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Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo

El curso de topografía I; utiliza muchos conceptos y formulas por no decir todo, de la geometría y la trigonometría. La primera ciencia toma como objeto de estudio a las diferentes figuras geométricas y la segunda se encarga de ver las relaciones de los lados y los ángulos de un triangulo.

Figuras geométricas:

Triangulo Trapecio

CuadradoCircunferencia

¿Que es un triangulo?Es la figura geométrica que resulta de la reunión de los segmentos que unen tres puntos consecutivos no colineales.

Elementos de un triangulo

Para formar un triangulo es necesario tener tres elementos como mínimo.

Propiedades de los triángulos

Las medidas de los ángulos internos de un triangulo suman 180º.Cualquier ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos internos opuestos.Los ángulos exteriores de un triangulo suman 360º.Cualquier lado del triangulo es mayor que la diferencia de las longitudes de los otro dos y menor que su suma.

Las medidas de los ángulosinternos de un triangulo suman180º.

La suma de los tres ángulos α + β + φ = 180º.

Cualquier ángulo exterior es iguala la suma de los ángulos internosopuestos.

El ángulo gama igual a α + β = Y.

Los ángulos exteriores de untriangulo suman 360º.

Un triangulo posee solotres ángulos exteriores, lasuma de X + Y+ Z= 360º

Cualquier lado del triangulo esmayor que la diferencia de laslongitudes de los otro dos ymenor que su suma.

El lado AC de valor 15 u es menor a AB+BC y mayor la resta de BC-AB.

Clases de triángulosSegún sus lados

Equiláteros (sus tres lados iguales)

isósceles (dos lados iguales y uno desigual)

Escaleno (tres lados desiguales)

Según sus ángulos

Acutángulos (tres ángulos agudos)

Obtusángulos (un ángulo obtuso)

Rectángulo (un ángulo recto)

Por sus lados

Por sus ángulos

Triangulo rectángulo Teorema de Pitágoras.-En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Formas de calcular el área de un triangulo.

Manera geométrica Manera trigonométrica

Con matrices Con el semi perímetro

Ejemplo aplicativo

En el ejercicio anterior se quiere hallar el área del triangulo y solo se cuenta con las coordenadas de este , entonces se aplica matrices , para eso se toma el vértice A y se barren los vértices en sentido anti horario , llegando al mismo vértice. Todos los vértices conservan sus signos a la hora de colocar en una matriz.A continuación se muestra la matriz después del traslado de las coordenadas del triangulo.

Después de colocar los valores en la matriz, se multiplica para obtener los subproductos de la derecha y de la izquierda. Y de allí estos se suman 5*3 + 2*1 + 7*7 = 69 derecha.

7*2 + 3*7 + 1*5 = 40 izquierda.

El paso siguiente es restar el valor obtenido de la derecha menos el valor obtenido de la izquierda 69 – 40 = 29. Al valor obtenido se le saca valor

absoluto obteniendo siempre un valor positivo .El paso final es dividir a este valor positivo entre 2.Teniendo así la superficie del triangulo para este caso el resultado es 14.5 u2.

Líneas notables de un trianguloMEDIANA

Es el segmento que tiene por extremos un vértice del triángulo y el punto medio del lado opuesto.Cualquier triángulo tendrá 3 medianas.

Líneas notables de un trianguloBISECTRIZ

Es la línea que partiendo de un vértice divide a un ángulo en 2 iguales.Existen 3 bisectrices internas.

Líneas notables de un trianguloALTURA

Es la perpendicular trazada desde un vértice hacia el lado opuesto o a su prolongación.Cualquier triángulo tiene 3 alturas.

Líneas notables de un trianguloMediatriz

Es la recta perpendicular levantada en el punto medio de un lado cualquiera del triángulo, por lo tanto todo triangulo tiene 3 mediatrices

Semejanza de triángulos.

Dos figuras geométricas serán semejantes si tienen exactamente la misma forma, pero no el mismo tamaño.Existen el corolario de Thales y tres criterios para la semejanza de triángulos.

Corolario de Thales de miletoThales de Mileto (640 A.C.).- Fundo su “Escuela de Matemática y Filosofía”llamada escuela Jónica. Su más importante contribución, es el teorema que lleva su nombre

Corolario de Thales de miletoEl segmento AB esproporcional alsegmento al BC, elsegmento A”B” estambién proporcional alsegmento B”C”.AB = A”B”BC B”C”

Criterios de la semejanza

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.

Congruencia de triángulos.

Dos figuras geométricas serán congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño, pudiendo estar en distintas posición en el plano o en el espacio LALALALLL

¿Que es un trapecio? Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y los otros dos no paralelos. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos se llama altura.

Clases de trapeciosTrapecio Isósceles

Trapecio donde sus lados no paralelos tienen igual medida.

Trapecio Rectángulo

Trapecio donde uno de sus lados forma un ángulo recto con la base.

Trapecio Trisolátero

Es aquel que tiene tres lados iguales o congruentes.

Trapecio Escaleno

Trapecio donde sus lados son diferentes.

Área de un trapecio

ÁngulosEs la figura formada por la unión de dos rayos que tienen el mismo origen .Existen tres criterios para la clasificación de los ángulos .Por su medida.Por su posición. Los determinados por dos paralelas y una secante .

Por su medida

Los ángulos agudos , son aquellos que tienen un medida menor a 90 grados.

