2222))

La magnitud es la raíz cuadrada de la parte real al La magnitud es la raíz cuadrada de la parte real al cuadrado más la parte imaginaria al cuadradocuadrado más la parte imaginaria al cuadrado

|G(j|G(j)|=1/)|=1/1+ 1+ 2222

La fase La fase , es el cociente de la parte imaginaria , es el cociente de la parte imaginaria entre la parte realentre la parte real

= -tan= -tan-1-1(())

Cuando Cuando =0 tenemos |G(j=0 tenemos |G(j)|=1 y )|=1 y =0°, éste es =0°, éste es el punto en el que la traza cruza el eje realel punto en el que la traza cruza el eje real

Cuando Cuando tiende a tiende a |G(j |G(j)| tiende a 0 y )| tiende a 0 y a a -90°, éste es el punto en el que la traza cruza el -90°, éste es el punto en el que la traza cruza el eje imaginarioeje imaginario

|G(j|G(j)|=1/)|=1/1+ 1+ 2222

= -tan= -tan-1-1(()) Incremento de Incremento de =0=0==1100 0.50.5

0.50.5

Incremento de Incremento de

RealReal

=0=0==00

ImaginarioImaginario

RealReal

1/1/1100

ImaginarioImaginario

G(s) = 1/ (G(s) = 1/ (11s + 1)s + 1)

Incremento de Incremento de

RealReal

=0=0

== 00

ImaginarioImaginario

RealReal

1/1/1100

ImaginarioImaginario

1/1/22

G(s) = 1/ (G(s) = 1/ (11s + 1)(s + 1)(22s + 1)s + 1)

G(s) = 1/ (G(s) = 1/ (11s + 1)(s + 1)(22s + 1)(s + 1)(33s + 1)s + 1)

Incremento de Incremento de

RealReal

=0=0==00

ImaginarioImaginario

RealReal

1/1/11

00

ImaginarioImaginario

1/1/33 1/1/22

G(s) = 1/ s(G(s) = 1/ s(11s + 1)s + 1)

=0=0

RealReal

1/1/11

00

ImaginarioImaginario

RealReal

==00

ImaginarioImaginario

RealReal00

ImaginarioImaginario

RealReal

=0=0

== 00

ImaginarioImaginario

G(s) = 1/ s(G(s) = 1/ s(11s + 1)(s + 1)(22s + 1)s + 1)

G(s) = (G(s) = (s + 1)/ s(s + 1)/ s(11s + 1)(s + 1)(22s + 1)s + 1)

RealReal

=0=0

== 00ImaginarioImaginario

RealReal00

ImaginarioImaginario

Criterio de EstabilidadCriterio de Estabilidad

Para que la inestabilidad se presente cuando la Para que la inestabilidad se presente cuando la entrada al sistema es senoidal, la magnitud en entrada al sistema es senoidal, la magnitud en lazo abierto debe ser mayor que 1 si el atraso lazo abierto debe ser mayor que 1 si el atraso de fase en lazo abierto es 180°de fase en lazo abierto es 180°

Si el sistema causa un cambio de fase de 180°, Si el sistema causa un cambio de fase de 180°, la señal de realimentación estará en fase con la la señal de realimentación estará en fase con la señal de entrada y se adicionará en vez de señal de entrada y se adicionará en vez de sumarsesumarse

Si la amplitud es menor que la de la señal de Si la amplitud es menor que la de la señal de entrada, se puede alcanzar una condición entrada, se puede alcanzar una condición estable, pero si la amplitud es mayor, la señal estable, pero si la amplitud es mayor, la señal crecerá de manera continuacrecerá de manera continua

=180°=180°

RealReal

EstableEstable

-1-100

ImaginarioImaginario

InestableInestable

Margen de ganancia: se define como el factor Margen de ganancia: se define como el factor mediante el cual la ganancia del sistema, es mediante el cual la ganancia del sistema, es decir, la magnitud, se puede incrementar antes decir, la magnitud, se puede incrementar antes de que se presente la inestabilidadde que se presente la inestabilidad

Es la cantidad mediante la cual la magnitud en Es la cantidad mediante la cual la magnitud en 180° debe incrementarse para alcanzar el valor 180° debe incrementarse para alcanzar el valor crítico de 1crítico de 1

|G(j|G(j)|)|=180°=180°

RealReal

-1-1

00

ImaginarioImaginario

1= Margen de ganancia x |G(j1= Margen de ganancia x |G(j)|)|=180°=180°

Margen de ganancia = 20log(1)- 20log |G(jMargen de ganancia = 20log(1)- 20log |G(j)|)|=180°=180°

