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Ejercicios de Lmites indeterminados
Pregunta 1 Calcular los siguientes lmites a.limx 1
x n + 5 x 3 15 x + 9 x 3 9x + 8
b.
3 26 + x 2 26 x x 10 x 3 + 9x 2 8 x + 20 limlimx 0
c.
x+4 2 lim 2 x 2 x 2 x x 2
d.
x 2 + 2x x + 3x x+3 4 x2
e.
x 0
lim +
2x 7 x2 + x
f.
x 2
lim
g.
2y 3 + 5 y 4 y + 6 y 3 5 y 2 + 3 y 1 lim
h.
5 7 x 2x 3 3 x 4 x + 1 x 2x 2 + 5 x 3 lim
i.
x + 3
lim
4 x 2 3 x + 2x 8x + x + 3 + 5x3 2
j.
x +
lim 9x 2 5 x 3xx
[
]
k.Resolucin
lim(1 + ax )x 0
3 x
l.
2x + 1 x +2 lim x 2 x 1
1a.
L = limx 1
x n + 5 x 3 15 x + 9 x 3 9x + 8
evaluando:
L=
0 0
Buscaremos en el numerador y denominador el factor generador del cero. En este caso, como x 1 , dicho factor es x 1 . Factorizamos el numerador y denominador usando la regla de Ruffini. Denominador:
x 3 9x + 81 1 1 0 1 1 -9 1 -8 8 -8 0
x 3 9x + 8 = (x 1)(x 2 + x 8)
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Numerador:
x n + 5x 3 15x + 9
1 1 1
0 1 1
0 1 1
5 1 6
0 6 6
-15 6 -9
9 -9 0
x n + 5x 3 15x + 9 = (x 1)(x n1 + x n2 + x n3 + ... + 6x 2 + 6x 9)Luego,
L = limx 1
( x 1)(x n1 + x n2 + x n3 + ... + 6x 2 + 6x 9) ( x 1)(x 2 + x 8)
Simplificamos el factor x 1 :L = limx 1
x n1 + x n2 + x n3 + ... + 6x 2 + 6x 9 x2 + x 8
Evaluamos:
L= L=
1 + 1 + 1 + ... + 6 + 6 9 1+1 8 (n 3) + 3 6 n 6evaluando:
L=
1b.
L = lim
x 10
3 26 + x 2 26 x x 3 + 9x 2 8 x + 20
L=
0 0
De forma similar al ejercicio anterior, buscaremos en el numerador y denominador el factor generador del cero. En este caso x + 10 . Factorizamos el denominador y Multiplicamos - numerador y denominador por la conjugada del numerador.L = lim [3 26 + x 2 26 x ] [3 26 + x + 2 26 x ] ( x + 10)(x 2 x + 2) [3 26 + x + 2 26 x ]
x 10
Aplicando diferencia de cuadrados en el numerador:
L = lim
[9(26 + x ) 4(26 x )] ( x + 10)(x x + 2)[3 26 + x + 2 26 x ]2
x 10
L = lim
13(x + 10) ( x + 10)(x x + 2)[3 26 + x + 2 26 x ]2
x 10
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Simplificamos el factor x + 10 :
L = lim
13 (x x + 2)[3 26 + x + 2 26 x ]2
x 10
Evaluando:
L=
13 2688evaluando:
1c.
x+4 2 2 L = lim x 2 x 2 x x 2
L =
Damos mnimo comn mltiplo: 2(x + 1) (x + 4) L = lim x 2 ( x 2)(x + 1) x2 L = lim x 2 ( x 2)( x + 1) Simplificamos el factor x 2 :
L = limx 2
1 x +1 1 3evaluando:
Evaluando:
L=
1d.
L = limx 0
x 2 + 2x x + 3xx 2 + 2x x + 3x
L=
0 0
Sea
f (x ) =
x R {0}
Analizamos el comportamiento del valor absoluto x : i) Cuando x < 0 , tenemos que x = x . La funcin resulta: f1 ( x ) =
x 2 + 2x x 2 + 2x x + 2 = = ( x ) + 3 x 2x 2
ii) Cuando x > 0 , tenemos que x = x . La funcin resulta: f 2 (x ) =
x 2 + 2x x 2 + 2x x + 2 = = ( x ) + 3x 4x 4
Luego, podemos reescribir la funcin f (x ) como:
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x + 2 2 , x 0 4 Para calcular L = lim f ( x ) debemos analizar los lmites laterales:x 0
Por la izquierda:
x + 2 lim f ( x ) = lim =1 x 0 x 0 2 x + 2 1 = lim f ( x ) = lim + x 0 x 0 4 2 x0
Por la derecha:
Dado que los lmites laterales no son iguales, decimos que el lim f ( x ) no existe. 1e.
L = lim +x 0
2x 7 x2 + x2x 7 x( x + 1)
L = lim +x 0
Evaluando obtenemos:L = lim x 2
L=
7 = +0
1f.
x+3 4 x2x+3 (2 + x )(2 x )
L = lim x 2
Evaluando obtenemos:
L=
3 = + +0 L=
1g.
L = lim
2y 3 + 5 y 4 evaluando: y + 6 y 3 5 y 2 + 3 y 1
Cuando se presenta la forma indeterminada
lo recomendable es dividir numerador y denominador por la variable elevada al mayor grado de la expresin racional. Lo que se busca es generar fracciones donde el denominador contenga la variable elevada a un exponente positivo. De esta forma, si la variable tiende al infinito, la inversa de la variable tender a cero.En este caso dividimos numerador y denominador por y 3 :
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2y 3 + 5 y 4 y3 L = lim y + 6 y 3 5 y 2 + 3 y 1 y3 Descomponemos en fracciones homogneas: 2y 3 5 y 4 + 3 3 3 y y y L = lim 2 y + 6 y 3 5y 3y 1 3 + 3 3 3 y y y y Simplificando obtenemos: 5 4 3 2 y y L = lim y + 5 3 1 6 + 2 3 y y y 2+1 1 1 Cuando y + , su inversa y potencia de sus inversas 2 , 3 y y y 1 a cero. Por lo que el lmite resulta: L = . 3 tienden
1h.
L = lim
5 7 x 2x 3 3 x 4 evaluando: x + 1 x 2x 2 + 5 x 3
L=
Dividimos numerador y denominador por x 4 :5 7 x 2x 3 3 x 4 x4 L = lim x + 1 x 2x 2 + 5 x 3 x4 Separando en fracciones homogneas y simplificando:
5 7 2 3 3 4 x x L = lim x x + 1 1 2 5 + x4 x3 x2 x Llevando al lmite obtenemos:
L=
3 = 0
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1i.
L = lim
4 x 2 3 x + 2x 8x + x + 3 + 5x3 2
x + 3
evaluando:
L=
Dividimos numerador y denominador por x : 4 x 2 3 x + 2x x 8x 3 + x 2 + 3 + 5x x 4x 2 3x +2 x 8x 3 + x 2 + 3 +5 x4x 2 3x +2 x2 8x 3 + x 2 + 3 +5 x3 4
L = lim
x + 3
L = lim
x + 3
L = lim
x + 3
3 +2 x L = lim x + 1 3 3 8 + + 3 +5 x x Llevando al lmite obtenemos:x+3 4x2
L=
4 +23
8 +5
=
4 7
1f. 1j.
L = lim x 2
evaluando:
L=
5 = + 0 L =
L = lim 9x 2 5 x 3xx +
[
]
evaluando:
Lo recomendable en estos casos es operar convenientemente la expresin hasta llegar a alguna de las formas indeterminadas anteriores. Multiplicamos y dividimos por la conjugada de la expresin dada.
L = lim 9x 2 5 x 3x .x +
[
] [[ 9x 9x]]
2 2
] 5 x + 3x ] 5 x + 3x
L = lim
[(9x
x +
[ 9x
2
5 x ) (9x 2 )2
5 x + 3x
L = lim
5x
x +
9x 2 5 x + 3x
evaluando:
L=
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Dividimos numerador y denominador por x : 5x x 2 9x 5 x + 3x x
L = lim
x +
L = lim
5 9x 5 x +3 x2
x +
L = lim
5
x +
9x 5 x +3 x22
L = lim
5 9 5 +3 x
x +
Llevando al lmite obtenemos:3
L=
5 9 +3
=
5 6
1k.