Agudo Recto

Son ángulos rectos los que presentan 90 grados

Angulo obtuso son aquellos que miden mayor a 90º, pero menor a 180 grados, por el contrario el ángulo llano es aquel que mide exactamente 180º.

Obtuso Llano

Por su posición Adyacentes Opuestos

El ángulo α al estar junto y consecutivo al ángulo β, se dice que son ángulos adyacentes .Y los opuestos por un vértice son por ejemplo el ángulo 1 y el 3, estos tipos de ángulos son siempre de igual magnitud .

Serán ángulos complementarios cuando la suma de estos dos dan 90º, y serán ángulos suplementarios cuando la suma de estos dos son 180º.

Ángulos complementarios Ángulos suplementarios

Los determinados por dos paralelas y una secante

β=e ; α=f ; ץ=g ; δ=hÁngulos correspondientes.

f ; δ=ץ =eÁngulos alternos internos.β=h ; α=g

Ángulos alternos externos.β= δ ; α=ץ ; e=h ; f=g

Ángulos opuestos por el vértice.

Ejemplo aplicativoEl primer paso para poder

trasladar el ángulo b fuera del área inaccesible , es trazar una paralela a la recta 1 , para eso construimos un el triangulo 3,4,5 Después de este paso fundamental es mediante conceptos generales trasladar el ángulo b a la posición de ángulo g .

Mediante la construcción de los dos triángulos rectángulos se traza la recta 2 paralela a la recta 1 ,así mediante este procedimiento formo dos rectas paralelas, y por conceptos básicos traslado el ángulo b fuera del terreno inaccesible.

Razones trigonométricasEs el cociente que se establece entre los catetos.Los conceptos de razones se utilizaran mas durante los últimos trabajos de practica del curso. Al momento de hallar la distancia horizontal y desniveles. Saber que el coseno de cualquier ángulo se positivo o negativo siempre es positivoLas razones trigonométricas serán iguales en ángulos cote minalesPara el caso de hallar coordenadas parciales, cuando no se quiere hallar los rumbos , de manera rápida se aplica la razón trigonométrica a la azimut , dándote con todo y el signo

Propiedades importantes de las razones trigonométricas

Sen α, Cos α ‹ 1.Sec α , Csc α › 1.Tan α y Ctg α Cualquier valor positivo.

Triangulo oblicuánguloA todo triangulo que sea diferente a un triangulo rectángulo se le denomina T.OEstos conceptos nos sirven en la practica de agrimensura, para poder hacer un contraste de lo teórico con lo empírico.

Ley de seno Ley de cósenos

Plano cartesianoLlamamos así cuando el plano esta dividido por dos rectas numéricas perpendiculares que se intersecan en el punto (0.0) estas rectas son eje X e Y cuando se trabaja en el espacio aparece el eje Z.

A manera de analogía podemos relacionar estas coordenadas con las UTM.

La líneas amarillas es la representación del sistema cartesiano.

Coordenadas Polares

Es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia.

Para este sistema siempre se toma el inicio de los ángulos en el lado OL a partir de allí se barren los ángulos y el centro de referencia, punto O.El punto (3, 60º), indica que está a una distancia de 3 unidades de O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL. El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades de O y un ángulo de 210º sobre OL.

Transformación de coordenadas

Mediante esta comparación se puede realizar una trasformación rápida y sencilla, para este caso el punto A se llevara al sistema cartesiano.

Ejemplo aplicativo

Ejemplo aplicativoAplicando la formula anterior , se trasforma el vértice A que se encuentra en el sistema polar , al sistema cartesiano

La coordenada X será 1.5 y la coordenada Y será 2.1213.

Ejemplo aplicativo

Calculo de áreasEl cálculo de áreas utilizando matrices es tal vez lo más utilizado en el curso de topografía porque existen prácticas donde se construyeron figuras geométricas muy diferentes a las convencionales.

Recordar En el uso de este método las coordenadas conservan sus signos y además del vértice donde se partió se regresa al mismo.Los vértices se barren en sentido anti horario .

Ejemplo aplicativo

Cuando ya se tiene los valores colocados en la matriz , se procede al calculo de los subproductos, de la derecha y de la izquierda.(12*16) + (-6*-4) + (-10*-8) +(20*6) + (16*12) =608 DERECHA(12*-6) + (16*-10) +(-4*20) +(-8*16) + (6*12) =-368 IZQUIERDAAhora se resta D-I = 608-(-368)Eso resulta 976.

Los números conservan siempre sus signos , ya que en algunos casos los vértices se encuentran en cuadrantes donde las coordenadas toman valores negativos.

Pendiente.La pendiente que se referirá en el curso de topografía, Es la inclinación, respecto a la horizontal. Una línea horizontal tiene pendiente = 0 y una recta vertical no tiene un número real que la defina, ya que su pendiente es infinita.Dentro del curso el símbolo de pendiente es S%.

Mientras el valor de la pendiente sea mayor, la recta tendrá a su vez mayor inclinación, mientras que una que forme un ángulo de 45° con el eje X tiene una pendiente = +1

Escala Cartografía

La escala es la relación matemática que existe entre las dimensiones del dibujo y las reales que se plasmaran en un plano o un mapa.Dentro del curso se utilizara la escala de reducción Escalas de ejemplo 1:50 1:125 1:200 1:250 1: 75000.

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