Post on 21-Dec-2015
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Desarrollo Prueba N◦3 2007 (2)
1. Sea A un anillo conmutativo y I un ideal de A.
a) Se dice que un elemento a del anillo A es nilpotente de grado n si existe n ∈ Z+ tal que an = 0.Verifique que el conjunto N de todos los elementos nilpotentes del anillo A es un ideal de A.
Demostracion: El conjunto N es no vacıo pues 0 ∈ N . Ahora, dados a, b ∈ N debemosmostrar que a − b ∈ N : por definicion de N existen enteros positivos R, S tales que aR = 0 ybS = 0. Tomar M = R + S. Por el Teorema del Binomio se tiene:
(a− b)M =M∑
k=0
(M
k
)aM−k(−b)k =
S−1∑k=0
(M
k
)aM−k(−b)k +
M∑k=S
(M
k
)aM−k(−b)k
Observar que si 0 ≤ k ≤ S − 1, entonces M − k ≥M − S + 1 = R+ 1 ≥ R, luego aM−k = 0. Ysi S ≤ k ≤M , entonces (−b)k = (−1)kbk = 0. Por lo tanto:
(a− b)M =S−1∑k=0
(M
k
)aM−k(−b)k +
M∑k=S
(M
k
)aM−k(−b)k = 0
Luego a− b ∈ N . Finalmente debemos mostrar que si c ∈ A y a ∈ N , entonces ca ∈ N . Usandola misma notacion que antes tenemos:
(ca)R = cRaR = cR0 = 0
Por lo tanto ca ∈ N . Esto demuestra que N es un ideal �
b) Dado un ideal I, se define√I = {a ∈ A : an ∈ I para algun n ∈ Z+}. Pruebe, usando a), que√
I es un ideal de A.
Demostracion 1: El conjunto√I es no vacıo pues 0 ∈
√I. Ahora, dados a, b ∈
√I debe-
mos mostrar que a − b ∈√I: por definicion de
√I existen enteros positivos R, S tales que
aR ∈ I, bS ∈ I. Tomar M = R + S. Por el Teorema del Binomio se tiene:
(a− b)M =S−1∑k=0
(M
k
)aM−k(−b)k +
M∑k=S
(M
k
)aM−k(−b)k
Observar que si 0 ≤ k ≤ S−1, entonces M−k ≥ R, luego(
Mk
)aM−k(−b)k ∈ I. Y si S ≤ k ≤M ,
entonces(
Mk
)aM−k(−b)k =
(Mk
)(−1)kaM−kbk ∈ I. Por lo tanto:
(a− b)M =S−1∑k=0
(M
k
)aM−k(−b)k +
M∑k=S
(M
k
)aM−k(−b)k ∈ I
Luego a − b ∈√I. Finalmente debemos mostrar que si c ∈ A y a ∈
√I, entonces ca ∈
√I.
Usando la misma notacion que antes tenemos:
(ca)R = cRaR ∈ I
1
Por lo tanto ca ∈√I. Esto demuestra que N es un ideal (esta demostracion, aunque es analoga,
no usa la parte a) ) �
Demostracion 2: Usaremos el siguiente teorema: “M es un ideal de A/I si y solo si existe unideal L de A con I ≤ L ≤ A tal que L/I = M”. En nuestro caso consideraremos:
M = {a+ I ∈ A/I : (a+ I)n = I para algun n ∈ Z+}
Recordar que I = 0 + I es el cero del anillo A/I. Por la parte a) tenemos que M es un idealde A/I. Luego, usando el teorema enunciado, existe un ideal L de A con I ≤ L ≤ A tal queL/I = M . De esto ultimo se observa:
a ∈ L ⇔ a+ I ∈ L/I⇔ a+ I ∈M⇔ (a+ I)n = an + I = I para algun n ∈ Z+
⇔ an ∈ I para algun n ∈ Z+
⇔ a ∈√I
Por lo tanto L =√I y esto demuestra que
√I es un ideal de A �
c) ¿Cual es la relacion del ideal√I y el ideal formado por todos los elementos nilpotentes del
anillo A/I?
Solucion: Por lo visto anteriormente (ver Demostracion 2, letra b)) se tiene:
M =√I/I
donde M es el ideal formado por todos los elementos nilpotentes del anillo A/I �
2. Demuestre el Tercer Teorema del Isomorfismo para Anillos, esto es: si M y N son ideales de un anilloA tal que M ≤ N entonces se tiene un isomorfismo natural de A/N en (A/M)/(N/M).