L = lim(1 + ax ) xx 0
evaluando:
L = 1
Cuando se presenten lmites de la forma indeterminada 1 podemos aplicar lasiguiente propiedad: Si lim f ( x ) = 1 y lim g( x ) = , entonces lim f ( x )x a x a
g(x )
x a
= e x a
lim [ f ( x )1]g ( x )
En este ejercicio, si consideramos f (x ) = 1 + ax y g(x ) =x 0 x 0
3 , podemos comprobar x que lim f ( x ) = 1 y que lim g( x ) = por lo que podemos aplicar la propiedad
mencionada.
L = lim(1 + ax ) = ex 0
3 x
x 0
lim [(1 + ax ) 1].
3 x
L = e x 0
lim [ ax ].
3 x
L = e x0
lim [ 3a ]
Lo que finalmente resulta: L = e 3a
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1l.
2x + 1 x +2 L = lim x 2 x 1 consideramos
x
evaluando:
L = 1
Si
2x + 1 x y g(x ) = , podemos comprobar que x 1 x+2 lim f ( x ) = 1 y que lim g( x ) = por lo que podemos aplicar el teorema anterior. f (x ) =x 2 x 2
lim 2x + 1 x + 2 L = lim = e x 2 x 2 x 1
x
2 x +1 x 1 . x 1 x + 2
L=e L=e
x 2
x +2 x lim . x 1 x + 2
x 2 x 1
x lim
Lo que finalmente resulta: L = e 3
2
Pregunta 2
fx 1
es una funcin definida por
f (x ) =
x 4 + ax 2 x + b , si se sabe que x 2 3x + 2
lim f ( x ) = 2 , hallar los valores de a y b.
Resolucin
Tenemos:
f (x ) =
x 4 + ax 2 x + b (x 1)(x 2)
Ntese que esta funcin tiene por dominio R { , 2} , por lo que en x = 1 no se 1
encuentra definida. Al llevar al lmite esta funcin, cuando x 1 , el denominador se hace cero y el numerador a + b . Dado que no conocemos a ni b se podran presentar dos casos: i) Si a + b es diferente de cero, el lmite resultara la fraccin tiende al infinito. ii) Si a + b es igual a cero, el lmite resultara la fraccin forma indeterminada.
a+b que 0
0 que es una 0
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De acuerdo al dato, el lmite cuando x 1 existe y es igual a 2 . Por tanto no es posible el primer caso y si el segundo caso. Esto implica que al levantar la indeterminacin del caso ii) debemos llegar al lmite 2 . Como sabemos una indeterminacin del tipo
0 se levanta simplificando el 0 factor generador del cero, en este caso x 1 . En el denominador es notorio este factor. En el numerador lo buscamos al factorizar con la ayuda de la regla de Ruffini.Numerador: x 4 + ax 2 x + b1 1 1 0 1 1 a 1 a+1 -1 a+1 a b a b+a
Esto implica que:
a+b=0
(I)
Y que el numerador factorizado es:
(x 1)(x 3 + x 2 + (a + 1)x + a )
Luego, la funcin se puede reescribir como:
f (x ) =
(x 1)(x 3 + x 2 + (a + 1)x + a ) (x 1)(x 2)x 3 + x 2 + (a + 1)x + a x2x1
f (x ) =
Por lo que al evaluar el lim f ( x ) tenemos:
lim f (x ) =x 1
2a + 3 1
Lo que, de acuerdo al dato, debe ser igual a 2 .
2a + 3 = 2 1
a=
1 2 b= 1 2
Reemplazando en (I):
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Pregunta 3
Si lim x 2 + ax + b x = 2 , hallar el valor de a.x +
[
]
Resolucin
Tenemos el lmite L = lim x 2 + ax + b x que toma la forma indeterminadax +
[
]
.Por dato dicho lmite es 2 , por lo que es posible levantar la indeterminacin. Multiplicamos y dividimos por la conjugada de la expresin dada.
