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1. Ecuaciones de 1er grado
Resuelve mentalmente:
a) x + 2 = 5 b) x – 3 = 4 c) 4x = 12 d) (x – 3)(x + 5) = 0
Solución:a) x = 3 b) x = 7 c) x = 3 d) x = 3, x = – 5
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168 SOLUCIONARIO
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Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 4x + 12 = 6x – 8
b) 6 + 3x = 4 + 7x – 2x
c) 8x – 2x + 4 = 2x
d) 4x + 3x – 4 = 3x + 8
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 3(x + 2) + 2x = 5x – 2(x – 4)
b) 4 – 3(2x + 5) = 5 – (x –3)
c) 2(x – 3) + 5(x + 2) = 4(x – 1) + 3
d) 5 – (2x + 4) = 3 – (3x + 2)
Resuelve mentalmente:
a) (x – 2)(x + 3) = 0
b) (2x + 1)( x – 4)(3x + 5) = 0
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) = +
b) = +
c) + 3x – = + x
d) – + = 0
Solución:
a) x = 7 b) x = – 5/12c) x = – 3/25 d) x = 5
10 – 3x5
x – 23
x – 12
14
x – 24
x3
7x – 510
92
7 – x2
x – 19
x – 56
x – 34
4
Solución:
a) x1 = 2, x2 = – 3b) x1 = –1/2, x2 = 4, x3 = – 5/3
3
Solución:
a) x = 1 b) x = –19/5c) x = – 5/3 d) x = 0
2
Solución:
a) x = 10 b) x = 1c) x = –1 d) x = 3
1
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6 Ecuaciones de 1er y 2º grado
UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2º GRADO 169
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2. Ecuaciones de 2º grado
Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:
x2 = 25
x2 = 0
x2 = 49
5x2 = 0
x2 – 1 = 0
Resuelve las siguientes ecuaciones:
x2 – 6x = 0
x2 – 16 = 0
7x2 = 0
x2 – 5x + 6 = 0
x2 + 5x = 0
x2 – 25 = 0
x2 – 9x = 0
x2 = 81
Solución:
x1 = – 9, x2 = 9
17
Solución:
x1 = 0, x2 = 9
16
Solución:
x1 = – 5, x2 = 5
15
Solución:
x1 = 0, x2 = – 5
14
Solución:
x1 = 3, x2 = 2
13
Solución:
x1 = x2 = 0
12
Solución:
x1 = – 4, x2 = 4
11
Solución:
x1 = 0, x2 = 6
10
Solución:
x1 = 1, x2 = – 1
9
Solución:
x1 = x2 = 0
8
Solución:
x1 = 7, x2 = – 7
7
Solución:
x1 = x2 = 0
6
Solución:
x1 = 5, x2 = – 5
5
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Resuelve mentalmente si es posible:
a) x2 = 0 b) x(x – 3) = 0 c) x2 = 16 d) x2 = –25
Solución:a) x = 0 b) x = 0, x = 3 c) x = – 4, x = 4 d) No tiene solución.
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170 SOLUCIONARIO
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x2 – 9 = 0
x2 – 4x + 4 = 0
x2 + 8x = 0
4x2 – 81 = 0
2x2 – 3x – 20 = 0
4x2 – 3x = 0
x2 = 4
8x2 – 2x – 3 = 0
x(x – 3) = 10
(x + 2)(x + 3) = 6
(2x – 3)2 = 8x
2x(x – 3) = 3x(x – 1)
– =
– x + = 1
Solución:
x1 = – 5, x2 = 8
x2 + 230
9x – 410
31
Solución:
x1 = 1/2, x2 = 3/2
38
x2 + x2
3x2
30
Solución:
x1 = – 3, x2 = 0
29
Solución:
x1 = 1/2, x2 = 9/2
28
Solución:
x1 = – 5, x2 = 0
27
Solución:
x1 = – 2, x2 = 5
26
Solución:
x1 = –1/2, x2 = 3/4
25
Solución:
x1 = – 2, x2 = 2
24
Solución:
x1 = 0, x2 = 3/4
23
Solución:
x1 = – 5/2, x2 = 4
22
Solución:
x1 = – 9/2, x2 = 9/2
21
Solución:
x1 = 0, x2 = – 8
20
Solución:
x1 = x2 = 2
19
Solución:
x1 = – 3, x2 = 3
18
3. Número de soluciones. Factorización
Calcula mentalmente las siguientes raíces cuadradas y da todas las soluciones reales:
a) b) c)
Solución:a) ± 1 b) 0 c) No tiene solución real.
√22 – 4 · 2√62 – 4 · 9√52 – 4 · 6
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UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2º GRADO 171
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Sin resolverlas y sin hallar el discriminante, calculamentalmente cuántas soluciones tienen las ecuaciones:
5x2 – 12x = 0
x2 + 25 = 0
2x2 = 0
x2 – 81 = 0
Sin resolver las siguientes ecuaciones, determina cuán-tas soluciones tienen:
x2 – 6x + 7 = 0
x2 – 8x + 16 = 0
2x2 – 3x + 5 = 0
3x2 – 9x – 3 = 0
Halla mentalmente la descomposición factorial de lossiguientes polinomios:
x2 + 4x + 4
x2 – 6x + 9
x2 – 25
4x2 + 4x + 1
Halla la descomposición factorial de los siguientes poli-nomios:
2x2 + 9x – 5
8x2 + 14x – 15
x2 – 16
5x2 + 3x
Solución:
5x(x + 3/5)
47
Solución:
(x + 4)(x – 4)
46
Solución:
8(x + 5/2)(x – 3/4)
45
Solución:
2(x + 5)(x – 1/2)
44
Solución:
(2x + 1)2
43
Solución:
(x + 5)(x – 5)
42
Solución:
(x – 3)2
41
Solución:
(x + 2)2
40
Solución:
∆ = 81 + 36 = 117 > 0 ⇒ Tiene dos soluciones.
39
Solución:
∆ = 9 – 40 = – 31 < 0 ⇒ No tiene solución real.
38
Solución:
∆ = 64 – 64 = 0 ⇒ Tiene una solución doble.
37
Solución:
∆ = 36 – 28 = 8 > 0 ⇒ Tiene dos soluciones.
