Post on 07-Nov-2015
description
MTODOS NUMRICOS
Ecuaciones No Lineales de una Variable
RACES DE ECUACIONES
EJEMPLOS DE APLICACIN EN INGENIERA
DEFINICIN
ECUACIONES ALGEBRAICASSolucin de una ecuacin algebraica de primer gradoes solucin de:
Solucin de una ecuacin algebraica de segundo grado
es solucin de:
Solucin de una ecuacin trascendente
es solucin de:
BSQUEDA DE UNA RAZ
MTODOS GRFICOSComo auxiliares en la comprensin visual de los mtodos numricos tantos cerrados como abiertos, para identificar el nmero de posibles races y la identificacin de casos en los que los mtodos abiertos no funcionan.
MTODO GRFICOf(x)xVisualxr
MTODO GRFICO
Grfico1
0.9012294245
0.804837418
0.7107079764
0.6187307531
0.5288007831
0.4408182207
0.3546880897
0.270320046
0.1876281516
0.1065306597
0.0269498104
-0.0511883639
-0.1279542232
-0.2034146962
-0.2776334473
-0.3506710359
-0.4225850681
-0.4934303403
-0.5632589765
-0.6321205588
@ 0.57
F(x)= e**(-x) - X
Funcin
Funcin:f(X) = e**(-x) - XXr =0.567143
xf(x)
01
0.050.9012294245
0.10.804837418
0.150.7107079764
0.20.6187307531
0.250.5288007831
0.30.4408182207
0.350.3546880897
0.40.270320046
0.450.1876281516
0.50.1065306597
0.550.0269498104
0.6-0.0511883639
0.65-0.1279542232
0.7-0.2034146962
0.75-0.2776334473
0.8-0.3506710359
0.85-0.4225850681
0.9-0.4934303403
0.95-0.5632589765
1-0.6321205588
Mtodo de biseccin
Funcin:f(X) = e**(-x) - XXr =0.567143
iteracinXiXsf(xi)f(Xs)Xrf(Xr)e(%)e*(%)
1011-0.63212055880.50.106530659711.84
20.510.1065306597-0.63212055880.75-0.277633447332.2433.33
30.50.750.1065306597-0.27763344730.625-0.089738571510.220.00
40.50.6250.1065306597-0.08973857150.56250.00728282470.8211.11
50.56250.6250.0072828247-0.08973857150.59375-0.04149754984.695.26
60.56250.593750.0072828247-0.04149754980.578125-0.01717583921.942.70
70.56250.5781250.0072828247-0.01717583920.5703125-0.00496376040.561.37
80.56250.57031250.0072828247-0.00496376040.566406250.0011552020.130.69
90.566406250.57031250.001155202-0.00496376040.568359375-0.00190535960.210.34
100.566406250.5683593750.001155202-0.00190535960.5673828125-0.00037534920.040.17
110.566406250.56738281250.001155202-0.00037534920.56689453120.00038985880.040.09
120.56689453120.56738281250.0003898588-0.00037534920.56713867190.000007237900.04
130.56713867190.56738281250.0000072379-0.00037534920.5672607422-0.00018405990.020.02
140.56713867190.56726074220.0000072379-0.00018405990.567199707-0.0000884120.010.01
Decisines
Funcin
Recurrencia
Mtodo de la regla falsa
Funcin:f(X) = e**(-x) - XXr =0.567143
iteracinXiXsf(xi)f(Xs)Xrf(Xr)e(%)e*(%)
1011-0.63212055880.6126998368-0.07081394798.03
200.61269983681-0.07081394790.30634991840.429779070945.98100.00
30.30634991840.61269983680.4297790709-0.07081394790.45952487760.172058776218.9833.33
40.45952487760.61269983680.1720587762-0.07081394790.53611235720.04890582175.4714.29
50.53611235720.61269983680.0489058217-0.07081394790.574406097-0.01136693681.286.67
60.53611235720.5744060970.0489058217-0.01136693680.55525922710.01866423832.13.45
70.55525922710.5744060970.0186642383-0.01136693680.5648326620.00362260090.411.69
80.5648326620.5744060970.0036226009-0.01136693680.5696193795-0.00387864930.440.84
90.5648326620.56961937950.0036226009-0.00387864930.5672260208-0.00012964840.010.42
100.5648326620.56722602080.0036226009-0.00012964840.56602934140.00174606970.20.21
110.56602934140.56722602080.0017460697-0.00012964840.56662768110.00080810910.090.11
120.56662768110.56722602080.0008081091-0.00012964840.56692685090.0003392050.040.05
130.56692685090.56722602080.000339205-0.00012964840.56707643580.00010477190.010.03
140.56707643580.56722602080.0001047719-0.00012964840.5671512283-0.000012439800.01
Decisines
Funcin
Recurrencia
Mtodo del punto fijo
Funcin:f(X) = e**(-x) - XXr =0.567143
iteracinXif(Xi)g(Xi)e(%)e*(%)
1011100.00
21-0.63212055880.367879441276.32100.00
30.36787944120.32432118640.692200627635.13171.83
40.6922006276-0.1917271270.500473500622.0546.85
50.50047350060.10577003450.606243535111.7638.31
60.6062435351-0.06084774910.5453957866.8917.45
70.5453957860.03421654950.57961233553.8311.16
80.5796123355-0.01949687410.56011546142.205.90
90.56011546140.01102765370.57114311511.243.48
100.5711431151-0.00626376770.56487934740.711.93
110.56487934740.00354937760.5684287250.401.11
120.568428725-0.00201399190.56641473310.230.62
130.56641473310.00114190420.56755663730.130.36
140.5675566373-0.00064772540.56690891190.070.20
150.56690891190.00036732030.56727623220.040.11
160.5672762322-0.00020833380.56706789840.020.06
170.56706789840.00011815170.56718605010.010.04
180.5671860501-0.000067010.56711904010.010.02
190.56711904010.00003800390.5671570440.000.01
200.567157044-0.00002155380.56713549020.000.01
Decisines
Funcin
Recurrencia
Restriccin
Mtodo de Newton Raphson
Funcin:f(X) = e**(-x) - XDerivada:f'(X)= -e**(-x) -1Xr =0.567143
iteracinXif(Xi)f''(Xi)e(%)e*(%)
101-2100.00
20.50.1065306597-1.606530659711.84100.00
30.56631100320.0013045098-1.5676155130.1511.71
40.5671431650.0000001965-1.56714336150.000.15
50.56714329040-1.56714329040.000.00
Decisines
Funcin
Recurrencia
MTODO DE BISECCINf(x)x
MTODO DE BISECCINConsiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz.
