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7/25/2019 Estadsticas I - Mdulo 1
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Mdulo 1INTRODUCCIN A LA
ESTADSTICA
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Lic. Olga Cardozo 2
INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA
INTRODUCCIONEn el lenguaje comn se emplea la palabra ESTADSTICA casi como sinnimos de
nmeros o cifras.
Suele utilizarse bajo dos significados distintos, a saber:
1 Como coleccin de datos numricos: Se sobrentiende que dichos datos numricos
han de estar presentados de manera ordenada y sistemtica. Una informacin
numrica cualquiera puede no constituir una estadstica, para merecer este apelativo,
los datos han de constituir un conjunto coherente, establecido de forma sistemtica y
siguiendo un criterio de ordenacin.
2 Como ciencia: En este contexto, la Estadstica estudia el comportamiento de los
fenmenos de masas. Como todas las ciencias, busca las caractersticas generales
de un colectivo y prescinde de las particulares de cada elemento. As por ejemplo al
investigar el gnero en los nacimientos, iniciaremos el trabajo tomando un grupo
numeroso de nacimientos y obtendremos despus la proporcin de varones. Es muy
frecuente enfrentarnos con fenmenos en los que es muy difcil predecir el resultado;
as, no podemos dar una lista, con las personas que van a morir con una cierta edad,
o el gnero de un nuevo ser hasta que transcurra un determinado tiempo de
embarazo,
Por tanto, el objetivo de la estadstica es hallar las regularidades que se encuentran
en los fenmenos de masa.
Ejemplo 1:* El comentarista deportivo dice: estas son las estadsticas de los partidos.
* Segn las estadsticas el 99% de la poblacin fue censada.
* Segn las estadsticas el ao anterior fue menor en nmero de accidentes durante
la celebracin de las fiestas de fin de ao.
El origen de la Estadstica puede advertirse en la necesidad de datos numricos en
los Estados que surgan de la sociedad medieval en Europa Occidental. Al
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transformarse la sociedad medieval en el estado poltico, el nuevo gobierno
necesitaba informacin sobre los recursos del pas para poder tener xito.
Hace ms de 100 aos H. G. Wells, historiador y autor ingls, seal algn da elconoc imi ento estadstico ser tan n ecesario p ara ser u n b uen y eficiente
c iudadano, como lo es la apt i tud d e leer. En ese momento no nombr al sector
empresarial porque la Revolucin Industrial estaba comenzando.
Casi diariamente utilizamos los conceptos estadsticos en todas las facetas de
nuestra vida.
Ejemplo 2:
Uno va y abre la llave del bao para sentir la temperatura del agua y decidir si
aade ms agua caliente o agua fra, o que la temperatura sea la correcta y se pone
bajo la ducha.
Usted va al supermercado pensando que tipo de pizza hecha va a comprar,
frente a la gndola de pizzas, una de las marcas de pizzas, est sobre el mostrador y
ofrecen pequeos pedazos para prueba. Despus de probarla, uno decide si lacompra o no.
En los dos ejemplos anteriores, se toma una decisin y se elige un curso de accin
basndose en una muestra.
Las empresas enfrentan problemas similares. Una empresa determinada debe
cerciorarse si el paquete cumple o no con las especificaciones requeridas.
A nivel nacional, los dirigentes de un partido poltico, desean saber el porcentaje de
electores que estn a favor de cierto candidato para las internas. Existen diferentes
formas para obtener la respuesta.
QU SE ENTIENDE POR ESTADSTICA?
Es una palabra que encontramos con frecuencia en nuestro lenguaje diario. El uso
ms comn se refiere a informacin numrica, como por ejemplo el salario de los
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empleados que trabajan en una empresa, el nmero de autos vendidos el mes
anterior, la oficina de censo y Estadstica considera que el nmero de habitantes en el
Paraguay es aproximadamente 6.000.000. Estos ejemplos anteriores se refieren a un
valor estadstico.
Las estadsticas pueden presentarse en forma grfica o en forma de enunciado.
El trmino ESTADSTICA , que se deriva del latn status, significa estado en el sentido
poltico, se emple entonces para referirse a la recoleccin y descripcin de tales
datos del estado. La necesidad de acopiar y analizar datos numricos impuls a
desarrollar mtodos para facilitar la labor, que era lo que constitua lo ms
considerable de la estadstica hasta la era moderna.
Es importante y fascinante el tema de la probabilidad, que comenz en el siglo XVII
con los esfuerzos matemticos como Fermat y Pascal en resolver preguntas
relacionadas con los juegos de azar.
Con el correr de los aos, la teora de probabilidad, trata principalmente de la
coleccin, organizacin y presentacin de los datos en tablas y grficos.
Con el advenimiento de probabilidad, se puso de manifiesto que la estadstica podra
emplearse en la extraccin de conclusiones vlidas y en la toma de decisiones
razonables sobre la base del anlisis de datos, por ejemplo en la teora de muestreo y
prediccin.
La estadstica o los mtodos estadsticos, como se denomina a veces, estn jugando
un papel ms y ms importante en casi todas las facetas del comportamiento
humano. Ocupada inicialmente en los asuntos de estado, la influencia de la
estadstica se ha extendido ahora a la agricultora, biologa, negocios, qumica,
comunicaciones, economa, educacin, electrnica, medicina, fsica, ciencias
polticas, psicologa, sociologa y otros muchos campos de la ciencia y de la
ingeniera.
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POR QU HAY QUE ESTUDIAR ESTADSTICA?
La razn estriba, en pocas palabras, en que los conceptos y las tcnicas de la
estadstica se utilizan actualmente en un gran nmero de ocupaciones. Las ideasestadsticas constituyen una parte integral de las actividades investigaciones, de las
encuestas para recopilar datos y del anlisis de los datos que se originan en las
actividades que desarrollan las instituciones y organizaciones. Los conocimientos
estadsticos son de gran importancia para las dems asignaturas.
Los conceptos y la metodologa de la estadstica se emplean en muchos campos,
como ser agricultura, biologa, negocios, medicina. Psicologa, industria, sociologa.
Las tcnicas estadsticas se utilizan para tomar decisiones que afecten nuestra vida
diaria, eso quiere decir que afecta nuestro bienestar personal.
Adems el conocimiento de la estadstica ayudar a entender por qu se toman
ciertas decisiones y le aportarn una mejor comprensin sobre la manera que la
afectan.
DEFINICION
ESTADISTICA: es la ciencia de recolectar, organizar, presentar, analizar e interpretar
datos para ayudar en una toma de decisiones ms efectiva.
Como indica la definicin, el primer paso en la investigacin de un problema es la
recoleccin de datos importantes. Deben organizarse de cierta manera y presentarse
en un grfico.
TIPOS DE ESTADSTICA
ESTADISTICA DESCRIPTIVA : se refiere a la recoleccin, presentacin, descripcin,
anlisis e interpretacin de una coleccin de datos, esencialmente consiste en
resumir stos con uno o dos elementos de informacin (medidas descriptivas) que
caracterizan la totalidad de los mismos. La estadstica Descriptiva es el mtodo de
obtener de un conjunto de datos conclusiones sobre si mismos y no sobrepasan el
conocimiento proporcionado por stos. Puede utilizarse para resumir o describir
cualquier conjunto ya sea que se trate de una poblacin o de una muestra.
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ESTADSTICA INFERENCIAL : se refiere al proceso de lograr generalizaciones
acerca de las propiedades del todo, poblacin, partiendo de lo especfico, muestra,
las cuales llevan implcitos una serie de riesgos. Para que estas generalizaciones
sean vlidas la muestra debe ser representativa de la poblacin y la calidad de lainformacin debe ser controlada, adems puesto que las conclusiones as extradas
estn sujetas a errores, se tendr que especificar el riesgo o probabilidad con que se
pueden cometer esos errores. La estadstica Inferencial es el conjunto de tcnicas
que se utiliza para obtener conclusiones que sobrepasan los lmites del conocimiento
aportado por los datos, busca obtener informacin de un colectivo mediante un
metdico procedimiento del manejo de datos de la muestra.
PASOS DEL PROCESO ESTADISTICO
Eleccin de la unidad estadstica.
Recogida de datos.
Ordenacin y organizacin de los datos.
Clculo de las medidas descriptivas.
Representacin grfica.
Anlisis de prediccin de resultados.
Anlisis de errores con significacin y fiabilidad.
CONCEPTOS BASICOS
FENOMENO ALEATORIO: son aquellos fenmenos que ocurren al azar; que no
siguen una regla conocida o determinada y cuyos resultados finales; en consecuencia
no se pueden predecir con exactitud.
Ejemplos: la salida de un nmero de la lotera como ganador, la obtencin del nmero2 en una tirada del dado, la ocurrencia de una mutacin en un cruce gentico, la
adquisicin de un resfriado en una determinada estacin del ao.
FENMENO DETERM INSTICO: son aquellos fenmenos que siguen reglas fijas y
conocidas y cuyos resultados son predecibles de acuerdo a tales reglas.
Ejemplos: todos los fenmenos qumicos y fsicos, la mayora de los fenmenos
biolgicos.
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DATO:es una caracterstica cualitativa o cuantitativa de una persona, animal o cosa
y que no tiene utilidad por s misma.
INFORMACIN: es un dato con mayores descripciones o un conjunto de datosprocesados que tiene aplicabilidad.
POBLACION: conjunto de unidades que tienen caractersticas de identificacin
comparables en cada estudio. Representa la totalidad de las posibles mediciones y
observaciones bajo consideracin en una situacin dada de un problema. La
poblacin puede ser:
POBLACIN FINITA: tiene cantidad limitada de componentes, se puede contar o
medir, como ser, el nmero de hijos en una familia, la produccin de soja en la
cosecha del ao, la cantidad de pginas de un libro.
POBLACIN INFINITA: no tiene lmites en relacin a la cantidad, como ser los
nacidos vivos en el pasado y en el futuro, en probabilidad de extraer punto par al
arrojar un dado, con o sin reemplazo.
MUESTRA:es una parte de la poblacin o universo. Cuando es representativa de la
poblacin se pueden deducir conclusiones de ella. Ser representativa cuando se
extrae, al azar, aplicando reglas de muestreo estadstico y los sectores de la
poblacin deben estar debidamente representados. Adems debe ser significativa
respecto al tamao. No debe ser ni muy grande, ni muy pequea. La seleccin de la
muestra sigue reglas estudiadas en la teora del muestreo.
Una muestra que no es representativa de la poblacin se denomina muestra sesgada
o muestra orientada.
ENTIDAD: en el anlisis matemtico se concentra la atencin en un conjunto de
personas, lugares o cosas. Por ejemplo un bilogo puede estar interesado en las
ardillas que habitan cierta regin. A un mdico pueden interesarle los pacientes que
muestren una determinada serie de sntomas. Un educador pueden interesarle
aquellos alumnos que han aprendido a leer empleando determinado mtodo.
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TIPOS DE VARIABLES
VARIABLE:es el conjunto de caractersticas de las entidades que interesan en una
investigacin cientfica.
VARIABLE CUALITATIVA : cuando la caracterstica o variable en estudio es no
numrica. Representa una cualidad.
Ejemplos: Religin, gnero sexual, color de los ojos, estado civil.
VARIABLE CUANTITATIVA : cuando la variable estudiada puede expresarse en
forma numrica.
Ejemplos de este tipo de variable son: el saldo en la cuenta de cheques, las edades
de los trabajadores de una empresa, la duracin en horas del acumulador.
La variable cuantitativa se clasifica en variable discreta y variable continua.
Variable cuantitativa continua: es aquella que tericamente puede tomar cualquier
valor dentro de un intervalo dado.
Por ejemplo: la estatura de las personas, el tiempo necesario para realizar una
transaccin bancaria de parte del cliente, el peso de los recin nacidos en la fecha.
Este tipo de variable se utiliza cuando la accin es medir.
Variable cuantitativa discreta: es aquella que toma valores por separado entre s
por alguna cantidad.
Por ejemplo el nmero de personas que llegan a un banco a solicitar servicio, la
cantidad de personas en la sala de espera esperando ser atendidas.
Este tipo de variable se utiliza cuando la accin es contar.
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NIVELES DE MEDICION
Los datos pueden clasificarse de acuerdo con niveles de medicin. Generalmente, el
nivel de medicin de un dato marca los clculos que pueden realizarse para resumir ypresentar la informacin, las pruebas estadsticas que pueden desarrollarse.
Existen cuatro niveles de medicin:
NIVEL NOMINAL :los datos son clasificados en categoras sin algn orden especfico
de las mismas. Sirve para nombrar las unidades de anlisis en una investigacin, se
asignan nmeros a eventos con el propsito de identificarlos, aunque no existe
ningn referente cuantitativo. Son mutuamente excluyentes entre s.
Por ejemplo, si la unidad de anlisis es un grupo de personas, para clasificarlas se
puede establecer la categora gnero con dos niveles, masculino (M) y femenino (F),
los respondientes solo tienen que sealar su gnero, no se requiere de un orden real.
As, si se asignan nmeros a estos niveles solo sirven para identificacin y puede ser
indistinto: 1 = M, 2 = F o bien, se pueden invertir los nmeros sin que afecte la
medicin: y es utilizada en crceles, escuelas, deportes, etc.
NIVEL ORDINAL : Se establecen categoras con dos o ms niveles que implican un
orden inherente entre s. Estas escalas admiten la asignacin de nmeros en funcin
de un orden prescrito. La escala de medicin ordinal es cuantitativa porque permite
ordenar a los eventos en funcin de la mayor o menor posesin de un atributo o
caracterstica.
Las formas ms comunes de variables ordinales son tems (reactivos) actitudinales
estableciendo una serie de niveles que expresan una actitud de acuerdo o
desacuerdo con respecto a algn referente.
Por ejemplo, ante el tem: La economa nacional debe dolarizarse, el respondiente
puede marcar su respuesta de acuerdo a las siguientes alternativas, respuesta que
pueden codificarse con nmeros que sugieren un orden preestablecido pero no
implican una distancia entre un nmero y otro.
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1. Totalmente de acuerdo
2. De acuerdo
3. Indiferente
4. En desacuerdo5. Totalmente en desacuerdo
NIVEL DE INTERVALO: posee las caractersticas de la medicin nominal y
ordinal. Establece la distancia entre una medida y otra. La escala de intervalo se
aplica a variables continuas pero carece de un punto cero absoluto. El ejemplo ms
representativo de este tipo de medicin es un termmetro, cuando registra cero
grados centgrados de temperatura indica el nivel de congelacin del agua y cuando
registra 100 grados centgrados indica el nivel de ebullicin, el punto cero es arbitrario
no real, lo que significa que en este punto no hay ausencia de temperatura.
Una persona que en un examen de matemticas que obtiene una puntuacin de cero
no significa que carezca de conocimientos, el punto cero es arbitrario porque sigue
existiendo la caracterstica medida.
NIVEL DE RAZN:Una escala de medicin de razn incluye las caractersticas de los
tres anteriores niveles de medicin anteriores (nominal, ordinal e intervalo). Determina
la distancia exacta entre los intervalos de una categora. Adicionalmente tiene un
punto cero absoluto, es decir, en el punto cero no existe la caracterstica o
atributo que se mide.Las variables de ingreso, edad, nmero de hijos,altura, peso,
distancia o el salario, son ejemplos de este tipo de escala. El nivel de medicin de
razn se aplica tanto a variables continuas como discretas.
EJERCICIOS
1. Indica que variablesson cualitativasy cuales cuantitativas:
1 Comida Favorita.
2 Profesin que te gusta.
3 Nmero de goles marcados por tu equipo favorito en la ltima temporada.
4 Nmero de alumnos de tu Instituto.
5 El color de los ojos de tus compaeros de clase.
6 Coeficiente intelectual de tus compaeros de clase.
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2. De las siguientes variablesindica cules son discretasy cuales contnuas.
1 Nmero de acciones vendidas cada da en la Bolsa.
2 Temperaturas registradas cada hora en un observatorio.
3 Perodo de duracin de un automvil.4 El dimetro de las ruedas de varios coches.
5 Nmero de hijos de 50 familias.
6 Censo anual de los espaoles.
3. Clasificar las siguientes variablesen cualitativasy cuantitativasdiscretas
o continuas.
1 La nacionalidad de una persona.
2 Nmero de litros de agua contenidos en un depsito.
3 Nmero de libros en un estante de librera.
4 Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados.
5 La profesin de una persona.
6 El rea de las distintas baldosas de un edificio.
4. Indica el tipo de nivel de medicin de cada variable
a. Nivel de ruido alto-1, Medio-2, Bajo-3
b. Con trabajo-0, Sin trabajo-1
c. Nmero de habitantes por poblacin
d. Nios-1, Jvenes-2, Adultos-3 o
e. Ingeniera de Minas-0, de Caminos-1, de Telecomunicaciones-2
f. La escala de Cociente de Inteligencia
g . Ocupado-1, En paro-5
h. Ordenador Porttil-0, Ordenador de sobremesa-1
i. Neurosis, Psicosis, Depresin
j. Empresa Peugeot-100, E. Citron-200, E. Renault-300
k. es de razn la escala temporal en unidades de minutos, segundos...?
l. "Conocimiento de una materia (a travs de un examen)"
m. Hombre-0, Mujer-1
n. Oscuro-0, Medio-1, Claro-2
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PRESENTACIN Y ORGANIZACIN DE LOS DATOS
Sin importar si se trata de una muestra o de una poblacin, como regla general cuando
una serie de datos, que hemos reunido contiene aproximadamente 20 o msobservaciones, la mejor manera de examinar tales datos masivos es presentarlos en
forma de resumen construyendo tablas y diagramas apropiados. Entonces podemos
extraer las caractersticas importantes de los datos de estas tablas y diagramas.
DATOS NO AGRUPADOS: son datos que no estn ordenados tabularmente.
Son los datos que son obtenidos a travs de los sondeos, encuestas
DATOS AGRUPADOS: son datos que estn ordenados en una presentacin
tabular.
ORGANIZACIN DE DATOS CUALITATIVOS
Son las variables que expresan caractersticas, cualidades, descripciones del objeto
de anlisis.
Para organizarlas, se agrupan o asocian por cualidad o caracterstica comn.
Se utilizan los niveles de medicin nominal y ordinal.
Ejemplo prctico:
Se realiza el siguiente sondeo respecto gusto de bebida gasificada, a 30 compaeros
de curso, considerando las variables cualitativas:
Gnero: Femenino (F) Masculino (M), y
Bebida preferida: Coca Cola (CC) Pepsi Cola (PC) Sprite (S)
Coca Zero (CZ) Pepsi Ligth (PL) Srite Zero (SZ)
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Gnero Bebida preferida Gnero Bebida preferida
F CC M SZ
M CC M PCF PC F CZ
F CZ F SZ
M SZ M PC
F PC F CC
M PL M CC
M PL F CC
M CZ M PC
M PL F CZ
F CC F SZ
F CC F PC
M S M S
F S F CZ
F SZ F SZ
Agrupando por caracterstica comn:
Gnero Cantidad %
Femenino 17 56,67
Masculino 13 43,43
Total 30 100
Bebida preferida Cantidad %
Coca cola 7 23,33
Coca Zero 5 17,44
Pepsi Cola 6 20
Pepsi Ligth 3 10
Sprite 3 10
Sprite Zero 6 20
Total 30 100
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Presentaciones de grficos: circular o por sectores de las variables analizadas
Considerando una composicin de las variables:
57%
43%
Femenino
Masculino
Porcentajede
encuestados
por gnero
23%
17%
20%
10%
10%
20%
Coca cola
Coca Zero
Pepsi Cola
Pepsi Ligth
Sprite
Sprite Zero
Porcentaje por
eleccin de la
bebida gasificada
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Bebida preferida
Cantidad % Cantidad %
GneroFemenino Masculino %
Coca cola 5 16,67 2 6,67 23,33Coca Zero 4 13,33 1 3,33 17,44Pepsi Cola 3 10 3 10 20Pepsi Ligth 0 0 3 10 10
Sprite 1 3,33 2 6,67 10Sprite Zero 4 13,33 2 6,67 20
Total 17 13 100% 56,67 43,33
Grfico de barras compuesto relacionando las variables analizadas
ORGANIZACIN DE DATOS CUANTITATIVOS
Cuando se recolectan datos, generalmente estn sin procesar, es decir las
observaciones numricas no se disponen en ningn orden o secuencia particular. Al
crecer el nmero de observaciones, se hace ms difcil centrarse en las principalescaractersticas de un conjunto de datos y se necesitan mtodos para ayudarnos a
organizar las observaciones de tal manera que entendamos mejor la informacin que
trasmite la serie de datos. Uno de los mtodos comnmente usado es la clasificacin
ordenada.