36
Solución:
Tiene dos soluciones.
35
Solución:
Tiene una solución doble.
34
Solución:
No tiene solución real.
33
Solución:
Tiene dos soluciones.
32
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4. Problemas de ecuaciones
Calcula mentalmente:
a) El lado de un cuadrado cuya área es 16 m2
b) Tres números enteros consecutivos cuya suma sea 12
Solución:a) 4 m b) 3, 4, 5
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172 SOLUCIONARIO
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Halla, en cada caso, una ecuación de 2º grado cuyassoluciones son:
x1 = 5, x2 = – 7
x1 = 2/5, x2 = – 3
x1 = – 4, x2 = – 2/3
x1 = 3/5, x2 = – 1/2
Calcula la suma y el producto de las soluciones de lassiguientes ecuaciones, sin resolver éstas:
5x2 – 15x + 9 = 0
x2 – 6x + 12 = 0
2x2 – 5 = 0
3x2 – 14x = 0
Solución:
14S = —, P = 0
3
55
Solución:
5S = 0, P = – —
2
54
Solución:
S = 6, P = 12
53
Solución:
15 9S = — = 3, P = —
5 5
52
Solución:
(x – 3/5)(x + 1/2) = 0x2 – x/10 – 3/10 = 010x2 – x – 3 = 0
51
Solución:
(x + 4)(x + 2/3) = 0x2 + 14x/3 + 8/3 = 03x2 + 14x + 8 = 0
50
Solución:
(x – 2/5)(x + 3) = 0x2 + 13x/5 – 6/5 = 05x2 + 13x – 6 = 0
49
Solución:
(x – 5)(x + 7) = 0 ⇒ x2 + 2x – 35 = 0
48
La suma de dos números es 36, y uno es el dobledel otro. Calcula dichos números.
Solución:
x + 2x = 36 ⇒ x = 12Los números son: 12 y 24
56
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UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2º GRADO 173
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La base de un rectángulo mide 8 cm más que laaltura. Si su perímetro mide 64 cm, calcula lasdimensiones del rectángulo.
Se mezcla café de 4,8 €/kg con café de 7,2 €/kg. Sise desea obtener 60 kg de mezcla a 6,5 €/kg,¿cuántos kilos de cada clase se deben mezclar?
Una madre tiene 26 años más que su hijo, y dentrode 10 años la edad de la madre será el doble de ladel hijo. ¿Cuántos años tienen en la actualidad?
Una moto sale de una ciudad A hacia otra B conuna velocidad de 70 km/h.Tres horas más tarde, uncoche sale de la misma ciudad y en el mismo senti-do con una velocidad de 100 km/h. ¿Cuánto tiem-po tardará el coche en alcanzar a la moto?
Halla dos números cuya diferencia sea 5 y la sumade sus cuadrados sea 73
La suma de los cuadrados de dos números conse-cutivos es 181. Halla dichos números.
Calcula las dimensiones de una finca rectangularsabiendo que tiene 3 dam de larga más que deancha y su superficie es de 40 dam2
Solución:
x(x + 3) = 40 ⇒ x = 5, x = – 8La solución negativa no tiene sentido.Ancho = 5 damLargo = 8 dam
63
Solución:
Los números son x y x + 1x2 + (x + 1)2 = 181 ⇒ x = 9, x = –10Hay dos soluciones:Nº menor = 9 ⇒ Nº mayor = 10Nº menor = –10 ⇒ Nº mayor = – 9
62
Solución:
Un número x y el otro x – 5x2 + (x – 5)2 = 73 ⇒ x = 8, x = – 3Hay dos soluciones:Nº mayor = 8 ⇒ Nº menor = 3Nº mayor = – 3 ⇒ Nº menor = – 8
61
Solución:
El espacio que recorre la moto es igual que el querecorre el coche y la fórmula es e = v · t70t = 100(t – 3) ⇒ t = 10El coche tarda 7 horas en alcanzar a la moto.
60
Solución:
x + 36 = 2(x + 10) ⇒ x = 16Edad del hijo = 16 años.Edad de la madre = 42 años.
59
Solución:
4,8x + 7,2(60 – x) = 6,5 · 60 ⇒ x = 17,5Café A: 17,5 kgCafé B: 42,5 kg
58
Solución:
2(x + 8) + 2x = 64 ⇒ x = 12Las dimensiones son: Altura = 12 cm, Base = 20 cm
57
x
x + 8
Café A
4,8
x
4,8x + 7,2(60 – x) = 6,50 · 60
Café B
7,2
60 – x
Mezcla
6,5
60
Precio (€/kg)
Peso (kg)
Dinero (€)
Actualmente Dentro de 10 años
Hijo x x + 10
Madre x + 26 x + 36
A B
100 km/h
70 km/h
x
x + 3
Área = 40 dam2
174 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas
1. Ecuaciones de 1er grado
Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:
x + 2 = 9
x – 2 = 3
3x = 15
= 7
4x = 3
x – 5 = 0
5x + 7 = 0
(x – 4)(x + 5) = 0
(3x + 2)(5x – 6)(x + 5) = 0
Resuelve las siguientes ecuaciones:
7x + 2 = 4x – 10
5 + 3x – 2x = 7 + 4x – x
6x – 3x + 5 = 2x + 1
6 – 4x + 2x – 6 = 2x + 5
4(x + 5) + 3x = 4x – 3(x – 4)
