Post on 09-Apr-2017
Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
Ejercicios
Leyes de exponentes
10 a )0( a
nn
aa 1
)0( a
nnn baab
n
nn
ba
ba
nmnm aaa mnnm aa )(
nmn
m
aaa
Radicales
nn aa1
)0( aaaaa n nnn
nmmnn m aaa
nnn baab
n
nn
ba
ba
mnm n aa
)0( b
Ecuaciones exponenciales
Ecuación exponencial es aquella en donde la incógnita se encuentra como exponente.
Ejemplo: 82 x
Para resolver una ecuación exponencial (determinar el (los) valor(es) de la incógnita para los cuales la igualdad se cumple) se hace uso de las leyes de exponentes o bien de las propiedades de logaritmos.Veamos cómo resolver la ecuación del ejemplo usando leyes de exponentes:
322
823
x
x
x Factorizamos el 8 y lo expresamos con exponente y como las bases son iguales podemos igualar los exponentes, de esta forma determinamos el valor de “x” que hace que la igualdad se verifique.
Ejemplos
444414
25614
4
4
x
x
x
x
Resolver:
21111
55515
2.05
11
1
1
xxx
x
x
x
51511514
4122
)2(2
42
41
221
21
x
x
xxxxx
xx
xx
xx
388335353333
33
333
533
532
532
x
xxx
x
xx
xx
Logaritmos
El logaritmo de un número es igual al exponente al que tiene que estar elevada la base del logaritmo para obtener dicho número.
abcaLog cb
aeba b ln
El logaritmo base “b” de “a” es igual a “c”
El logaritmo natural de “a” es igual a “b”
Existe dos tipos de logaritmos:
Logaritmo vulgar (base 10, decimal o común)
Logaritmo natural (neperiano):
Propiedades de logaritmos
xnx bn
b log)(log
yxyx
bbb logloglog
yxxy bbb loglog)(log
bxxb log
loglog
Cuando en el argumento del logaritmo se tienen dos cantidades multiplicándose entre sí:
Cuando en el argumento del logaritmo se tienen dos cantidades dividiéndose entre sí:
Cuando en el argumento del logaritmo se una cantidad elevada a un exponente:
Cambio de base: De base “b” a base 10
Nota: Estas mismas propiedades aplican para logaritmos naturales.
De las propiedades anteriores podemos deducir las siguientes:
ENaEN
b
b
b
b
b
/)(log/0log
01log1log
Ecuaciones logarítmicas
Una ecuación logarítmica es una ecuación en la que la incógnita se encuentra dentro del argumento del logaritmo o bien como base del logaritmo.Ejemplo: 24log x 265log3 x
Para resolver las ecuaciones logarítmicas tenemos que hacer uso de la definición de logaritmos así como de sus propiedades. Resolviendo los ejemplos:
965365
265log2
3
xx
x
3515155695
x
x
xx
24
4
24log2
xx
xx
Ejercicios de Tarea