Post on 30-Jun-2015
ConvoluciónConvolución
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Respuesta a ImpulsoRespuesta a Impulso
Cualquier señal puede ser Cualquier señal puede ser descompuesta en impulsosdescompuesta en impulsos
Un impulso es una señal compuesta Un impulso es una señal compuesta de ceros excepto en un punto en que de ceros excepto en un punto en que tiene un valor no cerotiene un valor no cero
Un impulso normalizado o impulso Un impulso normalizado o impulso unitario tiene el valor de uno en la unitario tiene el valor de uno en la muestra 0, se representa con muestra 0, se representa con [n]. [n].
Respuesta a ImpulsoRespuesta a Impulso
La respuesta a impulso es como un La respuesta a impulso es como un sistema responde su entrada es sistema responde su entrada es alimentada con un impulso unitarioalimentada con un impulso unitario
SistemaLineal
ImpulsoUnitario
RespuestaImpulso
Respuesta a ImpulsoRespuesta a Impulso
Si dos sistemas son diferentes de Si dos sistemas son diferentes de alguna manera, tendrán diferente alguna manera, tendrán diferente respuesta a impulsorespuesta a impulso
La respuesta impulso se representa La respuesta impulso se representa con h[n]con h[n]
Respuesta a ImpulsoRespuesta a Impulso
Cualquier impulso puede ser Cualquier impulso puede ser representado por un impulso unitario representado por un impulso unitario desplazado y escaladodesplazado y escalado
44[n-5] es un impulso cuya muestra [n-5] es un impulso cuya muestra número 5 tiene un valor de 4 y el número 5 tiene un valor de 4 y el resto de muestras valen 0resto de muestras valen 0
Respuesta a ImpulsoRespuesta a Impulso
Si sabemos que la respuesta a Si sabemos que la respuesta a impulso de un sistema lineal es h[n], impulso de un sistema lineal es h[n], ¿cual será la salida si la entrada es ¿cual será la salida si la entrada es bb[n-a]?[n-a]?
¿Porqué?¿Porqué?
Respuesta a ImpulsoRespuesta a Impulso
La salida sería bh[n-a]La salida sería bh[n-a] Porque aplicamos las propiedades de Porque aplicamos las propiedades de
homogeneidad e invariabilidad en el homogeneidad e invariabilidad en el tiempo tiempo
b[n-a] bh[n-a]
ConvoluciónConvolución
• Si una función puede ser descompuesta en Si una función puede ser descompuesta en impulsos, impulsos,
• Si la respuesta a cualquier impulso es la Si la respuesta a cualquier impulso es la respuesta al impulso unitario desplazada y respuesta al impulso unitario desplazada y escalada yescalada y
• Si la sumando las componentes de salida Si la sumando las componentes de salida puedo obtener la salida totalpuedo obtener la salida total
Entonces si conocemos la respuesta a Entonces si conocemos la respuesta a impulso... ¡¡¡Lo conocemos todo sobre el impulso... ¡¡¡Lo conocemos todo sobre el sistema!!!sistema!!!
Porque podemos saber la repuesta del Porque podemos saber la repuesta del sistema a cualquier señalsistema a cualquier señal
ConvoluciónConvolución
Es una operación matemática en la Es una operación matemática en la cual tomamos dos señales y cual tomamos dos señales y producimos una terceraproducimos una tercera
De la misma manera que en De la misma manera que en multiplicación tomamos dos número multiplicación tomamos dos número y producimos un terceroy producimos un tercero
ConvoluciónConvolución
En sistemas lineales, la convolución En sistemas lineales, la convolución brinda una manera de relacionar 3 brinda una manera de relacionar 3 señales: la señal de entrada, la señales: la señal de entrada, la respuesta a impulso y la señal de respuesta a impulso y la señal de salidasalida
La señal de entrada convolucionada La señal de entrada convolucionada con la respuesta a impulso es igual a con la respuesta a impulso es igual a la señal de salidala señal de salida
La convolución se representa con *La convolución se representa con *
ConvoluciónConvolución
ConvoluciónConvolución
ConvoluciónConvolución
ConvoluciónConvolución
Ahora que sabemos que representa Ahora que sabemos que representa la convolución en sistemas lineales la convolución en sistemas lineales vamos a ver como se calculavamos a ver como se calcula
Hay dos formas de verlo, desde la Hay dos formas de verlo, desde la entrada o desde la salidaentrada o desde la salida
El primero nos permite ver de una El primero nos permite ver de una manera conceptual la convolución, el manera conceptual la convolución, el otro es la definición matemáticaotro es la definición matemática
Algoritmo desde la EntradaAlgoritmo desde la Entrada