9 – 2(3x + 4) = 5 – 3(x – 4)
12 – (7x + 5) = 4 – (5x + 2)
5(x – 2) + 3(x + 2) = 6(x – 1)
= +
Solución:
x = 5/2
4x + 32
x – 13
6x – 12
81
Solución:
x = –1
80
Solución:
x = 5/2
79
Solución:
x = –16/3
78
Solución:
x = – 4/3
77
Solución:
x = – 5/4
76
Solución:
x = – 4
75
Solución:
x = –1
74
Solución:
x = – 4
73
Solución:
x1 = – 2/3, x2 = 6/5, x3 = – 5
72
Solución:
x1 = 4, x2 = – 5
71
Solución:
x = – 7/5
70
Solución:
x = 5
69
Solución:
x = 3/4
68
Solución:
x = 21
x3
67
Solución:
x = 5
66
Solución:
x = 5
65
Solución:
x = 7
64
UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2º GRADO 175
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= 2 –
– 2(x – 3) – = 5 + x
– + = 0
2. Ecuaciones de 2º grado
Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:
x2 = 81
2x2 = 0
x2 = 36
7x2 = 0
x2 – 64 = 0
Resuelve las siguientes ecuaciones:
x2 – 12x = 0
(x – 2)2 – 16 = 0
x2 – 6x – 7 = 0
(x + 1)2 = 4x
x2 + x – 6 = 0
x2 – 25 = 0
x(x – 4) = 2x(x –3)
3(x – 2)2 – 27 = 0
4x2 – 9 = 0
Solución:
x1 = – 3/2, x2 = 3/2
98
Solución:
x1 = –1, x2 = 5
97
Solución:
x1 = 0, x2 = 2
96
Solución:
x1 = – 5, x2 = 5
95
Solución:
x1 = 2, x2 = – 3
94
Solución:
x1 = x2 = 1
93
Solución:
x1 = –1, x2 = 7
92
Solución:
x1 = – 2, x2 = 6
91
Solución:
x1 = 0, x2 = 12
90
Solución:
x1 = 8, x2 = – 8
89
Solución:
x1 = x2 = 0
88
Solución:
x1 = 6, x2 = – 6
87
Solución:
x1 = x2 = 0
86
Solución:
x1 = 9, x2 = – 9
85
Solución:
x = – 8/3
10 – x12
2x – 33
x – 52
84
Solución:
x = 6/7
x – 24
3x2
83
Solución:
x = 14
3x – 210
4 – x5
82
176 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas
6x2 – 7x – 3 = 0
= 3( – )
5x2 – 4x = 2x2
4x2 – 51x + 36 = 0
– = +
3. Número de soluciones. Factorización
Sin resolver las siguientes ecuaciones, determina cuán-tas soluciones tienen:
x2 + x – 12 = 0
x2 – 4x + 13 = 0
9x2 – 12x + 4 = 0
4x2 – 12x + 13 = 0
Halla la descomposición factorial de los siguientes poli-nomios:
4x2 – 3x
x2 – 144
9x2 + 12x + 4
20x2 – 7x – 6
Halla, en cada caso, una ecuación de 2º grado cuyassoluciones son:
x1 = 4, x2 = –5
x1 = 3/4, x2 = – 2
x1 = – 3, x2 = –1/3
Solución:
(x + 3)(x + 1/3) = 0x2 + 10x/3 + 1 = 0 ⇒ 3x2 + 10x + 3 = 0
114
Solución:
(x – 3/4)(x + 2) = 0x2 + 5x/4 – 3/2 = 0 ⇒ 4x2 + 5x – 6 = 0
113
Solución:
(x – 4)(x + 5) = 0 ⇒ x2 + x – 20 = 0
112
Solución:
20(x + 2/5)(x – 3/4)
111
Solución:
9(x + 2/3)2
110
Solución:
(x + 12)(x – 12)
109
Solución:
4x(x – 3/4)
108
Solución:
∆ = 144 – 208 = –64 < 0 ⇒ No tiene soluciones reales.
107
Solución:
∆ = 144 – 144 = 0 ⇒ Tiene una solución doble.
106
Solución:
∆ = 16 – 52 = – 36 < 0 ⇒ No tiene soluciones reales.
105
Solución:
∆ = 1 + 48= 49 > 0 ⇒ Tiene dos soluciones.
104
Solución:
x1 = – 2/5, x2 = 3
16
5x – 3x2
1213
x2 – 4x6
103
Solución:
x1 = 3/4, x2 = 12
102
Solución:
x1 = 0, x2 = 4/3
101
Solución:
x1 = – 9/2, x2 = 0
x4
x2
25x2
3100
Solución:
x1 = –1/3, x2 = 3/2
99
UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2º GRADO 177
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x1 = 2/5, x2 = –3/2
Calcula la suma y el producto de las soluciones de lassiguientes ecuaciones, sin resolver éstas:
x2 – 8x + 3 = 0
x2 – 7x + 2 = 0
6x2 + x – 2 = 0
5x2 – 16x + 3 = 0
4. Problemas de ecuaciones
Calcula tres números enteros consecutivos talesque la suma de los tres sea igual al doble delsegundo.
Si se disminuye la altura de un rectángulo en3,5 cm, el área disminuye en 21 cm2. Calcula labase del rectángulo.
Hace siete años, la edad de un padre era cincoveces la del hijo. Si actualmente es solo el triple,¿qué edad tiene cada uno?
Se mezcla azúcar de 1,125 € /kg con azúcarde1,4 € /kg y se obtienen 200 kg de mezcla a1,29 €/kg. ¿Cuántos kilos de cada clase se hanmezclado?
¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a lastres y media?
Solución:
12x = 180 ⇒ x = 15°El ángulo que forman es de 90° – 15° = 75°
124
Solución:
1,125x + 1,4(200 – x) = 1,29 · 200 ⇒ x = 80Azúcar A: 80 kgAzúcar B: 120 kg
123
Solución:
5x + 7 = 3(x + 7) ⇒ x = 7Edad del hijo = 14 años.Edad del padre = 42 años.
122
Solución:
3,5x = 21 ⇒ x = 6La base mide 6 cm
x
3,5
121
Solución:
1er número: x – 12º número: x3er número: x + 1x – 1 + x + x + 1 = 2x ⇒ x = 0Primer número = –1Segundo número = 0Tercer número = 1
120
Solución:
S = 16/5, P = 3/5
119
Solución:
S = – 1/6, P = – 1/3
118
Solución:
S = 7, P = 2
117
Solución:
S = 8, P = 3
116
Solución:
(x – 2/5)(x + 3/2) = 0x2 + 11x/10 – 3/5 = 0 ⇒ 10x2 + 11x – 6 = 0
115
Hace 7 años Actualmente
Hijo x x + 7
Padre 5x 5x + 7
Azúcar A
1,125
x
1,125x +1,4(200 – x) = 1,29 · 200
Azúcar B
1,4
200 – x
Mezcla
1,29
200
Precio (€/kg)
Peso (kg)
Dinero (€)
121
2
90 – x
x
1110
6
9
87
45
3
178 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas
Resuelve las siguientes ecuaciones:
4x + 2 = 3x + 8 – x
2x + x – 12 + 7x = 9x – 10
2x – 15 + x = 2x – 8
5x + 9 + 3x = 2x + 5 + 7x
3(x – 7) + 1 = 2x – 25
3(x – 2) = 4(x – 1) – 5
2(x – 2) – 3x = 2(x + 4) – 5x
2 – (x + 2) = 2 – (3 – x)
Solución:
x = 1/2
135
Solución:
x = 6
134
Solución:
x = 3
133
Solución:
x = – 5
132
Solución:
x = 4
131
Solución:
x = 7
130
Solución:
x = 2
129
Solución:
x = 3
128
Un vehículo sale de A con dirección a B y lleva unavelocidad constante de 80 km/h. En el mismo ins-tante, otro vehículo sale de B hacia A con unavelocidad de 60 km/h. Si la distancia entre A y B esde 280 km, ¿a qué distancia de A se cruzan los dosvehículos?
Calcula dos números naturales consecutivos talesque su producto sea 132
Un triángulo rectángulo tiene un área de 44 m2.Calcula la longitud de los catetos si uno de ellosmide 3 m más que el otro.
Solución:
x(x + 3)—= 44 ⇒ x = –11 y x = 8
2La solución negativa no tiene sentido.Los catetos miden: 8 m y 11 m
127
Solución:
x(x + 1) = 132 ⇒ x = –12 y x = 11Hay dos soluciones:Número menor = –12, número mayor = –11Número menor = 11, número mayor = 12
126
Solución:
El tiempo que tardan ambos es el mismo y la fórmu-e
la es e = v · t ⇒ t = —v
x 280 – x— = —⇒ x = 16080 60Se encuentran a 160 km de A
280 kmA B
80 km/h 60 km/h
125
Para ampliar
x
x +
3
280 km
x C 280 – xA B
80 km/h 60 km/h
UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2º GRADO 179
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8(2x + 1) = 7 + 3(5x + 1)
x – 3 – 2(2x – 6) = 2(x + 5)
3x – (1 – 2x) – 2x = 4 – x – (5x – 6)
4(3x – 1) – 3(x – 2) = 2(4x – 2)
= 13
=
– 1 =
– = x –
– = + 4
= 2 –
– 2(5x – 4) – = –
– + = – 5x
– = – 3x + 2
– = x + –
– = –
3(x – 1) – + = +
– = +
Solución:
x = 2
3x – 54
20 – x12
1 – 2x4
x + 13
152
Solución:
x = 1
112
7x – 13
116
2x – 34
151
Solución:
x = – 11/3
12x + 136
5x8
x + 28
4x – 112
150
Solución:
x = 1/3
89
1 – x3
x – 25
x – 34
149
Solución:
x = 1/2
11 – x14
1 – 2x7
x + 22
148
Solución:
x = – 4/11
x3
7x + 42
2x – 33
3x4
147
Solución:
x = 2/3
76
x + 32
x + 24
3x – 25
146
Solución:
x = 7
x – 12
2 – x5
145
Solución:
x = 13/2
x – 12
4x + 13
5x – 12
144
Solución:
x = 1/3
2 – 5x6
5x – 22
x3
143
Solución:
x = – 7
2x – 15
x + 32
142
Solución:
x = – 4
7x + 66
5x + 93
141
Solución:
x = 7
5x + 43
140
Solución:
x = – 6
139
Solución:
x = 11/9
138
Solución:
x = – 1/5
137
Solución:
x = 2
136
180 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas
– x = +
– = –
x – – =
– = +
+ = +
– 18 = 4(1 – x) –
– = –
– = –
= – –
5x2 = 0
x2 – 81 = 0
x2 + 2x – 15 = 0
x2 – 144 = 0
2x2 – 5x – 3 = 0
x2 – 4x = 0
x2 – 4x – 12 = 0
4x2 – 25 = 0
Solución:
x1 = – 5/2, x2 = 5/2
169
Solución:
x1 = – 2, x2 = 6
168
Solución:
x1 = 0, x2 = 4
167
Solución:
x1 = – 1/2, x2 = 3
166
Solución:
x1 = – 12, x2 = 12
165
Solución:
x1 = – 5, x2 = 3
164
Solución:
x1 = – 9, x2 = 9
163
Solución:
x1 = x2 = 0
162
Solución:
x = 3/5
13
x + 12
x + 34
x – 26
161
Solución:
x = 1
x + 22
178
x – 46
2x – 18
160
Solución:
x = 3/2
x – 32
78
x – 24
x + 33
159
Solución:
x = 5
x + 13
5 – x2
158
Solución:
x = 14/5
x2
x + 16
116
x – 24
157
Solución:
x = 3
52
2x – 15
x + 26
4x + 13
156
Solución:
x = 3
2x – 13
2x – 15
13
155
Solución:
x = 2
x + 19
16
3x + 16
x + 13
154
Solución:
x = – 5/14
x2
2x – 34
5x – 76
153
UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2º GRADO 181
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2x2 + x – 6 = 0
5x2 – 7x + 2 = 0
x2 – 169 = 0
3x2 – 11x + 6 = 0
5x2 – 9x = 0
x2 = 4x
25x2 – 25x + 4 = 0
4x2 – 81 = 0
6x2 + 11x – 2 = 0
4x2 + 9x = 0
4x2 – 7x + 3 = 0
9x2 – 1 = 0
4x2 – 8x + 3 = 0
5x2 + x = 0
x2 – 9x + 20 = 0
4x2 + 3x – 10 = 0
25x2 – 1 = 0
9x2 – 18x – 7 = 0
Solución:
x1 = – 1/3, x2 = 7/3
