Post on 05-Mar-2015
48
Berreketak
eta erroketak2
BALIOKIDEAK
BIDERKETA
ETA ZATIKETA
BERREKETAK
ETA ERROKETAK
BATUKETA
ETA KENKETA
ANTZEKOAK
BERRETZAILE OSOKO
BERREKETAK
ERAGIKETAK
ERROKETEKIN
IDAZKERA ZIENTIFIKOA
ERROKETAK
IZENDATZAILEA
ERROTZAILEAREKIN
IZENDATZAILEA BIONOMIO
ERROTZAILEAREKIN
ARRAZIONALIZAZIOA
Balioaren froga
Ez ziren garai onak jende arruntarentzat. Italiako hiri estatuak azpikeriatan, traiziotan eta gerra gogorretan murgilduta zeuden; ez ziren salbatzen ezta Pontifize Estatuak ere.
Hiri haietako batean, Brescian, Nicolo Fontana berezauriaren istorioa azaltzen hasi zen. Zauria, masailezurrean zehar zuen orbain itsusia zen.
–Duela bi urte izan zen, 1512. urtean. Hiria erori zen eta kontrola galdutako soldadu-taldeak leku guztietatikzeuden, nahi zutena egiten.
–Ama aurretik nuen korrika egiten elizarako bidean. –Kontaketa eten egin zen txikienei aholkatzen zien bitartean–. Ez ahaztu inoiz: Arriskurik baduzue lekuziur bakarra eliza da!
Behartutako etenaren ondoren, Nicolok bere eszena dramatikoa azaltzen jarraitu zuen.
–Bat-batean amak estropezu egin zuen eta soldadu bat harengana hurbildu zen ezpata astinduz. Bazirudien ezbeharra saihestezina zela. Une horretan, zalantzarik egin gabe, haren gainera joan nintzen ama babesteko eta lurretik pirritan ibili ginen. –Nicolok keinuak egiten zituen irudizko etsaiarekin borrokatzen ari izango balitz bezala–. Baina ni baino indartsuagoa zen, nigandik askatu eta ezpata-kolpe batez hemen ikusten duzuen moduan aurpegia ebaki zidan. Zauria osatzeko denbora behar izan nuen eta hitz-motel utzi ninduen, baina ez zait damutzen.
Nicolo Fontana mutikoari Tartaglia ezizena jarri zioten eta XVI. mendeko matematikaririk garrantzitsuenetakoa bihurtu zen.
Tartagliak ekuazio kubo baten emaitza aurkitu zuen errotzailen bideez. Eztabaidatu errotzaile hauen zenbaki-
balioa a-ren balioen arabera: eta .aa3
a < 0 denean:
ez dago.
balio bakarra du.
a = 0 denean:
a > 0 denean:
bi balio ditu, aurkakoak direnak.
balio bakarra du.a3
a
a a= =3
0
a3
a
ARIKETAK
Sinplifikatu eta kalkulatu.
a) z ⋅ z ⋅ ... ⋅ z b) x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x c) (−3)−2 d) −3−2
60 aldiz 150 aldiz
a) z 60 b) x150 c) d)
Idatzi zenbakien alderantzizkoak, berretzaile osoko berreketa gisa.
a) 2 b) −3 c) 22 d) −2−2
a) b) c) d) −22
Adierazi zatiki hauek berretzaile osoko berreketa gisa.
a) b) c)
a)
b)
c)
Adierazi zer balio dituen (−1)n adierazpenak n-ren balio positibo eta
negatiboetarako. Horretarako, hasi balio txikiak ematen eta ondorioztatu arau
orokorra.
n positiboa edo negatiboa den kontuan hartu gabe, (−1)n =
Aplikatu berreketen propietateak, eta adierazi emaitza berretzaile positiboko
berreketa gisa.
a) 8−3 ⋅ 8−6 c) (8 ⋅ 4)−4 e)
b) d) f) (24−21)2
Adierazi zer propietate erabili duzun, kasu bakoitzean.
a) d)
b) (5−8−(−2))−2 = (5−6)−2 = 512 e)
c) f) 241
24
42
42
− =( ) ( )2 2 2 21
2
3 2 4 5 4 20
20⋅ = = =− − −
−2
5
72
15
24
5
3 3
=
81
8
9
9
− =
15
72
3
−5
5
8
2
2−
−
−
−
−5
2
1
005
1 n bikoitia bada
−1 n bakoitia bada
004
2 7
52 7 5
3
3
3 1 3⋅= ⋅ ⋅ −
2 11
11
2
112 11
2
1 1⋅= = ⋅ −
3 5
23 5 2
2 2
6
2 2 6⋅= ⋅ ⋅ −
−56
125
22
121
225
64
003
1
22−
1
3
1
2
002
−1
32
1
32
1424314243
001
50
Berreketak eta erroketak
51
2
Kalkulatu:
a) (x 5 y−2) : (x 6 y−1) b) (6x 4 y 2) : (3x 2 y−2)
a)
b) 2x 4−2y 2−(−2) = 2x 2y 4
Sinplifikatu eta adierazi emaitza berreketa gisa.
a) c) 92 ⋅ 3−2 ⋅ 27
b) d)
a) 57−(−14) ⋅ 33−(−3) ⋅ (2 ⋅ 3)−4−(−2) = 521 ⋅ 36 ⋅ 2−2 ⋅ 3−2 = 521 ⋅ 34 ⋅ 2−2 =
=
b)
c) 34 ⋅ 3−2 ⋅ 33 = 35
d)
Adierazi idazkera zientifikoan.
a) 9.340.000 g) 0,0089
b) 0,000125 h) 137
c) 789.200 i) 1 hamar milaren
d) 1 bilioi j) 5 ehunen
e) Hamarreko erdia k) 9 milaren
f) 4 l) 6 trilioi
a) 9,34 ⋅ 106 g) 8,9 ⋅ 10−3
b) 1,25 ⋅ 10−4 h) 1,37 ⋅ 102
c) 7,892 ⋅ 105 i) 1 ⋅ 10−4
d) 1 ⋅ 106 j) 5 ⋅ 10−2
e) 5 ⋅ 100 k) 9 ⋅ 10−3
f) 4 l) 6 ⋅ 1018
Beheko zenbakiak ez daude behar bezala adierazita idazkera zientifikoan.