MTODO DE BISECCINxixsf(x)xf(xi)f(xs)
MTODO DE BISECCINConsiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz. El segmento se bisecta, tomando el punto de biseccin xr como aproximacin de la raz buscada.
MTODO DE BISECCINxixsxrf(x)xf(xi)f(xs)f(xr)
MTODO DE BISECCINLa frmula de recurrencia para el mtodo de biseccin es el promedio de los valores inferior y superior de los extremos del intervalo:
MTODO DE BISECCINConsiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz. El segmento se bisecta, tomando el punto de biseccin xr como aproximacin de la raz buscada.Se identifica luego en cul de los dos intervalos est la raz.
MTODO DE BISECCINxixsxif(x)xf(xi)f(xs)f(xr)
MTODO DE BISECCINConsiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz. El segmento se bisecta, tomando el punto de biseccin xr como aproximacin de la raz buscada.Se identifica luego en cul de los dos intervalos est la raz.El proceso se repite n veces, hasta que el punto de biseccin xr coincide prcticamente con el valor exacto de la raz.
MTODO DE BISECCINxsxif(x)xf(xs)f(xr)xr
MTODO DE BISECCINDecisionesFuncinRecurrenciaXr = 0.567143
IteracinXiXsf(xi)f(Xs)Xrf(Xr)e1011-0.632120560.50.106530660.520.510.10653066-0.632120560.75-0.277633450.2530.50.750.10653066-0.277633450.625-0.089738570.12540.50.6250.10653066-0.089738570.56250.007282820.062550.56250.6250.00728282-0.089738570.59375-0.041497550.0312560.56250.593750.00728282-0.041497550.578125-0.017175840.01562570.56250.5781250.00728282-0.017175840.5703125-0.004963760.007812580.56250.57031250.00728282-0.004963760.566406250.00115520.0039062590.566406250.57031250.0011552-0.004963760.56835938-0.001905360.00195313100.566406250.568359380.0011552-0.001905360.56738281-0.000375350.00097656110.566406250.567382810.0011552-0.000375350.566894530.000389860.00048828120.566894530.567382810.00038986-0.000375350.567138677.2379E-060.00024414130.567138670.567382817.2379E-06-0.000375350.56726074-0.000184060.00012207140.567138670.567260747.2379E-06-0.000184060.56719971-8.8412E-050.000061035
MTODO DE BISECCIN 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.59375 0.578125 0.56640625 0.5703125 0.56714301
MTODO DE LA REGLA FALSAf(x)x
MTODO DE LA REGLA FALSAConsiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz.
MTODO DE LA REGLA FALSAxixsf(x)xf(xi)f(xs)
MTODO DE LA REGLA FALSAConsiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz.Se traza una recta que une los puntos [xi, f(xi)], [xs, f(xs)].
MTODO DE LA REGLA FALSAxixsf(x)xf(xi)f(xs)
MTODO DE LA REGLA FALSAConsiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz.Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xs, f(xs)).Se obtiene el punto de interseccin de esta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0) y se toma xr como aproximacin de la raz buscada.
MTODO DE LA REGLA FALSAxixsxrf(x)xf(xi)f(xs)f(xr)O mtodo de interpolacin lineal
MTODO DE LA REGLA FALSALa frmula de recurrencia para el mtodo de la regla falsa se obtiene de comparar dos tringulos semejantes:
MTODO DE LA REGLA FALSAConsiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz.Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xs, f(xs))Se obtiene el punto de interseccin de esta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma xr como aproximacin de la raz buscada.Se identifica luego en cul de los dos intervalos est la raz.
xrMTODO DE LA REGLA FALSAxixsxsf(x)xf(xi)f(xs)f(xs)
MTODO DE LA REGLA FALSAConsiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz.Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xs, f(xs))Se obtiene el punto de interseccin de esta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma xr como aproximacin de la raz buscada.Se identifica luego en cul de los dos intervalos est la raz.El proceso se repite n veces, hasta que el punto de interseccin xr coincide prcticamente con el valor exacto de la raz.
MTODO DE LA REGLA FALSAxixsf(x)xf(xi)f(xs)
MTODO DE LA REGLA FALSADecisionesFuncinRecurrenciaXr = 0.567143
iteracinXiXsf(xi)f(Xs)Xrf(Xr)e1011-0.632120560.61269984-0.07081395200.612699841-0.070813950.306349920.429779070.3063499230.306349920.612699840.42977907-0.070813950.459524880.172058780.1531749640.459524880.612699840.17205878-0.070813950.536112360.048905820.0765874850.536112360.612699840.04890582-0.070813950.5744061-0.011366940.0382937460.536112360.57440610.04890582-0.011366940.555259230.018664240.0191468770.555259230.57440610.01866424-0.011366940.564832660.00362260.0095734380.564832660.57440610.0036226-0.011366940.56961938-0.003878650.0047867290.564832660.569619380.0036226-0.003878650.56722602-0.000129650.00239336100.564832660.567226020.0036226-0.000129650.566029340.001746070.00119668110.566029340.567226020.00174607-0.000129650.566627680.000808110.00059834120.566627680.567226020.00080811-0.000129650.566926850.00033920.00029917130.566926850.567226020.0003392-0.000129650.567076440.000104770.00014959140.567076440.567226020.00010477-0.000129650.56715123-1.244E-050.00007479
MTODO DE LA REGLA FALSAf(x)xCaso de convergencia lenta
MTODO DE LA REGLA FALSA MODIFICADOLas funciones con curvatura significativa hacen que el mtodo de la regla falsa converja muy lentamente.Esto se debe a que con interpolacin lineal, uno de los valores extremos se queda estancado.Para tales casos, se ha encontrado un remedio: el mtodo de la regla falsa modificado, que reduce a la mitad el valor de la funcin en el punto extremo que se repita dos veces, con lo que la convergencia se acelera significativamente.
