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DISEÑO DE FILTRO FIR PASABANDA UTILIZANDO EL MÉTODO DE ENVENTANADO BARTLETT
( 24 JUNIO 2011 )
Félix Antonio Palacios Abarca, Luis Antonio Sánchez Flores
Abstracto: En el presente documento se tratara de exponer, la forma de diseñar un filtro digital FIR, con las siguientes características: que sea pasabanda y que además sea implementado mediante el método de enventanado BARTLETT. El filtro debe satisfacer las siguientes características como el de poseer dos frecuencias de stop y dos frecuencia de paso, que han sido previamente definidas, yque más adelante se mostrara en el cuerpo del trabajo.
INTRODUCCIÓN
Los filtros son sistemas que se
diseñan principalmente para eliminar ciertas
componentes no deseadas de una señal.
Generalmente estas componentes no
deseadas se definen en función de sus
componentes de frecuencia. Un filtro ideal
permite el paso de ciertas frecuencias sin
modificarlas y elimina completamente otras;
esto en la realidad no se puede lograr con
exactitud ya que no existen componentes
precisos en el mercado, razón por la cual setienen aproximaciones. El intervalo de
frecuencias que deja pasar un filtro se le
llama banda de paso y todas las frecuencias
que elimina se le llama banda de supresión.
El ancho de banda de un filtro digital
depende de la frecuencia de muestreo, y
estos se pueden implementar tanto en
software como en hardware. Se conocen
usualmente dos tipos de filtros que se eligen
según las necesidades y la naturaleza del
problema, estos filtros se les conoce como
FIR e IIR. Este proyecto se enfoca en la
construcción de un filtro FIR para lo cual en
primer lugar se presentara un desarrollo
teórico del diseño de un filtro digital FIR,
cumpliendo las condiciones de tener una
frecuencia de supresión iguales a f stop1 = 900
Hz , f stop2 = 1600 Hz y una frecuencia de
paso f pass1 =1000 y f pass2 =1500 , que para
nuestro caso son las condiciones de diseño
pedidas. Además de todo se presentara la
implementación de este mediante la técnicade enventanado Bartlett.
MARCO TEÓRICO
Los filtros de respuesta finita al
impulso (FIR finite impulse response) tienen
la ventaja de ser utilizados con facilidad y
poseer fase lineal para una respuesta al
impulso par o impar, a esta propiedad se le
llama simetría. Otra de las características
que debe de tener un filtro FIR es que debe
ser causal, esto significa que debe tener un
retraso hacia los positivos y no debe existir
señal en frecuencias negativas.
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REPRESENTACIÓN ESQUEMÁTICA.
Existen tres técnicas de diseño de filtros
FIR que son de gran importancia:
1-La técnica de ventanas.
2-La técnica de muestreo en frecuencia.
3-La técnica de diseños con rizadouniforme.
De las diferentes técnicas de diseño se
desarrollo la técnica de ventaneo con la que
lo primero es decidir las especificaciones de
respuesta en frecuencia ideal de nuestro
filtro como Hd(e jω) y luego determinar su
correspondiente respuesta al impulso ideal
hd(n).
La técnica de diseño que se utilizara para
construir un filtro paso banda, está basada en
la construcción de dos filtros ideales, que
como se dijo en el apartado anterior están
denotados con Hd(e jω
) a las frecuencias de
interés.
Un esquema de lo descrito anteriormente
seria como el que se muestra en la siguiente
fig.1
Fig.1 Filtro ideal pasabanda construido a partir de dos paso bajo.
Nosotros representaremos a un filtro
seleccionador de frecuencia ideal por medio
de Hd(e jω
) el cual tiene una ganancia de
magnitud uno y una característica de fase
línea sobre su banda de paso y unarespuesta de cero sobre sus bandas de
supresión. La representación de un filtro
ideal de ancho de banda Wc < π viene dado
por:
Donde:
Wc: frecuencia de corte.
α : el retardo.
La respuesta al impulso de este filtro ideal es
de duración infinita y viene dada por.
Que se obtuvo al aplicar la transformada
inversa de Fourier a la función de respuesta
en frecuencia de un filtro ideal paso bajo,
notando que hd(n) es simétrica con respecto
a α.
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Para obtener un filtro FIR de hd(n), se tiene
que truncar a ambos lados de la función
respuesta al impulso ideal. Y además para
obtener un filtro FIR de fase línea y causal
h(n) de longitud M, debemos tener:
A la cual se le llama enventanado. En
general la respuesta al impulso de un filtro
real está realizado por la multiplicación de
hd(n) con una función ventana w(n) como se
muestra en la siguiente expresión.
