ESPECIAL CURVAS

CURVAS TÉCNICAS, CÍCLICAS Y CÓNICASIMPORTANTE: INDICA QUE CONOCER ESE TRAZADO ES

FUNDAMENTAL PARA LA REALIZACIÓN DE CIERTAS PIEZAS.

Rafael Quintero@

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5 CURVAS TÉCNICAS,

CÍCLICAS Y CÓNICAS

2º BACHILLERATO

IMPORTANTE: INDICA QUE CONOCER ESE TRAZADO ES FUNDAMENTAL PARA LA REALIZACIÓN DE CIERTAS PIEZAS.

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CURVAS TÉCNICAS

El óvalo es una curva cerrada, plana y convexa formada generalmente por cuatro arcos de circunferencia iguales dos a dos; tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí. La aplicación práctica más importante en dibujo técnico está en el trazado de perspectivas, pues suelen sustituirse, de forma aproximada, las elipses por óvalos.

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1 Se divide el segmento MN en tres partes igualesobteniendo los puntos O1 y O2.

2 Con centros en O1 y O2se trazan las circunferenciasde radios O1M y 02N, respectivamente.

3 Los puntos de intersección de estas doscircunferencias, 03 y 04, son los centros de los otrosdos arcos del óvalo.

CONSTRUCCIÓN DE UN ÓVALO CONOCIENDO EL EJE MAYOR

Sea ST el eje menor del óvalo1 Se dibuja una circunferencia de diámetro ST y setrazan los diámetros perpendiculares m y n.2 Con centro en los puntos O1, O2, 03 Y 04 se trazan loscuatro arcos que forman el óvalo.

CONSTRUCCIÓN DE UN ÓVALO CONOCIENDO EL EJE MENOR

CONSTRUCCIÓN DE UN ÓVALO DE CUATRO CENTROS CONOCIENDO LOS DOS EJES PERPENDICULARES

M N

S T

M N

S

T

O

Q

R

O1

O2

O4

O3

A

D

B

C

Sean MN y ST los ejes:1 Se dibujan MN y ST cortándose en su punto medio O.2 Con centro en O y radio el semieje mayor OM se trazaun arco hasta cortar al otro eje en O.3 Concentro en S y radio SO se traza otro arco quecorta a la recta MS en R.4 Se traza la mediatriz del segmento MR, que corta alos ejes en los puntos O]y O2,5 Los puntos O]y O2,junto con los puntos 03 y 04,simétricos de los anteriores respecto del centro O,son los centros de los arcos del óvalo.

CONSTRUCCIÓN DE UN ÓVALO INSCRITO EN UN ROMBO DADO

A

C

D

OO1 O2

O3O3

O4

M

P

N

Q

Sea el rombo ADBC:1 Por el punto C se trazan las rectas perpendiculares alos lados AD y De.2 Por el punto Ose trazan las rectas perpendiculares alos lados AC y CS. I3 Los puntos O1 y O2,de intersección de las rectastrazadas, son los centros de los arcos pequeños NO yMP, Y los puntos C y O son los centros 03 y 04 de losarcos grandes MN y PO que completan el óvalo.

Los ovoides son curvas cerradas de la misma naturaleza que los óvalos. Por lo tanto tienen también sus mismas propiedades. Pero hay una diferencia importante:- Así como los óvalos son simétricos respecto a sus dos ejes, los ovoides sólo lo son respecto a su eje mayor, lo que les confiere su aspecto característico, parecido a un huevo.

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CONSTRUCCIÓN DE UN OVOIDE CONOCIENDO SU EJE

M N

M N1 2 3 4 5

O4O3

A

B

O

O2

C

D

Sea MN el eje del ovoide(Fig. 6):1 Se divide el eje MN en seis partes iguales,numerándolas llamando 03 al punto número 2 y 04al punto número 5.2 Por 03se traza la perpendicular la recta MN.3 Concentro en 03 y radio 03M se describe unasemicircunferencia hasta cortar a la perpendicular.4 Concentro en 03 y radio 03N se describe otrasemicircunferencia que corta a la perpendiculartrazada por 03 en los puntos 01y O2,5 Los puntos 01, 02, 03 Y 04 son los centros para construir el ovoide.

CONSTRUCCIÓN DE UN ,OVOIDE CONOCIENDO SU DIÁMETRO O EJE MENOR

S T

S

T

O1O2

O1

O3

O4

A

Sea ST el diámetro del ovoide:1 Con diámetro ST se traza una circunferencia cuyocentro es el punto 01,2 Se dibuja la recta perpendicular a ST, que corta a lacircunferencia en el punto O2,3 Llamando 03 y o4 a los puntos S y T, los puntos O1,O2, 03 y 04 son los centros de los cuatro arcos del ovoide.Espirales

CONSTRUCCIÓN DE LA ESPIRAL DE ARQUÍMEDES CONOCIENDO EL PASO

MM

La espiral es una línea curva que da vueltas alrededor deun punto alejándose de él gradualmente. Se denominapaso a la distancia radial que existe entre dos vueltas oespiras consecutivas.Sea OM el paso de la espiral (Fig. 9):1 Se dibuja la circunferencia con centro en el punto Oy radio OM.2 Se divide esta circunferencia en un número de partesiguales, por ejemplo en 16, numerando cada uno deestos puntos 1', 2', 3', ...3 Se divide el segmento OM en el mismo número departes iguales en que se haya dividido lacircunferencia, es decir 16, numerando a partir delcentro todos los puntos 1, 2, 3, ...4 Se trazan las circunferencias concéntricas con centroen el punto O y radios 01, 02, 03, ...5 Los puntos de intersección de estas circunferenciascon los radios01', 02', 03', ...nos dan los puntos A,a, C, ... que, unidos a mano alzada o con plantilla,definen la espiral.

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La voluta es una curva formada por arcos de

circunferencia tangentes entre sí, cuyos centros son los

vértices de un polígono. .

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PA B

NP

O M

R

S

R

T

U

T

U

V

T

U

V

X

T

Y

CONSTRUCCIÓN DE UNA VOLUTA DE VARIOSCENTROS CONOCIENDO EL PASO

Como ejemplo vamos a construir la voluta de cuatrocentros. Sea p el paso de la voluta (Fig. 10):1 El segmento A8 = p se divide en tantas partes comocentros tenga la voluta; en nuestro caso lo dividimosen cuatro partes.2 Se construye un polígono regular cuyo lado mida lomismo que una de las divisiones anteriores; ennuestro caso construiremos un cuadrado MNPQ delado / = p/4. A continuación prolongamos los ladosdel polígono.3 Con centro en un vértice cualquiera, por ejemplo enM, y radio MQ = p/4 se traza un arco hasta cortar ala prolongación de uno de los lados en R.4 Con centro en el vértice N y extremo en el punto Rdel arco anterior, se traza el arco RS hasta cortar a laprolongación del siguiente lado del cuadrado.5 Con centro en el siguiente vértice P y extremo en elpunto S del arco anterior, se traza el arco Sr.6 Con centro en el siguiente vértice Q y extremo en elpunto T del arco anterior, se traza el arco TU,completando así una vuelta. El proceso se siguehasta completar el número de vueltas deseado.

IMPORTANTE

CONSTRUCCIÓN DE UNA HÉLICE CILÍNDRICA CONOCIENDO EL DIÁMETRO Y EL PASO

IMPORTANTE

CURVAS CÍCLICAS

Sólo para 2º de bachillerato

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YA VISTO

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Dibujo Técnico

2.º BACHILLERATOCurvas técnicas: cicloide

Cicloide

Cicloide normal

Es la curva que describe un punto P de una circunferencia que rueda sobre una recta

Cicloide acortada

Es la curva que describe un punto P’’, interior de la circunferencia que rueda sobre la recta

Cicloide alargada

Es la curva que describe un punto P’, exterior de la circunferencia que rueda sobre la recta

IMPORTANTE

7 Curvas técnicas2

Dibujo Técnico

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Epicicloide

Es la curva que describe un punto P de una circunferencia que rueda sobre el exterior de otra circunferencia

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2.º BACHILLERATOCurvas técnicas: hipocicloide

Hipocicloide

Es la curva que describe un punto P de una circunferencia que rueda sobre el interior de otra circunferencia

La envolvente del círculo es la curvas que genera un punto fijo de una recta tangente a la circunferencia que se desplaza alrededor de la misma sin resbalar

7 Curvas técnicas4

Dibujo Técnico

2.º BACHILLERATOCurvas técnicas: evolvente de la circunferencia

Evolvente de la circunferencia

Es la curva que genera un punto fijo de una recta tangente a la circunferencia que rueda sin resbalar sobre la misma

F'' F'F

O

45

M-87

6

M'

M''

3

E

E''

E'

D'

D''

D

2

1

AB

B' B''

CA'

A''

C'

C''

7 Curvas técnicas5

Dibujo Técnico

2.º BACHILLERATOCurvas técnicas: lemniscata de Bernouilli

Lemniscata de Bernouilli

FG

s r

PM

N

A B

C

D

E

Dadas las rectas perpendiculares r y s

2. Trazamos rectas secantes a la circunferencia desde P

1. Dibujamos circunferencia cualquiera tangente a las rectas

3. En cada secante, desde P tomamos la distancia PA=MN

4. Los puntos A, B, C, … determinan la curva

7 Curvas técnicas6

Dibujo Técnico

2.º BACHILLERATOCurvas técnicas: lemniscata de Geromo

Lemniscata de Geromor

PA B

C

N

E

mM

D

F

s

Dado el diámetro de la curva

2. Trazamos desde P rectas que cortan a r y s; la recta m corta a s en el punto M

1. Dibujamos circunferencia de diámetro AB y rectas tangentes por dichos puntos.

3. Desde M trazamos perpendicular a la recta s hasta cortar a la curva en el punto N

4. Se traza desde N una paralela a s hasta cortar a la secante m en el punto E de la curva y se repite el proceso con el resto de puntos

CURVAS CÓNICAS

elipse parábola hipérbola

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