Post on 09-Aug-2020
TEMA 3. FENÓMENOS ALEATORIOS Y PROBABILIDAD
ESTADÍSTICA APLICADA AL TURISMO
GRADO EN TURISMO
J.J. Noguera 1
Tipos de experimentos
• DETERMINÍSTICOS: si al repetirlo bajo idénticas condiciones obtenemos siempre el mismo resultado
• ALEATORIO: al repetirlo bajo idénticas condiciones no se obtiene el mismo resultado. Además: – El experimento se puede repetir bajo las mismas
condiciones
– Si se modifican las condiciones iniciales se puede modificar el resultado.
– Se puede deducir el conjunto de las posible soluciones.
– Si se repite muchas veces aparece alguna regularidad estadística.
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¿Determinístico o aleatorio?
• Lanzar un dado.
• Tiempo que tarda una pelota de 5 kg en alcanzar el suelo si lo lanzamos desde una altura de 15 metros.
• Color de una bola extraída de una urna opaca con 3 bolas negras y 5 verdes
• Gasolina que consumirá un determinado coche en un trayecto de Denia a Gandía.
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¿Determinístico o aleatorio?
• Lanzar un dado. – Aleatorio
• Tiempo que tarda una pelota de 5 kg en alcanzar el suelo si lo lanzamos desde una altura de 15 metros. – Determinístico
• Color de una bola extraída de una urna opaca con 3 bolas negras y 5 verdes – Aleatorio
• Gasolina que consumirá un determinado coche en un trayecto de Denia a Gandía. - Determinístico
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Definiciones
• Espacio Muestral (E): conjunto formado por todos los sucesos o resultados posibles de un experimento aleatorio.
• Suceso: cualquier subconjunto de E. • Suceso elemental: formado por un solo resultado del
experimento • Suceso compuesto: formado por 2 o más sucesos
elementales. • Suceso seguro: el que siempre ocurre. Coincide con E. • Suceso imposible: el que nunca ocurre (vacío ∅) • Espacio de sucesos (S): conjunto de todos los posibles
sucesos.
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EJEMPLO
Tiramos un dado
E={1,2,3,4,5,6}
• A={3} -> suceso o suceso elemental
• A={1,3,5} -> suceso compuesto
• A=“número menor o igual a 6”-> suceso seguro
• A={7} -> suceso imposible
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Ejemplo
• Tiramos una moneda dos veces. Halla el espacio muestral y el espacio de sucesos
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Ejemplo
• Tiramos una moneda dos veces. Halla el espacio muestral y el espacio de sucesos
• E={CC, CX, XC, XX}
• S={∅, {CC}, {CX}, {XC}, {XX}, {CC},{CC,CX},{CC,XC},{CC,XX},{CX,XC},{CX,XX},{XC,XX},{CC,CX,XC},{CC,CX,XX},{CX,XC,XX},{CC,CX,XC,XX}} TOTAL 2𝑛, siendo n el cardinal de E
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Operaciones con sucesos
• 𝐴 ⊂ 𝐵 Inclusión
• 𝐴 = 𝐵 Igualdad (𝐴 ⊂ 𝐵 y A⊃ 𝐵)
• 𝐴 ∪ 𝐵 Unión. Sucesos están en A o en B
• 𝐴 ∩ 𝐵 Intersección. Sucesos están en A y en B
• 𝐴 Complementario. Sucesos que están en E pero no en A
• 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵 Diferencia de sucesos
• 𝐴 △ 𝐵 = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴) Diferencia simétrica de sucesos
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Definiciones
J.J. Noguera
• Dos sucesos son incompatibles (o disjuntos o mutuamente excluyentes) si 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
• Si 𝐴1⋃𝐴2 ∪⋯∪ 𝐴𝑛 = 𝐸 se dice que forman un sistema exhaustivo de sucesos.
• Un sistema exhaustivo de sucesos tal que sean incompatibles dos a dos forman un sistema completo de sucesos.
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Propiedades de las operaciones con sucesos
• 𝐸 = ∅ , ∅ = 𝐸 , 𝐴 = 𝐴
• 𝐸 ∪ 𝐴 = 𝐸 , ∅ ∪ 𝐴 = 𝐴 , 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐸 𝐸 ∩ 𝐴 = 𝐴, ∅ ∩ 𝐴 = ∅, 𝐴 ∩ 𝐴 = ∅ • Idempotente: 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴, 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴 • Conmutativa: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴, 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 • Asociativa: 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 = (𝐴1 ∪ 𝐴2) ∪ 𝐴3 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 = (𝐴1 ∩ 𝐴2) ∩ 𝐴3 • Simplificativa: 𝐴 ∪ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴, 𝐴 ∩ 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 • Leyes de De Morgan: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵
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Ejemplos
Si A={a, b , f, s} B={b, r, a}
¿Cuál es la unión? ¿Y la intersección?
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Ejemplos
Si A={a, b , f, s} B={b, r, a}
¿Cuál es la unión? ¿Y la intersección?
𝐴 ∪ 𝐵={a, b, f, s, r}
𝐴 ∩ 𝐵={a, b}
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Ejercicio
Si A={1,2,3,5,6,8}, B={2, 4, 5, 6, 10}, C={9,11} y el espacio muestral son los números naturales menores que 12, halla:
a) 𝐴 ∩ 𝐵
b) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶
c) 𝐴 − 𝐵
d) 𝐴 △ 𝐵
e) 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶 )
f) 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐴)
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PROBABILIDAD
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DEFINICIÓN CLÁSICA O A PRIORI
• Regla de Laplace:
𝑃 𝐴 =𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
Ley de los grandes números (Bernouilli): Si repetimos un gran número de veces y con idénticas condiciones un experimento aleatorio, el cociente anterior tiende a un número fijo.
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DEFINICIÓN A POSTERIORI O FRECUENCIAL
• 𝑃 𝐴 = lim𝑛→∞𝑛𝐴
𝑛
𝑛𝐴
𝑛 es la frecuencia relativa
Se dice a posteriori, porque se supone que la calculamos tras haber realizado un gran número de experimentos
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Número de experimentos
𝒏𝒊
Frecuencia absoluta 𝒇𝒊
Frecuencia relativa 𝒉𝒊 = 𝒇𝒊/𝒏𝒊
8 3 0.37
16 7 0.43
32 15 0.46
48 26 0.54
64 33 0.52
80 41 0.51
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DEFINICIÓN AXIOMÁTICA
Dado un espacio muestral, E, y siendo A un determinado suceso de E, decimos que P es una función de probabilidad en el espacio muestral E si se cumples los tres axiomas:
1. 𝑃 𝐴 ≥ 0 para todo A de E
2. 𝑃 𝐸 = 0
3. Si A,B,C son sucesos mutuamente excluyentes de E (o incompatibles dos a dos),
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 + 𝑃 𝐶
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De lo anterior se deduce que:
• 𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃 𝐴
• 0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1
• 𝑃 ∅ = 0 • Si 𝐴 ⊂ 𝐵, entonces:
– 𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝐴
– 𝑃 𝐴 ≤ 𝑃 𝐵
• Si 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑘 son incompatibles dos a dos, entonces: 𝑃 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪⋯∪ 𝐴𝑘 = 𝑃 𝐴1 + 𝑃 𝐴2 +⋯+ 𝑃 𝐴𝑘
• Si E es finito y un suceso es 𝐴 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 , entonces: 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝑥1 + 𝑃 𝑥2 +⋯+ 𝑃(𝑥𝑘)
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Importante
• If 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅ (compatibles) → 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
• If 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ (incompatibles)
→ 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵
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Ejemplos
Tiramos un dado. A = “número primo”
B = “número impar”
Calcular𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 .
• A={2,3,5}
• B={1, 3, 5}
• 𝐴 ∩ 𝐵 = 3,5 , compatibles porque 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅.
• 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
= 3
6 +
3
6 −
2
6 =
4
6 = 0.66
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Probabilidad condicionada
• La probabilidad condicionada de B por A es la probabilidad que ocurra B cuando A ya ha ocurrido.
• Se escribe como P(B|A) y se lee la probabilidad de B condicionada por A.
Importante:
• Dos sucesos decimos que son independientes si la ocurrencia de uno no influye en el otro.
• En caso contrario decimos que son dependientes.
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Ejemplo
• Tiremos una moneda dos veces:
– A = obtener cara en la primera tirada.
– B= obtener cruz en la segunda tirasa.
A y B son independientes
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• Si A y B son independientes 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 · 𝑃(𝐵)
• Si A y B son dependientes 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 · 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝐵 · 𝑃 𝐴 𝐵
Podemos definir la probalilidad condicionada como:
𝑃 𝐵 𝐴 =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴)
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Ejemplo
• Tenemos una urna con 3 bolas negras y 5 blancas. Sacamos una bola, la devolvemos a la urna y sacamos otra
– A = bola blanca en la primera extracción
– B = bola blanca en la segunda extracción
Son independientes, luego:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 · 𝑃 𝐵 =5
8·5
8= 0.39
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• Realizamos el mismo experimento pero ahora no devolvemos la bola a la urna (sin reemplazamiento)
Ahora son dependientes:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 · 𝑃 𝐵|𝐴 =5
8·𝟒
𝟕= 0.34
Otro ejemplo
• W = bola blanca en la primera extracción
• B = bola negra en la segunda extracción
𝑃 𝑊 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝑊 · 𝑃 𝐵|𝑊 =5
8·𝟑
𝟕= 0.27
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Tree diagrams The previous problems are ALWAYS easier to solve using tree diagrams. Let’s do an example: • A bag contains 3 black balls and 5 white balls. You pick a ball
and you replace it back in the bag. Then you pick another ball from the bag. Calculate the probability to pick: i) two black balls ii) a white ball and after a black ball
iii) a black ball in his second draw In these type of problems we put P(W,B) when we want to say : the probability of white ball in the first draw and black ball in the second draw. We really are calculating 𝑃 𝑊 ∩ 𝐵 where: • W = white ball in the first draw • B = black ball in the second draw
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i) 𝑃 𝐵, 𝐵 =3
8·3
8= 0.14
ii) 𝑃 𝑊,𝐵 =5
8·3
8= 0.23
iii) P(second ball black) = P(BB or WB) = P(B,B)+P(W,B) = 9
64+
15
16= 0.38
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Example
• You have a bag with seven blue balls and 3 red balls. You pick up a ball at random from the bag, but do not replace it and then pick again at random. Calculate the probabilities for the picks: (a) two red balls (b) no red balls (c) at least one blue ball (d) one ball of each color
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a) P(R,R) = 3
10·2
9= 0.07
b) P(B,B) = 7
10·6
9= 0.47
c) P(at least one blue )= P(BB or BR or RB) = P(B,B) + P(B,R)+P(R,B)
= 42
90+
21
90+
21
90= 0.93
Another option is P(at least one blue) = 1-P(no blue)=1-P(R,R)= 1- 6
90= 0.93
d) P(BR or RB) = P(B,R) + P(R,B) = 21
90+
21
90= 0.47
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