Si ordenamos los datos sin procesar de la observacin ms pequea a la ms grande
la secuencia ordenada se denomina clasificacin ordenada.
0
1
2
3
4
5
6
Coca cola Coca ZeroPepsi Cola Pepsi
Ligth
Sprite Sprite
Zero
% Femenino
% Masculino
Preferencia por gnero
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Ejemplo:
Despus de examinar los registros de facturacin mensuales de una compaa de
libros por correo, el auditor toma una muestra de 20 de sus cuentas no pagadas. Lascantidades adeudadas a la compaa fueron (en $):
4 18 11 7 10 5 32 12 7 3
10 6 26 37 11 15 18 10 21 9
La clasificacin ordenada.
3 4 5 6 7 7 9 10 10 10
11 11 12 15 18 18 21 26 32 37
Es decir, se puede observar que las cuentas no pagadas varan de $3 a $37
PRESENTACIONES TABULARES DE
VARIABLES CUANTITATIVASPASOS A SEGUIR PARA CONSTRUIR UNA TABLA DE DISTRIBUCIN DE
FRECUENCIAS.
Observacin: el trabajo debe realizarse con los datos ordenados.
Este proceso conocido como La regla de Sturges, propuesta por Herbert Sturges en
1926, es una regla prctica acerca del nmero de clases que deben considerar al
elaborarse un arreglo tabular.
Este nmero viene dado por la siguiente expresin:
nlog.23,31k = nlog1k 2
El valor de "k" (nmero de clases) es comn redondearlo al entero ms cercano.
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Indica el menor nmero de intervalos de clase o renglones que tendra una ordenacin
tabular
Se calcula el rango. MnMxRango
Para determinar el nmero de intervalo aplicamos la frmula: nlog.23,31k
Se determina la amplitud o anchura de la clase, en forma aproximada :k
Rangoh
A partir de estos valores se construye la presentacin tabular.
Se determinan las clases y se calculan las marcas de clase.
Se indican los limites reales.
Se calcula la frecuencia de cada clase, mediante un conteo de datos.
Otros mtodos utilizados para la eleccin del nmero de intervalos sugeridos para
valores elegidos de la cantidad n de datos entre 10 y 300.
Las reglas proponen: tome la parte entera de:
Dixon y Kronmal(1965) nlog.10k *
Velleman (1976) 21
n.2k *
Sturges (1926). nlog.32,31knlog1k 2
Otra opcin nk
* Los valores obtenidos son grandes
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAAl construir una presentacin tabular deben considerarse los
siguientes componentes:Nes el tamao de la poblacin de donde se obtiene la muestra de tamao n
INTERVALO DE CLASE (CLASE): se denomina as a cada uno de los grupos en que
se divide el conjunto de datos.
LIMITE INFERIOR Y LIMITE SUPERIOR DE CLASE: es el menor y mayor valor que
delimita un intervalo de clase.
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LIMITES REALES DE CLASE: son los valores reales que se pueden tomar para
asegurarnos que estn incluidos los extremos. Siempre es menos o ms media unidad
que la ltima cifra significativa de los lmites de clase.
MARCA DE CLA SE: ( xi) es el representante de un intervalo. Se calcula por lasemisuma de los extremos del intervalo.
2
LLx
SI
i
o2
LLx
RSRI
i
FRECUENCIA :es la cantidad de veces que un dato se repite o la cantidad de datos
que hay en un intervalo de clase, (frecuencia absoluta).
AMPL ITUD (ANCHO) DE CLASE: (h) es la diferencia de los lmites reales de clase.
Tambin se puede calcular por la diferencia entre dos lmites inferiores o superiores declases contiguas. De forma prctica, representa la cantidad de elementos diferentes
que deben estar en un intervalo.
TABLA DE DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS:es la tabla donde consignamos los
intervalos de clase, las marcas de clase y las frecuencias correspondientes a los
intervalos de clase.
FRECUENCIA RELATIVA Fres el cociente entre la frecuencia absoluta y el total de
datos. n
F
Fr
FRECUENCIA PORCENTUAL Fp es la representacin porcentual de la frecuencia
relativa 100*FrFp
Ejemplo:
La siguiente informacin es de los promedios, expresados en porcentajes de 40
alumnos de un curso determinado:
73 82 70 74 87 69 22 49 73 52
86 45 19 15 2 51 3 23 42 50
69 58 89 71 59 70 47 41 51 71
67 69 60 38 74 56 67 56 46 70
a) Construye la distribucin de frecuencia.
b) Lmites de la tercera clase.
c) Lmites reales de la segunda clase.
d) Frecuencia de la ltima clase.
