UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONFACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

TAREA 1, Numeros Reales

Anlisis Real I, 525301 (2015)

En los ejercicios que siguen, escoja solo tres de ellos y responda de manera clara y ordenada. Eslibre de usar todo lo visto en el curso (teorıa y ayudantıa) sin necesidad de demostrarlo, citandoclaramente el uso de cada teorema, proposicion o ejercicio (que aparezca en el Rudin, clase oprctica). Se espera que el trabajo sea a conciencia, dado que es una buena ayuda para aprendera razonar previo al certamen.El plazo de entrega es hasta el dıa Lunes 6 de abril, hacer en LATEXy entregar una copia impresao enviar al correo javilac@udec.cl

1) (20 pts) Sea c ∈ R. Considere X,Y dos subconjuntos no vacıos y acotados de R, sean

A = {c + x : x ∈ X} B = {c + y : y ∈ Y }

¿Es cierto que sup(A + B) = sup(A) + sup(B)? Si es ası, demuestrelo, en caso contrario,de un contraejemplo.

2) (20 pts) Sea f : A×B → R acotada inferiormente. Sea ademas,

g : A → Rx 7→ inf

y∈Bf(x, y)

Demostrar queinf

(x,y)∈A×Bf(x, y) = inf

x∈Ag(x)

3) (20 pts) Sean X,Y dos espacios cualesquiera, f : X → R, g : Y → R dos funcionesacotadas. Demostrar que:

sup(x,y)∈X×Y

f(x)g(y) = supx∈X

f(x) supy∈Y

g(y) (1)

inf(x,y)∈X×Y

f(x)g(y) = infx∈X

f(x) infy∈Y

g(y) (2)

4) (20 pts) Sean X,Y dos espacios cualesquiera, f : X → R+, g : Y → R+ dos funcionesacotadas. Demostrar que:

sup(x,y)∈X×Y

f(x)/g(y) =

supx∈X

f(x)

infy∈Y

g(y)(3)

inf(x,y)∈X×Y

f(x)/g(y) =infx∈X

f(x)

supy∈Y

g(y)(4)

Concepcion, 27/MARZO/2015RR/JAC/jac

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