Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 1/16

Ecuaciones Diferenciales (MA-841)

Ecuaciones de Variables SeparablesDepartmento de Matemáticas / CSI

ITESM

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 2/16

Ecuaciones de Variables Separables

Iniciaremos nuestras técnicas de solución a EDcon las ecuaciones más sencillas de resolver. Estetipo de ecuaciones son resueltas directamentemediante una o dos integraciones.

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 3/16

Definici onUna ecuación diferencial ordinaria de primer ordende la forma:

y′ = F (x, y)

se dice de Variables Separables si es posiblefactorizar F (x, y) en la forma:

F (x, y) = f(x) · g(y)

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 4/16

Una EDO de variables separables puederesolverse usando la siguiente estrategia:- Procedimiento: Variables Separables

- Entrada: Una EDO en la forma y′ = F (x, y)

- Salida: La solución de la ED.Paso I: Factorizar el segundo miembro

Factorizar F (x, y) = f(x) · g(y),si tal factorización no es posible, se concluye quela ED no es de variables separables y elprocedimiento no continua.

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 5/16

Paso II: Separar las variablesHacer álgebra para poner variables diferentes enlados diferentes:

y′ = F (x, y)

= f(x) · g(y)dydx

=1

g(y)dydx

= f(x)

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 6/16

Paso III: IntegrarIntegrando la expresión anterior con respecto a xobtenemos:

∫

1

g(y)

dy

dxdx =

∫

f(x) dx

o simplemente:∫

1

g(y)dy =

∫

f(x) dx + C

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 7/16

Paso IV: Despejar y OpcionalDebido a que y representa la función incógnita adeterminar, lo ideal es determinarla porcompleto, es decir tener como solución unaexpresión de la forma:

y = Expresión en x

En caso que este despeje sea posible, se diceque la solcuón está dada en forma explícita, encaso contrario (cuando no fué posible despejary) se dice que la solucón está dada en formaimplícita.

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 8/16

Ejemplo 1

Resuelve la ED:

dy

dx= −

2 x

y

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 8/16

Ejemplo 1

Resuelve la ED:

dy

dx= −

2 x

y

Primero revisamos si la ED es de variablesseparables:

dy

dx= −

2 x

y= (−2 x)

(

1

y

)

= f(x) g(y)

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 8/16

Ejemplo 1

Resuelve la ED:

dy

dx= −

2 x

y

Primero revisamos si la ED es de variablesseparables:

dy

dx= −

2 x

y= (−2 x)

(

1

y

)

= f(x) g(y)

Separando las variables:

y dy = −2 x dx

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 8/16

Ejemplo 1

Resuelve la ED:

dy

dx= −

2 x

y

Primero revisamos si la ED es de variablesseparables:

dy

dx= −

2 x

y= (−2 x)

(

1

y

)

= f(x) g(y)

Separando las variables:

y dy = −2 x dx

Integrando tenemos:

1

2y2 = −x2 + C

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 9/16

La expresión 12y2 = −x2 + C representa una

familia de soluciones: una solución para cada valorde la constante C. Si graficamos las funcionespara diferentes valores de C tenemos:

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 10/16

Problema con Condiciones Iniciales

Un problema con valores (condiciones) inicialesconsiste de una ecuación diferenciales y de unpunto del plano x − y:

dy

dx= f(x, y) sujeto a y(xo) = yo

El problema consiste en encontrar una funcióny = y(x) solución a la ecuación diferencial y queademás cumpla y(xo) = yo (es decir, que al evaluardicha función en x = xo el valor resultante sea yo).

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 10/16

Problema con Condiciones Iniciales

Un problema con valores (condiciones) inicialesconsiste de una ecuación diferenciales y de unpunto del plano x − y:

dy

dx= f(x, y) sujeto a y(xo) = yo

El problema consiste en encontrar una funcióny = y(x) solución a la ecuación diferencial y queademás cumpla y(xo) = yo (es decir, que al evaluardicha función en x = xo el valor resultante sea yo).Generalmente este problema se resuelve primeroencontrando la solución general (aparece Carbitraria) y posteriormente se sustituten los datosdel punto (xo, yo) para determinar el valor de C.