L = lim x 2 + ax + b x .x +
[
] [[ x x
2 2
+ ax + b + x
] + ax + b + x ]
Aplicamos diferencia de cuadrados:
L = limx +
(x 2 + ax + b) ( x 2 ) x 2 + ax + b + xax + b x + ax + b + x2
L = limx +
Este ltimo lmite toma la forma indeterminada
, por lo que dividiremos numerador y denominador por la variable de mayor grado en la expresin racional, en este caso x :ax + b x x 2 + ax + b + x x
L = limx +
L = limx +
b x x 2 + ax + b +1 x2 a+a+
b x L = lim x + a b 1+ + 2 +1 x x
Llevando al lmite obtenemos:
L=
a 2
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Y, de acuerdo con el dato:
a =2 2a=4
Pregunta 4
Si f ( x ) =
x + 1 g(x ) = limh 0
f ( x + h) f ( x ) , hallar E = g(0) g(3) h
Resolucin
Tenemos: Entonces Luego,
f (x ) =
x +1 x + h +1
f ( x + h) =
g(x ) = limh 0
x + h +1 x +1 h
el cual tiene la forma
0 0
Buscaremos en el numerador y denominador el factor generador del cero. Como h 0 , dicho factor es h 0 , es decir h . Multiplicamos - numerador y denominador por la conjugada del numerador. g( x ) = limh 0
[ x + h + 1 x + 1] [ x + h + 1 + x + 1] . h [ x + h + 1 + x + 1]
Aplicando diferencia de cuadrados:
g( x ) = limh 0
[(x + h + 1) ( x + 1)] h [ x + h + 1 + x + 1] h h [ x + h + 1 + x + 1]
g( x ) = limh 0
Simplificando:
g( x ) = limh 0
1 x + h +1 + x +1 1 x +1 + x +1 1 2 x +1
Llevando al lmite: g(x ) =
g( x ) =
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Nos piden:
E = g(0) g(3)E= E= 1 1 2 4 1 4
Pregunta 5
Si lim
f (x ) x + x + 3x2
x +
= 5 , lim
x +
g( x ) 2x + 3 = 3 , hallar: lim x + f ( x ) g( x )
Tenemos:
x +
lim
f (x ) x + x + 3x2
= 5
(I)
x +
lim
2x + 3 =3 g( x )
(II)
Multiplicando (I) y (II):
2x + 3 f (x ) lim lim . x + = (5)(3) 2 x + g( x ) x + x + 3x f (x ) 2x + 3 lim . = 15 2 x + x + x + 3 x g( x ) f (x ) 2x + 3 lim . = 15 x + g( x ) x 2 + x + 3x
Lo que es equivalente a:
f (x ) 2x + 3 Por propiedad de lmites: lim lim = 15 . x + 2 x + g( x ) x + x + 3x
()
Llamemos L 1 al lmite:
L 1 = lim
2x + 3 x + x + 3x2
x +
Evaluando:
Dividimos numerador y denominador por x:3 x 2 x +x +3 x 2+
L 1 = lim
x +
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L 1 = lim
x +
3 x 2 x +x +3 x2 2+2+ 1+ 3 x
L 1 = lim
x +
1 +3 x
lo que llevado al lmite resulta:
L1 =
1 2
Reemplazando en ():
x +
f (x ) 1 lim . = 15 g( x ) 2 f (x ) = 30 g( x ) g( x ) 1 = f (x ) 30
x +
lim
Entonces:Pregunta 6
x +
lim
3x 1 x 2 = 4 , hallar el valor de a Si lim x 2 x+3 Resolucin
a
Tenemos:
3x 1 x 2 L = lim x 2 x+3
a
Donde al considerar f (x ) =x 2 x 2
3x 1 a y g(x ) = , podemos comprobar que x+3 x2 lim f ( x ) = 1 y que lim g( x ) = y por tanto aplicar el teorema aplicado en los
ejercicios 1k y 1l.lim 1 . 3x 1 x 2 L = lim = e x 2 x + 3 x 2 x 2 x+3 2( x 2 ) a . lim x +3 x 2 a 3 1 a
L=e L=e
x 2
x 2 x + 3
2a lim
Lo que resulta:2a
L=e5
2a
Del dato, este lmite es igual a 4:
e5 =4
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2a = ln 4 5 a=Pregunta 7
5 ln 4 2
Si lim x 2 + ax + 2 xx +
(
)
bx + 3
= e 2 , hallar los valores de a y b.