187
Solución:
x1 = – 1/5, x2 = 1/5
186
Solución:
x1 = – 2, x2 = 5/4
185
Solución:
x1 = 5, x2 = 4
184
Solución:
x1 = – 1/5, x2 = 0
183
Solución:
x1 = 3/2, x2 = 1/2
182
Solución:
x1 = – 1/3, x2 = 1/3
181
Solución:
x1 = 3/4, x2 = 1
180
Solución:
x1 = 0, x2 = – 9/4
179
Solución:
x1 = – 2, x2 = 1/6
178
Solución:
x1 = – 9/2, x2 = 9/2
177
Solución:
x1 = 4/5, x2 = 1/5
176
Solución:
x1 = 0, x2 = 4
175
Solución:
x1 = 0, x2 = 9/5
174
Solución:
x1 = 2/3, x2 = 3
173
Solución:
x1 = – 13, x2 = 13
172
Solución:
x1 = 2/5, x2 = 1
171
Solución:
x1 = – 2, x2 = 3/2
170
182 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas
5x2 + 8x – 4 = 0
x + 4x2 = 0
4x2 – 17x + 15 = 0
7x2 – 5x – 2 = 0
(3x – 1)2 = 0
x(x – 3) = 0
(x – 1)(2x – 3) = 0
(x + 2)(x – 2) = 2(x + 3) + 5
2x(x + 1) – (6 + x) = (x + 3)(x – 2)
x2 + – = 0
x2 – – = 0
x2 – =
x2 – – = 0
x2 – 2x – =
6x2 + 5 = 5x2 + 8x – 10
10x2 – 23x = 4x2 – 7
(x – 7)2 – 81 = 0
Solución:
x1 = – 2, x2 = 16
204
Solución:
x1 = 1/3, x2 = 7/2
203
Solución:
x1 = 5, x2 = 3
202
Solución:
x1 = – 1/2, x2 = 3
x2
32
201
Solución:
x1 = – 2/3, x2 = 4
83
10x3
200
Solución:
x1 = 2, x2 = – 4/3
83
2x3
199
Solución:
x1 = – 1/2, x2 = 5/4
58
3x4
198
Solución:
x1 = – 13/5, x2 = 2
265
3x5
197
Solución:
x1 = x2 = 0
196
Solución:
x1 = – 3, x2 = 5
195
Solución:
x1 = 1, x2 = 3/2
194
Solución:
x1 = 0, x2 = 3
193
Solución:
x1 = x2 = 1/3
192
Solución:
x1 = – 2/7, x2 = 1
191
Solución:
x1 = 3, x2 = 5/4
190
Solución:
x1 = – 1/4, x2 = 0
189
Solución:
x1 = – 2, x2 = 2/5
188
11x2 – 6x – 3 = 2x2 – 4
– = 3
+ = +
– =
= +
=
Solución:
x1 = 11, x2 = 1
2x2 – 4x – 35
x2 – 4x + 12
210
Solución:
x1 = 2, x2 = 1
15x9
2(x2 – x)6
7x – 23
209
Solución:
x1 = – 3, x2 = 1/3
3x + 110
x2 + x2
x2 + 25
208
Solución:
x1 = x2 = 2
13
x2
4x3
x2
6207
Solución:
x1 = – 9/4, x2 = 3
x + 32
2x2
3206
Solución:
x1 = x2 = 1/3
205
UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2º GRADO 183
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Se ha plantado 1/5 de la superficie de una huertacon cebollas; 1/15 con patatas; 2/3 con judías y elresto, que son 240 m2, con tomates. ¿Qué superfi-cie tiene la huerta?
Natalia y Roberto tienen, respectivamente, 8 y 2años. ¿Al cabo de cuántos años la edad de Nataliaserá el doble de la de Roberto?
¿Qué ángulo forman las agujas delreloj a las tres y cuarto?
Los lados de un rectángulo miden 5 m y 3 m. Alaumentar los lados en una misma cantidad, el áreaaumenta en 48 m2. ¿Cuánto se ha ampliado cadalado?
Solución:
(5 + x)(3 + x) = 63x2 + 8x + 15 = 63x2 + 8x – 48 = 0x1 = –12, x2 = 4La solución negativa no tiene sentido.Se aumenta 4 m
214
Solución:
Ángulo que forman las agujas: x12x = 90 ⇒ x = 7,5Formarán un ángulo de 7,5°
213
Solución:
8 + x = 2(2 + x) ⇒ x = 4Dentro de 4 años,Natalia tendrá 12 y Roberto 6 años.
212
Solución:
Superficie de la huerta: xx x 2x— + — + — + 240 = x ⇒ x = 3 6005 15 3La huerta mide 3 600 m2
211
Problemas
Actualmente Dentro de x años
Natalia 8 8 + x
Roberto 2 2 + x
5 m
3 m
5 + x
15 m2
15 + 48 = 63 m2 3 + x
121
211
10
6
9
87
45
3
184 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas
Dos ciudades A y B están a 300 km de distancia. Alas diez de la mañana un coche sale desde A haciaB con una velocidad de 80 km/h. Dos horas mástarde, otro coche sale desde B hacia A con unavelocidad de 120 km/h. ¿A qué hora se encuentrany a qué distancia de A?
La edad de Rubén es la quinta parte de la edad desu padre. Dentro de 3 años, la edad de Rubén serála cuarta parte de la edad de su padre. ¿Qué edadtiene cada uno actualmente?
Calcula un número tal que, si se le quita su quintaparte, el resultado sea 60
El cristal rectangular de una puerta mide 120 cmmás de alto que de ancho y su superficie mide10 800 cm2. Calcula cuánto miden los lados delcristal.
El producto de dos números enteros consecutivoses igual al cuádruple del menor menos 2 unidades.Encuentra dichos números.
Ana tiene 12 años, su hermano Pablo tiene 14años y su padre 42. ¿Cuántos años deben pasarpara que la suma de las edades de Ana y Pablo seaigual a la de su padre?
Calcula el área de un círculo sabiendo que siaumentamos el radio en 6 cm, el área se hace nue-ve veces más grande.
Solución:
9πR2 = π(R + 6)2 ⇒ R = 3, R = – 3/2El radio negativo no tiene sentido.El radio vale R = 3 cm y su área es 9π cm2
221
Solución:
12 + x + 14 + x = 42 + x ⇒ x = 16Tienen que pasar 16 años.
