Post on 08-Jul-2016
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Sistema por Unidad – PU
Ejemplos
1. Para el siguiente sistema de transmisión de 3 zonas, dibuje el diagrama de
reactancias en p.u.. Seleccione los valores del generador de la zona 1 como los
valores base del sistema.
Los datos son los siguientes:
Generador: 30 MVA, 13.8 kV, 3Ø, X” = 15 %
Motor No. 1: 20 MVA, 12.5 kV, 3Ø, X” = 20 %
Motor No. 2: 10 MVA, 12.5 kV, 3Ø, X” = 20 %
Transformador T1 (3Ø): 35 MVA, 13.2 Δ / 115 Y kV, X = 10 %
Transformador T2 (3 - 1 Ø): @ 10 MVA, 12.5 / 67 kV, X = 10 %
Línea de Transmisión: 80 Ω /fase
Solución:
Empezamos definiendo las bases de voltajes en todo el sistema. El ejemplo indica que la
base son los datos del generador que se encuentra en la zona 1, entonces:
MVAbase = 30 MVA, y kVbase = 13.8 kV
De acuerdo a lo anterior tenemos que kVbase 1 = 13.8 kV. Las demás bases de voltaje son
calculadas tomando en cuenta la relación de transformación de los transformadores y sus
conexiones.
Zona 2:
alnoV
alnoVkVkV
prim
zonabasezonabasemin
minsec21
ó
alnoV
alnoVkVkV
pri
zonabasezonabasemin
min
sec
12
kVkV zonabase 23.1202.13
1158.132
Zona 3:
alnoV
alnoVkVkV
prim
zonabasezonabasemin
minsec23
kVkV zonabase 958.12673
5.1223.1203
referido a través de T2
Esta última base merece un comentario: los valores de voltaje indicados en la razón de
transformación se deben a que T2 es un banco de unidades monofásicas, conectado en
estrella-delta y en los datos que se dieron anteriormente, la relación de transformación se
refiere a la relación de transformación de cada unidad, así como la potencia, es la potencia
de cada unidad, o sea monofásica. Además, tomando en cuenta la conexión de las unidades
del banco, tenemos que para el lado de alto voltaje se requiere el factor de 3 , debido a la
conexión en delta en ese punto.
Cálculo de las impedancias en p.u.:
Generador No.1:
15.01 gX (No requiere conversión porque esta zona es la base del sistema)
Motor No.1:
1
2
2
2
1
1
base
base
base
base
actualMMVA
MVA
kV
kVXX
2795.020
30
95.12
5.122.0
2
1
MX
Motor No. 2:
1
2
2
2
1
2
base
base
base
base
actualMMVA
MVA
kV
kVXX
5590.010
30
95.12
5.122.0
2
2
MX
En el caso de los transformadores, el cambio de base será como sigue:
Transformador T1
1
2
2
2
1
1
base
base
base
base
actualpuTMVA
MVA
kV
kVXX
0784.035
30
95.12
5.121.0
2
2
puX
Transformador T2
1
2
2
2
1
2
base
base
base
base
actualpuTMVA
MVA
kV
kVXX
0932.030
30
95.12
5.121.0
2
2
TX
Para la línea de Tx:
1
22
2
)(
base
base
baseMVA
kVZ
82.48130
)23.120( 2
2baseZ
basepu
octualpu
TxX
XX
1660.082.481
80TxX
Diagrama de impedancias:
2. Para el siguiente sistema de transmisión de 3 barras, tomando en consideración una
potencia base de 100 MVA y un voltaje base de 110 kV, transforme el sistema en
un diagrama unifilar de impedancias (reactancias) en por unidad.
Solución
Para realizar la solución de pasar al sistema p. u. se debe de realizar los siguientes pasos:
1. Definir en primera instancia la potencia base y los voltajes base por zona, los cuales
normalmente son definidas por los transformadores.
