Post on 01-Jul-2015
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Prof. Luis. E. Camacho
PROLOGO
Lf 03220035101806X
1
Prologo
El cuaderno de ejercicios que utilizarán los alumnos de 4º Año de Media General, refleja en forma sencilla ypráctica los
objetivos básicos del programa de Matemática .
Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un instrumento de desarrollo que,
mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de aprendizaje dentro y fuera del aula.
Los Teques, Enero del 2005
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Contenido
.- Vector en el plano........................................................................................................................................3,4,5,6,7,8
.- Rotaciones, sistema sexagésima, Funciones trigonométricas en el círculo trigonométrico.....................................9
.- Triángulos rectángulos, ángulos notables..............................................................................................................10
.- Razones trigonométricas.........................................................................................................................................11
.- Identidades trigonométricas........................….........................................................................................................12
.- Suma y diferencia de ángulos..................................................................................................................................13
.- Ángulos dobles y medios.......................................................................................................................…...............14
.- Simplificar Identidades trigonométricas.........................................................................................................….....15
.- Ley del seno y Ley del Coseno.......................................................................................................................…......16
.- Funciones directas e inversas.........................................................................................................................…......17
.- Sistema de coordenadas, función real.............................................................................................................….....18
.- Funciones continuas y discontinuas............................................................................................................….........19
.- Función exponencial ......................................................................................................................................….....20
.- Función Logaritmo .......................................................................................................................................…..21,22
.- Ecuaciones Exponenciales...........................................................................................................................….........23
.- Números complejos..........................................................................................................................….....24,25,26,27
.- Sucesión en R................................................................................................…………………………….....28,29,30,31
3
Vectores4) Hallar el componente de los siguientes vectores:
a = (3,7) b = (2,-4)
2) Hallar el componente de los siguientes vectores:
a = (1,-2) b = (3,-3)
3) Hallar el componente de los siguientes vectores:
a = (4,-8) b = (1,-2)
4) Hallar el componente de los siguientes vectores:
a = (3,7) b = (2,-4)
4
Vectores5) Resuelve la siguiente suma de vectores:
a = (2,4) b = (-3,-7)
6) Resuelve la siguiente suma de vectores:
a = (5,7) b = (-6,-4)
7) Aplica la Identidad conmutativa en los vectores:
a = (3,-9) b = (4,7)
8) Aplica la Identidad asociativa en los vectores:
a = (-4,8) b = (3,6) c = (-1,5)
5
Vectores9) Aplica el elemento neutro en el vector:
a = (3,6)
10) Hallar el vector opuesto en el vector:
a = (5,7)
11) Hallar la sustracción de los vectores:
a = (7,9) b = (-5,-8)
12) Hallar la sustracción de los vectores:
a = (2,-4) b = (-1,5)
6
Vectores4) Hallar el producto en el vector:
a = (-4,7) . Haler: 2 . a
14) Hallar el producto en el vector:
b = (-4,-6) . Haler : -5 . b
15) Hallar el producto en el vector:
c = (2/3,-4) . Haler : 3 . c
16) Hallar el producto en el vector:
d = (-5,0) . Haler : -6 . d
7
Vectores
17) Resuelve los siguientes ejercicios aplicando las fórmulas de