220
Solución:
Número menor: xNúmero mayor: x + 1x(x + 1) = 4x – 2 ⇒ x = 1, x = 2Hay dos soluciones:El número menor: 1, el número mayor: 2El número menor: 2 y el número mayor: 3
219
Solución:
x(120 + x) = 10 800 ⇒ x = 60,x = –180La solución negativa no tienesentido.Ancho: 60 cmAlto: 180 cm
218
Solución:
Número: xx – x/5 = 60x = 75
217
Solución:
4(x + 3) = 5x + 3 ⇒ x = 9Edad de Rubén = 9 años.Edad del padre = 45 años.
216
Solución:
80t + 120(t – 2) = 300 ⇒ t = 2,7Se encuentran a 2,7 h = 2 h 42 minutos, es decir, a las12 horas y 42 minutos, y a una distancia x = 216 kmde A
x 300 – x300 kmA B
80 km/h 120 km/h
215
Actualmente Dentro de 3 años
Rubén x x + 3
Padre 5x 5x + 3
120
+ x
x
Actualmente Dentro de x años
Ana 12 12 + x
Pablo 14 14 + x
Padre 42 42 + x
UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2º GRADO 185
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Se mezclan 1 800 kg de harina de 0,42 €/kg con3 500 kg de harina de 0,54 €/kg. ¿Qué precio tieneel kilo de la mezcla?
Sonia se ha comprado un libro y un disco que te-nían el mismo precio, pero que han rebajado un15% y un 10%, respectivamente, cuando ha ido apagar. Si se ha ahorrado 9 €, ¿cuánto costaba cadaproducto?
Halla el lado de un cuadrado tal que, al aumentarloen 5 unidades, el área aumente en 395 unidadescuadradas.
Calcula dos números enteros tales que su di-ferencia sea 2 y la suma de sus cuadrados sea 884.
¿A qué hora coinciden, por primera vez, las mane-cillas del reloj después de las 12 horas?
Ruth tiene 17 años y su madre tiene 47. ¿Cuántoha de transcurrir para que la edad de la hija sea lamitad de la de la madre?
De un tablero de 2 400 cm2 se cortan dos piezascuadradas, una de ellas con 5 cm más de lado quela otra. Si las tiras de madera que sobran miden1 283 cm2, ¿cuánto miden los lados de las piezascuadradas cortadas?
Solución:
x2 + (x + 5)2 + 1 283 = 2 400 ⇒ x = – 26 , x = 21La solución negativa no tiene sentido.Las piezas son de 21 cm de lado y de 21 + 5 = 26 cmde lado respectivamente.
228
Solución:
47 + x = 2(17 + x) ⇒ x = 13A los 13 años.
227
Solución:
Sea x el ángulo que recorre la aguja minutera.12(x – 30) = x ⇒ x = 32,73°Se encontrarán cuando la aguja minutera ha recorridoun ángulo de 32,73°, es decir, 32,73° : 30 = 1,09 h =1 hora 5 minutos 24 segundos.
121
211
10
6
9
87
45
3
226
Solución:
x2 + (x – 2)2 = 884 ⇒ x = – 20, x = 22Hay dos soluciones:Número menor: – 22 ⇒ número mayor: – 20Número menor: 20 ⇒ número mayor: 22
225
Solución:
(x + 5)2 = x2 + 395x = 37El lado del cuadrado mide 37 unidades.
224
Solución:
Precio del libro = precio del disco: x0,15x + 0,1x = 9 ⇒ x = 36Los dos productos valían 36 €
223
Solución:
0,42 · 1 800 + 0,54 · 3 500 = 5 300xx = 0,499 = 0,5
222
Harina A
0,42
1 800
Harina B
0,54
3 500
Mezcla
x
5 300
Precio (€/kg)
Peso (kg)
0,42 · 1 800 + 0,54 · 3 500 = 5 300 · xDinero (€)
Actualmente Dentro de x años
Ruth 17 17 + x
Madre 47 47 + x
x
x
x + 5
x +
5
x
x
x + 5
x + 5
186 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas
Halla un ángulo que sea igual a un tercio de suángulo suplementario.
Se desea obtener 8 000 kg de pienso mezclandomaíz a un precio de 0,5 €/kg con cebada a un pre-cio de 0,3 €/kg. Si se desea que el precio de lamezcla sea de 0,45 €/kg, ¿cuántos kilos de maíz yde cebada necesitamos?
Andrés sale a caminar desde su casa a una veloci-dad de 6 km/h. Una hora más tarde, su hermanaVirginia sale a buscarle en bicicleta a una velocidadde 26 km/h. ¿Cuánto tardará en alcanzarlo?
Se desea mezclar 50 kg de azúcar blanca de1,24 € /kg con azúcar morena de 1,48 € /kg.¿Cuántos kilos de azúcar morena se necesitanpara que la mezcla salga a 1,32 €/kg?
Para profundizar
Elvira compra unos zapatos, una camisa y una cha-queta. Si la camisa cuesta la mitad que la chaquetay ésta la mitad que los zapatos, y ha pagado 126 €,¿cuánto cuesta cada cosa?
Los lados de un rectángulo miden 7 cm y 9 cm. Sise amplían los lados en una misma cantidad, la nue-va área es de 143 cm2. ¿Cuánto se ha ampliadocada lado?
¿A qué hora forman las manecillas del reloj unángulo de 120° por primera vez después de las 12?
Solución:
Sea x el ángulo de la aguja horaria.120 + x = 12x ⇒ x = 10,91La aguja horaria recorre un ángulo de 10,91°
La aguja minutera recorre un ángulo de 130,91° quecorresponde a 21,818 minutos, es decir, serán las:12 horas 21 minutos y 49 segundos.
235
Solución:
(7 + x)(9 + x) = 143x = – 20, x = 4La solución negativa no tienesentido.Se ha ampliado 4 cm
234
Solución:
Precio de la camisa: xx + 2x + 4x = 126 ⇒ x = 18La camisa vale 18 €, la chaqueta 36 € y los zapatos72 €
233
Solución:
1,24 · 50 + 1,48 · x = 1,32(50 + x) ⇒ x = 25Se necesitan 25 kg de azúcar morena.