2. Convertir las impedancias a p. u. Si las bases de los equipos no son las del sistema,
la impedancias primero se deben pasar a ohmios (Ω) y evaluar el nuevo valor de la
impedancia en p. u.
3. Dibujar el diagrama de impedancias en p. u.
Para este caso, se ve claramente tres zonas:
1. La zona del lado del generador 1.
2. La zona de transmisión, donde se encuentran las líneas y cargas.
3. La zona del lado del generador 2.
Generador
100 MVA
22 kV
X=90%
Transformador
100 MVA
22:110 kV
X=10%
Línea de transmisión
Z = j0.8403 pu @ 120
kV y 50 MVA
Carga
datos de operación:
V=110 kV
S=10 MVA
fp = 1
Transformador
100 MVA
120:24 kV
X=12.6%
Generador
80 MVA
22 kV
X=1.48 pu
Línea de transmisión
Z = j60.5 ohms
Línea de transmisión
X = 60.5 ohms
22:110 kV 120:24 kV
Sbase = 100 MVA
Vbase = 110 kV
Cálculo de Voltaje Base
Zona 2: Referencia del sistema
S base = 100 MVA
V base = 110 kV
Zona 1: Lado del generador 1
S base = 100 MVA
V base = ?
alnoV
alnoVkVkV
primzonabasezonabase
min
minsec21
kVkV zonabase 22110
221101
Zona 3: Lado del generador 2
S base = 100 MVA
V base = ?
alnoV
alnoVkVkV
primzonabasezonabase
min
minsec23
kVkV zonabase 22120
241103
Cálculo de impedancias y reactancias
Zona 1: Lado del generador 1
Estos cálculos no son estrictamente necesarios porque:
• la base del generador corresponde a la base del sistema
• la base del transformador corresponde a la base del sistema
Generador
sistemabase
generador
sistemabase
generadorbaseplacapug
Z
Z
Z
ZXX
*1
sistema
placapu
g pu
MVA
kV
MVA
kV
X 9.0
100
)22(
100
)22(*9.0
2
2
1
Transformador
sistemabase
transf
sistemabase
transfbaseplacaput
Z
Z
Z
ZXX
*1
sistema
placapu
t pu
MVA
kV
MVA
kV
X 1.0
100
)22(
100
)22(*1.0
2
2
1
Zona 2: Área de transmisión: líneas y cargas
Línea superior
sistemabase
línea
sistemabase
líneabaseplacapuLL
Z
Z
Z
ZZXjZ
*
sistema
placapu
LL puj
MVA
kV
j
MVA
kV
MVA
kVZ
XjZ 2
100
)110(
242
100
)110(
50
)120(*
22
2
Líneas inferiores
sistemabase
líneaLL
Z
ZXjZ
sistemaLL puj
MVA
kV
jXjZ 5.0
100
)110(
5.60
2
Línea de la carga
sistemabase
acLL
Z
ZXjZ
arg
sistemaLL pu
MVA
kV
MVA
kV
XjZ
010
100
)110(
010
)110(
2
2
Zona 3: Lado del generador 2 Generador
sistemabase
generador
sistemabase
generadorbaseplacapug
Z
Z
Z
ZXX
*2
sistema
placapu
g pu
MVA
kV
MVA
kV
X 85.1
100
)22(
80
)22(*48.1
2
2
2
Transformador
sistemabase
transf
sistemabase
transfbaseplacaput
Z
Z
Z
ZXX
*
2
sistema
placapu
t pu
MVA
kV
MVA
kV
X 15.0
100
)22(
100
)24(*126.0
2
2
2
Lo anterior nos da el siguiente diagrama de impedancias en por unidad de una base común:
+
V1= 1 p.u.
-
zg1=j0.9
z13=j2 p.u.
z12=j0.5 p.u. z23=j0.5 p.u.
z2=10 p.u.
zt2=j0.15
+
V3= -j1 p.u.
-
1 3
2
zg2=j1.85zt1=j0.1
45
3. Para el siguiente sistema de transmisión de 2 barras, tomando en consideración una
potencia base de 30 MVA y un voltaje base de 33 kV, transforme el sistema en un
diagrama unifilar de impedancias (reactancias) en por unidad.
Los datos del sistema eléctrico se enumeran a continuación:
Generador No. 1: 30 MVA, 10.5 kV, X” = 44%, Xn = 1.5 Ω
Generador No. 2: 15 MVA, 6.6 kV, X” = 41%, Xn = 2.5 Ω
Generador No. 3: 25 MVA, 6.6 kV, X” = 32%, Xn = 2.5 Ω
Transformador T1 (3Ø): 15 MVA, 33/11 kV, X = 21%
Transformador T2 (3 - 1 Ø): 5 MVA, 20/6.8 kV, X = 0.24%
Línea de Transmisión: 20.5 Ω /fase
Carga A: 15 MW. 11 kV, factor de potencia de 0.9 en atraso
Carga B: 40 MW, 6.6 kV, factor de potencia de 0.85 en atraso.
En el caso del transformador T2 se trata de un banco de tres unidades monofásicas
conectadas como se muestra en el diagrama; por supuesto en este caso, la potencia nominal
corresponde a cada unidad y la relación de transformación igualmente. Las reactancias
denotadas por Xn , son las reactancias de aterrizado de los generadores. En ocasiones estos
valores están especificados, al igual que las reactancias propias de la máquina, en forma
normalizada, ya sea en % ó en pu., en cuyo caso debemos entender que las bases de su
normalización son los datos nominales del equipo. En el presente ejemplo, se definen en Ω.
Solución:
Para el análisis de este caso se divide el sistema en tres zonas como se indica en la siguiente
figura, cada una con la característica de tener el mismo voltaje:
Empezamos definiendo las bases de voltajes en todo el sistema. Supongamos que se decide
usar como bases de sistema: MVAbase = 30 MVA, y kVbase = 33 kV en la zona de
transmisión.
De acuerdo a lo anterior tenemos que kVbase 1 = 33 kV, dado que el voltaje base coincide
con el voltaje nominal. Las demás bases de voltaje son calculadas tomando en cuenta la
relación de transformación de los transformadores y sus conexiones.
Para las demás bases se tiene:
Zona 1:
alnoV
alnoVkVkV
primzonabasezonabase
min
minsec21
kVkV zonabase 1133
11331
referido a través de T1
Zona 3:
alnoV
alnoVkVkV
primzonabasezonabase
min
minsec23
kVkV zonabase 48.6320
8.6333
referido a través de T2
Esta última base merece un comentario: los valores de voltaje indicados en la razón de
transformación se deben a que T2 es un banco de unidades monofásicas, conectado en
estrella-delta y en los datos que se dieron anteriormente, la relación de transformación se
refiere a la relación de transformación de cada unidad, así como la potencia, es la potencia
de cada unidad, o sea monofásica. Además, tomando en cuenta la conexión de las unidades
del banco, tenemos que para el lado de alto voltaje se requiere el factor de 3 , debido a la
conexión en delta en ese punto.
Una vez calculadas las bases de voltajes en todas las zonas, las bases restantes, o sea de
corrientes e impedancias, se calcularán únicamente si se requieren. En el presente ejemplo,
únicamente incluiremos en la normalización del parámetro de la línea de transmisión, la
impedancia base de la zona correspondiente (zona 2).
Con esto la siguiente tarea consiste en cambiar de base los parámetros de las componentes
del sistema eléctrico, cuyos valores estén especificados en forma normalizada, lo cual es lo
más comúnmente encontrado en los datos de placas de los equipos. En los datos
proporcionados previamente, se especifican los datos de generadores y transformadores
normalizados, sobre las bases de valores nominales de las variables eléctricas de estos
equipos. Como no coinciden en general con las bases del sistema que seleccionamos,
deberemos cambiarlos de base y referirlos por tanto, a las bases de sistema. Lo anterior se
muestra a continuación.