Resolucin
Tenemos:
L = lim x 2 + ax + 2 xx +
(
)
bx + 3
(I)
el cual tiene la forma: ( ) Sean f ( x ) = x 2 + ax + 2 x y g(x ) = bx + 3 Si b 0 es fcil comprobar que lim g( x ) = , mientras que el lmite de f (x )x +
toma una de las formas indeterminadas: L 1 = lim f ( x ) = . Buscaremosx +
levantar esta indeterminacin.L 1 = lim f (x ) = limx + x +
(x
2
+ ax + 2 x
)
Multiplicamos y dividimos por la conjugada:
L 1 = lim x 2 + ax + 2 xx +
(
) (( x x)
2 2
) + ax + 2 + x )+ ax + 2 + x
L 1 = lim
((x
x +
(x
2
+ ax + 2) x 2 )2
+ ax + 2 + x
L 1 = lim
ax + 2 x 2 + ax + 2 + x
x +
evaluando:
L1 =
(a > 0 )
Dividimos numerador y denominador por x2 x x 2 + ax + 2 +1 x a+
L 1 = lim
x +
L 1 = lim
x +
2 x x 2 + ax + 2 +1 x2 a+www.grupolamatriz.com
2 x L 1 = lim x + a 2 1+ + 2 +1 x x a+
llevando al lmite resulta: L 1 =
a 2
Dado que
L 1 = lim x 2 + ax + 2 x =x +
(
)
a 2
y
L 2 = lim (bx + 3) = x +
el lmite
L = lim x 2 + ax + 2 xx +
(
)
bx + 3
a toma la forma L = 2
el cual puede presentar
dos casos para a > 0 : 1er. caso: Sia 1 , entonces el lmite sera infinito o cero. 2
2do. caso:
Si
a = 1 , entonces el lmite sera indeterminado. 2
Descartamos el primer caso ya que por dato el lmite es finito y diferente de cero ( L = e 2 ). Del segundo caso se desprende que a = 2 y el lmite tomara la
forma 1+ por lo que aplicaremos la propiedad mencionada en 1k.
Con a = 2 :
L = lim x 2 + ax + 2 xx +
(
)
bx + 3
= lim x 2 + 2x + 2 xx +
(
)
bx + 3
= e x +
lim x 2 + 2 x + 2 x 1 .( bx + 3 )
L = e x +
lim x 2 + 2 x + 2 ( x +1) .( bx + 3 )
()
Analizaremos el exponente por separado. Sea L 3 = lim x 2 + 2x + 2 (x + 1) .(bx + 3)x +
[
]
L 3 = lim x 2 + 2x + 2 ( x + 1) .x +
[
] [[ x x]
2 2
].(bx + 3) + 2x + 2 + (x + 1)]+ 2x + 2 + (x + 1)
L 3 = lim
[(x
x +
[x2
2
+ 2x + 2) (x + 1)22
+ 2x + 2 + ( x + 1)
] .(bx + 3)
L 3 = lim
[x
x +
[x2
+ 2x + 2 x 2 2 x 12
+ 2x + 2 + ( x + 1) bx + 3
]
] .(bx + 3)
L 3 = lim
x +
x + 2x + 2 + (x + 1)
Dividimos numerador y denominador por xwww.grupolamatriz.com
L 3 = lim
x +
3 x 2 x + 2x + 2 1 +1+ x x b+ b+
3 x L 3 = lim x + 2 2 1 1+ + 2 +1+ x x xL3 = b 2b
Reemplazando en ():
L = e2b
Igualando con el dato original:
e 2 = e2 b =2 2 b=4
Pregunta 8
Dada la siguiente funcin:
3 x + 3 1 a x +6 2 f (x ) = b x3 + c x2 + 5 3
... ... ...
x < 2 x = 2 x > 2
Hallar los valores de a, b y c para que la funcin f (x ) sea continua enx = 2 .