Zuzendu.
a) 0,7 ⋅ 106 b) 11,2 ⋅ 10−3
a) 7 ⋅ 105 b) 1,12 ⋅ 10−2
009
008
1
55 5
6
2 8
−⋅ =
23
2
1
2 3
3
2
3
22 3 2
3
6
2
10⋅ ⋅
⋅⋅ =
5 3
2
21 4
2
⋅
1
525
32
⋅
–
23
4
2
3
3
8
3
2
2
⋅ ⋅ ⋅
–
5 3 6
6 3 5
7 3 4
2 3 14
⋅ ⋅
⋅ ⋅− −
–
–
007
x y x yxy
5 6 2 1 1 1 1− − − −( ) − −= =
006
ERANTZUNAK
52
Kalkulatu.
a) 2,3 ⋅ 104+ 5 ⋅ 103 b) (5 ⋅ 10−2) ⋅ (3,1 ⋅ 10−4)
a) 2,8 ⋅ 104= 28.000
b) 1,55 ⋅ 10−5= 0,0000155
Egin eragiketak eta adierazi emaitza idazkera zientifikoan.
a) 9,34 ⋅ 104+ 7,6 ⋅ 102 e) (5,2 ⋅ 10−4) ⋅ (8 ⋅ 10−5)
b) 7,8 ⋅ 10−3+ 8 ⋅ 10−5 f) (4 ⋅ 10−6) : (2 ⋅ 10−8)
c) 3 ⋅ 10−7− 7 ⋅ 10−4 g) (7 ⋅ 104) : (1,4 ⋅ 105)
d) (9 ⋅ 104) ⋅ (8,5 ⋅ 102) h) (4 ⋅ 105) ⋅ (2 ⋅ 103) : (8 ⋅ 10−2)
a) 9,416 ⋅ 104 e) 4,16 ⋅ 10−8
b) 7,88 ⋅ 10−3 f) 2 ⋅ 102
c) 6,997 ⋅ 10−4 g) 5 ⋅ 10−1
d) 7,65 ⋅ 107 h) 1 ⋅ 1010
Mikroorganismo bat 3,5 mikra luze da. Jakinik 1 mikra metro baten milioiren
bat dela, adierazi, metrotan eta idazkera zientifikoan,
ilaran jarritako 4 milioi mikroorganismoren luzera.
(4 ⋅ 106) ⋅ (3,5 ⋅ 10−6) = 1,4 ⋅ 101= 14 metro
Egin, kalkulagailua erabiliz eta erabili gabe, batuketa hau:
9,23 ⋅ 1099+ 1,78 ⋅ 1099. Zer alde hauteman duzu batuketa egiteko bi moduen
artean?
Kalkulagailuak berretzailean bi zifra baino ez baditu onartzen, ez da gai izango
egiteko eta errorea adieraziko du.
Eskuz egiten bada, emaitza 1,101 ⋅ 10100 da.
Adierazi berreketak erroketa gisa.
a) 163= 4.096 c) (−2)5
= −32
b) 43= 64 d) (−2)8
= 256
a) c)
b) d)
Kalkulatu erroketen zenbakizko balioa, baldin badute.
a) b) c) d)
a) 2 eta −2 c) Ez dago
b) −2 d) 3
2435−1004
−83164
015
− =2 25684 643=
− = −2 32516 4 0963= .
014
013
012
011
010
Berreketak eta erroketak
53
2
Kalkulatu adierazpen hauen zenbakizko balioa kalkulagailua erabiliz.
a) b) c)
a) 1 + 2,4494897 = 3,4494897
b) 1,7187719 − 7 = −5,2812281
c) Ez dago
Eman 3 eta −3 erroak dituzten erroketen bi adibide. Ba al dago 3 eta −5 erroak
dituenetik?
Adibideak:
Errotzaile batek ezin ditu izan 3 eta −5 erroak errotzaile gisa, bi erro
izatekotan aurkakoak izan behar dutelako.
Idatzi berreketak erroketa gisa eta kalkulatu zenbakizko balioa.
a) c) e)
b) d) f)
a) d) ez dago.
b) e)
c) f)
Idatzi erroketa bakoitzaren bi erroketa baliokide.
a) b) c)
a) b) c)
Arrazoitu ea erroketa baliokideak diren.
a) eta c) eta
b) eta d) eta
a) → Baliokideak c) → Ez baliokideak
b) → Ez baliokideak d) → Baliokideak
Idatzi berreketa gisa.
a) b) c) d)
a) b) c) d) 4 8
2
3
2
3x x= ( )( )6
1
3xyx−
1
3x
1
3
4 23x63 xy
13
x
x3
021
4 2 2
1
4
2
4
1
2= =2 2
10
5
1
2Þ
5 5
10
4
4
2Þ3 3
6
4
3
2=
24422105
54510433364
020
5 52014 3021eta6 6610 915
eta3 348eta
5107635
324
019
( )− =6 45 4,1929627347= 1,8734440
434= 2,8284271− = −23 1,2599210
−765 11 180339893= ,
( )−6
4
5( )−71
6( )−2
1
3
4
3
43
4
75
3
2
018
9 814eta
017
( )− ⋅ −2 16415 75−1 6+
016
ERANTZUNAK
54
Alderatu erroketak.
eta
Sinplifikatu erroketak.
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
Sartu biderkagaiak erroketen barruan.
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
Sinplifikatu, ahal bada.
a) b)
a) b)
Egin eragiketak eta sinplifikatu.
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)2 7
3 2
2 7
3 22
7
2 3
5 25
2 24
25 4
5 5
10⋅
⋅=
⋅= ⋅
⋅
3 4 3 4312 412 3 412⋅ = ⋅
3
2
5
31 7
5
67
4 4− +
⋅ =
4 31
23
13
23
6 6+ −
⋅ =
1 568
36
5
4
.3
27
5
37 74 4 4
− +
3 44 3⋅4 3 3 3
1
236 6 6
+ −
026
2 2 2 2106 53 23= =6 6 654 4=
1 0246 .7 7764 .
025
2 5 16055 5⋅ =2 6 4833 3⋅ =
4 7 1 79244 4⋅ = .6 2 722 ⋅ =
2 554 742 636 2
024
b b5 56
3 32 34
a a6 57
5 52 25
b356
a477
31145125
023
2 2
3 3
5 5
5 2 3
1530
3 1030
5 630
5 3
=
=
=
< <→
552 33,
022
Berreketak eta erroketak
Kalkulatu.
a) b) c) d)
a)
b)
c)
d)
Egin eragiketa.
Transformatu zatikiak izendatzailean erroketarik ez duten zatiki baliokideetan.
a) b) c) d) e) f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Arrazionalizatu.
a) b)
a) b)7 6
6 6
7 6
6
4
34 4
4
⋅=
3
3
3 3
3 3
3 3
33
6
56
6 56
56
56=⋅
= =
7
634
3
33
030
5 2 3
3 3
5 6
3
⋅
⋅=
4
2
4
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
22
64= = =
⋅= =
2 2
2 2
2 2
22
45
5 45
45
45
⋅= =
2 2
2 2
2 2
22
⋅= =
3 3
3 3
3 3
3
3 3
33
35
25 35
5 610 10
10⋅
⋅=
⋅= =
5
5 5
5
5
23
3 23
23
⋅=
5 2
3
4
644
2
25
2
2
3
95
1
53
029
2 9 7 3 9 2 3 7 3 3 4 3 4 35 5
25
2
5
2
5
2
5
2
5 25− ( ) + = ⋅ − ⋅ + = − ⋅ = − = −−4 95
2 9 7 3 95 52
5− ( ) +
028
4 3 4 3 8 748775 735 35⋅ = ⋅ = .
