Distribuciones y Probabilidad

Carrera de Bicicletas

Tiramos 2 dados y los sumamos

Giramos la gráfica para obtener un histograma

(gráfica de barras)

HISTOGRAMA

Se puede comprimir una imagen, sin embargo, sigue representando lo

mismo

IMPORTANTE

Recordemos que estos son datos de un experimento

¿Qué nos dice esta gráfica?¿Cuál es la probabilidad de ..1. que la suma sea 8 o menos? (que sea 5 o menos?)2. que la suma sea 10 o más?3. que la suma esté entre 5 y 8?

Esto es en base a un

experimento

¿Cómo llegamos aquí?Tirando dados pero …

¿Qué importancia

tiene esto en el curso de

Estadística?

¿Cómo llegamos aquí?

• Dos conceptos:

1. PROBABILIDAD

2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

¿Cómo llegamos aquí?

• Dos conceptos:

1. PROBABILIDAD

1) Probabilidad• Existen muchos eventos

relacionados con la probabilidad– Juegos azar(Lotería, Melate)

• También eventosde la vida diaria

– Esperar …– Buscar …– Nacer …

Jugar a los dados …

• Es tan antiguo como en este ejemplo:

– Aquiles y Ajax juegan a los dados.

(Cerámica 540 a.C. Grecia)

Museo del Vaticano, Roma

Tirar dos dados y sumarlosEspacio Muestra

Cálculo de Probabilidad

Tirar dos dados y sumarlos

¿cómo se relacionan?

¿Cómo llegamos aquí?

• Dos conceptos:

1. PROBABILIDAD

2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

2)Distribución de Probabilidad

• Existen distribuciones:– Discretas: Poisson, Binomial, etc.– Contínuas: Normal o de Gauss, t, etc.

• Describen diferentes casos, sin embargo tienen algo en común…– Teorema Límite Central

Discreta

Contínua

Línea negra

Regla Empírica

• Aproximadamente un 68% del área bajo la curva normal está entre más menos una desviación estándar.

μ ± 1• Aproximadamente un

95% está entre más menos 2 desviaciones estándar.

μ ± 2• Casi todo (99.8%) está

entre más menos 3 desviaciones estándar.

μ ± 3

68%

95%

Casi todo 99.8%

μ ± 1

μ ± 2

μ ± 3

Ejercicio: ¿cuánto mides?

• Vamos a ir apuntando las estaturas de todos:

• Alguien apunte en el pizarrón…– Mujeres– Hombres

¿qué me ves chaparro?

estás bien despeinado

Ejercicio: ¿cuánto mides?

• Primero hacemos dos histogramas (hombres y mujeres)

• Luego los juntamos y mostramos todo en un solo histograma.

Finalmente calculamos la desviación estándar y la media

Ejercicio: o Simulación

• Simulación de tirar dos dados:

Dos dados 100 tiros …

Ejercicio: o Simulación

• Simulación de tirar dos dados:

Dos dados 100 tiros …

Discreta

Contínua Línea negra

¿A qué curva se parece?

DISTRIBUCION NORMAL O DE GAUSS

¿Se puede definir una común o

estándar?

Distribución Normal Estándar:

• Campana de Gauss• Función de densidad• Conviene definir una

común o estándar.

¿Cuál es la probabilidad de

que sea menor o igual a “a”?

¿Qué queremos medir?

• PRIMERO debemos transformar nuestra distribución a la forma estándar.

Entonces hagamos esto con nuestras medidas de altura

Tiene área bajo la curva = 1.00

¿Qué queremos medir?PROBABILIDAD

¿Qué queremos medir?PROBABILIDAD

• TRES CASOS1. P(z menor igual a)2. P (z mayor igual a)3. P (z entre a y b)

1)

2)

3)

Tablas de valores de Z

Importante: La Tabla sólo da valores P(z a)

¿Cómo medimos …?

Buscamos 2.30 Si buscáramos 2.32

Resultado = 0.9893

0.0107 x 100 = 1.07%

que quiere decir 98.93%

• Probabilidad menor que z = 2.30– Se escribe:

P(z 2.30)

¿Cómo medimos …?

• Probabilidad mayor que z = 2.30– Se escribe:

P(z 2.30)

Buscamos 2.30

Resultado = 0.9893 Sin embargo queremos la

parte de la derecha

1.000 - 0.9893 = 0.0107

que quiere decir 1.07%(la diferencia de 100% - 98.93%)

• Probabilidad

menor que b = 2.30 y

mayor que a = 0.52– Se escribe:

P(0.52 z 2.30)

¿Cómo medimos …?

Buscamos 0.52

Resultado = 0.9893 que quiere decir 98.93%

Buscamos 2.30

Resultado = 0.6985 que quiere decir 69.85%

Restamos: P(b)-P(a)

Resultado = 0.9893 P(z<b) quiere decir 98.93%

Resultado = 0.6985 P(z<a) que quiere decir 69.85%

0.9893 - 0.6985 = 0.02908 98.93% - 69.85% = 29.08%

P (0.52 z 2.31)

Teorema Límite Central• Nos garantiza que bajo condiciones generales, la

distribución de suma de variables aleatorias tiende a una Distribución Normal

• Cuando n es suficientemente grande

Teorema Límite Central• De forma simple y sencilla qué

dice el Teorema:– En la mayoría de los casos es una

muy buena aproximación utilizar la Campana de Gauss o Distribución Normal para determinar valores estadísticos.

(al menos como una primera aproximación)Comparemos con nuestra medida de

alturas

Teorema Límite Central• De forma simple y sencilla qué

dice el Teorema:– En la mayoría de los casos es una

muy buena aproximación utilizar la Campana de Gauss o Distribución Normal para determinar valores estadísticos.

(al menos como una primera aproximación)

Lo sospeché desde un principio

Comparemos con nuestra medida de

alturas

Conclusiones y trabajo a futuro

• Hemos visto cómo se relaciona la Probabilidad (discreta o contínua) con la Estádistica Descriptiva, en principio sólo con la Distribución Normal conocida como Campana de Gauss.

• Se realizó al menos un experimento y se verificaron las relaciones entre Probabilidad y Distribución Normal.

• A continuación deberán aplicar estos conceptos a diferentes ejercicios y otras distribuciones de probabilidad, poniéndo énfasis en qué distribución aplica para qué caso en particular.

z = = = -1.00

Ejercicios Aplicaciones de la distribución normal estándar

Página 231

• Los ingresos semanales de los supervisores de turno de la industria del vidrio se rigen por una distribución de probabilidad normal, con una media de $1,000 y una desviación estándar de $100. ¿Cuál es el valor de z para el ingreso de X de un supervisor que percibe $1,100 semanales? ¿ y para un supervisor que gana $900 semanales?

Para X = $1,100

X – μ $1,100 - $1,000 σ $100

z = = = 1.00

Para X = $900

X – μ $900 - $1,000 σ $100

El valor de z de 1.00 indica que es una desviación estándar por arriba de la media. El valor de z=-1.00 una por debajo de la media.

Ahora en Excel …• Usamos

– DISTR.NORM.N X = 1100 μ = 1000 σ = 100 0.8413447

Agradecemos su participación

Salvador Carrillo

2011

Muchas gracias a ustedes