Control de dos posiciones

Control proporcional

Control integral

Control derivativo

∫= dtteT

Ktm

i

c )()(

)()( teKtm c=

( )( ) d

de tm t T

dt=

donde:: Es la señal de referencia o punto de ajuste (Set Point): Es la señal de error: Es la señal de salida del controlador: Es la señal de perturbación: Es la señal o variable de control (variable manipulada): Es la señal de salida (variable controlada)

)(sR)(sE)(sM)(sD)(sU)(sY

a) Idealb) Clásicac) Parámetros independientesd) Industrial

a) Estructura ideal La estructura ideal está caracterizada mediante la relación entrada-salida:

)(1

1)( sEsTsT

KsM di

c

++=

donde:

cK : Es la constante del modo proporcional

iT : Es el tiempo del modo integral

dT : Es el tiempo del modo derivativo

donde:

1 1( ) 1c c d

i

G s K T ss T

= + +

b) Estructura clásica La estructura clásica está caracterizada mediante la relación entrada-salida:

11 1( ) 1 ( )

1d

c di a

T sM s K T s E s

s T T s

+= + + +

donde:

cK : Es la constante del modo proporcional

iT : Es el tiempo del modo integral

dT : Es el tiempo del modo derivativo

aT : Es la constante de tiempo del filtro y está definida de la forma:

N

TT d

a =

y 203 ≤≤ N

normalmente se utiliza el valor de N = 10.

donde:

11 1( ) 1

1d

c ci a

T sG s K

s T T s

+= + +

c) Estructura de parámetros independientes La estructura de parámetros independientes queda definida mediante la ecuación:

1 1( ) 1 ( ) ( )

1d

ci a

T sM s K E s Y s

s T T s

= + − +

donde:

cK : Es la constante del modo proporcional

iT : Es el tiempo del modo integral

dT : Es el tiempo del modo derivativo

aT : Es la constante de tiempo del filtro y está definida de la forma:

N

TT d

a =

y 203 ≤≤ N

normalmente se utiliza el valor de N = 10.

donde:

1

1 1( ) 1c c

i

G s Ks T

= +

1)(

2 +=

sT

sTsG

a

dc

d) Estructura industrial La estructura industrial queda definida a través de la relación entrada-salida:

11 1( ) 1 ( ) ( )

1d

ci a

T sM s K R s Y s

s T T s

+= + − +

donde:

cK : Es la constante del modo proporcional

iT : Es el tiempo del modo integral

dT : Es el tiempo del modo derivativo

aT : Es la constante de tiempo del filtro y está definida de la forma:

N

TT d

a =

y 203 ≤≤ N

donde:

1

1 1( ) 1c c

i

G s Ks T

= +

1

1)(

2 ++=

sT

sTsG

a

dc

Método de oscilaciones sostenidas Método de oscilaciones amortiguadas Método de la curva de reacción Ziegler-Nichols Cohen-Coon Criterios de desempeño

Método de oscilaciones sostenidas (Ziegler-Nichols 1942)

El sistema (proceso) se realimenta con un controlador proporcional, de acuerdo a la topología que se presenta:

donde, las características dinámicas del proceso son:

uK : Es el valor de k para el cual el sistema realimentado presenta oscilaciones

sostenidas.

uT : Es el período de oscilación de la señal de salida del sistema en segundos.

Las formulas de sintonización son en este caso:

Tipo de controlador cK iT dT

P 2

uK

- -

PI 2.2uK

2.1uT

-

PID 7.1uK

2uT

8uT

Método de oscilaciones amortiguadas (Harriot 1957)

Este método consiste en realimentar el sistema (proceso) a controlar con un controlador proporcional, empleando la configuración que se muestra en la figura::

la relación entre el primer y segundo sobrepasos debe ser igual a 0.25, esto es:

25.0=a

b

Las fórmulas de sintonización son en este caso:

Tipo de Controlador cK iT dT

P oK - -

PI oK oT -

PID oK 5.1oT

6oT

Método de la curva de reacción (Ziegler-Nichols 1942)

Las fórmulas de sintonización están dadas en la siguiente tabla:

Tipo de Controlador cK iT dT

P

mRT

1

- -

PI

mT

9.0

2.0mT

-

PID

mRT

2.1

3.0mT

mT8.0

En este caso el proceso a controlar se caracteriza mediante una función de transferencia de primer orden con tiempo muerto, de la siguiente forma:

1)(

+=

Θ−

s

eKsG

s

p τ

Método de la curva de reacción (Cohen-Coon 1950)

µ

τ

ss

ss

yK

ys

=

=

Las expresiones para sintonización, están dadas en este caso por:

- Proporcional (P)

11

3cKK

τ θθ τ

= +

- Proporcional-integral (PI)

1 9

10 3cKK

τ θθ τ

= +

330

209

iT

θτθ θ

τ

+=

+

- Proporcional-derivativo (PD)

1 5

4 6cKK

τ θθ τ

= +

26

322

dT

θτθ θτ

−=

+

- Proporcional-integral-derivativo (PID)

1 4

3 4cKK

τ θθ τ

= +

632

813

iT

θτθ θτ

+=

+

42

11dT θ θ

τ

=+

a) Minimización de la integral de la función de error al cuadrado (ISE), definido de la forma:

dtteISE2

)(∫=

b) Minimización de la integral de la función de error en valor absoluto (IAE), definido de la forma:

∫= dtteIAE )(

c) Minimización de la integral de la función de error en valor absoluto multiplicada por el tiempo (ITAE), definido de la forma:

∫= dttetITAE )(

Las formulas de sintonización se obtienen a partir de la minimización de la integral de la función de error (criterios de desempeño integrales), estos criterios son:

Sea un proceso o sistema descrito mediante la función de transferencia:

)(

)()(

sp

sqGsG =

donde: G : Es la ganancia del sistema

)(sq : Es un polinomio en s de grado m cuyas raíces son los ceros del sistema )(sp : Es un polinomio en s de grado n cuyas raíces son los polos del sistema

El proceso descrito mediante ( )G s será entonces caracterizado por la función de transferencia de un sistema de primer orden con tiempo muerto, siendo ésta de la forma:

( )1

s

p

K eG s

s

θ

τ

−

=+

Caracterización del proceso

La respuesta escalón del sistema se presenta en la siguiente figura:

µssy

K =

Sintonización para perturbaciones b

c

aK

K τΘ =

d

iTc

τ τθ

=

f

dT eθ ττ

=

a) Sintonización para entrada de referencia

b

c

aK

K τΘ =

τ

τΘ+

=dc

Ti

1f

dT e τ

τ

Θ =

Las constantes a, b, c, d, e y f para cada uno de los casos se encuentran en las tablas 0, 1, 2 y 3 y éstas son empleadas para las distintas estructuras del controlador.

SINTONIZACIÓN Perturbación Referencia

Criterio Criterio

ISE IAE ITAE ISE IAE ITAE a 1.495 1.453 1.357 - 1.086 0.965 b -0.945 -0.921 -0.947 - -0.869 -0.855 c 1.101 0.878 0.842 - 0.740 0.796 d 0.771 0.749 0.738 - -0.130 -0.147 e 0.560 0.482 0.381 - 0.348 0.308

Tabla 0. Constantes de sintonización para el controlador descrito por la ecuación (0), considerando: 0 / 1θ τ≤ ≤

SINTONIZACIÓN Perturbación Referencia

Criterio Criterio

ISE IAE ITAE ISE IAE ITAE a 1.11907 0.98089 0.77902 0.71959 0.65000 1.12762 b -0.89711 -0.76167 -1.06401 -1.03092 -1.04432 -0.80368 c 0.79870 0.91032 1.14311 1.12666 0.98850 0.99783 d -0.95480 -1.5211 -0.70949 -0.18145 -0.09539 0.02860 e 0.54766 0.59974 0.57137 0.54568 0.50814 0.42844

Tabla 1. Constantes de sintonización para el controlador descrito por la ecuación (1), considerando: 0 / 1θ τ≤ ≤

SINTONIZACIÓN Perturbación Referencia

Criterio Criterio

ISE IAE ITAE ISE IAE ITAE a 1.1147 0.91 0.7058 1.1427 0.81699 0.8326 b -0.8992 -0.7938 -0.8872 -0.9365 -1.004 -0.7607 c 0.9324 1.01495 1.03326 0.99223 1.09112 1.00268 d -0.8753 -1.00403 -0.99138 -0.35269 -0.22387 0.00854 e 0.54766 0.59974 0.57137 0.54568 0.50814 0.42844 f 0.91107 0.7848 0.971 0.78088 0.97186 1.11499

Tabla 2. Constantes de sintonización para el controlador descrito por la ecuación (2), considerando:

0 / 1θ τ≤ ≤

SINTONIZACIÓN Perturbación Referencia

Criterio Criterio

ISE IAE ITAE ISE IAE ITAE a 1.3466 1.31509 1.3176 1.26239 1.13031 0.98384 b -0.9308 -0.8826 -0.7937 -0.8388 -0.81314 -0.49851 c 1.6585 1.2587 1.12499 6.0356 5.7527 2.71348 d -1.25738 -1.3756 -1.42603 -6.0191 -5.7241 -2.29778 e 0.79715 0.5655 0.49547 0.47617 0.32175 0.21443 f 0.41941 0.4576 0.41932 0.24572 0.17707 0.16768

Tabla 3. Constantes de sintonización para el controlador descrito por la ecuación (3), considerando:

0 / 1θ τ≤ ≤

Ejemplo de sintonización Sea un sistema de parámetros concentrados, lineal e invariante con el tiempo descrito mediante la función de transferencia:

48( )

( 2)( 4)( 6)pG ss s s

=+ + +

Se desea calcular los parámetros para los controladores P, PI, PD y PID, mediante los métodos:

• Oscilaciones sostenidas • Oscilaciones amortiguadas • Curva de reacción:

o Ziegler-Nichols o Cohen-Coon o Criterios de desempeño

ISE IAE ITAE

a) Método de oscilaciones sostenidas Para el método de oscilaciones encontraremos la OSK , que es la ganancia para la cual el sistema presenta oscilaciones sostenidas. Es posible obtener este valor mediante el Lugar Geométrico de las Raíces, o a partir del Criterio de Estabilidad de Routh:

Lugar Geométrico de las Raíces

Los puntos de interés son los que se muestran en la figura:

Con la herramienta de MatLab rlocfind se determinan los puntos y el valor de la ganancia para dichos puntos, siendo éstos:

0

9.997

0 0022 6.65OSK

s j

== − −

Este valor de j6.63 es la frecuencia de oscilación, por lo tanto:

26.63 2

20.9472s

6.63

d OSOS

OS

fT

T

πω π

π

= = =

⇒ = =

Por el Criterio de Estabilidad de Routh El polinomio a utilizar es:

( ) ( ) ( )P s p s Kq s= + ( ) ( 2)( 4)( 6) 48P s s s s K= + + + +

3 2( ) 12 44 48 48P s s s s K= + + + + 3 2( ) 12 44 48( 1)P s s s s K= + + + +

Se obtendrá el valor de la OSK que es la ganancia para la cual el sistema presenta oscilaciones sostenidas, a partir del Arreglo de Routh:

3

2

1

0

1 44

12 48( 1)

44 4( 1)

48( 1)

s

Ks

Ks

Ks

+− +

+

Para calcular los valores de K que producen polos sobre el eje imaginario es necesario igualar los términos de la primera columna que incluyen a K a cero, esto es: Este es el valor requerido, ya que produce polos imaginarios

44 4( 1) 0

10OS

OS

K

K

− + =⇒ =

Este valor sólo produce un polo en el origen

48( 1) 0

1OS

OS

K

K

+ =⇒ = −

Después, se elige a partir del arreglo el primer renglón donde aparece K y se genera el polinomio de los polos imaginarios, esto es:

2

2

2

( ) 12 48( 1)

12 (48)(11)