( ) ( )2 11 11 2 11 11 2 11
1
5
1
3
3
15
5
15 3 815⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
2 7 32 7 7 224 75 54 4 4⋅ = ⋅ ⋅ =
3 3 3 3
2
3
2
5
16
15 1615⋅ = =
3 47522 115 3⋅2 74
5( )3 9
2
3 5⋅
027
55
2ERANTZUNAK
56
Ebatzi eta arrazionalizatu.
a) b)
a)
b)
Kalkulatu zenbaki hauen konjokatuak, eta biderkatu zenbaki bakoitza eta haren
konjokatua.
a) c)
b) d)
a) Konjokatua →
b) Konjokatua →
c) Konjokatua →
d) Konjokatua →
Arrazionalizatu adierazpen hauek.
a) b)
a)
b)− ⋅ −( )
+( ) ⋅ −( )=− ⋅ −( )3 4 3
4 3 4 3
3 4 3
13
− ⋅ +( )
−( ) ⋅ +( )=− ⋅ +( )3 4 3
4 3 4 3
3 4 3
13
−
+
3
4 3
−
−
3
4 3
033
33 11 33 11 33 11 22−( ) ⋅ +( ) = − =
33 11+
2
25
2
25
2
45
18
4−
⋅ +
= − =
−==−9
2
2
25+
5
62
5
62
5
62
7
6−
⋅ +
= − =−
5
62+
1 5 1 5 1 5 4+( ) ⋅ −( ) = − = −
1 5−
33 11−5
62−
2
25−1 5+
032
1 2 2
2 2
2 2
2
+( ) ⋅⋅
=+
2
5
2
5 5
5 2
5 5
2
5 5
8
5 5
8 5
5 5 5
8 5
25− =
⋅− = =
⋅=
1 2
2
+2
5
2
125−
031
Berreketak eta erroketak
57
2
Egin eragiketak eta arrazionalizatu emaitza, beharrezkoa bada.
a) b)
a)
b)
Kalkulatu zenbaki bakoitzaren alderantzizkoa.
a) b) c) d)
a)
b)
c)
d)
ARIKETAK
Kalkulatu berreketen emaitzak.
a) 2−3 c) 105 e) (−3)−4 g) (−12)−2 i) (−1)−3
b) 7−4 d) 8−2 f) (−2)−5 h) (−6)3
a) d) g)
b) e) h) −63 = −216
c) 100.000 f) i) −1
Kalkulatu zenbaki bakoitzaren alderantzizkoa.
a) 3 b) c) −3 d) 33 e) f) −3−3
a) b) −3 c) d) e) 3 f) −331
3
1
273=−
1
3
1
3
1
3−
1
3
037
l
1
2
1
325( )−= −
1
3
1
814( )−=
1
7
1
2 4014=
.
1
12
1
1442( )−=
1
8
1
642=
1
2
1
83=
036
l
1
100 555
100 555
100 555 100 555
100 555
+=
−
+( ) ⋅ −( )=
−
99 445.
1
100
10
100 10
10
103
3
3 3
3
=⋅
=
1
6 3
6 3
6 3 6 3
6 3
3+=
−
+( ) ⋅ −( )=
−
2
100 555+10036 3+1
2
035
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 2 2
1 23 2 2
+( ) ⋅ +( )
−( ) ⋅ +( )=
+ +
−= − −
2 2
3 2
9
3 2
13
3 2
13 2
3 2 2
13 2
6
⋅+ = =
⋅=
1 2
1 2
+
−
2
3
3
2+
034
ERANTZUNAK
58
Adierazi zatikiak zenbaki osoen berreketa gisa, berretzaile negatiboak erabiliz,
behar izanez gero.
a) c) e)
b) d) f)
a) 22 ⋅ 3 ⋅ 5−1 c) −3 ⋅ 4−1 e) −2 ⋅ 5−1
b) 11 ⋅ 13−1 ⋅ 5−1 d) −5 ⋅ 3−2 f) 3 ⋅ 5−1
Sinplifikatu eta adierazi berreketa bakar gisa.
a) 2−5 ⋅ 23 ⋅ 2−4 c) (−4)−4 : (−4)5 : (−4)−6
b) (−3)−6 : (−3)5 ⋅ (−3)−7 d) 7−2 ⋅ 7−3 : 7−5
a) 2−5+3−4 = 2−6 c) (−4)−4−5−(−6) = (−4)−3
b) (−3)−6−5−7 = (−3)−18 d) 7−2−3−(−5) = 70 = 1
Egin eragiketak eta adierazi emaitza berreketa bakar baten bidez.
a)
b)
c)
d)
a) c)
b) d)
Egin eragiketak.
a) 46 : 24 e) 2−3 : (−2−3)
b) (−3)4 ⋅ (−34) f) [(−5)3]2 ⋅ 5−4
c) (−26) : (−2−6) g) [(24 ⋅ 2−8)−1]−4
d) (−23)4 ⋅ (−24)−3 h) −(−23) : (−24)
a) 212 : 24 = 28 e) 2−3 : [(−1) ⋅ 2−3] = −1
b) (−3)8 f) (−5)6 ⋅ 5−4 = 56 ⋅ 5−4 = 52
c) −26 : (−2−6) = 26−(−6) = 212 g) [(2−4)−1]−4 = 2−16
d) (−1)4 ⋅ 212 ⋅ (−1)−3 ⋅ 2−12 = −1 h) −(−23) : [(−1) ⋅ 24] = −2−1
041
l
−
1
5
63
10
8
−
5
4
9
3
2
3
−
−
−
⋅−
− −
1
5
1
5
1
5
5 4
:
7
5
4
5
4
5
4
1 2
⋅
− −
:
8
3
10
3
10
3
10
3 5
⋅
− −
:
0
3
2
3
2
3
2
2 4
⋅
⋅
−
−5
040
l
039
l
−
−
33
55−
5
9
11
65
2
5−
−3
4
12
5
038
l
Berreketak eta erroketak
59
2
Egin eragiketak eta sinplifikatu emaitza.
a) (30−5 : 10−5)3 c) (90 : 9−3)2 e) (123 : 23)−4
b) (6−2 ⋅ 3−2)−1 d) (10−10 ⋅ 10−6)−2 f) (20−5 : 10−5)−3
a) (3−5)3 = 3−15 d) (10−16)−2 = 1032
b) (2−2)−1 = 22 e) (33 ⋅ 26 : 23)−4 = (33 ⋅ 23)−4 = 6−12
c) (93)2 = 96 f) (2−5)−3 = 215
Kalkulatu eta sinplifikatu emaitza.
a) c)
b) d)
a)
b) (3−8 ⋅ 28) ⋅ (2−3 ⋅ 3−3 ⋅ 23 ⋅ 53) = 28 ⋅ 3−11 ⋅ 53
c) [(−3)3 : 23] ⋅ (5−2 : 2−4) = (−3)3 ⋅ 21 ⋅ 5−2
d) [(−7)3 : 23] : [5−2 : (−2)−2] = (−7)3 ⋅ 2−5 ⋅ 52
Egin eragiketak eta sinplifikatu emaitza.
a) b)
a)
b)2
3
3
2
1
3
6
3
32
4
2
−
: :
= ⋅
−
−
2
12 32 3
2
5
5
2
5
2
4
2
23
6
3
2
⋅
−
:
=
49
18
5
2
64
27
9
16
6
18
3 2
−
: :
−216
25
125
32
10
8
2 3
⋅
−
:
4
045
ll
−
−
= − ⋅ −2
5
1
22 5
2 3
2 2: [( ) ] :: [( ) ] ( )− = − ⋅− −2 2 53 5 2
−
−
−7
2
5
2
3 2
:9
4
6
10
4 3
⋅
− −
−
⋅
−3
2
5
4
3 2−
−
2
5
4
8
2 3
:
044
ll
043
ll
042 EGIN HONELA
NOLA EBAZTEN DIRA ERAGIKETAK BERREKETEKIN OINARRIAK FAKTORIZATUZ?
