Post on 17-Mar-2020
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Gloria Frontini
INTEMAUniv. Nacional de Mar del Plata
ARGENTINA
Proceso básico de la dispersión de Ondas Electromagnéticas
• La materia está compuesta de cargas eléctricas• Cuando se iluminan con radiación, las cargas oscilan• Las cargas aceleradas emiten radiación secundaria
que se denomina radiación dispersada• Se puede mostrar que un material homogéneo no
produce scattering• La dispersión está asociada a las discontinuidades de
la materia
La física de la interacción de una onda electromagnética con una esfera es sumamente complicada.
Sin embargo, Mie encuentra una solución analítica relativamente sencilla desde el punto de vista matemático.
Teoría de Mie (1908) Una partículas esférica y homogénea
Haz incidente monocromáticoDispersión elástica
�������������� �������������������� �������� ���������� ������������������������������ ������������������������������ ���������� ��� �� ����� ��������������
∇(εE)=0∇×E =iωµΗ∇.Hc =0∇×H = -iωεE
ε : permitividad ; µ permeabilidad
����������������� ����������� ������������ � ������������� ������������������� � ������������������� �������
�������� �!��������
��� �!�������"����������������λ
Teoría de Mie (1908)
RayleighRayleigh, , DebyieDebyie, , LorentzLorentz
Índice de refracción relativom = np/ nm
parámetro de tamañox = π D nm / λ
En general, n = N + i k
Constantes ópticas: coeficiente de
dispersióncoeficiente
de absorción
� La dispersión S resulta expresada a partir de las amplitudes de dispersión S1 y S2 con una relación que depende de la polarización del haz incidente.
Así, puede demostrarse que � para un haz incidente no polarizado la expresión a
utilizarse es:
� para un haz polarizado perpendicularmente es
� para un haz paralelamente polarizado será
Teoría de Mie
( )22
212
1),,( SSmDS +=θ
21),,( SmDS =θ
22),,( SmDS =θ
Donde:
( )nnnnn
bannn
mDS τπθ +++=�
∞
=11 )1(
12),,(
( )nnnnn
bannn
mDS πτθ +++=�
∞
=12 )1(
12),,(
La solución buscada es para una distancia mucho mayor que la longitud de onda, en la llamada “zona lejana”.
Las amplitudes de dispersión S1 y S2 resultan expresadas mediante una serie infinita.
Teoría de Mie
Los coeficientes an y bn dependen del tamaño y propiedades de la partícula, dados por mx Se pueden calcular en términos de las funciones esféricas de Ricatti-Bessel.
Las funciones dependientes del ángulo se calculan en términos de las funciones asociadas de Legendre (Pm
n), πn = P1
n/ sen (θ)τn = dP1
n/dθ
)mx(')x(')x(')mx(m)mx(')x()x(').mx(m
annnn
nnnnn ψξξψ
ψψψψ−−=
)mx(')x(m)x(')mx()mx(')x(m)x(').mx(
bnnnn
nnnnn ψξξψ
ψψψψ−−=
an(D,m)
bn(D,m)
Convergencia
� La solución de Mie permaneció sin uso hasta la invención de las computadoras veloces.
� Hay que calcular aproximadamente x términos para asegurar el resultado en las series en las que se expresan S1 y S2.
� Los cálculos de πn y τn son muy sencillos.
