Post on 23-Mar-2020
Análisis de Algoritmos
Teoría de grafos
Dra. Elisa Schaeffer
elisa.schaeffer@gmail.com
PISIS / FIME / UANL
Teorıa de grafos– p. 1
Grafos
Un grafo G es un par de conjuntos G = (V,E)
Teorıa de grafos– p. 2
Grafos
Un grafo G es un par de conjuntos G = (V,E)
V = un conjunto de n verticesu, v, w ∈ V
E = un conjunto de m aristas
Teorıa de grafos– p. 2
Grafos
Un grafo G es un par de conjuntos G = (V,E)
V = un conjunto de n verticesu, v, w ∈ V
E = un conjunto de m aristas|V | = n, |E| = m
Teorıa de grafos– p. 2
Aristas
Las aristas son típicamente pares de vertices, {u, v} ∈ E
E ⊆ V × V
También se puede definir grafos donde el producto esentre más de dos “copias” del conjunto V , el cual caso sehabla de hıpergrafos.
Teorıa de grafos– p. 3
Complemento
El complementode G = (V,E) es un grafo G = (V, E)donde
∀v 6= u :(
{v, u} ∈ E ⇔ {v, u} /∈ E)
.
Teorıa de grafos– p. 4
Grafos especiales
Un grafo es plano si se puede dibujar en dos dimensionesasí que ninguna arista cruza a otra arista.
Teorıa de grafos– p. 5
Grafos especiales
Un grafo es plano si se puede dibujar en dos dimensionesasí que ninguna arista cruza a otra arista.
En un grafo no dirigido , los vértices v y w tienen unpapel igual en la arista {v, u}.
Teorıa de grafos– p. 5
Grafos especiales
Un grafo es plano si se puede dibujar en dos dimensionesasí que ninguna arista cruza a otra arista.
En un grafo no dirigido , los vértices v y w tienen unpapel igual en la arista {v, u}.
Si las aristas tienen dirección, G es dirigido (tambiéndigrafo).
Teorıa de grafos– p. 5
Grafos especiales
Un grafo es plano si se puede dibujar en dos dimensionesasí que ninguna arista cruza a otra arista.
En un grafo no dirigido , los vértices v y w tienen unpapel igual en la arista {v, u}.
Si las aristas tienen dirección, G es dirigido (tambiéndigrafo).
En una arista dirigida 〈v, w〉:
v es el origen (o inicio) de la arista
w es el destino (o fin) de la arista
Teorıa de grafos– p. 5
Grafos reflexivos
Un buclees una arista reflexiva, donde coinciden elvértice de origen y el vértice de destino: {v, v} o 〈v, v〉.
Si un grafo G no cuente con ningún bucle, el grafo es noreflexivo.
Teorıa de grafos– p. 6
Más clases de grafos
E podría ser un multiconjunto: más de una arista entre unpar de vértices.
Teorıa de grafos– p. 7
Más clases de grafos
E podría ser un multiconjunto: más de una arista entre unpar de vértices.
Si no se permiten aristas múltiples, el grafo es simple.
Teorıa de grafos– p. 7
Más clases de grafos
E podría ser un multiconjunto: más de una arista entre unpar de vértices.
Si no se permiten aristas múltiples, el grafo es simple.
Si se asignan pesos ω (v, w) a las aristas, el grafo esponderado.
Teorıa de grafos– p. 7
Más clases de grafos
E podría ser un multiconjunto: más de una arista entre unpar de vértices.
Si no se permiten aristas múltiples, el grafo es simple.
Si se asignan pesos ω (v, w) a las aristas, el grafo esponderado.
Si se asigna identidad a los vértices o las aristas, el grafoes etiquetado.
Teorıa de grafos– p. 7
Adyacencia
{v1, v2} y {w1, w2} son adyacentessi tienen un vértice encomún:
|{v1, vw} ∩ {w1, w2}| ≥ 1.
Una arista es incidentea un vértice si ésta lo une a otrovértice.
Teorıa de grafos– p. 8
Vecinos
v y w son adyacentessi una arista los une:
{v, w} ∈ E.
Vértices adyacentes son llamados vecinos.El conjunto de vecinos de v es su vecindario, Γ (v).
Teorıa de grafos– p. 9
Matriz de adyacencia
La matriz A que corresponde a la relación E se llama lamatriz de adyacenciadel grafo.
Teorıa de grafos– p. 10
Matriz de adyacencia
La matriz A que corresponde a la relación E se llama lamatriz de adyacenciadel grafo.
Es necesario etiquetar los vértices para que seanidentificados como v1, v2, . . . , vn.