Usamos el mismo concepto de Usamos el mismo concepto de descomposición en impulsosdescomposición en impulsos
Tomamos cada muestra y la vamos Tomamos cada muestra y la vamos pasando por el sistemapasando por el sistema
Al final sumamos todas las salidasAl final sumamos todas las salidas Asi obtenemos la salida total, o sea Asi obtenemos la salida total, o sea
la covolución de la entrada con la la covolución de la entrada con la respuesta a impulsorespuesta a impulso
Algoritmo desde la EntradaAlgoritmo desde la Entrada
Algoritmo desde la EntradaAlgoritmo desde la Entrada
Se puede pensar como que cada Se puede pensar como que cada punto en la entrada contribuye a punto en la entrada contribuye a varios puntos en la salidavarios puntos en la salida
Siempre vamos a tener N + M Siempre vamos a tener N + M muestras en la salidamuestras en la salida
Algoritmo desde la SalidaAlgoritmo desde la Salida
En el anterior punto de vista, vemos como En el anterior punto de vista, vemos como una muestra en la entrada contribuye a la una muestra en la entrada contribuye a la salidasalida
Ahora veremos lo contrario, veremos Ahora veremos lo contrario, veremos como cada muestra en la salida es como cada muestra en la salida es influenciada por varias muestras en la influenciada por varias muestras en la entradaentrada
Hacemos esto porque matemática y Hacemos esto porque matemática y computacionalmente es la forma computacionalmente es la forma tradicional de resolver problemastradicional de resolver problemas
Algoritmo desde la SalidaAlgoritmo desde la Salida
Viendo el ejemplo anterior para Viendo el ejemplo anterior para saber cuanto vale y[6] tenemos que saber cuanto vale y[6] tenemos que ver muestras en la entrada producen ver muestras en la entrada producen valores no cero en y[6]valores no cero en y[6]
y[6]=x[3]h[3]+x[4]h[2]+x[5]h[1]+x[y[6]=x[3]h[3]+x[4]h[2]+x[5]h[1]+x[6]h[0]6]h[0]
Para verlo mejor usaremos la Para verlo mejor usaremos la “máquina de convolución”“máquina de convolución”
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Algoritmo desde la SalidaAlgoritmo desde la Salida
Vemos que para los extremos Vemos que para los extremos tenemos que rellenar la señal de tenemos que rellenar la señal de entrada con 0sentrada con 0s
Los puntos iniciales y finales Los puntos iniciales y finales contienen menos información que los contienen menos información que los puntos intermediospuntos intermedios
Se dice que la respuesta a impulso Se dice que la respuesta a impulso no esta totalmente inmersa en la no esta totalmente inmersa en la señal de entradaseñal de entrada
Algoritmo desde la SalidaAlgoritmo desde la Salida
Es por eso que en una señal Es por eso que en una señal convolucionada generalmente convolucionada generalmente descartamos el primer y último descartamos el primer y último pedazopedazo
Definición MatemáticaDefinición Matemática
Si transladamos a una fórmula el Si transladamos a una fórmula el funcionamiento de la “maquina” funcionamiento de la “maquina” tenemostenemos
1
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jixjhiy
Definición MatemáticaDefinición Matemática
Esta sumatoria se conoce como Esta sumatoria se conoce como suma de convolución o simplemente suma de convolución o simplemente como convolucióncomo convolución
Cada punto en la salida puede ser Cada punto en la salida puede ser calculado independientementecalculado independientemente
Definición MatemáticaDefinición Matemática
En pocas palabras podemos decir En pocas palabras podemos decir que convolución en el ambito digital que convolución en el ambito digital es multiplicar cada muestra de la es multiplicar cada muestra de la primera señal por toda la segunda primera señal por toda la segunda señal y luego sumar todos esos señal y luego sumar todos esos resultados resultados
1
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Definición MatemáticaDefinición Matemática
En el ambito continuo seguimos el En el ambito continuo seguimos el mismo razonamiento. Multiplicamos mismo razonamiento. Multiplicamos cada punto de una primera señal por cada punto de una primera señal por toda la segunda señal y luego toda la segunda señal y luego sumamos.sumamos.
En continuo cuando queremos sumar En continuo cuando queremos sumar todos los puntos usamos una integraltodos los puntos usamos una integral
Definición MatemáticaDefinición Matemática
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Definición MatemáticaDefinición Matemática