SEMESTRE ACADÉMICO 2014-II

Agosto 2010

“Firmes en nuestro compromiso de alcanzar nuestra visión de ser competitivos e innovadores para tener acreditación internacional y contribuir

al desarrollo sostenido.”

MATEMÁTICA BÁSICA

-DETERMINANTE E INVERSA

DE UNA MATRIZ

1

CONTENIDOS

Determinante de una matrizRegla de Sarrus

Propiedades de los determinantes

Matriz inversa

Matriz inversa por el método de la adjuntaMatriz inversa por Gauss Jordan

2

¿QUÉ ES EL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ?

¿Cómo se halla el

determinante de

una matriz?

¿Cuáles son sus

propiedades?

¿Qué métodos existen para hallar

el determinante?

¿En que usa el

determinante de una

matriz?

3

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

4

Asociamos con cada matriz cuadrada, a un número llamado determinante y denotamos por:

( )Det A A

11 1211 22 21 12

21 22

a aSi A A a a a aa a

2 2

2 31 5 x

A

Ejemplo: Hallar el determinante de la siguiente matriz

Solución: (2)(5) ( 1)( 3) 7A

• Determinante de una matriz de orden 2

5

• Regla de SarrusDada la matriz general de orden 3x3 siguiente:

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 3

Su determinante se obtiene multiplicando y sumando algebraicamente sus elementos de la siguiente forma

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aaaaaa

aaaaaaaaa

A

11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12 A a a a a a a a a a a a a a a a a a a

6

Propiedades de los determinantes1. Si cada una de las entradas de una fila (o columna) de A es 0, entonces

2. Si dos filas o columnas son idénticas, entonces

5. Si k es una constante y A es de orden n, entonces

6. Si una matriz es triangular, su determinante es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

BAAB

T TA A

0A n nkA k A

7.

8.

7

Determinante de una matriz por Menores complementarios

11 12 1

21 22 2

1

1 2

( ) ( 1)

nn

i nnin in

i

n n nn

a a aa a aDet A A a M

a a a

Donde es el determinante de la submatriz de orden (n-1).(n-1) de la matriz A que se obtiene omitiendo su i - ésima fila y n – ésima columna. El determinante se llama el menor del elemento .

El determinante de una matriz, mediante el método de menores complementarios, queda definido de la forma siguiente:

inM

inMina

8

Ejemplo:

3 2 14 1 1

2 0 8A

3 2 1 2 1 3 1 3 24 1 1 2 0 8 1 1 4 1 4 12 0 8

A

34A

Hallar el determinante de la siguiente matriz: Solución

2(2 1) 0 8(3 8) A

4 2 42 0 35 1 6

A

Hallar el determinante de la siguiente matriz:

MATRIZ DE COFACTORES

9

Ejemplo:

Si A es una matriz cuadrada de orden n, su matriz de cofactores se define por:

xC ij n nA c ( 1)i jij ijc M , donde

2 0 11 2 43 1 5

A

Si Hallar su matriz de cofactores

10

Hallando cada ( 1)i jij ijc M

112 4 10 4 61 5c 12

1 4 (5 12) 73 5c

6 7 51 7 2

2 7 4cA

131 2 1 6 53 1c 21

0 1 (0 1) 11 5c

222 1 10 3 73 5c 23

2 0 ( 2 0) 23 1c

31 0 1 0 2 22 4c 32

2 1 (8 1) 71 4c

332 0 ( 4 0) 41 2c

ADJUNTA DE UNA MATRIZ

• Matriz de orden 2

11

: Si A a bc d adj A

d -b-c a

Ejemplo:

3 5: 1 2Si A 2 5 ( ) 1 3Adj A

• Matriz de orden 3

12

Si A es una matriz de orden 3, la adjunta es la transpuesta de su matriz de cofactores.