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Solucin: Colocando en orden creciente
2 3 15 19 22 23 38 41 42 45
46 47 49 50 51 51 52 56 56 58
59 60 67 67 69 69 69 70 70 7071 71 73 73 74 74 82 86 87 89
Rango = 892 = 87
Nmero de intervalos: k = 1 + 3,32 . log 40 K 6 deberamos tener 6 clases como
mnimo.
Amplitud: h =6
289 h = 15 cada clase debe contener 15 distintos valores.
Organizando la presentacin tabular, el encabezado queda:
Lri Li xi Ls Lrs F
Luego se indica, el valor mnimo de la coleccin ordenada, en este caso: 2
Lri Li xi Ls Lrs F
2
Posteriormente se incluye el lmite superior, agregando desde el primer lmite
inferior, la amplitud o anchura, en este caso 15. Es decir de 2 a 16 hay 15
elementos.
Lri Li xi Ls Lrs F
2 16
As i, suc esivamente llenar las dems celd as
Lri Li xi Ls Lrs F
2 1617 31
32 46
47 61
62 76
77 91
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Para calcular la xi, se prom edian los lm ites de clase, es decir
842
9177.....24
2
3117;9
2
162
Lri Li xi Ls Lrs F
2 9 16
17 24 31
32 39 46
47 54 61
62 69 76
77 84 91
Lo s lmit es reales de clase, se obt ienen restan do y s um ando med ia cifra
sig nif icati va, en est e caso = 0,5
Lri Li xi Ls Lrs F
1,5 2 9 16 16,5
17 24 31
32 39 46
47 54 61
62 69 76
77 84 91
La frecuencia se encuentra, contando cuantos elementos aparecen entre el rango de
clase considerado, as entre 2 y 16 hay 3 elementos, entre 17 y 31 hay 3 elementos.
Lri Li xi Ls Lrs F1,5 2 9 16 16,5 3
16,5 17 24 31 31,5 3
31,5 32 39 46 46,5 5
46,5 47 54 61 61,5 11
61,5 62 69 76 76,5 14
76,5 77 84 91 91,5 4
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En to tal se anal izan 40 observacion es
Lri Li xi Ls Lrs F
1,5 2 9 16 16,5 316,5 17 24 31 31,5 3
31,5 32 39 46 46,5 5
46,5 47 54 61 61,5 11
61,5 62 69 76 76,5 14
76,5 77 84 91 91,5 4
n = 40
Luego,Una distribucin de frecuencias relativas transforma la distribucin a valores
en porcentajesn
FFr 100*FrFp
Lri Li xi Ls Lrs F Fr Fp
1,5 2 9 16 16,5 3 0,075 7,5
16,5 17 24 31 31,5 3 0,075 7,5
31,5 32 39 46 46,5 5 0,125 12,5
46,5 47 54 61 61,5 11 0,275 27,561,5 62 69 76 76,5 14 0,35 35
76,5 77 84 91 91,5 4 0,1 10
n = 40 1 100
REPRESENTACIONES GRAFICAS
Son las distintas formas de presentar la informacin, con la intensin de impactar
visualmente al observador. Son fciles de interpretar.
GRAFICAS L INEALES o POLGONO DE FRECUENCIA : estasrepresentaciones son
especialmente efectivas en los negocios, porque puede mostrar el cambio en una
variable a travs del tiempo.
Principalmente utilizadas para las variables cuantitativas
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Lic. Olga Cardozo 22
Figura 1 Figura 21
Para construir el polgono de frecuencias se marcan las frecuencias sobre el eje
vertical y los valores de la marca de clase se indican sobre el eje horizontal. Despus
se representa la frecuencia de cada clase dibujando un punto sobre el punto medio de
la clase y se conectan los puntos sucesivos con lneas rectas para formar un polgono.
En los extremos de la escala horizontal se agregan dos nuevas clases (coincidentes
con los lmites reales) con frecuencia cero. Esto permite que el polgono llegue al eje
horizontal en los extremos de la distribucin.
1Grficos estadsticos extraidos de:
Fuente: http://maribellopezmozo.webnode.es/sexto-grado/estadistica/diagramas-y-graficos-estadisticos/1http://www.monografias.com/trabajos73/estadistica-descriptiva/estadistica-descriptiva3.shtml
http://maribellopezmozo.webnode.es/sexto-grado/estadistica/diagramas-y-graficos-estadisticos/http://maribellopezmozo.webnode.es/sexto-grado/estadistica/diagramas-y-graficos-estadisticos/http://www.monografias.com/trabajos73/estadistica-descriptiva/estadistica-descriptiva3.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos73/estadistica-descriptiva/estadistica-descriptiva3.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos73/estadistica-descriptiva/estadistica-descriptiva3.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos73/estadistica-descriptiva/estadistica-descriptiva3.shtmlhttp://maribellopezmozo.webnode.es/sexto-grado/estadistica/diagramas-y-graficos-estadisticos/7/25/2019 Estadsticas I - Mdulo 1
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Polgono de frecuencias de puntajes promedio
GRAFICO DE BARRAS:puede utilizarse para mostrarse cualquiera de los niveles de
medicin. Pueden ser verticales, horizontales, simples y compuestos.
El histograma se parece al grfico de barras, slo que no hay espacio entre las barras.
.