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 11/16

Ejemplo 2

Resuelve el problema con condiciones iniciales:

dy

dx= −

2 x

ysujeto a y(1) = 1

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 11/16

Ejemplo 2

Resuelve el problema con condiciones iniciales:

dy

dx= −

2 x

ysujeto a y(1) = 1

Por el ejemplo anterior la solución general es

1

2y2 = −x2 + C

Como el punto (xo = 1, yo = 1) debe cumplir:

1

212 = −12 + C

Por tanto, C = 3/2 y la solución buscada es:

1

2y2 = −x2 +

3

2ó y2 = 3 − 2x2

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 12/16

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 13/16

Ejemplo 3

Determine el valor de y(1) siendo y(x) la soluciónque satisface y(0) = 0 a la ED:

− 4√

x y + y′ = 0

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 13/16

Ejemplo 3

Determine el valor de y(1) siendo y(x) la soluciónque satisface y(0) = 0 a la ED:

− 4√

x y + y′ = 0

Tenemos que:

dy

dx= y′ = 4

√x y = 4

√x 4√

y

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 13/16

Ejemplo 3

Determine el valor de y(1) siendo y(x) la soluciónque satisface y(0) = 0 a la ED:

− 4√

x y + y′ = 0

Tenemos que:

dy

dx= y′ = 4

√x y = 4

√x 4√

y

Separando variables:

y−1/4 dy = x1/4 dx

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 13/16

Ejemplo 3

Determine el valor de y(1) siendo y(x) la soluciónque satisface y(0) = 0 a la ED:

− 4√

x y + y′ = 0

Tenemos que:

dy

dx= y′ = 4

√x y = 4

√x 4√

y

Separando variables:

y−1/4 dy = x1/4 dx

Integrando tenemos:

4

3y3/4 =

4

5x5/4 + C

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 14/16

Sustituyendo (xo = 0, yo = 0) tenemos C = 0 y portanto la solución particular es:

4

3y3/4 =

4

5x5/4 ó y =

(

3

5

)4/3

x5/3

Por tanto, el valor para x = 1 es

y(1) =

(

3

5

)4/3

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 15/16

Ejemplo 4

En un cultivo de bacterias el número inicialestimado es de 200. Al cabo de 10 minutos es de300. Indicar cual será el número estimado al cabode 20 minutos.

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 15/16

Ejemplo 4

En un cultivo de bacterias el número inicialestimado es de 200. Al cabo de 10 minutos es de300. Indicar cual será el número estimado al cabode 20 minutos.Recuerde que el modelo utilizado en estosproblemas es

dP

dt= k P

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 15/16

Ejemplo 4

En un cultivo de bacterias el número inicialestimado es de 200. Al cabo de 10 minutos es de300. Indicar cual será el número estimado al cabode 20 minutos.Recuerde que el modelo utilizado en estosproblemas es

dP

dt= k P

Separando variables e integrando

1

PdP = k dt → ln(P ) = k t + C

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 15/16

Ejemplo 4

En un cultivo de bacterias el número inicialestimado es de 200. Al cabo de 10 minutos es de300. Indicar cual será el número estimado al cabode 20 minutos.Recuerde que el modelo utilizado en estosproblemas es

dP

dt= k P

Separando variables e integrando

1

PdP = k dt → ln(P ) = k t + C

Despejando P :

P = ek t+C = eC ek t = C ek t = C ek t

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 16/16

Puesto que para t = 0 el número inicial es deP = 200:

200 = C ek·0 = C e0 = C · 1 = C

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 16/16

Puesto que para t = 0 el número inicial es deP = 200:

200 = C ek·0 = C e0 = C · 1 = C

Y para t = 10, el número es de 300:

300 = C ek·10 = 200 e10 k → k =1

10ln(3/2) ≈ 0.04054

IntroduccionVariablesSeparablesEstrategia deSolucionEjemplo 1PVIEjemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4

Ecuaciones de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales - p. 16/16

Puesto que para t = 0 el número inicial es deP = 200:

200 = C ek·0 = C e0 = C · 1 = C

Y para t = 10, el número es de 300:

300 = C ek·10 = 200 e10 k → k =1

10ln(3/2) ≈ 0.04054

Por tanto, para t = 20 tendremos:

P (t = 20) = 200 ek 20 ≈ 200 e0.04054·20 = 450