Ebatzi eragiketa hau berreketekin, eta sinplifikatu ahal duzun beste.
44−3 ⋅ 225
LEHENA. Berreketen oinarriak zenbaki lehenetan deskonposatzen dira.
44 = 22 ⋅ 11 22 = 2 ⋅ 11
BIGARRENA. Deskonposizio hori eragiketari aplikatzen zaio.
44−3 ⋅ 225 = (22 ⋅ 11)−3 ⋅ (2 ⋅ 11)5 = (2−6 ⋅ 11−3) ⋅ (25 ⋅ 115)
HIRUGARRENA. Eragiketa ebazten da.
( ) ( )2 11 2 11 2 11 2 11126 3 5 5 6 5 3 5 1 2− − − + − + −⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =
11
2
ERANTZUNAK
60
Sinplifikatu.
a) c)
b) d)
a) 36−6 ⋅ 28−8 ⋅ 53−4 = 5−1
b) 3−4+5−2 ⋅ 24−6+3 = 3−1 ⋅ 21
c) −53−10 ⋅ 212−7 ⋅ 3−4−(−4) = −5−7 ⋅ 25
d)
Egin berreketen eragiketak; lehendabizi, egin kortxeteen barruan ageri diren
eragiketak. Egiaztatu alderantziz eginez gero emaitza bera lortzen dela.
a) [24 ⋅ (−5)]−2 e) [103 : (−2)]−3
b) [(−3) ⋅ 8]−3 f) [92 : (−3)5]−1
c) [4 : (−2)3]−4 g) [25−1 ⋅ 103]−2
d) [(−10)2 : (−5)]−5 h) [36−2 ⋅ 25]−4
a) e)
b) f) [−3−1]−1 = −3
c) [−2−1]−4 = 24 g)
d) h)
Egin eragiketak eta adierazi emaitza berretzaile osoko berreketa gisa.
a) d)
b) e)
c) f)
a) d)
b) [44−3−5]−2 = (4−4)−2 = 48 e)
c) [2−2−(−2)]7 = 20 = 1 f) [ ]3 22
3
2
9
4 2 1 22
4
2
− − −⋅ = =
25
2
2
25
2 6 82
=
− − −( )−
8
5
6
6
5
1 3 53
2
=
− − − 772
3
3
2
4 3 61
1
=
+ +−
33
91
322
22
⋅
−
:21
2
2
27
−
:
25
2
25
2
2
25
2 6
⋅
− −
:
82
−
− −
1
44
1
4
4
3
5
: :
−2
5
6
5
6
6
5
1 3
⋅
⋅
− −
53
3
2
2
3
2
3
4 3
⋅
⋅
−
−6
1
048
ll
[ ]9 29
2
2 48
4
− −⋅ =[ ]− = −−201
20
5
5
[ ]401
40
2
2
− =
[ ]− = −−241
24
3
3
[ ]− = −−5001
500
3
3[ ]− =−80
1
80
2
2
047
ll
2 2 3 2 3
2 2 3 32 3
5 4 4 2 4
15 3 3 8
7 3− − − − −
− − − −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅= ⋅
32 36 18
8 6 9
1 2 2
5 3 4
− − −
− −
⋅ ⋅
⋅ ⋅
3 16 9
8 3 2
4 1
2 5 3
− −
− −
⋅ ⋅
⋅ ⋅
( ) ( )
( )
− ⋅ − ⋅
− ⋅ ⋅
−
−
5 8 9
3 2 25
3 4 2
4 7 5
3 2 5
9 25 4
6 8 3
3 2 4
⋅ ⋅
⋅ ⋅
046
ll
Berreketak eta erroketak
61
2
Egin eragiketak.
a)
b)
c)
a)
b)
c) −
−
−1
10
3
5
2
3
12
2:
= − − =
−50
3
4
9
154
9
1
4
2
38
3
2
19
2
2 1
− −
= + =
− −
= −⋅
⋅+
⋅=− ⋅ + ⋅
⋅ ⋅=
3 5
2 7
2 7
3
3 5 2 7
2 7 3
31 52 2
3
2
2
4 2 2 5
3 2
. 889
6 174.
14
15
7
22
7
3
2 1
⋅−
+
− −
:
= −
⋅ ⋅
⋅ ⋅
+
⋅−2
2 2
2 2
23 5 2
2 7 7
2 7
332
=
1
5
3
101
2
5
3
2
1
−
−
−−
−
:
−2
3
2
5
4
1
31
2 1
−
− −
− −
3
5
1
3
7
22
5
2
1
6
2 1
+
⋅−
+ −
− −
:
−2
050
ll
049
ERANTZUNAK
EGIN HONELA
NOLA EGITEN DIRA ERAGIKETA KONBINATUAK BERREKETEKIN?
Egin eragiketa hau.
LEHENA. Kako artean dauden eragiketak egiten dira.
BIGARRENA. Berreketak kalkulatzen dira.
HIRUGARRENA. Eragiketak egiten dira, hierarkia errespetatuz.
16
49
5
364
80
14764
9 488
147⋅−
− =
−− =
.
7
4
3
5
1
8
2 1
⋅−
−
− −
=
⋅−
− =
−2 2 1
24
7
5
38
16
449
5
364⋅
−
−
5
2
3
4
3
5
17
82
2 1
−
⋅−
− −
− −
=
⋅−
− −2 27
4
3
5
−− −
−
1 21
8
5
2
3
4
3
5
17
82
2 1
−
⋅−
− −
− −
−2
62
Adierazi zein berdintza diren zuzenak, eta idatzi emaitza zuzena berdintza
okerretan.
a) c)
b) d)
a) Okerra → a6 ⋅ b−8 ⋅ c8 1
b) Okerra →
c) Okerra → 3 ⋅ 2 ⋅ 5
d) Zuzena →
Adierazi zenbaki hauek idazkera zientifikoan eta idatzi bakoitzaren magnitude-
ordena.