Teorıa de grafos– p. 10
Matriz de adyacencia
La matriz A que corresponde a la relación E se llama lamatriz de adyacenciadel grafo.
Es necesario etiquetar los vértices para que seanidentificados como v1, v2, . . . , vn.
Para un grafo no dirigido A es simetricaMultigrafos : una matriz enteraA
′ donde a′ij ≥ 0 es el
número de aristas entre vi y vj
Grafos ponderados: una matriz (real) A′′ donde a′′ij es el
peso de la arista {vi, vj} o cero si no hay tal arista
Teorıa de grafos– p. 10
Grado
El grado deg (v) es el número de aristas incidentes a v.
Teorıa de grafos– p. 11
Grado
El grado deg (v) es el número de aristas incidentes a v.
Grafos dirigidos:
grado de salida−→deg (v) = el número de aristas que
tienen su origen en v
grado de entrada←−deg (v) = el número de aristas que
tienen su destino en v
Teorıa de grafos– p. 11
Grado
El grado deg (v) es el número de aristas incidentes a v.
Grafos dirigidos:
grado de salida−→deg (v) = el número de aristas que
tienen su origen en v
grado de entrada←−deg (v) = el número de aristas que
tienen su destino en v
El grado total de un vértice de un grafo dirigido es
deg (v) =←−deg (v) +
−→deg (v) .
Teorıa de grafos– p. 11
Más sobre grados
En un grafo simple no dirigido, el grado deg (vi) del vérticevi es la suma de laij esima fila deA.
∑
v∈V
deg (v) = 2m
En un grafo simple no reflexivo: deg (v) = |Γ (v)|
Si todos los grados son k, el grafo es k-regularUn grafo n− 1-regular se llama un grafo completoKn
Teorıa de grafos– p. 12
Grafos bipartitos
Un grafo bipartito es un grafo G = (V,E) cuyos vérticesse pueden separar en dos conjuntos
U ∩W = ∅, U ∪W = V
así que
{u,w} ∈ E ⇒ (u ∈ U ∧ w ∈ W ) ∨ (u ∈ W ∧ w ∈ U).
Teorıa de grafos– p. 13
Grafos bipartitos
Un grafo bipartito es un grafo G = (V,E) cuyos vérticesse pueden separar en dos conjuntos
U ∩W = ∅, U ∪W = V
así que
{u,w} ∈ E ⇒ (u ∈ U ∧ w ∈ W ) ∨ (u ∈ W ∧ w ∈ U).
Grafo bipartito completo : están presentes todas lasaristas permitidas, K|U |,|W |.
Teorıa de grafos– p. 13
Densidad
El número máximo posible de aristas en un grafo simple es
mmax =
(
n
2
)
=n(n− 1)
2.
Teorıa de grafos– p. 14
Densidad
El número máximo posible de aristas en un grafo simple es
mmax =
(
n
2
)
=n(n− 1)
2.
Para Kn, tenemos m = mmax.
Teorıa de grafos– p. 14
Densidad
El número máximo posible de aristas en un grafo simple es
mmax =
(
n
2
)
=n(n− 1)
2.
Para Kn, tenemos m = mmax.
Densidad:δ (G) =
m
mmax
=m(
n
2
) .
Teorıa de grafos– p. 14
Densidad
El número máximo posible de aristas en un grafo simple es
mmax =
(
n
2
)
=n(n− 1)
2.
Para Kn, tenemos m = mmax.
Densidad:δ (G) =
m
mmax
=m(
n
2
) .
Un grafo densotiene δ (G) ≈ 1 y un grafo escasotieneδ (G)≪ 1.
Teorıa de grafos– p. 14
Caminos y distancias
Una sucesión de aristas adyacentes que empieza en vy termina en w es un caminode v a w.
Teorıa de grafos– p. 15
Caminos y distancias
Una sucesión de aristas adyacentes que empieza en vy termina en w es un caminode v a w.
El largo de un camino es el número de aristas quecontiene.
Teorıa de grafos– p. 15
Caminos y distancias
Una sucesión de aristas adyacentes que empieza en vy termina en w es un caminode v a w.
El largo de un camino es el número de aristas quecontiene.
La distanciadist (v, w) entre v y w es el largo mínimode todos los caminos de v a w.
Teorıa de grafos– p. 15
Caminos y distancias
Una sucesión de aristas adyacentes que empieza en vy termina en w es un caminode v a w.
El largo de un camino es el número de aristas quecontiene.
La distanciadist (v, w) entre v y w es el largo mínimode todos los caminos de v a w.
La distancia de un vértice a si mismo es cero.