Donde:
Dependiendo como definamos w(n) así
obtendremos diferentes diseños para las
ventanas.
Para el diseño que aquí se implementa
( ventana Bartlett ) una expresión que
representa a la ventana es la que se nuestra a
continuación.
Que para el caso hipotético de una ventana
de longitud M=45 obtenemos el resultado
que se muestra en la fig.2
Fig.2 ventana Bartlett de longitud M=45En el dominio de la frecuencia la respuesta
del filtro FIR causal Hd(e jω) está dada por la
convolucion periódica de Hd(e jω
) y de la
ventana W(e jω) que es.
De la cual se muestra un resultado grafico
aproximado de la convolucion en la fig.3,para el cual la ventana es rectangular.
Que es la operación del enventanado en el
dominio de la frecuencia.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n
w ( n )
Ventana Bartlett
M=45
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IMPLEMENTACIÓN DE CÓDIGO MATLAB PARA UN DISEÑO DE FILTRO FIR POR EL MÉTODO
DE VENTANA BARTLETT.
Para nuestro caso se busca construir un filtro
FIR (Bartlett ) pasa-banda con las siguientes
características: (Todas las frecuencias están
en Hz )
fs1=900; fp1=1000;
fp2=1500; fs2=1600;
%para nuestro caso, para sacar lafrecuencia de muestreo nos basamosen la frecuencia máxima del filtro,siendo esta dos veces la frecuenciamáxima o mayor eligiendo la quemejor se ajuste a los resultadospresentados.
fmax=fs2;
fm=3*fmax; %frecuencia de muestreo
Un esquema del diseño a implementar es elque se muestra en el grafico inferior.
Lo que significa que para nuestro caso todas
las frecuencias serán normalizadas con
respecto a fm.
Para un mayor orden el diseño del código
fuente se efectuara en tres archivos llamados:
Pasobajo.m freqz_modificado.m pasabanda.m
Pasobajo.m
Este código contiene la realización de un
filtro pasobajo ideal hd(n), mediante la
implementación de su función sinc.
Para la cual el código fuente que desarrollala expresión mostrada arriba en cómo se
muestra a continuación:
%filtro pasobajo ideal función hd=pasobajo(wc,M); % hd = respuesta al impulso delfiltro ideal 0-(M-1) % wc = frecuencia de corte enradianes/s % M = longitud del filtro ideal alpha=(M-1)/2;
n=[0:1:(M-1)]; m = n-alpha+eps; hd=sin(wc*m)./(pi*m);
Con la resta de la respuesta de este código
podemos implementar nuestro filtro
pasabanda que es la respuesta al impulso
ideal de un filtro paso bajo.
0 f (Hz)
|H(f)|
Wstop1
Wpass
Wstop2
|F
pass1
|F
pass2
|F
stop1
|F
stop2Fs/2
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freqz_modificado.m
Creada para obtener la magnitud de la
respuesta en frecuencia, su angulo de fase y
la magnitud en dB de la misma. Cabe
mencionar que esta función obtiene la
respuesta en frecuencia compleja de la
respuesta al impulso de un filtro paso bajo
ideal.
%funsion freqz modificado function [db,mag,pha,w]=freqz_modificado(b,a); % db = magnitud relativa en dBsimulada sobre 0-pi. % mag = magnitud absoluta simuladasobre 0-pi. % pha = respuesta de fase enradianes de 0-pi. % w = 501 muestras en frecuenciaentre 0-pi. % b = coeficientes del polinomiodel numerador H(z).
% a = coeficientes del polinomiodel denominador H(z) para un filtrofir [a]=1. [H,w]=freqz(b,a,1000,'whole')%respuesta en frecuencia compleja. H=(H(1:1:501))';w=(w(1:1:501))'; mag=abs(H); db=20*log((mag+eps)/max(mag)); pha=angle(H);
los vectores de H y w están arreglados para
que operen de 0-pi en frecuencia angular.
Estas dos funciones anteriores son llamadas
por el programa pasabanda que se detalla a
continuación.
pasabanda.m
Este es el programa principal que llama a las
demás funciones anteriormente creadas.Este archivo además contiene todos los
parámetros de diseño necesarios del filtro a
implementar así como la señal que va ser
filtrada por este.
El código resultante es el siguiente.