vectores:
a . b = 32
/ a / = 6
/ b / = 7
α = x
18) Resuelve los siguientes ejercicios aplicando las fórmulas de
vectores:
3) a . b = x 4) a . b = x
/ a / = 4 / a / = 9
/ b / = 7 / b / = 3
α = 45° α = 30°
19) Resuelve los siguientes ejercicios aplicando las fórmulas de
vectores:
a . b = x
/ a / = 9
/ b / = 3
α = 30°
20) Con los siguientes puntos, hallar los componentes, módulos y
representación gráfica:
a(4,3) , b(-3,6) , c(2,-5)
8
Vectores
21) Con los siguientes puntos, hallar los componentes, módulos y
representación gráfica: a(3-6) , b(-4,-2) , c(4,2)
22) Hallar el modulo de los vectores siguientes:
a = ( 3/√13,2/√13
23) Hallar el modulo del vector siguiente:
a = (3,9)
24) Hallar el modulo del vector siguiente:
a = (√15,1)
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Circulo Trigonométrico
1.- Transformar a radianes 26° 2.- Transformar a radianes 32° 3.- Transformar a radianes 45°
4) Hallar las funciones trigonométricas de
150°
5) Hallar las funciones trigonométricas de
45°
6) Hallar las funciones trigonométricas de
60°
7) Transformar a grados 0,3452 π 8) Transformar a grados 0,5678 π 9) Transformar a grados 0,1238 π
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Triángulos Rectángulos. Ángulos Notables
4) En el triángulo rectángulo de la figura, calcular los lados
AC
y BC
B 50 cm
40° 20´ A C
2) Resuelve el siguiente triángulo:
a) B
40 cm Haler: BC y AC
38° 2’ C A
4) Resuelve el siguiente triángulo:
b) B Haler: BC y AC
36 cm
30° 15’ C A
4) Resuelve el siguiente triángulo
B allar: AB y AC
30 cm Aplica : Cotg y Csc
40° 26’ A C
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Razones Trigonométricas4) En el siguiente triángulo hallar los valores de las seis
razones trigonométricas de los ángulos indicados en ellos:
Z4
α
5
4) En el siguiente triángulo hallar los valores de las seisrazones
trigonométricas de los ángulos indicados en ellos:
Z β √3
√5
4) En el siguiente triángulo hallar los valores de las seisrazones
trigonométricas de los ángulos indicados en ellos:
1
α
y√7
4) En el siguiente triángulo hallar los valores de las seisrazones
trigonométricas de los ángulos indicados en ellos:
x
α
10 12
12
Identidades Trigonométricas
1)Demostrar que :Cos2 = (1 + Sen x) . (1 – Sen x) 2) Demostrar que Cos4x – Sen4x = Cos2A 3) Demostrar que Cosx . Tgx = Sen
4) Demostrar que Senx + Cosx = 1 Cscx Secx
5) Demostrar que Tgx = Secx Senx
6) Demostrar que Tgx . Cosx . Cscx = 1
7) Demostrar que Senx . Secx = Tgx 8) Demostrar que Cscx = Cosx Tgx + Ctgx
9) Demostrar que Senx + Cotgx = Senx . Cotgx Tgx + Cscx
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Suma y diferencia de ángulos
1) Dado SenA = 3/5 (A en el II cuadrante),
calcular Sen(30°+A)
2) Dado SenA = 3/5 y CosB = 5/6 ; Calcular
Cos(A-B), sabiendo que A y B son agudos .
3) Dado TgA = ¾ . Hallar Sen(A+B).
4) Dado CosA = 1/2 (A en el I cuadrante).Hallar : Tg(A-60°)
5) Dado SenA = 2/3 y CosB = ¾ ; Calcular
Cos(A + B), sabiendo que A y B son agudos.
6) Dado SenA = 2/4 (A en el II cuadrante),
calcular Sen(45°+ A)
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Ángulos Dobles y Medios
1) Dadas la siguiente función, hallar susángulos dobles:Dado SenA = 4/5. CalcularTg 2A.
2) Dadas la siguiente función, hallar susángulos dobles:Dado SenA = 3/5 y CosA = ½. Hallar Sen2A.
3) Dadas la siguiente función, hallar susángulos dobles:Dado CosA = 2/3 y SenA = 2/4. Hallar Cos2A.
4) Resuelve los siguientes ejercicios:Dado SenA/2 = 1/3 . Calcular Cos A/2 yTgA/2
5) Dado TgA/2 = √3 . Calcular SenA,CosA y TgA.
6) Dado Sen2A = ½ . Calcular SenA.
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Simplificar Expresiones Trigonométricas
1) Simplificar la expresión Cos arc sen 7/8 2) Simplificar la expresión Ctg arc cos 1/2
3) Simplificar la expresión Sen arc cos √3/2 4) Simplificar la expresión Cos arc sen √3/2
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Ley del Seno y Coseno
1) En el triángulo se cumple:a = 10mb = 5 √2 mα B = 30°Hallar: α A
2) Resuelve aplicando la ley del Seno: a = 20 mb = 50 mα = 68° 20’Calcular αB y αC
3) Resuelve aplicando la ley del Seno: a = 34 m b = 25 m αB = 23°56’ Hallar SenA
4) Hallar el producto a . b, dónde : / a /= 4 ; / b / = 5 , dirección inclinada 60°con la horizontal y sentido ascendentehacia la derecha
5) Dado a . b = 20, dónde / a / = 5 y / b / = 8. Calcular el ángulo queforman los vectores.
6) Calcular a . b = 45°, sabiendo que c .