Teorıa de grafos– p. 15
Caminos y distancias
Una sucesión de aristas adyacentes que empieza en vy termina en w es un caminode v a w.
El largo de un camino es el número de aristas quecontiene.
La distanciadist (v, w) entre v y w es el largo mínimode todos los caminos de v a w.
La distancia de un vértice a si mismo es cero.
El diametro diam (G) de G es la distancia máxima
diam (G) = maxv∈V
w∈V
dist (v, w) .
Teorıa de grafos– p. 15
Ciclos
Un camino simplesolamente recorre la misma arista unavez máximo.
Teorıa de grafos– p. 16
Ciclos
Un camino simplesolamente recorre la misma arista unavez máximo.
Un ciclo es un camino que regresa a su vértice inicial. Ungrafo que no cuente con ningún ciclo es acíclico.
Teorıa de grafos– p. 16
Ciclos
Un camino simplesolamente recorre la misma arista unavez máximo.
Un ciclo es un camino que regresa a su vértice inicial. Ungrafo que no cuente con ningún ciclo es acíclico.
Entonces, un ciclo simple empieza y regresa del mismovértice, pero no visita a ningún otro vértice dos veces.
Teorıa de grafos– p. 16
Ciclos
Un camino simplesolamente recorre la misma arista unavez máximo.
Un ciclo es un camino que regresa a su vértice inicial. Ungrafo que no cuente con ningún ciclo es acíclico.
Entonces, un ciclo simple empieza y regresa del mismovértice, pero no visita a ningún otro vértice dos veces.
Sin embargo, la elección del punto de inicio de un ciclo esarbitrario.
Teorıa de grafos– p. 16
Conectividad
G es conexosi cada par de vértices está conectado porun camino.
Teorıa de grafos– p. 17
Conectividad
G es conexosi cada par de vértices está conectado porun camino.
Si por algunos v y w no existe ningún camino, grafo es noconexo.
Teorıa de grafos– p. 17
Conectividad
G es conexosi cada par de vértices está conectado porun camino.
Si por algunos v y w no existe ningún camino, grafo es noconexo.G es fuertemente conexo si cada par de vértices estáconectado por al menos dos caminos disjuntos.
Teorıa de grafos– p. 17
Conectividad
G es conexosi cada par de vértices está conectado porun camino.
Si por algunos v y w no existe ningún camino, grafo es noconexo.G es fuertemente conexo si cada par de vértices estáconectado por al menos dos caminos disjuntos.
Un grafo no conexo se puede dividir en dos o máscomponentes conexosque son formados por talesconjuntos de vértices de distancia definida.
Teorıa de grafos– p. 17
Subgrafos
G(S) = (S, F ) es un subgrafode G = (V,E) si S ⊆ V yF ⊆ E tal que
{v, w} ∈ F ⇒(
(v ∈ S) ∧ (w ∈ S))
.
Si el subgrafo contiene todas las aristas posibles, es unsubgrafo inducidopor el conjunto S.
Teorıa de grafos– p. 18
Subgrafos
G(S) = (S, F ) es un subgrafode G = (V,E) si S ⊆ V yF ⊆ E tal que
{v, w} ∈ F ⇒(
(v ∈ S) ∧ (w ∈ S))
.
Si el subgrafo contiene todas las aristas posibles, es unsubgrafo inducidopor el conjunto S.
Un subgrafo que completo se dice una camarilla (inglés:clique).
Teorıa de grafos– p. 18
Árboles
Un arbol es un grafo conexo acíclico.
Teorıa de grafos– p. 19
Árboles
Un arbol es un grafo conexo acíclico.
Un arbol cubriente de G = (V,E) es un subgrafo que esun árbol y contiene todos los vértices de G.
Teorıa de grafos– p. 19
Árboles
Un arbol es un grafo conexo acíclico.
Un arbol cubriente de G = (V,E) es un subgrafo que esun árbol y contiene todos los vértices de G.
Si el grafo es ponderado, el árbol cubriente mınimo escualquier árbol donde la suma de los pesos de sus aristases mínima.
Teorıa de grafos– p. 19
Árboles
Un arbol es un grafo conexo acíclico.
Un arbol cubriente de G = (V,E) es un subgrafo que esun árbol y contiene todos los vértices de G.
Si el grafo es ponderado, el árbol cubriente mınimo escualquier árbol donde la suma de los pesos de sus aristases mínima.
Un grafo G no conexo es un bosquesi cada componenteconexo de G es un árbol.
Teorıa de grafos– p. 19
Tarea en clase
¿Qué tienen en común estos tres grafos?
Teorıa de grafos– p. 20