Resolucin
Para que la funcin sea continua en x = 2 se deben cumplir las siguientes condiciones: C1: C2: C3: C1: Existencia de la funcin: f (2) existe. Existencia del lmite:lim f ( x ) existe.x 2
La funcin debe ser igual al lmite:
lim f ( x ) = f (2)x 2
Se cumple, ya que cuando x = 2 , la funcin es igual a b . Es decir:
f (2) = b
(I)
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C2:
Se debe cumplir la existencia e igualdad de los lmites laterales. Por izquierda:
3 x + 3 1 0 lim f (x ) = lim a = x 2 x 2 x + 6 2 0
Para levantar la indeterminacin, y por tratarse de radicales, multiplicamos y dividimos la expresin por los factores racionalizantes.[3 x + 3 1] [ x + 6 + 2] [3 x + 3 + 3 x + 3 + 1] lim f (x ) = lim a . . 2 x 2 x 2 [ x + 6 2] [ x + 6 + 2] [3 x + 3 + 3 x + 3 + 1]2
Agrupamos convenientemente: [3 x + 3 1] [3 x + 3 2 + 3 x + 3 + 1] [ x + 6 + 2] lim f (x ) = lim a . . 2 x 2 x 2 [ x + 6 + 2] [ x + 6 2] [3 x + 3 + 3 x + 3 + 1]
Aplicamos diferencia de cubos en los dos primeros trminos del numerador y diferencia de cuadrados en los dos primeros trminos del denominador. [3 x + 3 3 13 ] [ x + 6 + 2] lim f (x ) = lim a . 2 2 x 2 x 2 [ x + 6 22 ] [3 x + 3 + 3 x + 3 + 1] [ x + 2] [ x + 6 + 2] lim f (x ) = lim a . 2 x 2 x 2 [ x + 2] [3 x + 3 + 3 x + 3 + 1]
Simplificamos el factor x + 2 : lim f (x ) = lim a x 2 x 2 x + 3 + 3 x + 3 + 1 x+6 +22
3
Evaluando:lim f (x ) = 4 a 3
x 2
x3 + c c 8 Por derecha: lim+ f ( x ) = lim+ = 2 x 2 x 2 0 x + 5 3Para que la funcin sea continua, este lmite debe ser finito. Dado que al evaluar el lmite, el denominador resulto ser igual a cero, el numerador tambin debera haber resultado cero. Esta es la nica posibilidad ya que correspondera a la forma
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indeterminada nmero finito.
0 que al ser levantada nos dara finalmente un 0
Dicho de otro modo, el numerador y denominador deben contener el factor x + 2 . Factorizamos el denominador aplicando la regla de Ruffini. Numerador: x 3 + c1 -2 1 0 -2 -2 0 4 4 c -8 c-8
Se debe cumplir:
c8 =0 c=8
x 3 + c = (x + 2)(x 2 2x + 4)En el lmite dado, reemplazamos el numerador factorizado y al mismo tiempo multiplicamos y dividimos por la conjugada del denominador: lim+ f (x ) = lim+x 2
( x + 2)(x 2 2x + 4) x2 + 5 3
x 2
.
x2 + 5 + 3 x2 + 5 + 3
Diferencia de cuadrados en el denominador: lim+ f ( x ) = lim+x 2
x 2
( x + 2)(x 2 2x + 4)[ x 2 + 5 + 3] ( x 2 + 5) (9)( x + 2)( x 2 2x + 4)[ x 2 + 5 + 3] x2 4
x 2
lim+ f ( x ) = lim+x 2
x 2
lim+ f ( x ) = lim+x 2
( x + 2)(x 2 2x + 4)[ x 2 + 5 + 3] (x + 2)(x 2)
Simplificamos el factor x + 2 : lim+ f (x ) = lim+x 2
x 2
(x 2 2x + 4)[ x 2 + 5 + 3] ( x 2)
Evaluando:x 2+
lim f (x ) = 18
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Y dado que los lmites laterales deben ser iguales:
4 a = 18 3 a= 27 2
Finalmente decimos que el lmite lim f ( x ) existe y es igual a -18.x 2
Es decir: C3:
x 2
lim f ( x ) = 18
(II)
lim f ( x ) = f (2)x 2
De (I) y (II):
b = 18
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