Modelo matemático para el problema directo
� Sistemas particulados polidispersos (f(D))
� Dispersión simple, independienteelástica
dDDfmDScmID
D
)(),,(),(2
1
0 θθ �=
�������������� ����������� ���� ���������������� ���� ��������� ������������������������������������������ �����������
� �������������������������������� �� �������������� �����
La onda dispersada tiene la misma frecuencia que la onda incidente
Técnicas de Medición de Dispersión
N p partículas por unidad de volumen
I(θ)Scatteringprimario
Scattering secundario (despreciable si Vp/V ≈10-4 )
Técnicas de Medición de Dispersión de Luz
����� � ���� �� ������1 10 102 103 104 nm
���� ������������������ �����#��������$� %����� ��
&��� '�%�'(���������� �!'����������� ���������) ��� ��
RDG : 2x(m-1)<<1x=π D / λ ; m= np/ns ; λ = [400 – 900] nm
-150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 300
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
Datos experimentales Obtenidos con en el Laboratorio del INTEMA
agua en aire, x = 3 λ = 550 nm np = 1,33 + 10-8 i a= 260 nm
Espectro de Intensidad de luz dispersada
I(θθθθ)
Identificación de Propiedades
Problema Inverso
A partir de las mediciones de dispersión de luz, caracterizar el sistema
El problema Inversoen Látex Poliméricos
)()()( θεθθε += Ig
Datos:
Espectro de Dispersión de luz angular (simulación)
����������� ���� ����������
����������� ����
������� �!" �#$%
��������������������
������������&���������� ������������'����������� ����
�(�$��� �!" �#$%
����
�����
����
�� ����
������������
m , ���
�∞
=+=0
d)(),;()()()( DDfDmSkIg θθεθθε
PSD(n diámetros)
Medición(m ángulos)
Modelo discreto
(vectorial)
g = E(m) f(p×1) (p×n) (n×1)
Teoría de Mie
�������������� !������� ������������������
0 50 100 15010
-4
10-3
10-2
10-1
100
D= 100 nm
200 nm
300 nm500 nm
D= 1000nm
700 nm
[ º ]θ
Ι(θ)
�������������� !������� ���������� �������
0 50 100 15010
7
108
109
1010
1011
1012
Ι(θ)
θ[ º ]
�����������������������
0 500 1000 1500 2000 25000
2
4
6
8
10
12x 10
6
)�� ����&������
D[nm]
�!����" ����� ������������
Solución del Problema Inverso
-Teoría : Métodos de Regularización
*�+ ���&������� *�+ ������,���������������+����-������������
! ���� ������������������.������������ ���� ����������������������������������������������
���� �������
�����/� ����������������������������� ���� �������������������������������0�����, ������������������
con f ≥ 0
Métodos de Regularización Tikhonov (1963) – Phillips (1969)
22][)( LfgfTfJmin γε +−=
2][ εgfTmin −
Información a-priori sobre la incógnita
Existen criterios para elegir el parámetro de regularización
1� ������������� ���������
������������������ !"!��
�� �� �����������������
���#�$�%� !&&�
�� ��������� �����
��'����'#� !((��
�� � ���!��)�*+'*� !!,��
Regularization Parameter Selection
0 500 1000 1500 2000 25000
2
4
6
8x 106
γ=1E-22
0 500 1000 1500 2000 25000
2
4
6
8x 106
γ= 1 E-14
0 500 1000 1500 2000 2500-2
0
2
4
6
8x 106
D[nm]
0 500 1000 1500 2000 25000
2
4
6
8x 106
γγγγ=1E-24
γ=4.6E-20
Cuál es el mejor método de regularización para el problema físico en cuestión ?
� Analizar la performance de los métodos de Regularización para cada caso particular investigado.
� Analizar la performance de los métodos de Selección del Parámetro.
� Obtener conclusiones generales que permitan afirmar cuales situaciones son factibles de resolverse con un nivel de confianza aceptable.
� Desarrollar nuevos métodos
0 500 1000 1500 2000 25000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
D[nm]
6 3 1 7 4 6 3 1 7 4 6 3 1 7 4 6 3 1 7 42222 5555
20202020 40404040 60606060 80808080 100100100100 120120120120 140140140140 160160160160
10101010-3-3-3-3
10101010-2-2-2-2
10101010-1-1-1-1
101010100000
6666 7777
5555
4444
2222
1111
3333
θθθθ
Ι(θ)Ι(θ)Ι(θ)Ι(θ)
Los resultados se han obtenido a partir de muy pocas suposiciones a priori
� ������������ �����
�������� �
� � ����� � ��������������� �������� �����������
1) Resultados para la estimación de f(D)
100100100100 200200200200 300300300300
-2-2-2-2
0000
2222
4444
6666
8888
10101010
x 10x 10x 10x 104444
D[nm]D[nm]D[nm]D[nm]
900 900 900 900 1000100010001000 1100110011001100-2-2-2-2
0000
2222
4444
6666
8888
10101010
x 10x 10x 10x 104444