12 528

528 5286.63

12 12

OSa s s K

s

s

s j j

= + +

= += +

−⇒ = ± = ± = ±

Este valor de j6.63 es la frecuencia de oscilación, por lo tanto:

26.63 2

20.9472s

6.63

d OSOS

OS

fT

T

πω π

π

= = =

⇒ = =

Los parámetros de sintonización son:

10 0.9472OS OSK y T= =

Y los valores finales son:

Tipo de controlador cK iT dT

P 5 - -

PI 3.01 0.7893 -

PID 3.9 0.4736 0.1184

b) Método de oscilaciones amortiguadas En este método se requiere que los polos dominantes tengan un factor de amortiguamiento relativo de 0.2176. El problema se puede resolver analíticamente en forma simbólica y por el Lugar Geométrico de las Raíces, en este caso sólo se presenta la del LGR.

Lugar Geométrico de las RaícesEn la siguiente gráfica se muestra la gráfica del LGR para la planta donde también se ha dibujado la líneas de factor de amortiguamiento relativo de 0.2176:

A continuación se tienen marcados los puntos de interés sobre el Lugar Geométrico de las Raíces, y de nuevo con la herramienta de MatLab rlocfind se determina que:

0

3.7797

1 0483 4.6967OAK

s j

== − −

Este valor de j4.6967 es la frecuencia de oscilación, por lo tanto:

24.6967 2

21.3356s

4.6967

d OAOA

OA

fT

T

πω π

π

= = =

⇒ = =

Los parámetros de sintonización son:

10 0.9472OS OSK y T= = la tabla a utilizar es:

Tipo de controlador cK iT dT

P oK - -

PI oK oT -

PID oK 1.5

oT

6oT

Y los valores finales son:

Tipo de controlador cK iT dT

P 3.7922 - -

PI 3.7922 1.3356 -

PID 3.7922 0.89 0.2226

c) Método de la curva de reacción En este caso es necesario obtener la respuesta escalón de la planta a partir de:

1( ) ( )

48 1( )

( 2)( 4)( 6)

48( )

( 2)( 4)( 6)

( )( 2) ( 4) ( 6)

ESC P

ESC

ESC

ESC

Y s G ss

Y ss s s s

Y ss s s s

A B C DY s

s s s s

=

=+ + +

=+ + +

= + + ++ + +

Los valores de A, B, C y D se calculan como sigue:

( ) ( ) 10

( ) ( 2) 32

( ) ( 4) 34

( ) ( 6) 16

ESC

ESC

ESC

ESC

A Y s ss

B Y s ss

C Y s ss

D Y s ss

= ==

= + = −= −

= + == −

= + = −= −

Así 1 3 3 1

( )( 2) ( 4) ( 6)ESCY s

s s s s= − + −

+ + +

De esta manera, la respuesta escalón es: 2 4 6( ) 1 3 3 , 0t t t

ESCy t e e e para t− − −= − + − ≥ ahora es necesario determinar el punto de inflexión mediante el criterio de la segunda derivada, esto es:

2 4 6( )6 12 6t t tESCdy te e e

dt− − −= − +

22 4 6

2

( )12 48 36t t tESCdy t

e e edt

− − −= − + −

esta segunda derivada se tiene que igualar a cero, esto, es: 2 4 612 48 36 0t t te e e− − −− + − =

haciendo 2tz e−= , entonces la ecuación anterior se puede escribir como:

2 312 48 36 0z z z− + − = o bien:

2(3 4 1) 0z z z− + = cuyas raíces son:

1

2

3

0

1

1/ 3

z

z

z

===

Para z1 la variable t → ∞ donde se tiene un punto de inflexión Para z2 la variable 0t → donde se tiene un punto de inflexión Para z3 la variable 0.5493t = donde se tiene un punto de inflexión que es el de nuestro interés.

Así el punto de inflexión es: ( , ) (0.5493,0.2963)PI PIPto Inf t y= =

y los parámetros de sintonización son: 0.8888 0.2159m mR y T= =

Y los valores finales son:

Tipo de controlador cK iT dT

P 5.2107 - -

PI 4.6896 1.0795 -

PID 6.2529 0.7196 0.1727