MTODO DE LA REGLA FALSA MODIFICADOf(x)xf(xi)f(xi)/2f(xi)/4
PRECAUCIONES EN EL USODE MTODOS CERRADOSxixsf(x)xf(xi)f(xs)3 races(o 5, o 7 o )hay una razhay un nmero impar de races
PRECAUCIONES EN EL USODE MTODOS CERRADOSxixsf(x)xf(xi)f(xs)3 races(1 simple y 1 doble)hay una razhay un nmero impar de races
PRECAUCIONES EN EL USODE MTODOS CERRADOSxixsf(x)xf(xi)f(xs)2 races(o 4, o 6 o )no hay razhay un nmero par de races
PRECAUCIONES EN EL USODE MTODOS CERRADOSxixsf(x)xf(xi)f(xs)1 raz dobleno hay razhay un nmero par de races
PRECAUCIONES EN EL USODE MTODOS CERRADOSLos mtodos cerrados siempre convergen, aunque lentamente.En la mayora de los problemas el mtodo de la regla falsa converge ms rpido que el de biseccin.Conviene utilizar la calculadora graficadora o una computadora para graficar la funcin y realizar los acercamientos necesarios hasta tener claridad sobre su comportamiento.
MTODO DEL PUNTO FIJOf(x)x
MTODO DEL PUNTO FIJOConsidera la descomposicin de la funcin f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la funcin x: f(x) = g(x) - x.
MTODO DEL PUNTO FIJOf(x)x
MTODO DEL PUNTO FIJOConsidera la descomposicin de la funcin f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la funcin x: f(x) = g(x) - x.La raz de la funcin f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) x = 0, cuando g(x) = x.
MTODO DEL PUNTO FIJOLa frmula de recurrencia para el mtodo del punto fijo se obtiene de considerar una funcin que el resultado de sumar la funcin f con la funcin identidad:
MTODO DEL PUNTO FIJOf(x)xxrxg(x)f(x)
MTODO DEL PUNTO FIJOConsidera la descomposicin de la funcin f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la funcin x: f(x) = g(x) - x.La raz de la funcin f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) x = 0, por lo que g(x) = x.El punto de interseccin de las dos funciones, da entonces el valor exacto de la raz.
MTODO DEL PUNTO FIJOf(x)xxrLas funciones x y g(x) se cortanexactamente en la raz xrxg(x)f(x)
MTODO DEL PUNTO FIJOConsidera la descomposicin de la funcin f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la funcin x: f(x) = g(x) - x.La raz de la funcin f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) x = 0, por lo que g(x) = x.El punto de interseccin de las dos funciones, da entonces el valor exacto de la raz.El mtodo consiste en considerar un valor inicial x0, como aproximacin a la raz, evaluar el valor de esta funcin g(x0), considerando ste como segunda aproximacin de la raz, x1.
MTODO DEL PUNTO FIJOf(x)xx0x1g(x0)
MTODO DEL PUNTO FIJOConsidera la descomposicin de la funcin f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la funcin x: f(x) = g(x) - x.La raz de la funcin f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) x = 0, por lo que g(x) = x.El punto de interseccin de las dos funciones, da entonces el valor exacto de la raz.El mtodo consiste en considerar un valor inicial x0, como aproximacin a la raz, evaluar el valor de esta funcin g(x0), considerando ste como segunda aproximacin de la raz.El proceso se repite n veces hasta que g(x) coincide prcticamente con x.
MTODO DEL PUNTO FIJOf(x)xx0x3x2x1Requisito para convergencia
MTODO DEL PUNTO FIJOSlo hay convergencia si la magnitud de la pendiente de g(x) es menor que la pendiente de la recta f(x) = x.La ecuacin de recurrencia es:
Si x* es el verdadero valor de la raz:
Y por el teorema del valor medio:
Si , los errores disminuyen en cada iteracinSi , los errores crecen en cada iteracin
MTODO DEL PUNTO FIJOConvergenciaDivergencia
MTODO DEL PUNTO FIJODecisionesFuncinRecurrenciaXr = 0.567143
iteracinXif(Xi)g(Xi)e101121-0.632120560.36787944130.367879440.324321190.692200630.6321205640.69220063-0.191727130.50047350.3243211950.50047350.105770030.606243540.1917271360.60624354-0.060847750.545395790.1057700470.545395790.034216550.579612340.0608477580.57961234-0.019496870.560115460.0342165590.560115460.011027650.571143120.01949688100.57114312-0.006263770.564879350.01102766110.564879350.003549380.568428730.00626377120.56842873-0.002013990.566414730.00354938130.566414730.00114190.567556640.002014140.56755664-0.000647730.566908910.00114191150.566908910.000367320.567276230.00064773160.56727623-0.000208330.56706790.00036732170.56706790.000118150.567186050.00020833
MTODO DE NEWTON RAPHSONf(x)x
MTODO DE NEWTON RAPHSONConsiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximacin de la raz y obtener el valor de la funcin por ese punto.
MTODO DE NEWTON RAPHSONx1f(x)xf(x1)
MTODO DE NEWTON RAPHSONConsiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximacin de la raz y obtener el valor de la funcin por ese punto.Trazar una recta tangente a la funcin por ese punto.
MTODO DE NEWTON RAPHSONx1f(x)xf(x1)f '(x1)O mtodo de la tangente
MTODO DE NEWTON RAPHSONConsiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximacin de la raz.Obtener el valor de la funcin por ese punto y trazar una recta tangente a la funcin por ese punto.El punto de interseccin de esta recta con el eje de las abscisas (x2, 0), constituye una segunda aproximacin de la raz.
MTODO DE NEWTON RAPHSONx1f(x)xf(x1)x2f(x2)
MTODO DE NEWTON RAPHSONEl mtodo de Newton Raphson se puede deducir a partir de la interpretacin geomtrica que supone que el punto donde la tangente cruza al eje x es una interpretacin mejorada de la raz.
MTODO DE NEWTON RAPHSONEn realidad, el mtodo de Newton Raphson, que supone la obtencin de la raz de f(x), se obtiene a partir de su desarrollo en serie de Taylor, la cual se puede escribir:
donde, al despreciar el residuo R2, la serie de Taylor truncada a dos trminos, queda:
Y realizando manipulaciones algebraicas:
MTODO DE NEWTON RAPHSONConsiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximacin de la raz.Obtener el valor de la funcin por ese punto y trazar una recta tangente a la funcin por ese punto.El punto de interseccin de esta recta con el eje de las abscisas (x2, 0), constituye una segunda aproximacin de la raz.El proceso se repite n veces hasta que el punto de interseccin xn coincide prcticamente con el valor exacto de la raz.
MTODO DE NEWTON RAPHSONx1f(x)xf(x1)x2f(x2)f(x3)x3
MTODO DE NEWTON RAPHSONEn ocasiones resulta difcil o imposible obtener la primera derivada de la funcin. En tal caso, se puede hacer una aproximacin suficientemente buena de su valor en xi, por diferencias finitas hacia delante:
o por diferencias finitas hacia atrs:
con h = 0.001, por ejemplo.Si la funcin no tiene singularidades en la vecindad de la raz, ambas aproximaciones por diferencias funcionan bien.
MTODO DE NEWTON RAPHSONEl mtodo de Newton Raphson converge muy rpidamente, pues el error es proporcional al cuadrado del error anterior:La velocidad de convergencia cuadrtica se explica tericamente por la expansin en serie de Taylor, con la expresin:El nmero de cifras significativas de precisin se duplica aproximadamente en cada iteracin
MTODO DE NEWTON RAPHSONDerivadaFuncinRecurrenciaXr = 0.567143
iteracinXif(Xi)f'(Xi)e101-220.50.10653066-1.606530660.530.5663110030.00130451-1.5676155130.06631100340.5671431651.9648E-07-1.5671433620.00083216250.567143294.4409E-15-1.567143290.000000125
MTODO DE NEWTON RAPHSONf(x)xLa velocidad de convergencia es muy sensible al valor inicial elegidolentorpido
MTODO DE NEWTON RAPHSONAunque el mtodo trabaja bien, no existe garanta de convergencia.xx3x1x2x0f(x)
MTODO DE NEWTON RAPHSONAunque el mtodo trabaja bien, no existe garanta de convergencia.xx1x2x0f(x)x3x4
MTODO DE LA SECANTEf(x)x
MTODO DE LA SECANTEConsiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1 para los cuales se evalan los valores de la funcin: f(x0) y f(x1)
MTODO DE LA SECANTEx0x1f(x)xf(x0)f(x1)
MTODO DE LA SECANTEConsiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1 para los cuales se evalan los valores de la funcin: f(x0) y f(x1)Se traza una recta secante a la funcin por esos dos puntos.
MTODO DE LA SECANTEx0x1f(x)xf(x0)f(x1)
MTODO DE LA SECANTEConsiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1 para los cuales se evalan los valores de la funcin: f(x0) y f(x1)Se traza una recta secante a la funcin por esos dos puntos.El punto de interseccin de esta recta con el eje de las abscisas (x2, 0) constituye una segunda aproximacin de la raz.
MTODO DE LA SECANTEx0x1f(x)xf(x0)f(x1)x2f(x2)
MTODO DE LA SECANTEConsiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1 para los cuales se evalan los valores de la funcin: f(x0) y f(x1)Se traza una recta secante a la funcin por esos dos puntos.El punto de interseccin de esta recta con el eje de las abscisas (x2, 0) constituye una segunda aproximacin de la raz.Se reemplazan los subndices: xi = xi+1, de manera que x1 pasa a ser x0 y x2 pasa a ser x1.
MTODO DE LA SECANTEx0x1f(x)xf(x0)f(x1)x2f(x2)x0x1f(x0)f(x1)
MTODO DE LA SECANTEConsiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1 para los cuales se evalan los valores de la funcin: f(x0) y f(x1)Se traza una recta secante a la funcin por esos dos puntos.El punto de interseccin de esta recta con el eje de las abscisas (x2, 0) constituye una segunda aproximacin de la raz.Se reemplazan los subndices: xi = xi+1, de manera que x1 pasa a ser x0 y x2 pasa a ser x1.Se traza una segunda secante por los nuevos puntos x0 , x1.
MTODO DE LA SECANTEx0f(x)xf(x0)x1f(x1)x2
MTODO DE LA SECANTEConsiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1 para los cuales se evalan los valores de la funcin: f(x0) y f(x1)Se traza una recta secante a la funcin por esos dos puntos.El punto de interseccin de esta recta con el eje de las abscisas (x2, 0) constituye una segunda aproximacin de la raz.Se reemplazan los subndices: xi = xi+1, de manera que x1 pasa a ser x0 y x2 pasa a ser x1.Se traza una segunda secante por los nuevos puntos x0, x1, obteniendo una segunda aproximacin con x2.El proceso se repite n veces hasta que el punto de interseccin x2 coincide prcticamente con el valor exacto de la raz.
MTODO DE LAS SECANTESx0f(x)xf(x0)x1f(x1)x2f(x2)
MTODO DE LA SECANTEDerivadaFuncinRecurrenciaXr = 0.567143
iteracinX0X1f(X0)f(X1)X2f(X2)e100.410.270320050.548185540.0298120720.40.548185540.270320050.029812070.566553820.000923880.0183682830.548185540.566553820.029812070.000923880.567141263.1783E-060.0005874440.566553820.567141260.000923883.1783E-060.567143293.3904E-100.00000203
COMPARATIVO DE LOS ERRORES RELATIVOS ESTIMADOS, POR DIFERENTES MTODOS
Grfico1
33.331001001003.24
2033.33171.8311.710.1
11.1114.2946.850.150.01
5.266.6738.310.015
2.73.4517.4566
1.371.6911.1677
0.690.845.988
0.340.423.4899
0.170.211.931010
0.090.111.111111
0.040.050.621212
0.020.030.361313
0.010.010.21414
15150.111515
16160.061616
17170.041717
Biseccin
Regla falsa
Punto fijo
Newton-Raphson
Secante
iteraciones
Error relativo estimado porcentual
Hoja1
Funcin:
iteracine*(%)e*(%)e*(%)e*(%)e*(%)
1
233.331001001003.24
320.0033.33171.8311.710.1
411.1114.2946.850.150.01
55.266.6738.310.01
62.703.4517.45
71.371.6911.16
80.690.845.9
90.340.423.48
100.170.211.93
110.090.111.11
120.040.050.62
130.020.030.36
140.010.010.2
150.11
160.06
170.04
Hoja2
Hoja3
COMPARATIVO DE LOS ERRORES RELATIVOS ESTIMADOS, POR DIFERENTES MTODOSLos mtodos de biseccin, de regla falsa y de punto fijo convergen linealmente al valor verdadero de la raz.El error relativo verdadero es proporcional y menor que el error correspondiente de la iteracin anterior.En biseccin y regla falsa, la convergencia est garantizada.En punto fijo, la convergencia depende de que la pendiente de la tangente no sobrepase el 1, en positivo o en negativo.Los mtodos de Newton Raphson y de la secante convergen cuadrticamente al valor verdadero de la raz.El error relativo verdadero es proporcional al cuadrado del error correspondiente de la iteracin anterior.Cuando el error relativo en una iteracin es menor que 1 (inferior al 100%), la convergencia est garantizada.Cuando el error relativo en una iteracin es mayor que 1, la divergencia est garantizada.
MTODOS NUMRICOS
Sistemas de ecuaciones no lineales
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESf(x, y)=0g(x, y)=0xyx*y*
SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES(2, 3)
Grfico1
0.9012294245
0.804837418
0.7107079764
0.6187307531
0.5288007831
0.4408182207
0.3546880897
0.270320046
0.1876281516
0.1065306597
0.0269498104
-0.0511883639
-0.1279542232
-0.2034146962
-0.2776334473
-0.3506710359
-0.4225850681
-0.4934303403
-0.5632589765
-0.6321205588
@ 0.57
F(x)= e-x - X
Funcin
Funcin:f(X) = e**(-x) - XXr =0.567143
f(X) = e-x - X
xf(x)
01
0.050.9012294245
0.10.804837418
0.150.7107079764
0.20.6187307531
0.250.5288007831
0.30.4408182207
0.350.3546880897
0.40.270320046
0.450.1876281516
0.50.1065306597
0.550.0269498104
0.6-0.0511883639
0.65-0.1279542232
0.7-0.2034146962
0.75-0.2776334473
0.8-0.3506710359
0.85-0.4225850681
0.9-0.4934303403
0.95-0.5632589765
1-0.6321205588
Mtodo de biseccin
Funcin:f(X) = e-x - XXr =0.567143
iteracinXiXsf(Xi)f(Xs)Xrf(Xr)e(%)e*(%)
1011-0.63212055880.50.106530659711.84
20.510.1065306597-0.63212055880.75-0.277633447332.2433.33
30.50.750.1065306597-0.27763344730.625-0.089738571510.220.00
40.50.6250.1065306597-0.08973857150.56250.00728282470.8211.11
50.56250.6250.0072828247-0.08973857150.59375-0.04149754984.695.26
60.56250.593750.0072828247-0.04149754980.578125-0.01717583921.942.70
70.56250.5781250.0072828247-0.01717583920.5703125-0.00496376040.561.37
80.56250.57031250.0072828247-0.00496376040.566406250.0011552020.130.69
90.566406250.57031250.001155202-0.00496376040.568359375-0.00190535960.210.34
100.566406250.5683593750.001155202-0.00190535960.5673828125-0.00037534920.040.17
110.566406250.56738281250.001155202-0.00037534920.56689453120.00038985880.040.09
120.56689453120.56738281250.0003898588-0.00037534920.56713867190.000007237900.04
130.56713867190.56738281250.0000072379-0.00037534920.5672607422-0.00018405990.020.02
140.56713867190.56726074220.0000072379-0.00018405990.567199707-0.0000884120.010.01
DecisionesFuncinRecurrencia
Mtodo de la regla falsa
Funcin:f(X) = e-x - XXr =0.567143
iteracinXiXsf(Xi)f(Xs)Xrf(Xr)e(%)e*(%)
1011-0.63212055880.6126998368-0.07081394798.03
200.61269983681-0.07081394790.30634991840.429779070945.98100.00
30.30634991840.61269983680.4297790709-0.07081394790.45952487760.172058776218.9833.33
40.45952487760.61269983680.1720587762-0.07081394790.53611235720.04890582175.4714.29
50.53611235720.61269983680.0489058217-0.07081394790.574406097-0.01136693681.286.67
60.53611235720.5744060970.0489058217-0.01136693680.55525922710.01866423832.13.45
70.55525922710.5744060970.0186642383-0.01136693680.5648326620.00362260090.411.69
80.5648326620.5744060970.0036226009-0.01136693680.5696193795-0.00387864930.440.84
90.5648326620.56961937950.0036226009-0.00387864930.5672260208-0.00012964840.010.42
100.5648326620.56722602080.0036226009-0.00012964840.56602934140.00174606970.20.21
110.56602934140.56722602080.0017460697-0.00012964840.56662768110.00080810910.090.11
120.56662768110.56722602080.0008081091-0.00012964840.56692685090.0003392050.040.05
130.56692685090.56722602080.000339205-0.00012964840.56707643580.00010477190.010.03
140.56707643580.56722602080.0001047719-0.00012964840.5671512283-0.000012439800.01
DecisionesFuncinRecurrencia
Mtodo del punto fijo
Funcin:f(X) = e-x - XXr =0.567143|g'(x)| < 1
iteracinXif(Xi)g(Xi)e(%)e*(%)
1011100.00
21-0.63212055880.367879441276.32100.00
30.36787944120.32432118640.692200627635.13171.83
40.6922006276-0.1917271270.500473500622.0546.85
50.50047350060.10577003450.606243535111.7638.31
60.6062435351-0.06084774910.5453957866.8917.45
70.5453957860.03421654950.57961233553.8311.16
80.5796123355-0.01949687410.56011546142.205.90
90.56011546140.01102765370.57114311511.243.48
100.5711431151-0.00626376770.56487934740.711.93
110.56487934740.00354937760.5684287250.401.11
120.568428725-0.00201399190.56641473310.230.62
130.56641473310.00114190420.56755663730.130.36
140.5675566373-0.00064772540.56690891190.070.20
150.56690891190.00036732030.56727623220.040.11
160.5672762322-0.00020833380.56706789840.020.06
170.56706789840.00011815170.56718605010.010.04
DecisionesFuncinRecurrenciaRestriccin
Mtodo de Newton Raphson
Funcin:f(X) = e-x - XDerivada:f'(X)= -e-x -1Xr =0.567143
iteracinXif(Xi)f'(Xi)e(%)e*(%)
101-2100.00
20.50.1065306597-1.606530659711.84100.00
30.56631100320.0013045098-1.5676155130.1511.71
40.5671431650.0000001965-1.56714336150.000.15
50.56714329040-1.56714329040.000.00
RecurrenciaFuncinDecisiones
Convergencia lenta
-1
-0.9999999999
-0.9999998976
-0.9999940951
-0.9998951424
-0.9990234375
-0.9939533824
-0.9717524751
-0.8926258176
-0.6513215599
0
1.5937424601
5.1917364224
&A
Page &P
f(x) = x10 - 1
f(x)=x10-1
Xif(Xi)
0-1
0.1-0.9999999999
0.2-0.9999998976
0.3-0.9999940951
0.4-0.9998951424
0.5-0.9990234375
0.6-0.9939533824
0.7-0.9717524751
0.8-0.8926258176
0.9-0.6513215599
10
1.11.5937424601
1.25.1917364224
Seleccin punto inicial
Funcin:f(X) = X**10 - 1Derivada:f'(X)= 10X**9Xr =0.567143
iteracinXif(Xi)f''(Xi)e(%)e*(%)
10.8-0.89262581761.3421772841.06
21.465058059744.5562911183310.952121091158.3245.39
31.321768182915.2761968942123.1395724663133.0610.84
41.19771223095.074700143550.7191960379111.1810.36
51.09765740861.539031741323.131367959993.549.12
61.03112300640.358641165613.176324814881.816.45
71.00390440250.039737212510.356934483877.012.71
81.00006762890.000676495110.006088249676.330.38
91.00000002060.000000205810.000001851976.320.01
10101076.320.00
11101076.320.00
12101076.320.00
13101076.320.00
14101076.320.00
15101076.320.00
16101076.320.00
17101076.320.00
18101076.320.00
19101076.320.00
20101076.320.00
21101076.320.00
22101076.320.00
23101076.320.00
24101076.320.00
25101076.320.00
26101076.320.00
27101076.320.00
28101076.320.00
29101076.320.00
30101076.320.00
31101076.320.00
32101076.320.00
33101076.320.00
34101076.320.00
35101076.320.00
36101076.320.00
37101076.320.00
38101076.320.00
39101076.320.00
40101076.320.00
41101076.320.00
42101076.320.00
43101076.320.00
RecurrenciaFuncinDecisiones
Divergencia
-1.2599210499
-1.2385623296
-1.2164403991
-1.1934831919
-1.1696070953
-1.1447142426
-1.1186889421
-1.0913928831
-1.0626585692
-1.0322801155
-1
-0.9654893846
-0.9283177667
-0.8879040017
-0.8434326653
-0.793700526
-0.7368062997
-0.6694329501
-0.5848035476
-0.4641588834
0
0.4641588834
0.5848035476
0.6694329501
0.7368062997
0.793700526
0.8434326653
0.8879040017
0.9283177667
0.9654893846
1
1.0322801155
1.0626585692
1.0913928831
1.1186889421
1.1447142426
1.1696070953
1.1934831919
1.2164403991
1.2385623296
1.2599210499
&A
Page &P
f(x) = 3x
Raz cbica(x)
Xif(Xi)
-2-1.2599210499
-1.9-1.2385623296
-1.8-1.2164403991
-1.7-1.1934831919
-1.6-1.1696070953
-1.5-1.1447142426
-1.4-1.1186889421
-1.3-1.0913928831
-1.2-1.0626585692
-1.1-1.0322801155
-1-1
-0.9-0.9654893846
-0.8-0.9283177667
-0.7-0.8879040017
-0.6-0.8434326653
-0.5-0.793700526
-0.4-0.7368062997
-0.3-0.6694329501
-0.2-0.5848035476
-0.1-0.4641588834
00
0.10.4641588834
0.20.5848035476
0.30.6694329501
0.40.7368062997
0.50.793700526
0.60.8434326653
0.70.8879040017
0.80.9283177667
0.90.9654893846
11
1.11.0322801155
1.21.0626585692
1.31.0913928831
1.41.1186889421
1.51.1447142426
1.61.1696070953
1.71.1934831919
1.81.2164403991
1.91.2385623296
21.2599210499
Siempre diverge
Funcin:f(X)=Razcbica(X)Derivada:f'(x)=1/3*(x**-2/3)Xr =0.567143
iteracinXif(Xi)f''(Xi)e(%)e*(%)
10.20.58480354760.974672579464.74
2-0.4-0.73680629970.6140052498170.53150.00
30.80.92831776670.386799069541.06150.00
4-1.6-1.16960709530.2436681449382.12150.00
53.21.47361259950.1535013124464.23150.00
6-6.4-1.85663553340.09669976741228.46150.00
712.82.33921419060.06091703622156.93150.00
8-25.6-2.94722519890.03837532814613.85150.00
951.23.71327106690.02417494188927.71150.00
10-102.4-4.67842838110.015229259118155.41150.00
Mtodo de la secante
Funcin:f(X) = e-x - XXr =0.567143
iteracinX0X1f(X0)f(X1)X2f(X2)e(%)e*(%)
100.410.2703200460.54818554060.02981207223.34
20.40.54818554060.2703200460.02981207220.56655382150.00092388080.13.24
30.54818554060.56655382150.02981207220.00092388080.56714126230.000003178300.10
40.56655382150.56714126230.00092388080.00000317830.56714329020.000000000300.00
DecisinesFuncinRecurrencia
Grfico comparativo
33.331001001003.24
2033.33171.8311.710.1
11.1114.2946.850.150.01
5.266.6738.310.015
2.73.4517.4566
1.371.6911.1677
0.690.845.988
0.340.423.4899
0.170.211.931010
0.090.111.111111
0.040.050.621212
0.020.030.361313
0.010.010.21414
15150.111515
16160.061616
17170.041717
Biseccin
Regla falsa
Punto fijo
Newton-Raphson
Secante
iteraciones
error relativo estimado
Comparativo
Funcin:f(X) = e-x - X
iteracinBiseccinRegla falsaPunto fijoNewton RaphsonSecante
1
233.331001001003.24
320.0033.33171.8311.710.1
411.1114.2946.850.150.01
55.266.6738.310.01
62.703.4517.45
71.371.6911.16
80.690.845.9
90.340.423.48
100.170.211.93
110.090.111.11
120.040.050.62
130.020.030.36
140.010.010.2
150.11
160.06
170.04
Incrementos 0.50
-1.899161886
-0.9037195975
1.5889671192
1.4458241878
-1.0220627666
&A
Page &P
Incrementos 0.20
-1.899161886
-0.4332611746
-0.1851829659
-1.1861087599
0.6898594451
1.5889671192
0.0829130376
0.8235858827
1.2326032256
-1.0280720175
-1.0220627666
&A
Page &P
Incrementos 0.10
-1.899161886
-1.3962629708
-0.4332611746
0.1107207075
-0.1851829659
-0.9037195975
-1.1861087599
-0.5393021065
0.6898594451
1.6113917249
1.5889671192
0.8061099491
0.0829130376
0.1130852955
0.8235858827
1.4458241878
1.2326032256
0.1607315075
-1.0280720175
-1.4873370393
-1.0220627666
&A
Page &P
Incrementos 0.05
-1.899161886
-1.7556127074
-1.3962629708
-0.9157074855
-0.4332611746
-0.0637093804
0.1107207075
0.0603068152
-0.1851829659
-0.5441697743
-0.9037195975
-1.1477558356
-1.1861087599
-0.9772754006
-0.5393021065
0.0538908504
0.6898594451
1.2444297189
1.6113917249
1.7278393893
1.5889671192
1.24871402
0.8061099491
0.3806764248
0.0829130376
-0.0128990561
0.1130852955
0.4214975938
0.8235858827
1.2032417067
1.4458241878
1.4667151743
1.2326032256
0.7702726494
0.1607315075
-0.4798991418
-1.0280720175
-1.3823144207
-1.4873370393
-1.3468645903
-1.0220627666