232
Solución:
Tiempo que tarda Virginia en alcanzar a Andrés des-de la salida de Andrés:6t = 26(t – 1) ⇒ t = 13/10 h = 1,3 hTarda en alcanzarlo 3/10 hora = 0,3 h = 18 min
231
Solución:
0,5x + 0,3(8 000 – x) = 0,45 · 8 000x = 6 000Maíz: 6000 kgCebada: 2000 kg
230
Solución:
3x = 180 – x ⇒ x = 45El ángulo es de 45°
180º – xx
229
Maíz
0,5
x
Cebada
0,3
8 000 – x
Mezcla
0,45
8 000
Precio (€/kg)
Peso (kg)
0,5x + 0,3(8 000 – x) = 0,45 · 8 000Dinero (€)
Azúcar blanca
1,24
50
1,24 · 50 + 1,48 · x = 1,32(50 + x)
Azúcar morena
1,48
x
Mezcla
1,32
50 + x
Precio (€/kg)
Peso (kg)
Coste (€)
9 cm
7 cm
7 +
x
9 + x
121
2120°
x
1110
6
9
87
45
3
V A26 km/h 6 km/h
UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2º GRADO 187
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Calcula un número tal que multiplicado por sumitad sea igual a su cuarta parte más 9
Halla un número cuya mitad más su cuarta partesea igual a 39
Halla un número cuya mitad, más su tercera parte,más una unidad, sea igual que el número.
Las diagonales de un rombo miden 18 cm y 12 cm.¿Qué longitud se debe añadir a las diagonales paraque el área del rombo se duplique?
Halla el valor de k en la siguiente ecuación de for-ma que su solución sea 2:
kx – 3 = 3x – 1
Una solución de la ecuación 10x2 – 11x – 6 = 0 es3/2. Calcula la otra solución sin resolver la ecua-ción.
En la ecuación 8x2 – 18x + k = 0, halla el valor dek de forma que una solución sea el doble de laotra.
Un grifo llena un depósito en 3 horas y otro lohace en 6 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en lle-nar el depósito los dos grifos a la vez?
Solución:
Tiempo que tardan: x(1/3 + 1/6)x = 1 ⇒ x = 2Tardan 2 horas.
243
Solución:
Sean las soluciones x1, x2 = 2x1x1 + x2 = – b/a ⇒ 3x1 = 9/4 ⇒ x1 = 3/4x1 · x2 = c/a ⇒ 2x1
2 = k/89/8 = k/8 k = 9Para k = 9 las soluciones son x1 = 3/4, x2 = 3/2
242
Solución:
3/2 + x2 = – b/a3/2 + x2 = 11/10x2 = 11/10 – 3/2 = – 2/5
241
Solución:
2k – 3 = 6 – 1k = 4
240
Solución:
(18 + x)(12 + x) 18 · 12——= 2—
2 2x1 = – 36, x2 = 6La solución negativa no tiene sentido.Hay que aumentar 6 cm
239
Solución:
Número: xx x— + — + 1 = x ⇒ x = 62 3
238
Solución:
Número: xx x— + — = 39 ⇒ x = 522 4
237
Solución:
Número: xx x
x — = — + 9 ⇒ x = – 4, x = 9/22 4
236
12 cm
— cmx2
— cmx218
cm
188 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas
En un rectángulo, el segmento que une los puntosmedios de dos lados consecutivos mide 50 m. Si larazón de los lados es 4/3, calcula el área del rec-tángulo.
Julio invierte 14 000 € en acciones de dos empre-sas. En una gana el 15% y en otra pierde un 3,5%. Sial venderlas obtiene 14 620 €, ¿cuánto invirtió encada empresa?
Solución:
Dinero invertido en una empresa: x0,15x – 0,035(14 000 – x) = 620 ⇒ x = 6 000En una empresa invierte 6 000 € y en la otra8 000 €
245
Solución:
Sea x la mitad del lado menor.4
x2 + (—x)2 = 502 ⇒ x = – 30, x = 303
La solución negativa no tiene sentido.Para x = 30 m, el área es:A = 80 · 60 = 4 800 m2
50 m
244
¿En cuánto tiempo recorrerá un móvil 4 200 m,si parte con una velocidad de 15 m/s y con unaaceleración de 4,5 m/s2?
Se deja caer una pelota desde 30 m. Si la acelera-ción es de 9,8 m/s2, ¿cuánto tiempo tardará lapelota en llegar al suelo? La fórmula que tienesque aplicar es:
e = gt2
Solución:1— · 9,8 · t2 = 302t = 2,47 segundos.
12
247
Solución:1— · 4,5 · t2 + 15t = 4 2002t = 40 segundos.
246
Aplica tus competencias
UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2º GRADO 189
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Comprueba lo que sabes
Explica cómo se factoriza un trinomio de segun-do grado y pon un ejemplo.
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2(3x – 5) – 4(x – 2) = 2 – (x – 1)
b) = – (x + 2) –
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x2 + 4x – 12 = 0
b) = +
Justifica el número de soluciones que tienen lassiguientes ecuaciones, sin resolver éstas:
a) x2 – 5x + 7 = 0b) 3x2 – 12x + 8 = 0
c) x2 – 4x = 0d) 9x2 + 24x +16 = 0
Escribe una ecuación de segundo grado que ten-ga como soluciones: x1 = 3/2, x2 = –5
Encuentra un número tal que multiplicado porsu cuarta parte sea igual al doble del númeromenos 3 unidades.
Los lados de un rectángulo miden 9 cm y 7 cm.Si se amplían los lados en una misma cantidad,la nueva área es de 143 cm2. ¿Cuánto se haampliado cada uno?
Teresa tiene 12 años, su hermano Diego tiene 7años y su padre 44. ¿Cuántos años deben pasarpara que la suma de las edades de Teresa y deDiego sea igual a la del padre?
Solución:
12 + x + 7 + x = 44 + x ⇒ x = 25 años.
8
Solución:
(9 + x)(7 + x) = 143x2 + 16x – 80 = 0x1 = – 20, x2 = 4La solución negativa no tiene sentido.Se ha ampliado 4 cm
7
Solución:Número: x
xx · — = 2x – 3 ⇒ x2 – 8x + 12 = 04
x1 = 2, x2 = 6Hay dos soluciones: El número 2 y el número 6
6
Solución:(x – 3/2)(x + 5) = 0x2 + 7x/2 – 15/2 = 02x2 + 7x – 15 = 0
5
Solución:a) ∆ = 25 – 28 = – 3 < 0 ⇒ No tiene solución real.b) ∆ = 144 – 96 = 48 > 0 ⇒ Tiene dos soluciones.c) ∆ = 16 > 0 ⇒ Tiene dos soluciones.d) ∆ = 576 – 576 = 0 ⇒ Tiene una solución doble.