Margen de ganancia = -20log |G(jMargen de ganancia = -20log |G(j)|)|=180°=180°

Si la traza jamás cruza la parte negativa del eje Si la traza jamás cruza la parte negativa del eje real, el margen de ganancia es infinitoreal, el margen de ganancia es infinito

Si pasa a través del eje en un valor menor que 1, el Si pasa a través del eje en un valor menor que 1, el margen es positivomargen es positivo

Si pasa a través del eje en 1, el margen es cero y si Si pasa a través del eje en 1, el margen es cero y si pasa a través del eje en un valor mayor que 1, es pasa a través del eje en un valor mayor que 1, es decir, la traza encierra el punto -1, el margen es decir, la traza encierra el punto -1, el margen es negativonegativo

Margen de fase: se define como el ángulo a Margen de fase: se define como el ángulo a través del cual la traza de Nyquist debe girar través del cual la traza de Nyquist debe girar para que el punto de magnitud unitaria pase a para que el punto de magnitud unitaria pase a través del punto -1 en el eje realtravés del punto -1 en el eje real

Es la cantidad mediante la cual la fase del Es la cantidad mediante la cual la fase del sistema en lazo abierto cae cerca de 180° sistema en lazo abierto cae cerca de 180° cuando su magnitud tiene un valor de 1, es cuando su magnitud tiene un valor de 1, es decir, la amplitud de la salida es la misma que decir, la amplitud de la salida es la misma que la de la entradala de la entrada

|G(j|G(j)|=1)|=1

RealReal-1-1

00

ImaginarioImaginario

Margen de faseMargen de fase

0.1 1 10 100

rad/sMagnitud en dB

20

-20

0.1 1 10 100 rad/s

Fase

90°

-90°

-180°

Margen de ganancia

Margen de fase

TareaTarea

1.1. Determinar el valor de K para un sistema con Determinar el valor de K para un sistema con la siguiente función de transferencia en lazo la siguiente función de transferencia en lazo abierto:abierto:

GGoo(s)= K / s(2s+1)(s+1)(s)= K / s(2s+1)(s+1)

el cual dará a) un sistema marginalmente el cual dará a) un sistema marginalmente estable, y b) un margen de ganancia de 3dBestable, y b) un margen de ganancia de 3dB

|G|Goo(j(j)|=K / )|=K / 9944 + + 22(1-2(1-222))22

= tan= tan-1 -1 [ (1-2[ (1-222)/3)/3 ] ]

Para que el sistema sea marginalmente estable Para que el sistema sea marginalmente estable la magnitud debe tener el valor de 1, cuando la magnitud debe tener el valor de 1, cuando =180°. Para =180°. Para =180°, =180°, =tan=tan-1-1(0) R: K=1.5(0) R: K=1.5

Para que el sistema tenga un margen de Para que el sistema tenga un margen de ganancia de 3dBganancia de 3dB

Margen de ganancia=-20log|G(jMargen de ganancia=-20log|G(j)|)|=180°=180°

R: K=1.06R: K=1.06

2.2. ¿Cuál es el margen de fase para un sistema ¿Cuál es el margen de fase para un sistema que tiene la siguiente función de que tiene la siguiente función de transferencia en lazo abierto?transferencia en lazo abierto?

GGoo(s)= 9 / s(s+3)(s)= 9 / s(s+3) La magnitud es |GLa magnitud es |Goo(j(j)|=9 / )|=9 / 44 + 9 + 922

La fase es La fase es = tan= tan-1 -1 (3/(3/))

R: R: =2.36 rad/s=2.36 rad/s

=51.8°=51.8°

3.3. Para las trazas de Bode de la figura estimar el Para las trazas de Bode de la figura estimar el margen de ganancia y el margen de fase si margen de ganancia y el margen de fase si G(s): 100 / (sG(s): 100 / (s33 + 9s + 9s22 + 30s + 40) + 30s + 40)

0.1 1 10

rad/sMagnitud en dB

20

-20

0.1 1 10

rad/s

Fase

-90°

-180°

EnlacesEnlaces Enlace del proyecto final:Enlace del proyecto final:

http://www.engin.umich.edu/group/ctm/http://www.engin.umich.edu/group/ctm/Calendario de presentaciones:Calendario de presentaciones:4 de Mayo: 4 de Mayo: Ball and BeamBall and Beam

Bus SuspensionBus SuspensionCruise ControlCruise Control

9 de Mayo: 9 de Mayo: Inverted PendullumInverted PendullumMotor PositionMotor Position

11 de Mayo: 11 de Mayo: Motor SpeedMotor SpeedPitch ControllerPitch Controller

16 de Mayo: 16 de Mayo: Examen 3er ParcialExamen 3er Parcial