D[nm]D[nm]D[nm]D[nm] 1700170017001700 1800180018001800 1900190019001900 2000200020002000
0000
2222
4444
6666
8888
10101010
x 10x 10x 10x 104444
D[nm]D[nm]D[nm]D[nm]
0000 500500500500 1000100010001000 1500150015001500 2000200020002000 2500250025002500
0000
1111
2222
3333
4444
5555
6666x 10x 10x 10x 10
7777
D[nm]
PSD bimodal
0000 200200200200 400400400400 600600600600
-2-2-2-2
0000
2222
4444
6666
8888x 10x 10x 10x 10
8888
D[nm]0000 500500500500 1000100010001000 1500150015001500 2000200020002000 2500250025002500
0000
2222
4444
6666
8888
10101010
12121212x 10x 10x 10x 10
6666
D[nm]
0000 500500500500 1000100010001000 1500150015001500 2000200020002000 2500250025002500-2-2-2-2
0000
2222
4444
6666
8888
10101010x 10x 10x 10x 10
6666
D[nm]
� �����������������!����������#��� ���!��������$
� ���������������������������������� ����/�������+�����1� ������������������������� ��,����������/� �������������-�23����� �������1�!�������������������+ � �4����� ���������5��1������1�
� �� � ���� 467� ���� ����������� γ �� � ��������� ��� ������� 0��������� �.����� ������� ��� ��� ���� �����/��� ������� ������ � ��� ����� ���+�����1
� �� ���� ��� ���� ��� ��+������ � � ��� ���� � ������� � ��,�����������/������f ≥ 0%
� �����������������������/������������������������������������ ��/�+&�������� ����� ���1�6��� ���������������������� ��0��� ���������� �� �� ���������� ��������� ��� � � �,����� ���������/���1
� !��� /��������� ����/� ���������������������� ��������������������������������� �� �������������� ��� ����������γ 1
-150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 300
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
Datos experimentales Obtenidos con en el Laboratorio del INTEMA
D[nm]
f(D)
�+./-�.'0�/+.#/��./�*(with γ=105)
����1��.'23�.'#* 4�5, 67*-*-5 866,9*35 8:(7",9λ5&6,8(9��+'#*�3���#/$
Identificación de f(D) y m
Min
,
22 )]([ )( )]()[())(,()( mfLgmfmTmfmJmJ γθγγ +−==
( ) ,*)()(*)()( 1 gmTLmTmTmf −+= γ ( ) 0 ])[(.*])[( =−��
��
∂∂
gfmTfmTm
0),( =∂∂
fmJf
0),( =∂∂
fmJm
22 )( ])[(),( L(f)gfmTfmJ γθ +−=
22 )]([ )( )]()[())(,()( mfLgmfmTmfmJmJ γθγγ +−==
1.05 1.15 1.25 1.350
2
4
6
8x 10
22
γJ (m) γ=1Ε10
γ=1Ε9
m
1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.2 1.210.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6x 10
14
J(m, f (m))
m*=1.1870
γ
*�� �+ ��� �������,�,-./��
0�� ��λ1.23�-��4
Método Propuesto� Etapa inicial: Elegir un valor de índice de refracción inicial
arbitrario m0, dentro de un rango factible, y aplicar la técnica GCV para seleccionar el
parámetro de regularización a partir de las mediciones de ELS disponibles. Este parámetro es denominado como γo.
Con m0 y γo encuentar f0 aplicando el método deregularización de Tikhonov generalizado.
0γ 0γ
Proceso iterativo:
•1. Para γγγγo. fijo, encuentre un nuevo valor del índice de refracciónque minimiza J(m,f(m)).
•2. Encuentre un nuevo valor γγγγ1. aplicando GCV para el problema lineal definido como m1 .
•3. Con γγγγ1. , resuelva Min J(m,f(m)) para encontrar m2 .
•4. Repita los pasos 2 y 3 iterando, hasta observar convergencia.Utilice el par encontrado ( m* , γγγγc) para calcular la estimación correspondiente para la PSD, f(γγγγc).
Etapa final:
•Es posible realizar un refinamiento en la regularización aplicada durante el proceso iterativo desde 2 puntos de vista.
1- Aplicar el método de regularización restringido, Standard o generalizado.
2- Evaluar si la técnica GCV está sumistrando el mejor valor para el parámetro de regularización
� ����������������������� �� ���������� �����
!������� ������������� $���� ���� ��������� �� ����������� �������� ��� ����� ������������� �����1�
%��"�&��!�!��$����������� �����������������
! +����
���������������������� �������&����������0��� ����������������
���������!��� !���������� �� ���!������
���������� �
����������� ���� ����������
���� �$J. S. Pedersen, J. App. Cryst. (1994) .- RDG : 2x(m-1)<<1 (bajo contraste)- medio no absorvente-- la interferencia solo actúa sobre las partículas del mismo D
����
�����
����
�� ����
���
p , �'���
PSDMedición
�−=2
1d)(),,
~(),()()(
D
DDDfpDSDnnI mp θθφθ
Fracción de Volúmen aparente
diámetroaparente
DcD .~ =
RDG factor de estructura