Post on 04-Feb-2021
Dinámica de Sistemas
Neuronales
Germán Mato
Física Estadística e Interdisciplinaria
Centro Atómico Bariloche
CNEA y CONICET
Escuela “J. A. Balseiro” 2014
Modelado en Neurociencias
• Lunes
– Modelos de conductancia (1 neurona)
• Martes
– Modelos reducidos (1 neurona)
• Miércoles
– Modelos de bursts (1 o mas neuronas)
• Jueves
– Osciladores acoplados (redes)
– Estado balanceado (redes) (Soledad
Gonzalo)
• Viernes
– Seminario
– Práctica
Dinámica Neuronal
• Membrana lipídica
• Permeabilidad selectiva
• Bombas iónicas
Dinámica Neuronal
• Desbalance en la concentración de
iones
• Diferencia de energía entre el
interior y el exterior de la
membrana:
eVE
Tk
E
Ion
Ion
Bout
inexp
][
][
Dinámica Neuronal
• Ecuación de Nernst
• Para este valor del potencial el flujo neto
de la corriente de iones es nulo
• Si la membrana es permeable a un solo
ion este es un valor de equilibrio
in
outB
ion
Ion
Ion
e
TkV
][
][ln
Dinámica Neuronal
• Normalmente hay mas de una
especie iónica que puede pasar a
través de la membrana
• Ecuación de Goldman-Hodgkin-Katz:
outClinKinNa
inCloutKoutNaB
ClPKPNaP
ClPKPNaP
e
TkV
][][][
][][][ln
Dinámica Neuronal
• Deducción ecuación de Goldman-
Hodgkin-Katz:
membrana
interior exterior
z
0 L
Ion monovalente A (carga nAe, nA=+/- 1), concentración [A](z),
diferencia de potencial V, campo eléctrico V/L
Dinámica Neuronal
• Deducción ecuación de Goldman-
Hodgkin-Katz:
Flujo del ion A:
Ec. de Stokes-Einstein:
enL
VA
dz
AdDj
AAAA][
][
mobilidad:
difusión de constante:
A
AD
TkDBAA
Dinámica Neuronal
• Deducción ecuación de Goldman-
Hodgkin-Katz:
out
in
A
A
L
A
BA
A
A
B
AA
dz
enL
V
Tk
A
D
j
Ad
enL
V
Tk
A
dz
AdDj
][
][
0][
][
][][
Dinámica Neuronal
• Deducción ecuación de Goldman-
Hodgkin-Katz:
L
DP
Tk
eVc
cn
cnAAPcnj
A
A
B
A
Ainout
AAA
)exp(1
)exp(][][
Dinámica Neuronal
• Deducción ecuación de Goldman-
Hodgkin-Katz:
• La corriente eléctrica asociada al ion A es:
y la condición que la corriente eléctrica total se anule es:
0
A
Atot
AAA
JJ
jenJ
Dinámica Neuronal
• Deducción ecuación de Goldman-
Hodgkin-Katz:
• lo que resulta en:
A A
Ainout
A
cn
cnAAP 0
)exp(1
)exp(][][
Dinámica Neuronal
• Deducción ecuación de Goldman-
Hodgkin-Katz:
• Usando y separando iones positivos y
negativos:
A A
inout
A
inout
Ac
cAAP
c
cAAP 0
)exp(1
)exp(][][
)exp(1
)exp(][][
1A
n
Dinámica Neuronal
• Deducción ecuación de Goldman-
Hodgkin-Katz:
• De aquí se obtiene:
Y despejando exp(c):
A A
inout
A
inout
Ac
cAAP
c
cAAP 0
1)exp(
)exp(][][
)exp(1
)exp(][][
Dinámica Neuronal
• Deducción ecuación de Goldman-
Hodgkin-Katz:
se obtiene:
A
outA
A
inA
A
inA
A
outA
BAPAP
APAP
Tk
eV
][][
][][
)exp(
Dinámica Neuronal
• Corrientes iónicas a través de la
membrana
)(ionionion
VVgI
:ion
V Potencial de inversión
:ion
g Conductancia
Dinámica Neuronal
)(ionionion
VVgI
(ver ejercicio 1 de la práctica)
Dinámica Neuronal
• Exceso de cargas negativas en el
interior de la membrana
•
• Exceso de sodio en el exterior:
• Exceso de potasio en el interior:
• En “reposo” el ion mas permeable es
el potasio
mVV 8050
mVVNa
50
mVVK
80
Dinámica Neuronal
Circuito equivalente
Dinámica Neuronal
• Si las conductancias iónicas fueran
constantes, el sistema sería lineal y
alcanzaría siempre algún estado de
equilibrio.
