Post on 25-Dec-2015
Pendiente de la recta tangente ( )
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En el límite, cuando h 0, la recta secante “se confunde” con la recta tangente en x0, y podemos decir que:
Note que: 0 0
SL
f x h f xm
h
0 0
0 0lim lim
T SL Lh h
f x h f xm m
h
TLm
Derivada de una función en un punto
DEFINICIÓN. La derivada de una función “f “en un punto “a”, denotada con f’(a), es:
h
afhaflímafh
)()()('
0
Si este límite existe
DEFINICIÓN Alterna.
ax
afxflímaf
ax
)()()('
Interpretación geométrica de la derivada
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• La derivada de una función “f” en un número “a” es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a; f(a)).
Ejemplo: De la gráfica, halle f ´(2) e indique la ecuación de la recta tangente en x=2.
La derivada como una función
DEFINICIÓN. Si en la definición anterior, cambiamos el número “a” por la variable “x”, obtenemos:
En este caso, f’ es una nueva función llamada derivada de f.
h
xfhxflímxfh
)()()('
0
Ejemplo: Encontrar la derivada de 2)( xxf
Notación
x
df(x)f '(x) D f(x)
dx
REGLAS DE DERIVACIÓN
1nn nx(x)'fentonces,xf(x)Si
0(x)'f:entoncesN,f(x)Si
1(x)'f:entoncesx,f(x)Si
NOTA :
Kf´(x)(x)g'entoncesKf(x),g(x)Si
número) (cualquier costante unaK Sea
REGLAS DE DERIVACIÓN
(x)g'(x)' fg(x))'(f(x)
(x)g'f(x)g(x)(x)' fg(x))'(f(x)
'
2
Sean f(x) y g(x):
f(x) f '(x) g(x) f(x) g'(x)g(x) g(x)
Sean “f” y “g” funciones con derivadas y entonces, se cumplen las siguentes propiedades algebraicas
' f ' g
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL
Si f(x) = ex, entonces f ´ (x) = ex
Si f(x) = ax, entonces f ´ (x) = axln(a)
FUNCIÓN LOGARITMO
1f(x) ln(x) f '(x)
x
a a1
f(x) log (x) f '(x) log ex
xcscx.cotan(x)F'cscxF(x)
xcsc(x)G'cotanxG(x)
secx.tanx(x)z'secxz(x)
xsec(x)h'tanxh(x)
cosx(x)g'senxg(x)
senx(x)f'cosxf(x)
2
2
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
¿Cambia la posición del felino?
• ¿Varía la posición de su cuerpo?
• ¿Respecto de que variable física percibes esa variación?
El tiempo es fundamental en muchos de los procesos de variación.
Observa con atención:
APLICACIÓN DE LA DERIVADA
¿La paloma se desplaza?
¿Te podrás imaginar cuanto se mueve en:
• Un minuto ...• Un segundo ...• Una décima de
segundo ...• Una milésima de
segundo ...
¿Qué tan pequeño puedeser el tiempo para que
percibas el movimiento?
¡A veces la variación no es lenta!
• ¿Qué magnitudes físicas crees que varían en este caso?
• La relación de variación se puede considerar respecto de dos variables mutuamente dependientes.
Aquí se observa una relación volumen/presión
ALGUNAS APLICACIONES
A LA FÍSICA: • Si x(t) es la posición en el instante “t” , entonces x’(t) es la
velocidad v(t) en el instante “t”. ( v(t)= x’(t) )• Si v(t) es la posición en el instante “t” , entonces v’(t) es la
aceleración a(t) en el instante “t”. ( a(t)= v’(t) )
A LOS INGRESOS Y COSTOS:Sean I(q), C(q), U(q) las funciones ingreso, costo y utilidad respectivamente, entonces:
• Ingreso Marginal = I’(q) .• Costo Marginal = C’(q).• Utilidad Marginal = U’(q).