Post on 13-Apr-2015
ANALISIS III
POR DARWIN CUBI
INTEGRALES TRIPLES (EJERCICIOS)
1. Calcular´ ´ ´
S
[(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2
]− 12
dxdydz S es una esfera deradio R y centro en el origen y (a, b, c)punto fijo en el exterior de la esfera.
Solución´ ´ ´S
[(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2
]− 12
dxdydz =´ ´ ´
S
(dxdydz√
(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2
)
Podemos darnos cuenta que la funcion a integrar es la distancia del puntofijo a cualquier punto en la esfera. Basandonos en esto, para facilidad decalculo en la integral podemos colocar al punto fijo en uno de los ejes (x óy ó z) de tal manera que dos de sus coordenadas son 0 y su tercera coor-denada la llamaremos d, en este caso colocaremos al punto fijo en el eje z,quedandonos las coordenas del punto fijo asi (0, 0, d), tambien aplicaremosel cambio a coordenadas esfericas.
1
ANALISIS III 2
0 ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ ϕ ≤ π
Entonces la integral nos queda asi
´ ´ ´S
(dxdydz√
x2+y2+(z−d)2
)=´ ´ ´
S
(dxdydz√
x2+y2+z2−2zd+d2
)=´ R0
´ π0
´ 2π0
ρ2 sinϕdθdϕdρ√ρ2+d2−2dρ cosϕ
=
2π´ R0
´ π0
ρ2 sinϕdϕdρ√ρ2+d2−2dρ cosϕ
Aqui aplicamos el siguiente cambio de variableu = ρ2 + d2 − 2dρ cosϕdu = 2dρ sinϕEl cambio de limite es:θ = 0⇒ u = ρ2 + d2 − 2dρθ = π ⇒ u = ρ2 + d2 + 2dρEntonces la integral queda así:
2π´ R0
ρ2d
´ (ρ+d)2(d−ρ)2
dudρ√u
= 2π´ R0
ρ2d2u
12 |(ρ+d)
2
(d−ρ)2 dρ = 2π´ R0
2ρ2dρd
=
4πd
´ R0ρ2dρ = 4π
d(ρ
3
3) |Ro = 4πR3
3d
2. Calcular´ ´ ´
B
(e(x
2+y2+z2)32dxdydz
)donde B es una bola unitaria
Solución
Hacemos el cambio a coordenadas esfericas:
´ ´ ´B
(e(x
2+y2+z2)32
dxdydz
)=´ 10
´ 2π0
´ π0
(e(ρ
2)32
ρ2 sinϕdϕdθdρ
)=
=´ 1
0
´ 2π0
(e(ρ
2)32
ρ2.− cosϕ |π0 dθdρ)
= 2´ 10
´ 2π0
(e(ρ
2)32
ρ2dθdρ
)= 2´ 10
(eρ
3ρ2θ |2π0 dρ
)= 4π
´ 10eρ
3ρ2dρ = 4π
3(e− 1)