APLICACIONES GEOMÉTRICASProblema 1:Encontrar la familia de curvas en laque la porción de la tangente a un punto P(x,y), comprendida entre P y el eje “Y” se divide en dos partes por el eje “X”.

SOLUCION:

Dado que la tangente se biseca en el eje “X”; se presentan dos triángulos congruentes.Entonces :

Integrando:

Problema 2:Los ángulos formados por la tangente a un punto y en el eje “X”, y el formado con el segmento que une al punto con el origen y dicho eje; son complementarios. Hallar la familia de curvas que cumplen dicha condición.

SOLUCION:

Del enunciado:

Además:

Por trigonometría se sabe:

Entonces:

Como , entonces

Integrando:

Problema 3:Encontrar la curva en la que la pendiente de la recta tangente a cualquier punto es igual al promedio aritmético de las coordenadas de dicho punto.

SOLUCION:

Del enunciado se tiene:

Por conveniencia sea:

Derivando con respecto x:

Entonces el problema queda:

Integrando:

Reemplazando z por x+y

Problema 4:Encontrar todas las curvas planas para las que el eje Y biseca la parte de la tangente comprendida entre el punto de tangencia y el eje X.

SOLUCION:

Sea P (x, y) el punto de tangencia, A (ax, ay) el punto de intersección entre la recta tangente y el eje x, B (bx, by) el punto de intersección entre la recta tangente y el eje y.

De acuerdo con el enunciado, el eje y biseca al segmento comprendido entre el punto de tangencia y el eje x; esto significa que el eje y divide en dos partes iguales a dicho segmento. Según puede observarse en la gráfica anterior, esto equivale a decir que el punto B es el punto medio del segmento comprendido entre el punto P y el punto A.Si las coordenadas de los puntos son: P (x, y), A (ax , ay ) y B ( bx , by) entonces, por conocimientos de geometría analítica, se deben satisfacer las siguientes relaciones entre las coordenadas de dichos puntos.

Sea Lt : Y – y = y’ ( X – x ) la ecuación de la recta tangente a una curva en el punto P (x, y)Para determinar las coordenadas del punto A, debe primero observarse que por ser un punto del eje x, se tiene que ay = 0. Por otra parte, este punto A (ax, ay) = (ax, 0) también pertenece a la recta tangente, por lo tanto, sus coordenadas satisfacen la ecuación de dicha recta. Así, sustituyendo X = ax y Y = 0, en la ecuación Lt,– y = y’ ( ax – x )

despejando axax = x – 'yy

Así, el punto A tiene coordenadas: ( x – 'yy, 0 )

Para determinar las coordenadas del punto B, debe primero observarse que por ser un punto del eje y, se tiene que bx = 0. Por otra parte, este punto B (bx, by) = (0, by) también pertenece a la recta tangente, por lo tanto, sus coordenadas satisfacen la ecuación de dicha recta. Así, sustituyendo X = 0 y Y = by, en la ecuación Lt,

by – y = y’ ( – x)despejando by

by = y – y’ x

Así, el punto B tiene coordenadas: ( 0, y – y’ x )

Una vez que las coordenadas de los puntos involucrados se han expresado en función de x, y , y’, ahora se procede a sustituir las coordenadas de dichos puntos en las ecuaciones (1) y (2)

Sustituyendo a x = x – yy , b x = 0 en la ecuación (1)

Multiplicando por:

Sustituyendo ay = 0 , b y = y – y’ x en la ecuación (2)

Multiplicando por 2 y simplificando

Comparando las ecuaciones (3) y (4) resulta que son la misma ecuación. Por lo tanto, la ecuación diferencial asociada al problema planteado es 2 x y’ – y = 0. Despeando y’.

Ya que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’.

La ecuación (5) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables, se multiplica la ecuación (5) por el factor

Integrando:

Ambas integrales son inmediatas:

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6).

multiplicando por 2 y aplicando propiedades de logaritmo.

Aplicando e:

La ecuación (7) es la ecuación de la familia de curvas para las que el eje y biseca el segmento de la recta tangente comprendido entre el punto de tangencia y el punto de corte con el eje x. La ecuación (7), es la ecuación de una familia de parábolas, de vértice en el origen, con eje focal el eje x.

Problema 5:La pendiente de la recta tangente en cualquier punto ( x, y) de una curva es 1 + xy. Si la curva pasa por el punto (1, 1), encuentre su ecuación.

SOLUCION:

Sea y = f(x) una curva cualquiera. De acuerdo con la interpretación geométrica de la derivada, la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto cualquiera P (x, y) es la derivada y’ de la ecuación de la curva evaluada en el punto de tangencia. Por lo tanto, de acuerdo con el enunciado.

Como se debe encontrar la curva que pase por el punto (1,1), entonces hay que resolver la ecuación diferencial (1) sujeta a la condición y (1) = 1 Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’.

Multiplicando por x:

Agrupando los términos a un solo lado de la igualdad.

La ecuación (2) es una ecuación diferencial homogénea con grado 1 de homogeneidad. Sacando factor común x, en la ecuación (2) (x ≠ 0)

Multiplicando por y efectuando el cambio de variable:

Sacando factor común dx:

La ecuación (3) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables se multiplica la ecuación (3) por el factor.

Integrando:

Ambas integrales son inmediatas:

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (4).

devolviendo el cambio de variable:

Multiplicando por X:

Despejando Y:

La ecuación (5) es la ecuación de la familia de curvas para las que la pendiente de la recta tangente en cualquiera de sus puntos es:

Para obtener la curva de esta familia que pasa por el punto (1, 1), se sustituye en la ecuación (4) x = 1, y = 1.

Este valor conseguido para C se sustituye en la ecuación (5).

La ecuación (6) es la ecuación de la curva cuya pendiente de la recta tangente es igual a: