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ESPACIOS VECTORIALES.
Definición: Un espacio vectorial V sobre un campo K es un conjunto no vacío en el que se
definen dos operaciones; una llamada adición y otra llamada multiplicación por un escalar.
V1 , V2 ,V3 € V
1) V1 + V2 CERRADURA
2) V1 + (V2 +V3)= (V1 + V2) + V3 ASOCIATIVIDAD
3) V1 + V2 = V2 + V1 CONMUTATIVIDAD
4) 0 + V1 = V1 ELEMENTO IDENTICO
5) –V1 + V1 = 0 ELEMENTO INVERSO
6) α V1
7) α (V1 + V2) = αV1+ αV2
8) (+V1 = V1 + V1
9) V1) = V1
10) 1 V1= V1
NOTA: Para que un conjunto se a espacio vectorial debe cumplir con las 10 propiedades.
Determinar si el siguiente conjunto es espacio vectorial R2 sobre R
R2 ={ (x.y) /x, y € R}
1 2 31 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )
,
v x y v x y v x y
1) 21 2 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )v v x y x y x x y y
2) 1 2 3 1 2 3( ) ( )v v v v v v
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
1 1 2 3 2 3 1 2 1 2 3 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
( , ) [( , ) ( , )] [( , ) ( , )] ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
x y x y x y x y x y x y
x y x x y y x x y y x y
x x x y y y x x x y y y
3) 1 2 2 1v v v v
1 1 2 2 2 2 1 1
1 2 1 2 2 1 2 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
x y x y x y x y
x x y y x x y y
4) 1 10 v v
1 1 1 1
1 1 1 1
(0,0) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
x y x y
x y x y
5) 1 1 0v v
1 1 1 1
1 1 1 1
( , ) ( , ) 0
( , ) 0
0 0
x y x y
x x y y
6) 1v
1 1 1 1( , ) ( , )x y x y
7) 1 2 1 2( )v v v v
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
[( , ) ( , )] ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
x y x y x y x y
x y x y x y x y
8) 1 1 1( )v v v
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
( )( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
x y x y x y
x y x y x y x y
9) 1 1( )v v
1 1 1 1
1 1 1 1
[ ( , )] ( , )
( , ) ( , )
x y x y
x y x y
10) 1 11*( )v v
1 1 1 1
1 1 1 1
1*( , ) ( , )
( , ) ( , )
x y x y
x y x y
Homogeneidad y heterogeneidad
Subespacios Vectoriales
Es posible que un espacio vectorial tenga subconjuntos que sean, por si
mismo, espacios vectoriales.
Definición
Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y sea S un subconjunto de V. S
es un subespacio vectorial de V si este es un subespacio vectorial sobre K
respecto a la adición y la multiplicación por un escalar definidas en V.
Teorema
Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y sea S un subconjunto de V. S
es un subespacio de V si y sólo si.
Dependencia Lineal, Base y Dimensión
Combinación lineal
Definición
Un vector es una combinación lineal de los vectores si se
puede expresar en la forma.
Donde son escalares.
Teorema
Sea { } un conjunto no vacío de vectores de un espacio
vectorial V. El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de
S, denotado con L(S), es un subespacio de V.
Dependencia Lineal
Definición
Sea { } un conjunto de vectores:
S es Linealmente dependiente si existen escalares no todos iguales a cero, tales que
S es Linealmente Independiente si la igualdad
Solo se satisface con
Teorema
Todo conjunto que contiene al vector es linealmente dependiente.
Teorema
Si S es un conjunto linealmente independiente entonces cualquier subconjunto
de S es linealmente independiente.
Ejercicios
1) Determinar cuál de los siguientes conjuntos son linealmente
dependientes ó independientes.
A={(1,0,1),(1,2,1),(0,1,-1)}
B={2x2-1,x+3,-12x2-2x}
{[
] [
] [
]}
Conjunto Generador
Sea V un espacio vectorial sobre K y sea
{ }
Un conjunto de vectores de V. Se dice que G es un generador de V si para todo
vector existen escalares tales que
Teorema
Sea V un espacio vectorial sobre K y sea G un subconjunto de V, G es
generador de V si y sólo si V=L(G).
Es decir
G es un generador de V si:
G es subconjunto de V
V se puede obtener totalmente a partir de una combinación lineal de G.
Ejercicios
Determinar si los siguientes conjuntos generan a R3
A={(1,1,0),(0,1,1),(1,0,-1)}
B={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)}
C={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
Base
Definición
Se llama base de un espacio vectorial V a un conjunto generador de V que
linealmente independiente.
Es decir
Sea V un espacio vectorial sobre K. Un conjunto B de vectores de V, se
dice es una base de V si.
B genera a V.
B es linealmente independiente.
Dimensión
Nota: en general, todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo
número de elementos.
Nota: el número de vectores de cualquier base de un espacio vectorial indica la
dimensión del mismo.
Teorema
Sea V un espacio vectorial sobre K. Si { } es una base de V,
entonces cualquier conjunto de vectores de V con más de n vectores es
linealmente dependiente.
Teorema
Sea un espacio vectorial sobre K . Si { } es una base de V,
entonces cualquier otra base de dicho espacio está formado por n vectores.
Teorema
Si V es un espacio vectorial de dimensión n, cualquier conjunto linealmente
independiente formado por n vectores de V es base de dicho espacio vectorial.
Definición
Sea V un espacio vectorial sobre K. Si { } es una base de V se
dice que V es de dimensión n, lo cual se denota con
dim V=n
En particular, si { }
Teorema
Si V es un espacio vectorial de dimensión n, cualquier conjunto linealmente
independiente formado por n vectores de V es una base de dicho espacio.
Ejercicios
1) Una base y dimensión del espacio solución de la ecuación 2x-3y-z=0
2) La dimensión del espacio vectorial C4 sobre el campo de los reales y
sobre el campo de los complejos.
3) Para el siguiente sistema de ecuaciones lineales
Determinar su espacio solución, así como una base y la dimensión del mismo.
4) Dado el conjunto:
{[
] }
a) Demuestra que A es un subespacio del espacio vectorial de las matrices
cuadradas de orden 2, sobre el campo de los reales.
b) Completar correctamente la siguiente expresión
“El conjunto B=____________________________”es una base de A.
c) Demuestra que el conjunto B, del inciso anterior, es una base de A.
5) Determinar una base y la dimensión
{[
] }
Definido sobre el campo de los reales.
6) Dado el conjunto A={(1,1,3),(1,2,7),(-1,0,1),(2,1,2)}
a) Determinar el espacio generado por el conjunto A, sobre el campo de los
reales.
b) Con la base obtenida, obtener el espacio generado por A. Escribir el
vector de coordenadas de ( esa base.
7) Dados los conjuntos de vectores de R3 A={(1,5,3),(2,2,6),(6,0,18)} y
B={(1,0,-3),(4,1,-12),(5,5,-15)}. Demostrar que los conjuntos A y B
generan espacios vectoriales de la misma dimensión.
8) Sean M el espacio vectorial real de matrices cuadrada de orden dos con
elementos reales y
{[
] [
] [
] [
]}
Un subconjunto de M. Determinar:
El espacio W generado por G.
Una base y la dimensión de W
9) Dado el espacio vectorial
{( }
Obtener:
a) Una base B del espacio vectorial W.
b) El vector de coordenadas de ( en la base B
Vector de coordenadas y matriz de
transición
Sea { } una base de un espacio vectorial V sobre K, y sea
. Si
Los escalares se llaman coordenadas de en la base B; y el
vector de Kn
( (
Se llama vector de coordenadas de en la base B.
Teorema
Sea { } una base de un espacio vectorial de V sobre K. Para
cualquier el vector ( es único.
Es decir
{ } Base de V
{ } Base de V
Un vector de coordenadas se obtiene de una combinación lineal.
a) Vector de coordenadas ( , como combinación lineal de la base A.
( [
]
Vector de coordenadas ( , como combinación lineal de la base B
( [
]
b) Matriz de transición es decir la Base A como combinación lineal
de la base B.
( [
]
( [
]
( [
]
Por lo tanto la matriz de transición está dada por:
[
]
Vectores de coordenadas
Propiedades
1) Siempre son cuadradas
2) Siempre tienen inversa
[ ]
3) Sus columnas son vectores de coordenadas
4) Permite el cambio de coordenadas de una base a otra
( (
( (
Ejercicio
1) Sea P el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual
a dos con coeficiente real y { } y { } dos
de sus bases. Si la matriz de transición de la base A a la base B es
(
)
Determinar los valores de la base B.
2) Sea
(
)
La matriz de transición de la base { } a la base B. Determinar
los vectores de la base B.
3) Sea { }, {( ( ( } ,
{ }, bases de R3 y sea
(
)
Determinar los vectores de las bases B1 y B3
Espacios Vectoriales Asociados a una matriz
A partir de los elementos que integran una matriz pueden definirse diversos
espacios vectoriales. Dos de ellos conocidos como espacio renglón y espacio
columna.
Espacio renglón
Sea A una matriz de mxn con elementos en los R
[
]
Sus renglones pueden ser considerados como vectores de Rn
; esto es :
(
(
(
El conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores es un subespacio
de Rn al que se conoce como espacio renglón.
Definición
Sea [ ] una matriz de mxn con elementos en un campo K , y sea ( el i-ésimo renglón de A. Si { }, el conjunto
L(Ar ) se llama espacios renglón de A.
Procedimiento para obtener el espacio renglón
1. Escribir los vectores del conjunto como los renglones de una matriz.
2. Llevar a dicha matriz a su forma canónica escalonada.
3. De la matriz canónica escalonada anterior, los renglones diferentes de
cero son los vectores de la base canónica.
4. Escribir al vector como una combinación lineal de los vectores de la
base canónica anterior.
5. El vector es el vector genérico del espacio vectorial buscado.
Espacio columna
De manera similar al espacio renglón, se define el espacio columna
Definición
Sea [ ] una matriz de mxn con elementos en un campo K , y sea ( el i-ésimo renglón de A. Si { }, el
conjunto L(Ac ) se llama espacios columna de A.
Procedimiento para obtener el espacio columna
1. Determinar la transpuesta de la matriz
2. Llevar la matriz transpuesta hasta su forma canónica.
3. De la matriz canónica escalonada anterior, los renglones diferentes de
cero son los vectores de la base canónica.
4. Escribir al vector como una combinación lineal de los vectores de la
base canónica anterior.
5. El vector es el vector genérico del espacio vectorial buscado
Definición
Dos matrices Ay B son equivalentes ( por renglón), lo cual se denota mediante
A~B, si alguna de ellas puede obtenerse a partir de la otra mediante sucesión
finita de transformaciones elementales (por renglón).
Teorema
Dos matrices equivalentes tienen el mismo espacio renglón.
Teorema
Para cualquier matriz A se tiene que
( (
Ejercicios
1) Sea la matriz
(
)
Determinar si el vector ( pertenece al espacio renglón de N.
2) Sea V un espacio vectorial real generado por los renglones de la matriz
(
)
a) Obtener una base de V.
b) Si (a,b,c,d) pertenece a V, ¿Cuáles son sus coordenadas en la base
elegida en el inciso (a).
3) Para la matriz
(
)
a) Obtener el valor de k para el cual la dimensión del espacio columna de A
sea igual a dos.
b) Con el valor de K obtenido, determinar el espacio renglón de A.
Espacios de Funciones
Teorema: Los espacios vectoriales de la misma dimensión son isomorfos.
Isomorfismo:
1. m. Geol. Cualidad de isomorfo.
2. m. Mat. Correspondencia biunívoca entre dos estructuras
algebraicas que conserva las operaciones.
Es decir, todo los espacios vectoriales de la misma dimensión son
algebraicamente hablando iguales. De esta manera, al estudiar V, de
dimensión n, se puede trabajar con vectores del vector Rn y el resultado
aplicarlo al espacio V.
Un Espacio vectorial V es isomorfo con el espacio Rn si se establece una
función biyectiva entre ambos tal que para todo vector que
pertenezca al espacio vectorial y para todo escalar que pertenezca al campo K
se cumple que:
Cuando se tienen matrices o polinomios, es posible aplicar el concepto de
“isomorfismo”. Se puede utilizar el isomorfismo para facilitar las operaciones
algebraicas.
El Wronskiano
El concepto del wronskiano se emplea cuando se quiere determinar si un
conjunto de funciones reales de variable real A={f1,f2…fn}. Es linealmente
Independiente en un determinado intervalo (a,b). Con estos fines es posible
establecer la ecuación de dependencia lineal para este conjunto en dicho
intervalo.
Si se deriva n-1 veces la expresión anterior se obtiene el sistema de
ecuaciones lineales homogéneo:
El wronskiano , W(x), del conjunto A={f1,f2…fn}. en el intervalo (a,b), es el
determinante de la matriz de coeficientes del sistema homogéneo anterior, es
decir:
Finalmente se dice que, si para algún valor x0 que pertenece al intervalo (a,b) el
wronskiano es W(x0)≠0, entonces el conjunto A es Linealmente
Independiente.
Ejemplos
{ }
( |
| , por lo tanto es linealmente dependiente, ya
que para cualquier valor de x es cero.
{ }
( |
| no es idénticamente a cero, ya que existen valores
de x w(x)≠ 0.
{ ( }
( | (
( (
( ( | , por lo tanto es linealmente
dependiente, ya que para cualquier valor de x es cero.
(
Ejemplos
1) Obtener el Wronskiano del conjunto de funciones
{ | |}
Definida en el intervalo (-π, 0). Concluye únicamente a partir del
Wronskiano, sobre la dependencia lineal del conjunto dado.
2) Sea A={f,g} donde
( {
( {
Determinar si el conjunto A es linealmente dependiente o independiente en
cada uno de los siguientes intervalos; -4<x<0, 2<x<4 y 4<x 10.
3) Sea { }
un conjunto de funciones reales de variable real definidas en el intervalo
(-∞,∞).
a) Calcular el Wronskiano de las funciones del conjunto B.
b) Determinar si Bes un conjunto linealmente dependiente o independiente
en el intervalo (-∞,∞).
4) a) Calcular el Wronskiano de las funciones del conjunto { }
c) Determinar si H es un conjunto linealmente dependiente o independiente
en el intervalo (-∞,∞).