&A
Page &P
Detalle
0.0829130376
0.0461016752
0.0179030184
-0.0014226045
-0.011711668
-0.0128990561
-0.0050186794
0.0117969049
0.037317866
0.0712194516
0.1130852955
&A
Page &P
Bsqueda incremental
xf(x)
3.00-1.899161886
3.05-1.7556127074
3.10-1.3962629708
3.15-0.9157074855
3.20-0.4332611746
3.25-0.0637093804
3.300.1107207075
3.350.0603068152
3.40-0.1851829659
3.45-0.5441697743
3.50-0.9037195975
3.55-1.1477558356
3.60-1.1861087599
3.65-0.9772754006
3.70-0.5393021065
3.750.0538908504
3.800.6898594451
3.851.2444297189
3.901.6113917249
3.951.7278393893
4.001.5889671192
4.051.24871402
4.100.8061099491
4.150.3806764248
4.200.0829130376
4.25-0.0128990561
4.300.1130852955
4.350.4214975938
4.400.8235858827
4.451.2032417067
4.501.4458241878
4.551.4667151743
4.601.2326032256
4.650.7702726494
4.700.1607315075
4.75-0.4798991418
4.80-1.0280720175
4.85-1.3823144207
4.90-1.4873370393
4.95-1.3468645903
5.00-1.0220627666
xf(x)
3.00-1.899161886
3.10-1.3962629708
3.20-0.4332611746
3.300.1107207075
3.40-0.1851829659
3.50-0.9037195975
3.60-1.1861087599
3.70-0.5393021065
3.800.6898594451
3.901.6113917249
4.001.5889671192
4.100.8061099491
4.200.0829130376
4.300.1130852955
4.400.8235858827
4.501.4458241878
4.601.2326032256
4.700.1607315075
4.80-1.0280720175
4.90-1.4873370393
5.00-1.0220627666
xf(x)
3.00-1.899161886
3.20-0.4332611746
3.40-0.1851829659
3.60-1.1861087599
3.800.6898594451
4.001.5889671192
4.200.0829130376
4.400.8235858827
4.601.2326032256
4.80-1.0280720175
5.00-1.0220627666
xf(x)
3.00-1.899161886
3.50-0.9037195975
4.001.5889671192
4.501.4458241878
5.00-1.0220627666
xf(x)
4.200.0829130376
4.210.0461016752
4.220.0179030184
4.23-0.0014226045
4.24-0.011711668
4.25-0.0128990561
4.26-0.0050186794
4.270.0117969049
4.280.037317866
4.290.0712194516
4.300.1130852955
Triple raz
3
1.4336
0.5616
0.1536
0.0176
0
-0.0144
-0.1024
-0.3024
-0.6144
-1
-1.3824
-1.6464
-1.6384
-1.1664
0
2.1296
5.5296
&A
Page &P
f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3
triple raz
Races multiples
Xif(Xi)
03
0.21.4336
0.40.5616
0.60.1536
0.80.0176
10
1.2-0.0144
1.4-0.1024
1.6-0.3024
1.8-0.6144
2-1
2.2-1.3824
2.4-1.6464
2.6-1.6384
2.8-1.1664
30
3.22.1296
3.45.5296
Newton Raphson modificado
Funcin:f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3f'(x) = 4x3 - 18x2 + 24x -10xr =1
f"(x) = 12x2 - 36x + 24
iteracinXif(Xi)f''(Xi)f'"(Xi)m(Xi)m'(Xi)e(%)e*(%)
103-1024-0.30.28100.00
21.0714285714-0.0007028322-0.029154519-0.79591836730.02410714290.3418757.14100.00
31.0009140768-0.0000000015-0.0000050102-0.0109588950.00030473880.33343478180.097.05
41.00000013850-0-0.0000016623010.000.09
51.00000013850-0-0.0000016623010.000.00
RecurrenciaFuncin
Funcin:f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 -10x + 3f'(x) = 4x3 - 18x2 + 24x -10xr =1
iteracinXif(Xi)f'(Xi)e(%)e*(%)
103-10100.00
20.30.9261-4.31270.00100.00
30.51477272730.2839237481-1.869651360648.5241.72
40.6666319210.0864480676-0.815000137333.3422.78
50.77270315170.026155218-0.356955271222.7313.73
60.84597624810.0078707041-0.156955713615.408.66
70.89612226620.0023582394-0.06922710710.395.60
80.93018752670.0007042552-0.03060369156.983.66
90.95319962690.0002098087-0.01355167224.682.41
100.9686817510.000062398-0.00600786823.131.60
110.97906779110.0000185352-0.00266563062.091.06
120.9860211870.0000055013-0.00118336951.400.71
130.99067003560.0000016319-0.0005255380.930.47
140.99377521760.0000004839-0.00023345230.620.31
150.99584800130.0000001435-0.00010372090.420.21
160.99723104580.0000000425-0.00004608760.280.14
170.99815360530.0000000126-0.00002048020.180.09
180.99876888110.0000000037-0.00000910140.120.06
190.99917917010.0000000011-0.00000404480.080.04
200.99945274240.0000000003-0.00000179760.050.03
210.9996351450.0000000001-0.00000079890.040.02
220.99975675480-0.00000035510.020.01
RecurrenciaFuncin
Funcin:f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 -10x + 3f'(x) = 4x3 - 18x2 + 24x -10xr =3
iteracinXif(Xi)f'(Xi)e(%)e*(%)
13.45.529620.736240.00
23.13333333331.294538271611.5294814815213.338.51
33.02105263160.17379579358.5132783205202.113.72
43.00063795850.00510855378.0153183317200.060.68
53.00000060970.00000487778.000014633200.000.02
6308200.000.00
Funcin:f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3f'(x) = 4x3 - 18x2 + 24x -10xr =3
f"(x) = 12x2 - 36x + 24
iteracinXif(Xi)f''(Xi)f'"(Xi)m(Xi)m'(Xi)e(%)e*(%)
13.45.529620.73640.320.26666666670.4814814815240.00
22.8461538462-0.96803333224.719162494318.7455621302-0.20512820511.8148148148184.6219.46
32.9591836735-0.30694415997.05012367322.550603915-0.0435374151.1392592593195.923.82
42.9973992198-0.02072517877.937702957123.9064530803-0.00261097941.0078636422199.741.27
52.9999898275-0.00008137867.999755862523.9996337922-0.00001017261.0000305184200.000.09
62.9999999998-0.00000000127.999999996323.9999999944-0.00000000021.0000000005200.000.00
RecurrenciaFuncin
Cruce de curvas
9
7.9909090909
7.1333333333
6.3923076923
5.7428571429
5.1666666667
4.65
4.1823529412
3.7555555556
3.3631578947
3
2.6619047619
2.3454545455
2.047826087