Figura 3 Figura 42
2Grficos estadsticos extrados de:
Fuente:http://graficos-en-c.blogspot.com/
http://www.desarrolloweb.com/articulos/1582.php
0
2
4
6
8
10
12
14
16
9 24 39 54 69 84
http://graficos-en-c.blogspot.com/http://graficos-en-c.blogspot.com/http://graficos-en-c.blogspot.com/http://www.desarrolloweb.com/articulos/1582.phphttp://www.desarrolloweb.com/articulos/1582.phphttp://www.desarrolloweb.com/articulos/1582.phphttp://graficos-en-c.blogspot.com/7/25/2019 Estadsticas I - Mdulo 1
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Para graficar u nas barras vertic ales, se indican lo s lmit es sob re el eje ho rizon tal
y la frecu encia so bre el eje vertical. Se forman rectngulos con estas
dim ensiones levemente separados.
Para barras horizontales, se invierten las posic io nes.
Para un his tog rama se con sid eran los lm ites reales, de modo q ue los
rectngulo s qued an pegado s en su s lados .
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Grfico de barras verticales
www.rebiun.org
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HISTOGRAMA DE PUNTAJES PROMEDIOS5
1,5 16,5 31,5 46,5 61,5 76,5 91,5
GRAFICO DE SECTORES: tambin llamado grfico circular o de la torta. Se divide elcrculo en tantas porciones como modalidades existan, de modo que a cada una le
corresponda un arco del crculo proporcional a su frecuencia absoluta o relativa. El
arco de cada porcin se calcula utilizando la regla de tres. Relacionando Fp*3,6. Esta
relacin llamada, relacin angular se indica . Especialmente til para mostrar los
datos del nivel nominal.
3
5
14
11
4
3
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Figura 5 Figura 63
Del ejemplo prcti co :
Li xi Ls F Fp
2 9 16 3 7,5 27
17 24 31 3 7,5 27
32 39 46 5 12,5 45
47 54 61 11 27,5 99
62 69 76 14 35 126
77 84 91 4 10 36
n = 40 100 360
3Grficos estadsticos extrados de:
Fuente:http://www.grupoargon.com/cofm/temas/Excel_Tema12.html
http://www.saberespractico.com/ordenador/como-hacer-una-grafica-circular-en-excel/
http://www.grupoargon.com/cofm/temas/Excel_Tema12.htmlhttp://www.grupoargon.com/cofm/temas/Excel_Tema12.htmlhttp://www.grupoargon.com/cofm/temas/Excel_Tema12.htmlhttp://www.saberespractico.com/ordenador/como-hacer-una-grafica-circular-en-excel/http://www.saberespractico.com/ordenador/como-hacer-una-grafica-circular-en-excel/http://www.saberespractico.com/ordenador/como-hacer-una-grafica-circular-en-excel/http://www.grupoargon.com/cofm/temas/Excel_Tema12.html7/25/2019 Estadsticas I - Mdulo 1
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PICTOGRAMAS: expresan con dibujos alusivos al tema de estudio las frecuencias de
las modalidades de la variable.
Estos grficos se hacen representando en diferentes escalas un mismo dibujo. La
escala de dibujos debe ser tal que el rea de cada uno de ellos sea proporcional a la
frecuencia de la modalidad que representa.
Este tipo de grficos suele usarse en los medios de comunicacin para que sean
comprendidos por el pblico no especializado sin que sea necesaria una explicacin
compleja.
Pictograma de los cumpleaos del ao por mes
Figura 7 Figura 84
4Grficos estadsticos extrados de:
GRAFICO POR SECTORES POR PORCENTAJES DE
PROMEDIOS
8%8%
13%
27%
34%
10%
PROM 2a16
PROM17a31
PROM32a46
PROM47a61
PROM62a76
PROM77A91
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No es apl icable al ejemp lo d esarrol lado
TALLO-HOJA: Stem-and-Leaf Diagram permite obtener simultneamente una
distribucin de frecuencias de la variable y su representacin grfica. Para construirlobasta separar en cada dato el ltimo digito de la derecha, que constituye la hoja y la
cifras restantes forman el tallo
5
Del ejemplo desarrollado:
Tallos Hojas
0 2 31 5 92 2 33 84 1 2 5 6 7 95 0 1 1 2 6 6 8 96 0 7 7 9 97 0 0 0 1 1 3 3 4 48 2 6 7 9
Fuente:http://www.icarito.cl/enciclopedia/articulo/primer-ciclo-basico/matematica/datos-y-azar/2009/12/56-
8551-9-3-datos.shtml
http://www.ceibal.edu.uy/contenidos/areas_conocimiento/mat/estadistica/pictograma.html
5
http://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/diagrama-de-tallo-y-hojas.htmlhttp://matematicas-maravillosas.blogspot.com/2008/07/diagramas-de-tallo-y-hoja.html