( ) TcAdj A A

2 0 11 2 43 1 5

A

Ejemplo:

Del ejemplo anterior tenemos :

Por tanto

6 7 51 7 2

2 7 4cA

6 -1 2

7 7 -7 5 2 4

adjA

13

Propiedades: • A.A-1 = I• I -1 = I• (A-1 ) -1 = A• (AT ) -1 = (A-1 ) T • (A.B) -1 = B-1 . A-

1

MATRIZ INVERSA

Si A y B son dos matrices cuadradas tal que AB = BA = I, entonces A y B se denominan matrices inversas, es decir, A es la inversa de B, y B es la inversa de A.La inversa de la matriz A se simboliza como: A-1Observación

• Una matriz A que posee inversa, se llama matriz inversible.

• Una matriz A que no posee inversa, se llama matriz singular o no inversible.

• A es una matriz no singular si y sólo si: 0A

Métodos para hallar la inversa

de una matriz

Adjunta

Gauss

Jordan

MATRIZ INVERSA POR EL METODO DE LA ADJUNTA

Si A es una matriz no singular, su inversa es:

15

AdjAA

A 11

Ejemplo Hallar la inversa de la siguiente matriz: 1 3

2 4A

Inversa de una matriz de orden 2

16

1 3 4 6 102 4A

1º Hallando el determinante de A

2º Hallando la matriz adjunta de A

4 3( ) 2 1Adj A

1

4 3

10 102 1

10 10

A

3º La inversa de A es:

17

Ejemplo Hallar la inversa de la siguiente matriz:

Inversa de una matriz de orden 3

142021231

A

1º Hallando el determinante de A

1 3 2 2 31 2 0 1 2

2 4 1 2 4A

(2 0 8) (8 0 3) 11A

18

2º Hallando la matriz de cofactores de A

112 0 24 1

c 131 2 8

2 4c

213 2 5 54 1

c 221 2 32 1

c 231 3 2 22 4

c

331 3 51 2

c

2 1 8 5 3 2

4 2 5CA

121 0 ( 1) 1

2 1c

313 2 42 0

c 32

1 2 (2) 21 0

c

19

3º Hallando la adjunta de A

4º La inversa de A es:

TCAAdjA

2 5 4 1 3 28 2 5

AdjA

528231452

1111A

2 5 411 11 111 3 2 11 11 11

8 2 511 11 11

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Es el conjunto de operaciones o procesos que se realizan sobre las filas de una matriz. No modifican su orden ni su característica y permite obtener una segunda matriz equivalente a la primera.Las operaciones elementales son las siguientes:Notación Transformaciones elementales de filas

Intercambiar las filas y Multiplicar la fila por la constante Sumar k veces la fila a la fila

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES SOBRE FILAS EN UNA MATRIZ

ji FF

ikFiF

k

i jkF F

jF

iF jFiF

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MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE GAUSS JORDAN

(Operaciones elementales)

Sea A es una matriz cuadrada de orden n. Para calcular su inversa se sigue los siguientes pasos:

1. Se construye una matriz de la forma M = ( A | I ); es decir, a la matriz A se le amplia con la identidad, formándose una matriz llamada matriz ampliada o aumentada.

2. Utilizando las operaciones elementales sobre filas (método Gauss), se transforma la matriz A, en la matriz identidad: M = ( I | A-1). La matriz que resulta en el lado derecho, será la matriz inversa de A.

IA O.E 1AIEsto es

22

EjemploHallar la inversa de la matriz A por el método de Gauss

Solución

0

1 1 0A 1 1

0 1 0

21 FF 2F

12 FF

32 FF

3 2F F

13 FF

Por lo tanto la matriz inversa de A es:

1 0 -1

-1A 0 0 1-1 1 1

1 1 0 1 0 01 0 1 0 1 00 1 0 0 0 1

1 1 0 1 0 00 1 1 1 1 00 1 0 0 0 1

1 1 0 1 0 00 1 1 1 1 00 1 0 0 0 1

1 1 1 0 1 00 1 1 1 1 00 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 10 1 0 0 0 10 0 1 1 1 1

REPASO PARA EL EXAMEN FINAL