4
Solución:a) x1 = – 6, x2 = 2 b) x1 = – 2/3, x2 = 3
7x15
4 + 10x10
x2 + 5x5
3
Solución:a) 5/3 b) 2/5
7x – 510
72
7 – x5
2
Solución:Un trinomio de segundo grado ax2 + bx + c conlas soluciones x1 y x2 se descompone factorialmen-te de la siguiente forma:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)EjemploHalla la descomposición factorial de4x2 + 8x – 5 4x2 + 8x – 5 = 0 tiene las soluciones
5 1x1 = – —, x2 = —2 2
5 1Luego: 4x2 + 8x – 5 = 4(x + —)(x – —)2 2
1
Edad actual
Teresa 12
Dentro de x años
12 + x
Diego 7 7 + x
Padre 44 44 + x
9 cm
7 cm
9 + x
7 + x
190 SOLUCIONARIO
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Resuelve la siguiente ecuación:
4 + – = x –
Resuelve la siguiente ecuación:
3x2 + x – 4 = 0
Halla la descomposición factorial del polinomiox2 + x – 6
Representa gráficamente la siguiente parábola ycalcula las soluciones de la ecuación correspon-diente observando la gráfica.
y = x2 – 2x – 3
Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda deDERIVE o Wiris:
El lado de un cuadrado mide 3 m más que ellado de otro cuadrado. Si la suma de las dosáreas es 89 m2, calcula las dimensiones de loscuadrados.
Internet. Abre la web: www.editorial-bruno.esy elige Matemáticas, curso y tema.
253
Solución:Resuelto en el libro del alumnado.
x
x
(x + 3)
(x + 3)2 2
252
Solución:Resuelto en el libro del alumnado.
251
Solución:Resuelto en el libro del alumnado.
250
Solución:Resuelto en el libro del alumnado.
249
Solución:Resuelto en el libro del alumnado.
14
x – 12
x – 23
248
Paso a paso
Windows Derive
Resuelve las siguientes ecuaciones:
6 + 3x = 4 + 7x – 2x
4 – 3(2x + 5) = 5 – (x – 3)
= +
– + = 0
Solución:x = 5
10 – 3x5
x – 23
x – 12
257
Solución:x = – 5/12
7x – 510
92
7 – x2
256
Solución:x = – 19/5
255
Solución:x = 1
254
Practica
UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2º GRADO 191
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4x2 – 3x = 0
4x2 – 81 = 0
x2 – 5x + 6 = 0
x2 – 4x + 4 = 0
8x2 – 2x – 3 = 0
Representa gráficamente las siguientes parábolasy calcula las soluciones de las ecuaciones corres-pondientes observando las gráficas.
a) y = x2 – 4 b) y = x2 + 4x + 4
c) y = –x2 + x + 2 d) y = x2 + x – 2Halla la descomposición factorial de los si-guientes trinomios de segundo grado:
a) x2 – 9
b) x2 – x – 12
c) x2 – x – 20
d) x2 + 8x + 15
Solución:a) (x – 3)(x + 3)b) (x + 3)(x – 4)c) (x + 4)(x – 5)d) (x + 3)(x + 5)
264
b)
x1 = x2 = – 2
c)
x1 = –1, x2 = 2
d)
x1 = – 4, x2 = 2
Solución:a)
x1 = – 2, x2 = 2
12
14
263
Solución:x1 = – 1/2, x2 = 3/4
262
Solución:x1 = x2 = 2
261
Solución:x1 = 3, x2 = 2
260
Solución:x1 = – 9/2, x2 = 9/2
259
Solución:x1 = 0, x2 = 3/4
258
Linux/Windows
–1–2–3–4–5–6 654321
6
–6
5
–5
4
–4
3
–3
2
–2
1
–1
–1–2–3–4–5–6 654321
6
–6
5
–5
4
–4
3
–3
2
–2
1
–1
–1–2–3–4–5–6 654321
6
–6
5
–5
4
–4
3
–3
2
–2
1
–1
–1–2–3–4–5–6 654321
6
–6
5
–5
4
–4
3
–3
2
–2
1
–1
192 SOLUCIONARIO
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Halla una ecuación de segundo grado que tengalas raíces:
a) x1 = 5, x2 = –3
b) x1 = 1, x2 = 2
c) x1 = 7, x2 = –9
d) x1 = –6, x2 = 8
Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayudade DERIVE o Wiris:
Calcula un número tal que si se le quita su quin-ta parte el resultado sea 60
Halla los lados de un triángulo rectángulo sa-biendo que son números enteros consecutivos.
Halla el lado de un cuadrado tal que, al aumen-tarlo en 5 unidades, el área aumente en 395 uni-dades cuadradas.
Se desea mezclar 50 kg de azúcar blanca de1,24 €/kg con azúcar moreno de 1,48 €/kg.¿Cuántos kilos de azúcar moreno se necesitanpara que la mezcla salga a 1,32 €/kg?
Las diagonales de un rombo miden 18 cm y12 cm. ¿Qué longitud se debe añadir a las diago-nales para que el área del rombo se duplique?
Solución:(18 + x)(12 + x) 18 · 12——= 2—
2 2x = – 36, x = 6La solución negativa no tiene sentido.Hay que aumentar 6 cm
270
Solución:1,24 · 50 + 1,48 · x = 1,32(50 + x)x = 25 kg
269
Solución:(x + 5)2 = x2 + 395x = 37
268
Solución:Cateto menor: xx2 + (x + 1)2 = (x + 2)2
x1 = – 1, x2 = 3La solución negativa no tiene sentido.Los lados del triángulo miden: 3, 4 y 5 cm
267
Solución:x – x/5 = 60x = 75
266
Solución:a) x2 – 2x – 15 = 0b) x2 – 3x + 2 = 0c) x2 + 2x – 63 = 0d) x2 – 2x – 48 = 0
265
Windows Derive