Demostracion: Sea φ : A/M → A/N definido por:
φ(a+M) = a+N
(i) φ esta bien definido:
Supongamos a + M, b + M ∈ A/M con a + M = b + M . Entonces a − b ∈ M . Como M ≤ Nentonces a− b ∈ N . Luego φ(a+M) = a+N = b+N = φ(b+M).
(ii) φ es un homomorfismo de anillos:
En efecto, dados a+M, b+M ∈ A/M se tiene:
φ((a+M) + (b+M)) = φ((a+ b) +M) = (a+ b) +N = (a+N) + (b+N) = φ(a+M) + φ(b+M)
φ((a+M)(b+M)) = φ((ab) +M) = (ab) +N = (a+N)(b+N) = φ(a+M)φ(b+M)
2
(iii) Ker(φ) = N/M :
En efecto:a+M ∈ Ker(φ) ⇔ φ(a+M) = N
⇔ a+N = N⇔ a ∈ N⇔ a+M ∈ N/M
(iv) Im(φ) = A/N :
Si a+N ∈ A/N tomar a+M ∈ A/M . Se tiene entonces a+N = φ(a+M) ∈ Im(φ).
(v) (A/M)/(N/M) ∼= A/N :
Por el Primer Teorema del Isomorfismo se tiene:
(A/M)/Ker(φ) ∼= Im(φ)
Por lo tanto:(A/M)/(N/M) ∼= A/N �
3. Sea F un cuerpo.
a) Muestrese que el conjunto I de todos los polinomios con termino constante a0 = 0 forma unideal principal del anillo F[x] generado por el polinomio x.
Demostracion: Debemos mostrar la igualdad I = 〈x〉. Para esto observar que si p(x) =a0 + a1x+ ...+ anx
n ∈ I, entonces p(x) = a1x+ ...+ anxn pues a0 = 0. Luego:
p(x) = x(a1 + a2x+ ...+ anxn−1) = xq(x)
donde q(x) = a1 + a2x+ ...+ anxn−1. Por lo tanto p(x) ∈ 〈x〉. Por otro lado, dado un elemento
xq(x) ∈ 〈x〉 cualquiera, podemos escribir:
xq(x) = b0 + b1x+ ...+ bmxm
para algun m ∈ N. Evaluando en x = 0 nos queda b0 = 0. Por lo tanto xq(x) ∈ I. Esto terminala demostracion �
b) Compruebe que F[x]/〈x〉 es un cuerpo isomorfo a F.
Demostracion: Sea ψ : F[x] → F definido por ψ(p(x)) = p(0), es decir, la funcion ψ es laevaluacion en x = 0 (la idea es usar el Primer Teorema del Homomorfismo). Entonces:
(i) ψ es un homomorfismo de anillos:
ψ(p(x) + q(x)) = p(0) + q(0) = ψ(p(x)) + ψ(q(x))
ψ(p(x)q(x)) = p(0)q(0) = ψ(p(x))ψ(q(x))
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(ii) Ker(ψ) = 〈x〉:
En efecto, dado p(x) = a0 + a1x+ ...+ anxn ∈ F[x] se tiene:
ψ(p(x)) = 0 ⇔ p(0) = 0⇔ a0 = 0⇔ p(x) ∈ I⇔ p(x) ∈ 〈x〉
por la parte a).
(iii) Im(ψ) = F:
Dado a ∈ F podemos tomar p(x) = x+ a ∈ F[x]. Entonces a = p(0) = ψ(p(x)) ∈ Im(ψ).
(iv) F[x]/〈x〉 ∼= F:
Por el Primer Teorema del Homomorfismo:
F[x]/Ker(ψ) ∼= Im(ψ)
Luego:F[x]/〈x〉 ∼= F �
4. ¿Es Q[x]/〈x2 − 4〉 un cuerpo? ¿Porque? ¿Que sucede con Q[x]/〈x2 + 4〉?
Respuesta: Q[x]/〈p(x)〉 es un cuerpo si y solo si 〈p(x)〉 es un ideal maximal. Y 〈p(x)〉 es un idealmaximal si y solo si p(x) es irreducible. Para el caso p(x) = x2 − 4 tenemos p(x) = (x − 2)(x + 2),luego p(x) no es irreducible y por lo tanto Q/〈x2 − 4〉 no es un cuerpo. Para p(x) = x2 + 4 tenemosque p(x) es irreducible pues no tiene raıces en Q, por lo tanto Q/〈x2 + 4〉 es un cuerpo �
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