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Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)Departament de Matemàtica Aplicada III
Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona)http://www-lacan.upc.es
Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)Departament de Matemàtica Aplicada III
Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona)http://www-lacan.upc.es
Ecuaciones en Derivadas Parciales. Introducción
Ecuaciones en Derivadas Parciales. Introducción
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DefiniciónDefinición
� Una ecuación en derivadas parciales (EDP) es una ecuación diferencial en la que interviene una incógnita (que es una función de varias variables) y sus derivadas. Además, para que el problema esté bien planteado es necesario imponer condiciones de contorno y/o iniciales.
� Permiten modelar diferentes procesos físicos, como por ejemplo la transmisión del calor o el sonido, la mecánica de sólidos, la dinámica de fluidos …
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EjemplosEjemplos
� Evolución de la temperatura en una barra
Queremos determinar la temperatura en una barra delgada completamente aislada. Inicialmente la temperatura es de 10ºC en toda la barra y en un extremo la reducimos a 0ºC.
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k: conductividad térmica
ρ: densidad
c: calor específico
EjemplosEjemplos
� Solución: temperatura en diferentes instantes de tiempo
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Temperatura en una barra
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EjemplosEjemplos
� Recarga de una isla
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EjemplosEjemplos
� Objetivo: calcular la recarga R a partir de hp
� Considerando la simetría:
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Recarga de una isla
T: transmisividad
R: recarga
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EjemploEjemplo
� Solución con ∆x = ∆y = 0.1
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Recarga de una isla
EjemplosEjemplos
� Resultados con l=3658 m, T=930 m2/día, hp=6.1 m
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∆∆∆∆x=∆∆∆∆y H(0,0) R=T hp/(H(0,0) L2)
0.1 0.454099 9.3363 10-4
0.05 0.455141 9.3149 10-4
0.025 0.455401 9.3090 10-4
0.0125 0.455466 9.3083 10-4
Recarga de una isla
R= 9.31 10-4 m/día
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EjemplosEjemplos
� Tráfico
Idea (desarrollada por ingenieros de General Motors y del laboratorio de Los Álamos (USA)):
utilizar la teoría de mecánica de fluidos para modelizar el tráfico en un tramo de autopista con un solo carril donde no pueden entrar ni salir coches
ρ: densidad de coches (ρ≤ρmax: densidad de atasco)v: velocidad de los coches (depende de ρ)
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(conservación de masa)
EjemploEjemplo
� Modelo lineal:
� Modelo logarítmico: se ajustó a datos de túnel de Lincoln (Manhattan-New Jersey)
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Tráfico
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EjemploEjemplo
� Resultados con
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Tráfico
Solución hasta t=8 min
EjemplosEjemplos
� Desplazamientos de un muro de contención de tierras
Queremos calcular los desplazamientos sufridos por un muro de contención de tierras por efecto del empuje del terreno.
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EjemplosEjemplos
Los desplazamientos horizontales w(y) del muro satisfacen la siguiente ecuación (flexión de vigas)
donde H es la altura del muro, D es un parámetro de rigidez a flexión y p(y) es la distribución de empujes.
Como condiciones de contorno se considera que� El muro está empotrado en su cimentación� La coronación del muro es un borde libre
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Muro de contención
EjemplosEjemplos
Resultados: problema adimensional
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Muro de contención
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EjemplosEjemplos
� Deformada de un cable
Cable flexible con extremos fijos en apoyos situados al mismo nivel y sometido a la acción de una distribución de cargas (pequeños desplazamientos).
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EjemplosEjemplos
La geometría del cable queda descrita por:
donde L es la distancia horizontal entre los extremos del cable, T es la tensión (constante) y w(x) es la distribución de cargas aplicada.Imponiendo simetría:
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Deformada de un cable
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EjemplosEjemplos
� Resultados con
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Deformada de un cable
EjemplosEjemplos� Transporte de contaminante
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Avance del frente de HC contaminantes
Movimientodel vapor
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EjemplosEjemplos
� Navier-Stokes
Flujo de agua alrededor de un cilindro en un canal.
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� Equilibrio mecánico
� Navier-Stokes
¿Puede existir parte del contorno sin condiciones?
EjemplosEjemplos
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� Ecuación del calor estacionaria
� Flujo en medio poroso
¿Existen condiciones de contorno de mixtas en la práctica?
Clasificación físicaClasificación física
1. Problemas de equilibrio
� Problemes estacionarios, definidos en dominios finitos.
� Ejemplo: ecuación del calor
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Equilibrio de flujo Ley de Fourier
Ecuación del calor estacionaria, en un medio no isótropo, no homogéneo y no lineal
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2. Problemas de valores propios
� Problemas estacionarios (también de ondas) para los que la solución existe sólo en determinadas condiciones (para ciertos valores de algunos parámetros). Definidos en dominios cerrados.
� Ejemplo: desplazamientos de la membrana de un tambor
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Figuras de wikipedia: Vibrations of a circular drum
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3. Problemas de evolución
� Definidos en dominios infinitos (tiempo)
� Ejemplos:
• problemas de difusión → ecuación del calor transitoria
• problemas de ondas → desplazamientos de una cuerda que vibra
• problemas de transporte
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ecuación de convección
ecuación de convección - difusión
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En general, una EDP de segundo orden definida sobre dos variables independientes x e y, lineal y no homogénea, se puede expresar como
Por similitud con la clasificación de cónicas, las EDP’s de segundo orden se clasifican como:
Clasificación matemáticaClasificación matemática
Discriminante Clasificación Soluciones
B2 – 4AC < 0
B2 – 4AC = 0
B2 – 4AC > 0
Elíptica
Parabólica
Hiperbólica
2 complejas
2 reales (repetidas)
2 reales (diferentes)
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Considérese un punto P del dominio de solución � Dominio de dependencia: es la zona del dominio de la
cual depende la solución en el punto P� Rango de influencia: es la zona del dominio de solución
cuya solución está influenciada por la solución en el punto P
Figuras extraídas de: “Numerical methods for engineers and Scientists” J.D. Hoffman. Mc Graw-Hill. 1993.
Elíptica Parabólica Hiperbólica
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Tabla resumenTabla resumen
La siguiente tabla muestra las características principales de los diferentes tipos de EDP’s
OJO: sólo en contornos de entrada de información
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Condiciones de contornoCondiciones de contorno
� Condiciones de contorno de Dirichlet
� Condiciones de contorno de Neumann
� Condiciones de contorno mixtas