1.7666666667
1.5
1.2461538462
1.0037037037
0.7714285714
0.5482758621
0.3333333333
0.1258064516
-0.075
-0.2696969697
-0.4588235294
-0.6428571429
-0.8222222222
-0.9972972973
-1.1684210526
-1.3358974359
-1.5
Sistema no lineal
xyxy
194.58333333332
1.17.99090909094.14965986392.1
1.27.13333333333.77410468322.2
1.36.39230769233.44675488342.3
1.45.74285714293.15972222222.4
1.55.16666666672.90666666672.5
1.64.652.68244575942.6
1.74.18235294122.48285322362.7
1.83.75555555562.30442176872.8
1.93.36315789472.14427269122.9
2323
2.12.66190476191.86958029833.1
2.22.34545454551.75130208333.2
2.32.0478260871.64370982553.3
2.41.76666666671.54555940023.4
2.51.51.45578231293.5
2.61.24615384621.37345679013.6
2.71.00370370371.29778427083.7
2.80.77142857141.22807017543.8
2.90.54827586211.16370808683.9
30.33333333331.10416666674
3.10.1258064516
3.2-0.075
3.3-0.2696969697
3.4-0.4588235294
3.5-0.6428571429
3.6-0.8222222222
3.7-0.9972972973
3.8-1.1684210526
3.9-1.3358974359
4-1.5
Punto fijo sistema
Funciones:x2 + xy =10 ;y + 3xy2 = 57x = 10 - xyy = (57-y)/3xx=2
y=3
iteracinxiyie(%)e*(%)e(%)e*(%)
11.53.525.0016.67
22.17944947182.86050598818.9731.184.6522.36
31.94053387893.04955067322.9712.311.656.20
42.02045628592.98340474671.023.960.552.22
51.99302812983.00570436260.351.380.190.74
62.00238524162.99805430310.120.470.060.26
71.99918491143.0006655610.040.160.020.09
82.00027865212.99977254620.010.050.010.03
91.99990475143.00007775730.000.020.000.01
102.00003255942.99997342090.000.010.000.00
MTODO DE PUNTO FIJO ENSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESConsidera la interseccin de dos funciones no lineales f(x, y)=0 y g(x, y)=0.La interseccin de las curvas f(x, y)=0 y g(x, y)=0 nos da la raiz (xr, yr).El mtodo consiste en obtener las funciones que tengan las mismas raices (xr, yr):x-F(x, y) = 0y-G(x, y) = 04.Considerar un valor inicial (x0, y0), como aproximacin a la raz, evaluar: x1=F(x0, y0) y1=G(x0, y0)5. El proceso se repite n veces hasta tener valores muy cercanos a las races.
MTODO DEL PUNTO FIJO ENSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESx = 2y = 3xn=10/(x+y)yn=((57-y)/(3x))^(1/2)err=sqrt((xn-x)^2+(yn-y)^2)
iteracinxiyierri11.53.5---2 2.00003.44800.502731.83552.98750.48904 2.07343.13190.27825 1.92112.94280.24276 2.05593.06260.18037 1.95372.95720.14688 2.03633.03650.11459 1.97132.97210.0915
MTODO DEL PUNTO FIJO ENSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESx = 2y = 3Variante Seidelxn=10/(x+y)yn=((57-y)/(3xn))^(1/2)err=sqrt((xn-x)^2+(yn-y)^2)
Converge mas rpido!!!
iteracinxiyierri11.53.5---22.00002.98610.71703 2.00562.99620.011641.99933.00060.007752.00003.00000.0010
MTODO DEL PUNTO FIJO ENSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESSin embargo, con el mtodo del punto fijo, la convergencia depende de la manera en que se formulen las ecuaciones de recurrencia y de haber elegido valores iniciales lo bastante cercanos a la solucin. En las dos formulaciones siguientes el mtodo diverge.x = (57 - y)/3y2y = (10 - x2)/xx = (10 - x2)/yy = 57 - 3xy2
iteracinxiyi11.53.521.455782315.16666666730.647242465.413376566
iteracinxiyi11.53.522.21428571-24.3753-0.20910518429.713648
MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESu(x, y)v(x, y)xyx1y1
MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESEste procedimiento corresponde, analticamente, a extender el uso de la derivada, ahora para calcular la interseccin entre dos funciones no lineales.Al igual que para una sola ecuacin, el clculo se basa en la expansin de la serie de Taylor de primer orden, ahora de mltiples variables, para considerar la contribucin de ms de una variable independiente en la determinacin de la raz.Para dos variables, la serie de Taylor de primer orden se escribe, para cada ecuacin no lineal:
MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESPero ui+1 = vi+1 = 0 :
Que reescribiendo en el orden conveniente:
MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESY cuya solucin es:
Donde J es el determinante jacobiano del sistema es:
MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESx2 + xy - 10 = 0y + 3xy2 - 57 = 0x = 2y = 3
iteracinxiyiuiviu/xu/yv/xv/yJacobiano11.53.5-2.51.6256.51.536.7532.5156.12522.036028822.8438751-0.064374959-4.7562084976.9159327462.03602882324.2628767535.74127004197.784303431.998700613.002288563-0.0045198960.049571156.9996897811.99870060927.0412098537.00405588204.969629241.999999982.999999413-1.28609E-06-2.21399E-056.9999993811.99999998426.9999894436.99999267204.999947352302.23821E-12722737205
MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESxy
**Definicin
Raz de una ecuacin (o cero de una ecuacin) es el valor de la variable para el cual la funcin se anula.*Ecuacionesalgebraicas
Generalmente las que se pueden expresar a travs de polinomios*Mtodosgrficos
Como auxiliares en la comprensin visual de los mtodos numricos tantos cerrados como abiertos, para identificar el nmero de posibles races y la identificacin de casos en los que los mtodos abiertos no funcionan. *