a) 15.000.000.000 e) 4.598.000.000
b) 0,00000051 f) 0,0967254
c) 31.940.000 g) 329.000.000
d) 0,0000000009 h) 111.000
a) 1,5 ⋅ 1010→ Magnitude-ordena: 10
b) 5,1 ⋅ 10−7→ Magnitude-ordena: −7
c) 3,194 ⋅ 107→ Magnitude-ordena: 7
d) 9 ⋅ 10−10→ Magnitude-ordena: −10
e) 4,598 ⋅ 109→ Magnitude-ordena: 9
f) 9,67254 ⋅ 10−2→ Magnitude-ordena: −2
g) 3,29 ⋅ 108→ Magnitude-ordena: 8
h) 1,11 ⋅ 105→ Magnitude-ordena: 5
Garatu idazkera zientifikoan adierazitako zenbaki hauek.
a) 4,8 ⋅ 108 e) 6,23 ⋅ 10−18
b) 8,32 ⋅ 10−11 f) 3,5 ⋅ 10−12
c) 5,659 ⋅ 10−6 g) 2,478 ⋅ 1015
d) 7,925 ⋅ 109 h) 1,9385 ⋅ 10−7
a) 480.000.000 e) 0,00000000000000000623
b) 0,0000000000832 f) 0,0000000000035
c) 0,000005659 g) 2.478.000.000.000.000
d) 7.925.000.000 h) 0,00000019385
053
l
052
l
−
=
2
3
2
3
6 6
≠⋅ ⋅
1
3 2 5
1
33
1
33
2
3
5
2 3 5
⋅ ⋅
−
= −
−
− − + == − ≠3 14
≠
−
=
−−
2
3
2
3
23
2
3
1
33
1
31
2
3
5
⋅ ⋅
−
=
−
−
3 2 5
3 2 5
1
3 2 5
3 4 2
4 5 3
− − −
− − −
⋅ ⋅
⋅ ⋅=
⋅ ⋅
a b c
a b c
3 4 4
3 4 41
⋅ ⋅
⋅ ⋅=
−
− −
051
ll
Berreketak eta erroketak
63
2
Adierazi zein zenbaki dauden idazkera zientifikoan idatzita.
a) 54 ⋅ 1012 e) 7,2 ⋅ 10−2
b) 0,75 ⋅ 10−11 f) 0,5 ⋅ 1014
c) 243.000.000 g) 0,01 ⋅ 10−30
d) 0,00001 h) 18,32 ⋅ 104
Bakarrik dago idatzita idazkera zientifikoan e) ataleko zenbakia: 7,2 ⋅ 10−2.
Egin eragiketak.
a) 1,32 ⋅ 104+ 2,57 ⋅ 104
b) 8,75 ⋅ 102+ 9,46 ⋅ 103
c) 3,62 ⋅ 104+ 5,85 ⋅ 10−3
d) 2,3 ⋅ 102+ 3,5 ⋅ 10−1
+ 4,75 ⋅ 10−2
e) 3,46 ⋅ 10−2+ 5,9 ⋅ 104
+ 3,83 ⋅ 102
a) 3,89 ⋅ 104 d) 2,303975 ⋅ 102
b) 1,0335 ⋅ 104 e) 5,93830346 ⋅ 104
c) 3,620000585 ⋅ 104
Kalkulatu.
a) 9,5 ⋅ 104− 3,72 ⋅ 104
b) 8,6 ⋅ 103− 5,45 ⋅ 102
c) 7,9 ⋅ 10−4− 1,3 ⋅ 10−6
d) 4,6 ⋅ 106+ 5,3 ⋅ 104
− 3,9 ⋅ 102
e) 5 ⋅ 102− 3 ⋅ 10−1
+ 7 ⋅ 10−2
a) 5,78 ⋅ 104 d) 4,65261 ⋅ 106
b) 8,055 ⋅ 103 e) 4,9977 ⋅ 102
c) 7,887 ⋅ 10−4
Egin eragiketak.
a) 7,3 ⋅ 104⋅ 5,25 ⋅ 10−3 c) 8,3 ⋅ 106 : 5,37 ⋅ 102
b) 8,91 ⋅ 10−5⋅ 5,7 ⋅ 1014 d) 9,5 ⋅ 10−6 : 3,2 ⋅ 103
a) 3,8325 ⋅ 102 c) 1,5456 ⋅ 104
b) 5,0787 ⋅ 1010 d) 2,9688 ⋅ 10−9
Sinplifikatu.
a) b)
a) 5,448 ⋅ 10−3
b) 5,567 ⋅ 10−8
3 92 10 5 86 10
7 10 9 2 10
4 6
8 13
, ,
,
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
−
−
6 147 10 4 6 10
7 9 10 6 57 10
2 3
8 5
, ,
, ,
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
−
−
058
ll
057
l
056
l
055
l
054
ll
ERANTZUNAK
64
Kalkulatu erroketa hauen zenbakizko balioa, ahal bada.
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
a) ±3 d) −10 g) ±5
b) 2 e) Ezin da h) ±6
c) −3 f) −6 i) −2
Adierazi zein den erroketa bakoitzaren errotzailea eta errokizuna. Ondoren,
adierazi zatikizko berretzailea duten berreketa gisa.
a) c) e)
b) d) f)
a) Indizea: 6, errokizuna: 3 →
b) Indizea: 7, errokizuna: −3 →
c) Indizea: 9, errokizuna: 5 →
d) Indizea: 5, errokizuna: −2 →
e) Indizea: 2, errokizuna: 33 →
f) Indizea: 4, errokizuna: 25 →
Adierazi erroketak berreketa gisa eta berreketak erroketa gisa.
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
Erroketen artean, zein dira baliokideak?
Hauek dira baliokideak:
3 325 410=
2 2 2 234 68 912 1520= = =
2 3 7 2 7 3 2 2 334 25 23 68 412 410 912 1520 210, , , , , , , eta
062
l
7
5
65
7
426
3
2
51027523
2
5
373534
756574
2
1
6
32510
2
75
2
3
2537
3
53
1
4
061
l
25
1
4
33
1
2
( )−2
1
5
5
1
9
( )−3
1
7
3
1
6
254−25
−37
335936
060
l
−1287−2163
−273
1 2964 .−2564325
6254−100 0005 .814
059
l
Berreketak eta erroketak
65
2
Atera biderkagaiak erroketetatik.
a) d)
b) e)
c) f)
a) d)
b) e) 23a2b4
c) f) 2ab2
Atera biderkagaiak erroketetatik.
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
a) d) g) 10
b) e) h)
c) f) i) 4 535 35 2
2 532 33 2
7 22 2
32037550
4031218
1 0003 .988
065
ll
064
2 34a a
abc b2 23
ab a2 52 23
a a
22 2 4a b24 74
a
26 4 8a ba b c
3 5 63
a b6 105
23 53a
063
ll
ERANTZUNAK
EGIN HONELA
NOLA ATERATZEN DIRA ERROTZAILE BATEN FAKTOREAK ERROKIZUNA FAKTORE LEHENETAN
DESKONPOSATUZ?
Sinplifikatu errotzailea.
LEHENA. Errokizuna faktorizatzen da.
10.800 = 24 ⋅ 33 ⋅ 52
BIGARRENA. Errotzailea berretzaile zatikiarreko berreketa gisa adierazten da.