ion
extionII
dt
dVC
)(ionionion
VVgI
Dinámica Neuronal
• La descripción “standard” de los
modelos de conductancia tiene en
cuenta la ecuación de conservación
de la corriente mas la dinámica de
las conductancias iónicas
• Los potenciales de inversión
se suponen constantes
iong
ionV
Dinámica Neuronal
• En principio el flujo de los iones
debería modificar al cambiar el
cociente
• Pero este es un efecto de “volumen”,
mientras que el cambio de potencial
eléctrico es un efecto de “superficie”
in
out
Ion
Ion
][
][ion
V
Dinámica Neuronal
• Se puede lograr la depolarización de
la membrana con un cambio
despreciable en la concentración!
(ver ejercicio 2)
• Las bombas iónicas se pueden
encargar de mantener las
concentraciones constantes
• Conductancia iónicas no-lineales
• Los canales son altamente selectivos
Dinámica Neuronal
• Corriente a través de uno de los
canales de la membrana
Dinámica Neuronal
• El canal se abre o cierra
aleatoriamente
• Controlado por cambios
conformacionales del canal
• La probabilidad de apertura
depende del potencial de la
membrana
Dinámica Neuronal
Dinámica Neuronal
• Ecuación maestra:
1-β
Abierto
β α
1-α
Cerrado
AbiertoAbierto
AbiertoPP
dt
dP)1(
Dinámica Neuronal
• O equivalentemente:
donde:
Abierto
Equilibrio
AbiertoAbiertoPP
dt
dP
1,
Equilibrio
AbiertoP
Dinámica Neuronal
• En principio se necesitan varios cambios
conformacionales para abrir un canal.
• La probabilidad total será el producto de
las probabilidades.
• Por ejemplo para el canal de potasio del
modelo Hodgkin-Huxley se necesitan 4
cambios:
Dinámica Neuronal
• Canal de potasio HH
donde
40
nggKK
)(
)(
V
nVn
dt
dn
n
Dinámica Neuronal
• Variable de activación
-100 -80 -60 -40 -20 0 200,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
nin
f(V
)
V (mV)
Dinámica Neuronal
• Canal de sodio HH
hmggNaNa
30
)(
)(,
)(
)(
V
hVh
dt
dh
V
mVm
dt
dm
hm
Dinámica Neuronal
• Variables de activación e
inactivación
-100 -80 -60 -40 -20 0 200,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
min
f(V
)
V (mV)
-100 -80 -60 -40 -20 0 200,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
hin
f(V
)
V (mV)
Dinámica Neuronal
• Dinámica HH
(ver ejercicio 3)
)(/))((/
)(/))((/
)(/))((/
)()()(/43
VnVndtdn
VhVhdtdh
VmVmdtdm
IVVgVVngVVhmgdtCdV
n
h
m
extClClKKNaNa
Dinámica Neuronal
• Potencial de acción
Dinámica Neuronal
Propagación potencial
de acción
Dinámica Neuronal
Propagación potencial
de acción
axial aresistenci :
diametro :
),(4
),(),(),(
2
2
R
d
txx
V
R
dtxItxI
t
txVC
ion
extion
Dinámica Neuronal
Modelos multi-
compartimentales
Dinámica Neuronal
• Las neuronas son sistemas
dinámicos.
• Los estados de reposo
corresponden a equilibrios estables.
• Las oscilaciones periódicas estables
son ciclos límites.
• La transición entre un
comportamiento y otro involucra
una bifurcación.
Dinámica Neuronal
1. Potencial de membrana
2. Variables de excitación (corrientes
de sodio)
3. Variables de recuperación
(corrientes de potasio)
4. Variables lentas (corrientes de
calcio): bursts, adaptación.
Dinámica Neuronal
Dinámica Neuronal
Bifurcaciones saddle-node
Dinámica Neuronal
Bifurcaciones Hopf
Dinámica Neuronal
• La forma de la bifurcación controla:
1. La curva f-I (clase 1 o clase 2)
2. Cuales son los estímulos óptimos
para generar potenciales de acción
(integradores o resonadores)
3. Si los potenciales de acción son
todo o nada
Dinámica Neuronal
• Curvas f-I:
Tipo I
Modelo WB
Tipo II
Modelo HH
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
0
20
40
60
80
100
f (H
z)
Iext
0 10 20 30
0
20
40
60
80
100
f (H
z)
Iext
Dinámica Neuronal
• Curvas f-I:
Tipo I
Modelo WB
Tipo II
Modelo HH
Dinámica Neuronal
• Altamente no-lineal
• Coexisten varias escalas de tiempo
• Puntos fijos y estados oscilatorios