Generador No.1:
sistemabase
generador
sistemabase
generadorbaseplacapug
Z
Z
Z
ZXX
*1
pu
MVA
kV
MVA
kV
X
placapu
g 40.0
30
)11(
30
)5.10(*44.0
2
2
1
Mientras que la reactancia de aterrizamiento es:
sistemabase
nn
Z
XX
11
puj
MVA
kV
jX n 37.0
30
)11(
5.1
21
Generador No.2:
sistemabase
generador
sistemabase
generadorbaseplacapug
Z
Z
Z
ZXX
*2
pu
MVA
kV
MVA
kV
X
placapu
g 85.0
30
)48.6(
15
)6.6(*41.0
2
2
2
Mientras que la reactancia de neutro es:
sistemabase
nn
Z
XX
22
puj
MVA
kV
jX n 79.1
30
)48.6(
5.2
22
Generador No.3:
sistemabase
generador
sistemabase
generadorbaseplacapug
Z
Z
Z
ZXX
*3
pu
MVA
kV
MVA
kV
X
placapu
g 40.0
30
)48.6(
25
)6.6(*32.0
2
2
3
Mientras que la reactancia de aterrizamiento es:
sistemabase
nn
Z
XX
33
sisteman puj
MVA
kV
jX 79.1
30
)48.6(
5.2
23
En el caso de los transformadores, el cambio de base será como sigue:
Transformador T1
sistemabase
transf
sistemabase
transfbaseplacaput
Z
Z
Z
ZXX
*1
pu
MVA
kV
MVA
kV
X
placapu
t 42.0
30
)11(
15
)11(*21.0
2
2
1
Transformador T2
sistemabase
transf
sistemabase
transfbaseplacaput
Z
Z
Z
ZXX
*
2
pu
MVA
kV
MVA
kV
X
placapu
t 53.0
30
)33(
15
)320(*24.0
2
2
2
Es importante indicar que en la relación de transformación podemos usar indistintamente la
relación de cualquier lado del transformador, dado que 48.6
8.6
33
320
En el caso de la línea de transmisión, el valor del parámetro está en ohmios, por lo que en
lugar de cambio de base, efectuamos su normalización directamente
sistemabase
acLT
Z
ZX
arg
pu
MVA
kVX LT 56.0
30
)33(
5.20
2
4. Para el siguiente sistema de transmisión de 3 barras, sin cargas, las reactancias de
las dos secciones de líneas de transmisión se muestran en el siguiente diagrama. Los
transformadores y generadores tienen los siguientes valores nominales:
Generador No. 1: 20 MVA, 13.8 kV, Xd” = 0.20 por unidad
Generador No. 2: 30 MVA, 18 kV, Xd” = 0.20 por unidad
Generador No. 3: 30 MVA, 20 kV, Xd” = 0.20 por unidad
Transformador T1 (3Ø): 25 MVA, 220 Y/13.8 Δ kV, X = 21%
Transformador T2 (3 - 1 Ø): 10 MVA, 127/18 kV, X = 10 %
Transformador T3 (3Ø): 35 MVA, 220 Y/22 Y kV, X = 21%
Dibuje el diagrama de impedancias con todas las reactancias señaladas en por unidad y
con las letras para indicar los puntos que corresponde al diagrama unifilar. Seleccione
una base de 50 MVA y 13.8 kV en el circuito del generador 1.
Solución
Cálculo de Voltaje Base
Zona del generador 1:
S base = 50 MVA
V base = 13.8 kV
Zona de la línea de transmisión de B a C y de C a E
S base = 50 MVA
V base = ?
alnoV
alnoVkVkV
primzonabasezonabase
min
minsec21
ó
alnoV
alnoVkVkV
prim
zonabasezonabasemin
min
sec
12
kVkV zonabase 2208.13
2208.132
Zona del generador 2
S base = 50 MVA
V base = ?
