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Lección 2.3
Ecuaciones y Desigualdades Cuadráticas
02/15/2018 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 23
Actividades 2.3
• Capítulo 2 –
o Sección 1.5 Ecuaciones Cuadráticas y Aplicaciones. Realice
los ejercicios impares del 7-29, 33-51
o Sección 3.4 Funciones Cuadráticas impares 47 – 55
o Seccíón 1.4 – Números Complejos; Ejercicios de Práctica:
Impares desde el 7 al 10, 19 al 43,
• Referencias en el Web:
o José Anadalón: Tipos de Ecuaciones Cuadráticas;
Resolviendo ecuaciones cuadráticas por factorización;
Fórmula Cuadrática
o Khan Academy: Solving Ecuaciones Cuadráticas (1)
tomando la raíz cuadrada; (2) Por factorización; (3) Método
de Completar el Cuadrado
o Julio Profes: Desigualdades Cuadráticas Ejercicio 1;
Ejercicio 2: Ejercicio 3; Ejercicio 4
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• Es una ecuación cuadrática es una ecuación con una
variable que se puede expresar de la forma:
La Ecuacion Cuadrática
2 0ax bx c
02/15/2018
a, b, c son números reales. a es distinto de 0.
▪ Ejemplos:
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3𝑥2 − 27 = 0
2𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0
−3𝑥2 − 𝑥 = 0
Soluciones:
−3
2, 2
0 ,−1
3
−3 , 3 = ±3
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Resolución por la Propiedad de la Raíz Cuadrada
• Si x, a son dos números reales tal que a es positivo:
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𝑥2 = 25
𝑥2 = 𝑎 𝑥 = 𝑎 ó 𝑥 = − 𝑎
𝑥 = 25 = 5 ó
𝑥 = − 25 = −5
3𝑥2 = 27
𝑥 = ± 9 = ±3
𝑥2
3=27
3
𝑥2 = 9
𝑥 = ±5
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Mas ejemplos• Resuelva:
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(2𝑦 + 5)2 = 8
2𝑦 + 5 = 8
2𝑦 + 5 =
2𝑦 + 5 = − 8
2𝑦 = −5 + 2 2
𝑦 =−5 + 2 2
2
2 2 2𝑦 + 5 =
2𝑦 = −5 − 2 2
𝑦 =−5 − 2 2
2
−2 2
𝒚 =−𝟓 ± 𝟐 𝟐
𝟐
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Resolución por la propiedad del Cero
• Si a, b son dos números reales:
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𝑥(𝑥 + 2) = 0
𝑎 ∙ 𝑏 = 0 𝑎 = 0 ó 𝑏 = 0
𝑥 = 0 ó 𝑥 + 2 = 0
𝑥 = −2
(𝑥 + 4)(𝑥 − 3) = 0
𝑥 + 4 = 0𝑥 = −4
𝑥 − 3 = 0𝑥 = 3
𝑥(𝑥 − 9) = 0
𝑥 = 0 ó 𝑥 − 9 = 0
𝑥 = 9
𝑥2 − 9𝑥 = 03(𝑥2 − 4) = 0
𝑥 − 2 = 0 ó 𝑥 + 2 = 0𝑥 = 2
3𝑥2 − 12 = 0
3(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0
𝑥 = −2
Soluciones: 0,−2
Soluciones: 0, 9
Soluciones: −4, 3
Soluciones: ±2
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Resolución por factorización
• Resuelva.
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2 6 8 0x x
( 4)( 2) 0x x
4 0x 2 0x
4x 2x
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2𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0
2𝑥2 + 4𝑥 − 3𝑥 − 6 = 0
2𝑥 𝑥 + 2 − 3(𝑥 + 2) = 0
2𝑥 − 3 (𝑥 + 2) = 0
2𝑥 − 3 = 0 𝑥 + 2 = 02𝑥 = 3
𝑥 =3
2
𝑥 = −2
Soluciones: 4, 2Soluciones:
3
2, −2
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Completando el cuadrado
• Algunos trinomios se pueden expresar como el cuadrado de un
binomio. Ejemplo:
• Si se desea modificar un binomio para convertirlo a un trinomio
que se pueda expresar como un cuadrado perfecto añádale el
término 𝑏
2
2
• Ejemplo:
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22 )3(96 xxx
22 )3(96 xxx
22 )1(12 xxx
22 )2
1(
4
1 yyy
22 ?)(?8 xxx
𝑏
2
2
= 𝑏
2
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𝑥2 + 8𝑥 + 16 = 𝑥 + 4 2
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Resolución completando el cuadrado• Resuelva
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𝑥2 + 8𝑥 − 4 = 0
𝑥2 + 8𝑥 = 0 + 4
𝑥2 + 8𝑥 = 4
𝑥 + 4 2
𝑏
2
2
=
𝑏
2
+ 16 + 16
= 20
2𝑥2 + 10𝑥 − 2 = 0
𝑥2 + 5𝑥 = 0 + 1
𝑥2 + 5𝑥 = 1
𝑥 +5
2
2
+5
2
2
+5
2
2
=29
4𝑥 + 4 = ± 20
𝑥 + 4 = ±2 5
𝑥 = −4 ± 2 5
𝑥2 + 5𝑥 − 1 = 0
𝑥 +5
2= ±
29
4
𝑥 = −5
2±
29
2
= ±29
2
=−5 ± 29
2
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Fórmula cuadrática• Sea 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 entonces,
Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, la ecuación sólo tiene 1 solución real
Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0, la ecuación tiene 2 soluciones reales
Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, la ecuación NO tiene solución real
• Ejemplo: Identifique el tipo de solución de
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−𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 0
𝑎 = −1
𝑏 = 3
𝑐 = −4
𝑏2 − 4𝑎𝑐 =
(3)2−4(−1)(−4) =
9 − 16 = −7
𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
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Resolución por la Fórmula Cuadrática
• Resuelva 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 0
• Entonces,
o Paso 1: Identifique coeficientes: 𝑎 = 2, 𝑏 = −3, 𝑐 = 1o Paso 2: Reemplace los valores en la fórmula
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𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =−(−3) ± (−3)2−4(2)(1)
2(2)
𝑥 =3 ± 9 − 8
4=3 ± 1
4=3 ± 1
4
=3 + 1
4
=3 − 1
4
= 1
=1
2
Soluciones: 1,1
2
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Ejercicio
• Resuelva la ecuación: . Luego,
aproxímela a la centésima más cercana.