%FILTRO PASO BANDA TIPO BARTLETT %Generación de la señal TC másruido fm =3*1600; fp1=1000; fp2=1500;
fc1=950; fc2=1550; fcentral=(fp1+fp2)/2; N = 1024; %Total de muestras t = 0:1/fm:(N-1)/fm; x =sin(2*pi*fcentral*t)+sin(2*pi*fc1*t)+sin(2*pi*fc2*t); %Ruido %Conversion TC a TD fcentraln = fcentral/fm;fc1n=fc1/fm; fc2n=fc2/fm; n = t*fm; xn =sin(2*pi*fcentraln*n)+sin(2*pi*fc1n
*n)+sin(2*pi*fc2n*n); %Ruido %Diseño del filtro FIR pasabanda fs1=900; fp1=1000; fp2=1500; fs2=1600; fmax=fs2; fm=3*fmax; %frecuencia de muestreo %las frecuencias angularesnormalizadas a la frecuencia demuestreo. % w=2*pi*f, entonces al normalizartenemos. ws1=2*pi*fs1/fm; %frecuencia destop1 wp1=2*pi*fp1/fm; %frecuencia de
paso1 wp2=2*pi*fp2/fm; %frecuencia depaso2 ws2=2*pi*fs2/fm; %frecuencia destop2 banda_tr=min((wp1-ws1),(ws2-wp2)); M=ceil(6.1*pi/banda_tr)+1; n=[0:1:M-1]; wc1=(ws1+wp1)/2; wc2=(wp2+ws2)/2;
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hd=pasobajo(wc2,M)-pasobajo(wc1,M);% respuesta al impulso ideal ventana=(bartlett(M))'; h= hd.*ventana;% respuesta al impulso real b=h; %para nuestro caso b==h para elcaso del filtro FIR y [a]=1. [db,mag,pha,w]=freqz_modificado(h,[1]); %respuesta del filtro a la señal deentrada. %y = conv(b,xn); %[HH,ww]=freqz(y,1); %plot(ww/pi,abs(HH)); %graficando los resultados subplot(2,2,1);stem(n,hd);title('Respuesta al Impulso ideal') axis([0 M-1 -0.40.5]);xlabel('x[n]');ylabel('hd[n]'
) subplot(2,2,2);stem(n,ventana);title('Ventana Bartlett') axis([0 M-1 01.1]);xlabel('x[n]');ylabel('w[n]') subplot(2,2,3);stem(n,h);title('Respuesta al Impulso real') axis([0 M-1 -0.40.5]);xlabel('x[n]');ylabel('h[n]') subplot(2,2,4);plot(w/pi,db);title('Magnitu Respuesta en frecuencia endB');grid; axis([0 1 -200
10]);xlabel('Frecuencia en unidadesde pi');ylabel('[dB]') legend('wc1=0.39 and wc2=0.64') %Pone una leyenda
Donde para encontrar el valor de M sedispuso de la siguiente tabla para el diseño
de filtros por medio de ventanas.
El resultado obtenido al ejecutar el código
fue el siguiente:
Con M = 148
La banda de transición es igual a (6.1*pi)/M
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Esta es la grafica de respuesta en frecuencia
en magnitud de dB. En donde se observa
que antes de wc1 y después de wc2 el filtro
atenúa su magnitud, que es lo que se andaba
buscando. Y dentro de la frecuencia de paso
deja pasar las señales.
La respuesta del filtro al introducir una señal
es tal como se muestra en la grafica inferior
La cual nos dice que para una señal que este
dentro de la banda de paso, esta no sufre
atenuación, y para señales interferentes e
iguales en frecuencia a la de corte y con un
mismo valor en amplitud que la señal
fundamenta o frecuencia de banda media,
estas se atenúan hasta caer en un 30%
aproximadamente de la amplitud de la señal
fundamental.
Características de la señal introducida:
%señal fundamental.xn = sin(2*pi*fcentraln*n)%ruido a las frecuencias de corte.+sin(2*pi*fc1n*n)+sin(2*pi*fc2n*n)%A estas frecuencias la señal seatenúa en 30% de la amplitud de laseñal fundamental.
CONCLUSIONES
♦ Para diseñar un filtro, primero partimos de la respuesta en frecuencia de un filtroideal paso bajo.
♦ La respuesta al impulso de un filtro ideal paso bajo es una sinc infinita.
♦ Para crear un filtro FIR tenemos que truncar la respuesta al impulsó queequivale a enventanar la sinc.
BIBLIOGRAFÍA:
- Tratamiento digital de la Seña usando MATLAB V4, Proakis.
-Documento ITQ, Martínez Barrera.
-Señales : Openhim
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
50
100
150
200
250
300
350
400
450
frecuencia angular en unidades de pi
Y ( e j w )