HIRUGARRENA. Berretzaileen zatikiren bat ez-jatorra bada, zenbaki oso baten eta za-
tiki baten batuketa gisa jartzen da.
LAUGARRENA. Berreketen biderkadura gisa adierazten da, eta errotzaile bihur-
tzen da berriz.
2 3 5 2 2 3 5 2 2 31
1
3
2
3
1
3
2
3 3+
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ 55
6 2 5 6 50
23
23 3
=
= ⋅ ⋅ =
2 3 5 2 3 5
4
3
3
3
2
31
1
3 1
2
3⋅ ⋅ = ⋅ ⋅+
10 800 2 3 5 2 3 53 4 3 2
1
3
4
3
3
3
2
3. ( )= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
10 8003 .
66
Sinplifikatu erroketak.
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
Sartu biderkagaiak erroketetan.
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
Sartu biderkagaiak erroketetan, ahal bada.
a) c) e)
b) d) f)
a) c) e)
b) Ezin da d) f)
Egin eragiketak.
a) c)
b) d)
a) b) c) d) 13 25− 25
4 2 3 18+17 2 9 8−
3 5 20−− +4 5 5 5
069
l
− 8 4 73a b− a
73
32 3 5
24
a b
c
3
2a
4
2
2a a−
−2 2 3ab ab−a a
2 35 2+
4
8
2
4ab
c
c b
a
2 3
8a
aa
a
a
4 1
2
−
068
ll
18
1253
1
3243 6455 .
5233
841 2804 .
56318
25403
3
5
2
33
1
2
1
243 155
51
53
1
2644 204
2 733
522 53
067
ll
262 2232 224
52 253 23
33 32 23
4123231284
62581285543
27627163
066
ll
Berreketak eta erroketak
67
2
Egin eragiketak.
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Egin eragiketak eta sinplifikatu.
a) c) e) g)
b) d) f) h)
a) c) e) g)
b) d) f) h)
Kalkulatu.
a) d)
b) e)
c) f)
a) d)
b) e)
c) f)
Egin eragiketak eta sinplifikatu.
a) c)
b) d)
a) 3 − 2 = 1 c) 36 ⋅ 7 − 5 = 247
b) 50 − 9 = 41 d) 4 ⋅ 5 − 10 = 10
2 5 10 2 5 10−( ) ⋅ +( )5 2 3 5 2 3−( ) ⋅ +( )
6 7 5 6 7 5+( ) ⋅ −( )3 2 3 2+( ) ⋅ −( )
073
l
16 15 14 6−− +5 3 5 2
− −12 5 36 73 5 3 7−
− +35 3 56 22 2 2 3+
8 5 7 2 2 3−( ) ⋅− ⋅ −( )5 3 2
− −( ) ⋅3 5 9 7 43 5 7⋅ −( )
5 3 8 2 7−( ) ⋅ −( )2 2 3⋅ +( )
072
l
1
212
2
7
8
5207542 6
1
526
1
362 34 312
⋅6
2 24 3:4 75 4:3 54 ⋅3 8⋅
5 56 :3 33 :2 33 4⋅2 3⋅
071
l
24 214
52 21 2
211
523 3 3 3
− + =
8 2 35 2 8 2 28 2 9 2− + + =
10 3 21 3 9 35
23
39
23+ − − =
12 163
5128 7 543 3 3− +
4 8 7 508
318 4 98− + +
5 12 7 27 2431
275+ − −
070
l
ERANTZUNAK
68
Kalkulatu eta sinplifikatu.
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Egin eragiketak eta sinplifikatu.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Kalkulatu.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d) ab a b a b a b6 36 4 26 23⋅ = =
2 2 23 9 1215 10 5 1015 7 4 215a b a b a b: − −=
3 2 72 722 4 26 3 3 96 7 116 56a b a b a b ab ab⋅ = =
a a a
3
4
5
3
4
6
37
12 3712+ +
= =
ab a b3 3⋅
2 43 45 23a b ab:
3 223 3a b ab⋅
a a a34 53 46⋅ ⋅
076
ll
= + − −35 6 14 2 15 3 6
7 5 2 3 7 2 2 3 5 3 3 2⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ =
= − + −175 21 30 20 5 12 6
7 5 5 5 7 3 5 6 4 5 5 4 3 6⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =
= − + −10 7 4 14 15 2 12
2 5 7 2 2 7 2 3 5 2 3 2 2 2⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =
3 4 2 2 3 3 2 5 4 2 3 5 39 29 2⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ = −
7 2 3 5 3 2−( ) ⋅ +( )
7 5 4 5 5 3 6+( ) ⋅ −( )
2 7 3 2 5 2 2+( ) ⋅ −( )
3 2 5 4 2 3−( ) ⋅ −( )
075
ll
16 6 4 2 4 6 2 16 6 4 2 4 6 2 32 3⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅( )− ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅( ) = −
9 2 1 2 3 2 9 2 1 2 3 2 12 2⋅ + + ⋅ ⋅( )− ⋅ + − ⋅ ⋅( ) =
4 5 9 2 2 2 3 5 2 4 5 9 2 2 2 3 5 2 146⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅( )+ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅( ) =
4 6 2 4 6 22 2
−( ) − +( )
3 2 1 3 2 12 2
+( ) − −( )
2 5 3 2 2 5 3 22 2
−( ) + +( )
074
ll
Berreketak eta erroketak
69
2
Egin eta sinplifikatu.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c) (9 − 5) + (4 − 80) = −72
d)
Egin eragiketak eta adierazi berreketa gisa.
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)
Idatzi erroketak zatikizko berretzailea duten berreketa gisa.
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i) a
3
4a
3
2a
a
a
2
4
1
4=
a
5
4a
−1
2a a a a343 712
7
12= =
a
−1
4a
−1
3a
3
4
079
ll
2 3 2 3415
4
15= ⋅
2 2 2 226 8 8 324
11
24⋅ = =+
3 3 3210 510
7
10⋅ =
5 5 526 366
5⋅( ) =
8 81533 3 35 25⋅
2 223 ⋅5 536
⋅( )
078
ll
= −110 8 35
3 5 16 7 3 5 3 5 4 21 4 21 4 35 4 35− + ⋅ − + + − − − =
4 4 3 3 4 3 4 3 6+ +( )− − = −( )
= −27 2 4 3
10 6 3 2 3 30 2 10 3 3 12 18+( ) ⋅ −( ) = − + − =
3 5 4 7 3 5 4 7+ −( ) ⋅ − +( )
3 5 3 5 2 4 5 2 4 5+( ) ⋅ −( ) + −( ) ⋅ +( )
2 3 2 3 2 32
+( ) − +( ) ⋅ −( )
5 2 3 2 3 2 3+( ) ⋅ ⋅ −( )
077
ll
ERANTZUNAK
70
Adierazi erroketa bakar baten bidez.
a) c) e)
b) d) f)
a) c) e)
b) d) f)
Arrazoitu zuzenak ala okerrak diren berdintza hauek.