alnoV
alnoVkVkV
primzonabasezonabase
min
minsec23
alnoV
alnoVkVkV
prim
líneazonabasegeneradorzonabasemin
minsec)(2)2(3
kVkV generadorzonabase 181273
18220)2(3
Zona del generador 3
S base = 50 MVA
V base = ?
alnoV
alnoVkVkV
prim
zonabasezonabasemin
minsec23
alnoV
alnoVkVkV
prim
líneazonabasegeneradorzonabasemin
minsec)(2)3(3
kVkV generadorzonabase 22220
22220)3(3
Cálculo de impedancias y reactancias
Lado del generador 1
Para calcular la impedancia del generador 1, la base del sistema 50 MVA no es la misma
que la potencia del generador, la cual es de 20 MVA, pero en el caso del voltaje base si es
igual, 13.8 kV.
)(1
)(2
2
2
1
1
generadordelbase
sistemadelbase
base
base
pugMVA
MVA
kV
kVXX
unidadporX g 50.020
502.01
Lado del generador 2
En el caso del generador 2, la base del sistema, 50 MVA no es la misma que la potencia del
generador 2, el cual es de 30 MVA, pero en el caso del voltaje base si es igual, porque se
había calculado anteriormente y se encontró que es 18 kV, mismo voltaje del generador 2.
)(1
)(2
2
2
1
2
generadordelbase
sistemadelbase
base
base
pugMVA
MVA
kV
kVXX
generadordelbase
sistemadelbase
pugMVA
MVAXX 2
unidadporX g 33.030
502.02
Lado del generador 3
En el caso del generador 3, la base del sistema, 50 MVA no es la misma que la potencia del
generador 3, el cual es de 30 MVA y en este caso los voltajes son diferentes porque el
voltaje del generador 3 es de 20 kV y el voltaje calculado anteriormente para la zona del
generador 3 fue de 22 kV.
)(1
)(2
2
2
1
3
generadordelbase
sistemadelbase
base
base
pugMVA
MVA
kV
kVXX
unidadporXX pug 275.030
50
22
202
3
Para el transformador T1
Para calcular la impedancia del transformador 1, la base del sistema 50 MVA no es la
misma que la potencia del transformador, la cual es de 25 MVA, pero en el caso del voltaje
base si es igual, 13.8 kV.
)(1
)(2
2
2
1
1
generadordelbase
sistemadelbase
base
base
puTMVA
MVA
kV
kVXX
unidadporX T 20.025
5001.01
Lado del transformador T2
En el caso del transformador 2, la base del sistema 50 MVA no es la misma que la potencia
del transformador 2, el cual es de 30 MVA, pero en el caso del voltaje base si es igual,
porque se había calculado anteriormente y se encontró que es 18 kV, mismo voltaje del
generador 2.
)(1
)(2
2
2
1
2
generadordelbase
sistemadelbase
base
base
pugMVA
MVA
kV
kVXX
generadordelbase
sistemadelbase
pugMVA
MVAXX 2
unidadporX g 167.030
5001.02
Lado del transformador T3
En el caso del transformador 3, la base del sistema 50 MVA no es la misma que la potencia
del transformador 3, el cual es de 35 MVA y en este caso los voltajes son iguales porque el
voltaje del transformador 3 es de 22 kV y el voltaje calculado anteriormente para la zona
del transformador 3 fue de 22 kV.
)(1
)(2
2
2
1
3
generadordelbase
sistemadelbase
base
base
pugMVA
MVA
kV
kVXX
unidadporX g 143.035
502
22
2001.0
2
3
Líneas de transmisión
base
base
baseMVA
kVZ
2)(
96850
)220( 2
baseZ
Para la línea de Tx de j 80 Ω se tiene:
sistemabase
línea
LLZ
ZXjZ
unidadporZ L 0826.0968
80
Para la línea de Tx de j 100 Ω se tiene:
sistemabase
línea
LLZ
ZXjZ
unidadporZ L 1033.0968
100
Finalmente el diagrama de impedancias con todas las reactancias es el siguiente: