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7/24/2019 ESO-4-T09-II-Rectas
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4 ESO, Opcin B IES Complutense
Matemticas 4 de ESO
Tema 9 (II). Ecuaciones de una recta Resumen
Recta en el planoUna recta r viene determinada por un punto A y un vector director u , que indica su direccin.
Ecuacin vectorial:Si P es un punto de la recta r , se cumple la ecuacin vectorial:
APOAOP uOAOP
Si A ),( 21 aa , el vector director es ),( 21 uuu y las coordenadasdel punto genrico P son x, y), la ecuacin anterior puedeescribirse as:
),(),(),( 2121 uuaa y x Cualquiera de las ecuaciones anteriores recibe el nombre de ecuacin vectorial. En lasegunda, dicha ecuacin se expresa dando las coordenadas de un punto y del vector director.
Ecuaciones paramtricas.La ecuacin ),(),(),( 2121 uuaa y x 2211 ,, uaua y x .
Igualando las respectivas coordenadas resulta:22
11
ua y
ua x; que son las ecuaciones
paramtricas. El parmetro es , e indica un nmero real cualquiera. Dando valores a seobtienen las coordenadas de puntos de la recta.
Ejemplo :Las ecuaciones de la recta que pasa por A(1, 4) y tiene por vector director el u = (2, 3) son:
Vectorial: ( x, y) = (1, 4) + (2, 3). Paramtricas:3421
y x
Para = 1 se obtiene el punto de coordenadas: x = 1 + 2 = 3; y = 4 3 = 1 P (3, 1).Para = 2 se obtiene el punto de coordenadas: x = 1 4 = 3; y = 4 + 6 = 10 Q(3, 10).
Ecuacin continua. Despejando en cada una de las ecuaciones paramtricas e igualamos las
dos expresiones obtenidas, resulta:2
2
1
1
ua y
ua x
., que se llama ecuacin continua.
Ejemplo :
La ecuacin continua de la recta dada en el ejemplo anterior es: 34
21 y x
.
Ecuacin punto-pendiente. Se deduce de la ecuacin continua: 11
22 a xu
ua y
Si se hace1
2
uu
m , la ecuacin queda )( 12 a xma y .
El cociente1
2
uu
m es la pendiente de la recta: es la tangente
trigonomtrica del ngulo que forma la recta con la direccin
positiva del eje OX . La pendiente m indica lo que aumenta (odisminuye) la variable y por cada aumento unitario de la variable x.
7/24/2019 ESO-4-T09-II-Rectas
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Matemticas 4 de ESO
Ecuacin explcita. Despejando y en la ecuacin punto-pendiente se obtiene nmx y .Al nmero n se le llama ordenada en el origen.
Ejemplo:
La recta34
21 y x puede escribirse tambin as: 1
234 x y Punto pendiente
Despejando: 123
4 x y 2
1123
x y Explcita.
Ecuacin general. Tambin se llama ecuacin implcita o cartesiana.Se deduce de la continua, multiplicando en cruz:
2
2
1
1
ua y
ua x
1221 ua yua x 0 122112 uaua yu xu
Si se hace Au 2 , Bu 1 y C uaua 1221 , queda 0 C By Ax .Las letras A, B y C son nmeros, que pueden valer 0, aunque no a la vez; x e y son variables,que indican las coordenadas de los puntos de esa recta, siendo x la abscisa e y la ordenada. Un punto pertenece a una recta cuando cumple su ecuacin. Para representar una recta basta con conocer dos de sus puntos.
Ejemplo:
a) La recta34
21 y x
puede escribirse tambin as:
)4(2)1(3 y x 01123 y x .Puntos de esa recta son, por ejemplo: (1, 4), (1, 7), (11/3, 0) y (0, 11/2).
b) Dos puntos de la recta 32 x y son, (0, 3) y (2, 1); unindolos seobtiene su representacin grfica.
Ecuacin de la recta que pasa por dos puntosLa ecuacin de la recta que pasa por A = (a1, a 2) y B = (b1, b2) es
22
2
11
1
aba y
aba x
)( 111
222 a xab
aba y
La misma expresin se obtiene partiendo de la ecuacinnmx y e imponiendo que los puntos A y B la cumplan.
Ejemplo : La ecuacin de la recta que pasa por A = ( 2, 1) y B =(3, 4) ser:
141
)2(3)2( y x
3
15
2 y x 01153 y x
511
53 x y
Posicin relativa de dos rectasEn el plano, dos rectas pueden ser secante, paralelas o coincidentes. Su posicin se determinaestudiando el sistema asociado a ellas. As, la posicin de las rectas 0: C By Axr y
0: C y B x As , viene determinada por la solucin de
0
0
C y B x A
C By Ax.
Si las rectas fuesen paralelas (la misma pendiente) el sistema ser incompatible: A/A = B/B .