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
a) → Okerra.
b) → Okerra.
c) Okerra, n = 1 denean izan ezik. Eta hori frogatzeko, a, b eta n-ren edozein
balio erabiltzen da.
d) → Okerra, n = m denean izan ezik.
e) Okerra, gaiak karratura jasotzen baditugu:
f) → Zuzena.
g) → Okerra.
h) → Okerra, a = 1 denean izan ezik.
Arrazionalizatu izendatzaileak eta sinplifikatu.
a) b) c) d)
a) c)
b) d)−
⋅=−3 7
7 7
3 7
7
34
4 34
34−
⋅=−
⋅=−5 5
2 5 5
5 5
2 5
5
2
4 3
3 3
4 3
3
35
25 35
35
⋅=
6
6 6
6
6⋅=
−6
2 74
4
325
−5
2 5
1
6
082
l
a b c a b a c ab ac+ = + +2 2Þ
a b a b a b a b8 24 4 2= = Þ
a a a b a a b a ab⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =2
a b a b a b ab a b2 2
22 2 2 2 22+( ) = + + + = +Þ ( )
a b a b a bmn n mn m mn= Þ
a b a b a b abn m mn m nm n m nn m n m⋅ = ⋅ = ⋅ +· · ·
Þ
a b a b a b abn m mn m nm n m nn m n m⋅ = ⋅ = ⋅· · · ·
Þ
a b c ab ac+ = +a b a bmn mn= ⋅( )
a b a b8 24
=a b a bn n n+ = +
a a a b a a b⋅ ⋅ ⋅ = ⋅a b a bn m n m⋅ = ⋅
+
a b a b2 2+ = +a b ab
n m n m⋅ =
⋅
081
ll
1
54
1
2438
2122
22
3
26 12=3 5 45210 10⋅ =
1
5
1
23
2432
233 5
5
080
ll
Berreketak eta erroketak
71
2
Arrazionalizatu izendatzaileak eta sinplifikatu.
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)
Arrazionalizatu izendatzaileak eta sinplifikatu.
a) d)
b) e)
c) f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)8 10 6
5 10 6 10 6
8 10 8 6
20
2 10 2 6
5
⋅ +( )
⋅ −( ) ⋅ +( )=
+=
+
− ⋅ −( )
+( ) ⋅ −( )=− +
−= −
5 6 7
6 7 6 7
5 6 5 7
15 6 5 7
7 11 3
11 3 11 3
7 11 21
2
⋅ +( )
−( ) ⋅ +( )=
+
4 2 3 2 5
3 2 5 3 2 5
24 4 10
13
⋅ +( )
−( ) ⋅ +( )=
+
− ⋅ +( )
−( ) ⋅ +( )=− −
−= +
5 3 2
3 2 3 2
5 3 10
15 3 10
2 1
2 1 2 12 1
−
+( ) ⋅ −( )= −
8
5 10 6−( )4 2
3 2 5−
−
+
5
6 7
−
−
5
3 2
7
11 3−
1
2 1+
084
ll
6 6 6 6
6 6
36 6 6
66 6
−( ) ⋅
⋅=
−= −
7 5 3
3 3
7 3 5 3
3
34
4 34
34 2 34+( ) ⋅
⋅=
+ ⋅
5 3 4 3
3 3
5 3 4 3
3
3
23 3
56 3−( ) ⋅
⋅=
−
1 2 2
2 2
2 2
2
−( ) ⋅
⋅=
−
6 6 6
6
−5 3 4
323
−
7 5
34
+1 2
2
−
083
ll
ERANTZUNAK
72
Arrazionalizatu.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
086
=−
−=
23 2
232
3 6 2 2 2 3 3
2 3 3 2 3 3
6 6 27 2 4 2 6 6
23
+( ) ⋅ −( )
+( ) ⋅ −( )=
− + −
−==
5 6 2 2
3 2 2
10 3 2
6
5 3 1
3
−( ) ⋅
⋅=
−=
−
4 3 7 3
2 3 3
12 21
6
+( ) ⋅⋅
=+
1
9
1
3=
3 6 2 2
2 3 3
+
+
5 6 2
18
−
4 3 7
12
+
1
3 6+
085
ll
Berreketak eta erroketak
EGIN HONELA
NOLA EBAZTEN DIRA IZENDATZAILEAN ERROTZAILEA DUTEN ZATIKIEN ERAGIKETAK?
Ebatzi:
LEHENA. Zatikiak arrazionalizatzen dira.
BIGARRENA. Eragiketa ebazten da.
10
3
6
2
30
33
30 3 3
3− = − =
−
6
2
6 2
2 2
12
2
4 3
2
2 3
23=
⋅
⋅= =
⋅= =
10
3
10 3
3 3
30
3=
⋅
⋅=
10
3
6
2−
73
2
Arrazionalizatu eta egin eragiketak.
a) b) c) d)
a)
b)
c)
d)
Arrazionalizatu eta egin eragiketak.
a) b)
a)
b)
Arrazionalizatu eta egin eragiketak.
a) c)
b)
a)
b)
c)− + +
−= =
3 3 4 3 25 3
10 3 3
26 3
9 3
26
9
6 2 3 2 12 2
8 2 2
3 2
9 2
1
3
+ −
+=−
=−
4 2
5
15 2
2
5 2
3 2
24 2 225 2 25 2
30
38 2
15− +
⋅=
− +=−
3 8 18 2 72
4 8 2
+ −
+
− + +
−
27 48 5 75
2 75 3
32
5
3 50
2
5
18− +
089
ll
=+
++
=+ + +10 10 5 30
2
45 9 3
22
110 10 55 30 45 9 3
22
5 5 8 6
8 6 8 6
9 5 3
5 3 5 3
⋅ +( )
−( ) ⋅ +( )+
⋅ +( )
−( ) ⋅ +( )=
= + − + = +3 3 3 2 2 3 2 2 3 5 2
3 3 2
3 2 3 2
2 3 2
3 2 3 2
⋅ +( )
−( ) ⋅ +( )−
⋅ −( )
+( ) ⋅ −( )=
5 5
8 6
9
5 3−
+
−
3
3 2
2
3 2−
−
+
088
ll
10
10
2 3
2 3
3 10 10 3
30+
⋅=
+
9 7
7
6 8
8
9 7
7
3 2
2
18 7 21 2
14− = − =
−
3 3
3
5 2
23
5 2
2
2 3 5 2
2− = − =
−
2
2
5
5
5 2 2 5
10+ =
+
1
10
2
12+
9
7
6
8−
3
3
5
2−
1
2
1
5+
087
ll
ERANTZUNAK
Arrazionalizatu adierazpen hauek.
a) b)
a)
b)
Adierazi idazkera zientifikoan.
a) Lurraren eta Ilargiaren arteko distantzia: 384.000 km.
b) Lurraren eta Neptunoren arteko distantzia:
4.308.000.000 km.
c) Elektroi baten diametroa: 0,0000000003 m.
d) Lurraren azalera: 150.000.000 km2.
e) Birus baten luzera (gripearena): 0,0000000022 m.
f) Protoiaren erradioa: 0,00000000005 m.
g) Estafilokoko baten pisua: 0,0000001 g.
h) Argi-urte bat: 9.460.000.000.000 km.
i) Ikus daitekeen unibertsoaren distantzia:
25.000 milioi argi-urte.
