6. Derivada Direccional

Definicin: sea Una funcin definida en el conjunto abierto y sea en un punto dado de . Sea , donde es un vector unitario dado. Definimos la derivada de la funcin en , en la direccin de un vector , denotamos por: Como el lmite:

Dibujo

Si en hacemos , se tiene Luego , esto es 6.1. Interpretacin Geomtrica de la Derivada Direccional Para Funciones Variables:Sea la funcin Cuyo grafico es una superficie .

GRAFICO

1. Sea en punto de y en un vector anterior de , entonces es una recta contenida en el punto .2. Si por dicha recta levantamos una flecha , intersecta a la superficie S formndose la curva C.3. Si por el punto trazamos una recta tangente a la curva C entonces la pendiente de dicha tangente es la .Observacin: la derivada direccional es una generalizacin de la derivada parcial.a) Si entonces b) Si entonces

6.2. Particularmente: Dada la funcin Y el vector unitario . La derivada direccional de f en en la direccin , se define como:

7. Gradiente de una FuncinDefinicin: sea Una funcin diferenciable definida en el conjunto abierto . Se define el vector Gradiente de la funcin f en el punto , denotado por se define como el vector de dado por:

Nota: es el campo vertical gradiente. Adems es el destina una vector a cada punto , esto es:

El gradiente de una funcin es un campo vectorial en en cada punto es un vector que sale de 7.1. Propiedades del Gradiente:Si la funcin , son diferenciables en U, entonces se tiene:1. 2. 3. 4. 7.2. Observacin (El Gradiente Como Direccin De Mximo Variacin)Sea la funcin que posee derivadas parciales De primer orden continuo y es el vector unitario de Sea i. El vector gradiente apunta a la direccin segn U cual la funcin f es creciente ms rpidamente.ii. Entre todas las direcciones a lo largo de las cuales la funcin f crece, la direccin de gradiente es la del creciente ms rpido, mientras que el gradiente cambiado de signo seala la direccin de mxima disminucin.En el punto , el valor mximo de la derivada direccional es , pues , entonces: desigualdad de SCHWARS.El valor mnimo de la derivada direccional es iii. El gradiente de f en es a la superficie de nivel de f que pasa por este punto.Ejemplo 1: sea , hallar la derivada de f en la direccin de SolucinAplicando la definicin tenemos:

Ejemplo 2: utilizando la definicin de determinar cuando , Solucin