a
acbbx
2
42
0842 xx
)1(2
])8)(1(4)4()4([ 2 x
2
]32164[ x
2
]484[ x 322x
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2
]344[ x
322x
322x
464101615.5
464101615.1
46.5
46.1
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Ejercicio del Texto
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DESIGUALDADES
CUADRÁTICAS
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3𝑥2 − 27 ≤ 0
2𝑥2 − 𝑥 − 6 > 0
−3𝑥2 − 𝑥 < 0
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Ejemplo 1
• Resuelva
• Paso 1 – Resuelva la ecuación cuadrática
• Paso 2 – Identifique los intervalos de interés
• Paso 3 – Identifique los signos de la expresión al evaluarlo en
valores en los intervalos de interés
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/15/2018
𝑥2 + 𝑥 − 6 < 0
𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0
(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) = 0
𝑥 = −3 , 𝑥 = 2
0-3 2−∞,−3 −3, 2 2,∞
+ − +
Solución: −𝟑, 𝟐
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z
Ejemplo 2
• Resuelva
• Paso 1 – Resuelva la ecuación cuadrática
• Paso 2 – Identifique los intervalos de interés
• Paso 3 – Identifique los signos de la expresión al evaluarlo en
valores en los intervalos de interés
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/15/2018
𝑥2 − 1 ≥ 4𝑥
𝑥2 − 4𝑥 − 1 = 0
02 − 5 2 + 5
−∞, 2−√5 2 − 5, 2 + 5 2 + 5,∞
+ − +
Solución:
𝑥 =−(−4) ± (−4)2−4(1)(−1)
2(1)=4 ± 16 + 4
2
=4 ± 2 5
2= 2 ± 5 ≈ −0.2, 4.2
𝑥2 − 4𝑥 − 1 ≥ 0
(−∞, ൧2 − 5 ∪ ൣ2− 5, )∞
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Ejercicios del Texto
• Resuelva y exprese en notación de intervalos
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LOS NÚMEROS COMPLEJOS
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Son números de la forma: 𝑎 + 𝑏𝑖 donde 𝑎 (parte real), 𝑏 (parte imaginaria)
son números reales, 𝑖 es la unidad imaginaria tal que 𝒊𝟐 = −𝟏:
Ejemplos: −5 + 7𝑖 -5 es la parte real, 7 la parte imaginaria
4𝑖 0 es la parte real, 4 es la parte imaginaria
2i 13i ii 2 i4i 22 ii 1
5i ii 4 i1i i6i 24 ii 1
Potencias de 𝑖:
Las únicas potencias de 𝑖 son: 1 , ,1 , ii
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7i 34 ii i8i 44 ii 1
2 7 2 7 es la parte real, 0 es la parte imaginaria
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Operaciones con los números complejos
• Realice la operación indicada:
o (3 – 4i) + (-5 + i) = -2 – 3i
o (-1 – 2i) – (2 – i) = -3 – i
o (3 - 4i)(-5 + i)
o (-3 + 4i)(-3 - 4i)
2420315 iii
)1(420315 ii
i2311
21612129 iii
)1(169
169
25
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El conjugado
• El conjugado de un número complejo
a + bi es el número complejo a – bi.
o El conjugado de 3 – 2i es 3 + 2i
o El conjugado de -5 - 4i es -5 + 4i
o El conjugado de -7 es -7
o El conjugado de -6i es +6i
• Propiedad de los conjugados:
(a + bi)(a - bi) = a2 + b2
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División de números complejos
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1
2
i
i
02/15/2018
1 2
2 2
i i
i i
2
2 2
2 2
2 1
i i i
2 ( 1)
5
i
3 1
5 5i
2 3
4 3
i
i
2 3 4 3
4 3 4 3
i i
i i
2
2 2
8 6 12 9
4 3
i i i
17 6
25
i
17 6
25 25i
3
5
i
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Parte real Parte imaginaria
3
5
−1
5
Parte real Parte imaginaria
17
25
−6
25
Ejemplo
• Resuelva las ecuaciones cuadráticas en los números complejos.
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𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0
Por la formula cuadrática:
𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=−(1) ± (1)2−4(1)(1)
2(1)
=−1 ± −3
2
=−1 ± 𝑖 3
2
−𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 0
Por la formula cuadrática:
𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=−(3) ± (3)2−4(−1)(−4)
2(−1)
=−3 ± −7
−2
=−3 ± 𝑖 7
−2
22 de 23
=3 ± 𝑖 7
2
=−1
2±1
2𝑖 3 =
3
2±1
2𝑖 7
−3 = −1 ∙ 3
= −1 ∙ 3
= 𝑖 ∙ 3
Ejercicios del Texto
• Para cada número halla la parte real, la parte imaginaria y el conjugado
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Lleve a cabo la operación indicada y escriba en forma estándar.
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