092
ll
=− ⋅
=− ⋅12 5 4 5 3
30
6 5 2 5 3
15
34 3 24 34 3 24
4 5
5 5 3 3
4 5
5 3 3
4 5 3 3
5 3
34
4 34
34 34
⋅ ⋅ +( )=
⋅ +( )=
⋅ −( )
⋅ + 33 3 3( ) ⋅ −( )=
=− ⋅ +4 3 2 12 3
3
4 36 6
=⋅ ⋅ −( )
⋅ +( ) ⋅ −( )=
⋅ −
−=
4 3 2 3
3 2 3 2 3
4 3 2 4 3
3
23 4 36 76
4 3
3 3 2 3
4 3
3 2 3
23
3 23
23⋅
⋅ ⋅ +( )=
⋅
⋅ +( )=
4
5 3 34 ⋅ +( )4
3 2 33 ⋅ +( )
091
ll
090 EGIN HONELA
NOLA ARRAZIONALIZATZEN DIRA MOTAKO IZENDATZAILEAK DITUZTEN ZATIKIAK?
Arrazionalizatu:
LEHENA. -z biderkatzen da.
BIGARRENA. Ateratzen den izendatzailearen konjokatuz biderkatzen da.
2
2 3
2 2 3
2 3 2 3
2 2 3
2 32
23 23 23
2−=
⋅ +( )
−( ) ⋅ +( )=
⋅ +( )
−= 223
2 3⋅ +( )
2
2 2 3
2 2
2 2 3 2
2 2
2 2 3
2
23
23
3 23
23 23
−( )=
⋅
−( ) ⋅=
⋅
−( )=
− 33
ann −1
2
2 2 33 −( )
a b cn +( )
74
Berreketak eta erroketak
75
2
a) 3,84 ⋅ 105 km d) 1,5 ⋅ 108 km2 g) 1 ⋅ 10−7 g
b) 4,308 ⋅ 109 km e) 2,2 ⋅ 10−9 m h) 9,4 ⋅ 1012 km
c) 3 ⋅ 10−10 m f) 5 ⋅ 10−11 m i) 2,5 ⋅ 1010 argi-urte
Informazio kantitatea neurtzeko
erabiltzen ditugun neurri-unitateak
hauek dira:
Byte = 23 bit
Kilobyte = 210 byte
Megabyte = 210 Kilobyte
Gigabyte = 210 Megabyte
Adierazi berreketa gisa eta idazkera zientifikoan informazio kopuru hauek, bit-
etan eta byte-tan.
a) 120 Gb-eko disko gogorra c) 1,44 Mb-eko diskete bat.
b) 512 Mb-eko memoria-txartela. d) 650 Mb-eko CD-ROMa.
a) 120 Gb = 120 ⋅ 230 byte = 1,2884901888 ⋅ 1010 byte =
= 1,03079215104 ⋅ 1011 bit
b) 512 Mb = 512 ⋅ 220 byte = 5,36870912 ⋅ 108 byte =
= 4,294967296 ⋅ 109 bit
c) 1,44 Mb = 1,44 ⋅ 220 byte = 1,509949 ⋅ 106 byte =
= 1,2079595 ⋅ 107 bit
d) 650 Mb = 650 ⋅ 220 byte = 6,815744 byte ⋅ 108=
= 5,4525952 ⋅ 109 bit
Plutonen masa Eguzkiarena bide 6,6 ⋅ 10−9 da. Eta Eguzkiaren masa Lurrarena
bider 3,3 ⋅ 106 da. Lurraren masa 6 ⋅ 1024 kg bada, kalkulatu Plutonen eta
Eguzkiaren masa.
Eguzkiaren masa: 6 ⋅ 1024⋅ 3,3 ⋅ 106
= 1,98 ⋅ 1031 kg
Plutonen masa: 1,98 ⋅ 1031⋅ 6,6 ⋅ 10−9
= 1,3068 ⋅ 1023 kg
Bakterio jakin batzuen populazioa bikoiztu egiten
da ordubetean.
Hasieran 8 ⋅ 1012 bakterio badaude:
a) Zenbat bakterio egongo da 3 ordura?
b) Eta 6 ordura?
c) Zenbat ordu igaro beharko dira 1,024 ⋅ 1015
bakterio egoteko?
a) 8 ⋅ 1012⋅ 23= 6,4 ⋅ 1013 bakterio
b) 8 ⋅ 1012⋅ 26= 5,12 ⋅ 1014 bakterio
c) 1,024 ⋅ 1015 : 8 ⋅ 1012= 128,
beraz, 2n= 128 → n = 7.
7 ordu igaro beharko dira.
095
ll
094
ll
093
ll
ERANTZUNAK
76
Zer luzera du kubo baten ertzak, bolumena 6 m3-koa bada? Adierazi emaitza
erroketa gisa.
Zer azalera du 9 cm3-ko bolumena duen kubo baten aurpegi batek? Adierazi
emaitza erroketa gisa eta berreketa gisa.
Kubo baten bolumena 20-cm3koa bada, kalkulatu ertzen arteko batura.
Aurreko ariketako datuak kontuan hartuta, kalkulatu kuboaren alboko aurpegien
azalera.
Orokortu aurreko ariketetako emaitzak, eta adierazi kubo baten ertzaren
balioa eta alboko aurpegien azalera bolumenaren mende.
Adierazi idazkera zientifikoan.
a) 2−30 b) 5−10 c) 3−20 d) 7−15
a) 2−30= 0,000000000931322574615478515625 =
= 9,31322574615478515625 ⋅ 10−10
b) 5−10= 0,0000001024 = 1,024 ⋅ 10−7
c) 3−20= 2,8679719907924413133222572312408 ⋅ 10−10
d) 7−15= 2,1063444842276644111559866596517 ⋅ 10−13
Hausnartu eta erantzun.
a) Zein kasutan gertatzen da ?
b) Eta zein kasutan gertatzen da ?
a)
b) a a a> >, 1 denean.
a a a< < <, .0 1 denean
a a>
a a<
102
ll
101
ll
Aldeen azalera Bolumena= 6 23
Aurpegiaren azalera Bolumena=23
Ertza Bolumena Ertza Bolumena3 3= =→
100
ll
Alboko aurpegia cm= =6 20 12 5023 3 2
Aurpegiaren azalera cm= 2023 2
Ertza cm Ertza cm3 3 320 20= =→
099
ll
Ertzen batura cm= ⋅12 203
Ertza cm Ertza cm3 3 320 20= =→
098
ll
Aurpegiaren azalera m m= ⋅ = = =9 9 9 81 33 3 23 3 2
4
3 2
Ertza m Ertza m3 3 39 9= =→
097
ll
Ertza m Ertza m3 3 36 6= =→
096
ll
Berreketak eta erroketak