d = 90° ; / a / = 5 / b / = 6 ; / d / = 4
; / c / = 5
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Ecuaciones Trigonométricas Inversas:
1) Resolver Cos x = 1/2 ; 0 < x < 90° 2) Resolver Sen x = 1/2
150° 30°
3) Resolver Cos x = √2/2 0° < x < 90° 4) Resolver Sen x = √3/2 0° < x < 90°
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Funciones Reales
1) Representa la siguiente función real:
f(x) = 3x –1 donde x = {-2,-1,0,1,2}
x
y
2) Representa la siguiente función real:
f(x) = x2+ 3 donde x = {-2,-1,0,1,2}
x
y
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El Dominio en Funciones Continuas y Discontinuas
1) Determinar el dominio f(x) = 2 x + 1
2) Determinar el dominio f(x) = √ x + 3
3) f(x) = 4x - 2 3x – 6
20
Función Exponencial
x
1) f(x) = 2x donde x =1,2,3,4
y
x
2) f(x) = (1/2)x donde x = 2,1,0,1
y
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Función Logaritmo
1) 25 = 52 2) 1000 = 103 3) 27 = 33
4) Hallar lgax en x = ab2
c35) lgax en x = n3. m2. p5
m6) lgax en = x2 . y4 + √m3
m
7) lgax en x =√p . (r3 . p4)2 8) ) lgax en x = (m2 . n4) + p2. n3 9) lgax en x = {r3.p7+(s2.r6)2}
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Función Logaritmo10) Aplica antilogaritmo
lgx = lgA - lgB
11) Aplica antilogaritmo
lgx = lg4 + lgc – 2lgb
12) Aplica antilogaritmo
lgx = 3lga + 4lgc - 5lgp 5
13) Calcular el cologaritmo del logaritmo
4,252
14) Calcular el cologaritmo del logaritmo
3,263
15) Calcular el cologaritmo del logaritmo
2,8603
16) Resolver la ecuación exponencial
5x+3 = 7x-1
17) ) Resolver la ecuación exponencial
3x-2 = 52x+1
18) ) Resolver la ecuación exponencial
2x-5 = 0,003
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Ecuaciones Exponenciales
1) Resolver la ecuación 3x-5 = 27 2) Resolver la ecuación 5x = 125
3) Resolver la ecuación 6x = 36 4) 0,32x-8 = 0,0081
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Números Complejos1) Representa los números complejos Z1 =(4,3) ; Z2= (-2,4) ;
Z3 = (3,-2) y
x
2) Representa los números complejos Z1 =(2,-3) ; Z2= (-1,2) ;
Z3 = (-3,-2) y
x
3) Suma de Números Complejos:
Dados Z1 = (3,4) ; Z2 = (-4,1)
4) ) Suma de Números Complejos:
Dados Z1 = (4,-4) ; Z2 = (-3,9)
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Números Complejos
5) Resta de Números Complejos:
Dados Z1 = (4,0) ; Z2 = (-1,3)
6) Resta de Números Complejos:
Dados Z1 = (2,-4) ; Z2 = (-2,7)
7) Hallar el producto de los N° complejos Z1 = (4,2) ;
Z2 = (-3,1)
8) Hallar el producto de los N° complejos Z1 = (1,3) ;
Z2 = (-2,6)
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Números Complejos9) División de Números Complejos:
Dados Z1 = (2,4) ; Z2 = (1,0) . Hallar Z1 : Z2
10) División de Números Complejos:
Dados Z1 = (3,-6) ; Z2 = (5,3) . Hallar Z1 : Z2
11) Números Complejos en forma binómica:
(3 + 4i) – (8 +6i) – (5 + 4i)
12) Números Complejos en forma binómica:
(7 – 6i) + (3 – 6i) + (2 – 7i)
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Números Complejos
13)Transformación de un N° complejo a forma polar o
trigonométrica:
Dado el N° complejo Z = 3 + 3i
14) Transformación de un N° complejo a forma polar o
trigonométrica:
Dado el N° complejo Z = 4 + 2i
15) Transformación de un número complejo en formatrigonométrica a forma binómica.
Z = 1/3 Cis 150°
16) ) Transformación de un número complejo en formatrigonométrica a forma binómica.
Z = 2 Cis 300°
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Sucesión en R:
1) Calcular la siguiente sucesión: fn = 3n – 1 2) Calcular la siguiente sucesión: fn = n + 4
3) Calcular la siguiente sucesión: fn = 3n + 2 n
4) Calcular el tercer término de una P. A de razón 5 que empieza
en 4.
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Sucesión en R:
5) Calcular el N° de términos de una P. A que empieza en 7,
termina en 23 y la razón es 2.
6) Calcular la razón de una P. A que empieza en 10, termina en
25 y tiene 16 términos.
7) Calcular el quinto término de una P .G de razón 6 que empiezaen 3.
8)Calcular la razón de una P .G de seis términos que empieza en
5 termina en 56.
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Sucesión en R:
9) Interpolar 5 medios aritméticos entre los números 4 y 25. 10) Interpolar 3 medios diferenciales entre 1/3 y -2/5.
11) Interpolar 3 medios geométricos entre 5 y 54. 12) Interpolar 7 medios proporcionales entre 2 y 18.
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Sucesión en R:
13) Interpolar 4 medios geométricos entre 8 y 40. 14) Calcular el término central de una P .G que empieza en 4 y
termina en 12.
15) Calcular la suma de los 10 primeros términos de una P . A
que empieza en ½ y termina en 2/5.
16) Calcular el N° de términos de una P. A que empieza en 4 ,
termina en 100 y la suma vale 520.
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