http://www.icarito.cl/enciclopedia/articulo/primer-ciclo-basico/matematica/datos-y-azar/2009/12/56-8551-9-3-datos.shtmlhttp://www.icarito.cl/enciclopedia/articulo/primer-ciclo-basico/matematica/datos-y-azar/2009/12/56-8551-9-3-datos.shtmlhttp://www.icarito.cl/enciclopedia/articulo/primer-ciclo-basico/matematica/datos-y-azar/2009/12/56-8551-9-3-datos.shtmlhttp://www.icarito.cl/enciclopedia/articulo/primer-ciclo-basico/matematica/datos-y-azar/2009/12/56-8551-9-3-datos.shtmlhttp://www.ceibal.edu.uy/contenidos/areas_conocimiento/mat/estadistica/pictograma.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/contenidos/areas_conocimiento/mat/estadistica/pictograma.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/diagrama-de-tallo-y-hojas.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/diagrama-de-tallo-y-hojas.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/diagrama-de-tallo-y-hojas.htmlhttp://matematicas-maravillosas.blogspot.com/2008/07/diagramas-de-tallo-y-hoja.htmlhttp://matematicas-maravillosas.blogspot.com/2008/07/diagramas-de-tallo-y-hoja.htmlhttp://matematicas-maravillosas.blogspot.com/2008/07/diagramas-de-tallo-y-hoja.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/diagrama-de-tallo-y-hojas.htmlhttp://www.ceibal.edu.uy/contenidos/areas_conocimiento/mat/estadistica/pictograma.htmlhttp://www.icarito.cl/enciclopedia/articulo/primer-ciclo-basico/matematica/datos-y-azar/2009/12/56-8551-9-3-datos.shtmlhttp://www.icarito.cl/enciclopedia/articulo/primer-ciclo-basico/matematica/datos-y-azar/2009/12/56-8551-9-3-datos.shtml7/25/2019 Estadsticas I - Mdulo 1
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Otros compo nentes
FRECUENCIA ACUMULADA : (Fa) Sumando la frecuencia de una clase determinada
con las frecuencias de las clases posteriores (acumulacin ascendente o creciente) lacual recibe el nombre de frecuencia absoluta o relativa menos que. Indica cuantos
elementos de la distribucin tienen un valor menor que el lmite inferior de cada clase.
Simblicamente Fa(+). Su representacin grfica se llama Ojiva o frecuencia
acumulada menor que.
Sumando la frecuencia de una clase determinada con las de las clases anteriores
(acumulacin descendente o decreciente), recibe el nombre de frecuencia absoluta o
relativa ms de. Indica cuantos elementos de la distribucin tienen un valor mayor el
lmite inferior de cada clase. Simblicamente Fa(-).Su representacin grfica se
llama Ojiva o frecuencia acumulada ms que.
Frecuencias acumuladas absolutas y relativas del ejemplo prctico:
Li xi Ls F Fa(+) Fa(-)
1,5 9 16,5 3 3 40
16,5 24 31,5 3 3+3=6 40-3=37
31,5 39 46,5 5 6+5=11 37-3=34
46,5 54 61,5 11 11+11=22 34-5=29
61,5 69 76,5 14 22+14=36 29-11=18
76,5 84 91,5 4 36+4=40 18-14=4
n = 40
Fa(+) Fa(-)
Menos de 2 0 Ms de 2 40Menos de 17 3 Ms de 17 37
Menos de 32 6 Ms de 32 34
Menos de 47 11 Ms de 47 29
Menos de 62 22 Ms de 62 18
Menos de 77 36 Ms de 77 4
Menos de 92 40 Ms de 92 0
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Lic. Olga Cardozo 30
Las grficas se llaman ojivas
EJERCICIOS Encuentre las presentaciones graficas
1. Un departamento de estudio de mercado investiga el desempeo de varias
corporaciones en la industria del carbn, del gas y la minera. Las ventas del cuarto
trimestre en 2.007 (en millones de dlares) para estas corporaciones son:
Corporacin Ventas
American Hess 1.645
Atlantic Richfield 4.757
Chevron 8.913
Diamond Shamrock 627
Exxon 24. 612
Quaker State 191
El departamento quiere incluir en su informe comparando las ventas del cuartosemestre en las seis corporaciones. Utilice el grfico de barras.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
9 24 39 54 69 84Puntajes promedios
Frecuencia
Fa(+)Fa(-)
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2. El nmero de estudiantes graduado en cada una de las cinco reas acadmicas
segn su gnero son:
Carrera
Gnero
HOMBRE MUJERADMINISTRACIN 400 100
EDUCACIN 650 100
HUMANIDADES 150 200
BIOLOGA 250 100
CIENCIAS SOCIALES 200 250
a) Construya el grfico de circular por gnero
b) Construya el grfico circular por carrerac) Construya el grfico de barras por Carrera
d) Construya el grafico lineal.
3. Los datos representan la participacin de los diversos valores en el mercado de
dinero:
Valores Cantidad
Pagars 550
Bono 3.800
Papel Comercial 4.000
Representarlo en el grfico de barras y en el grfico de sectores.
4. Construir el grfico circular y el de barras con los siguientes datos:
Categoras Cantidad
Petrolera 560
Agropecuarias 143
Extractivas 49
Manufactureras 951
5. A continuacin se dan las notas de los 40 estudiantes del primer semestres de
cierta Universidad:
3 3 4 5 4 4 3 2 2 5
1 3 3 4 5 3 3 2 1 4
3 2 4 3 4 3 3 5 4 3
2 3 4 3 4 5 2 2 2 3
a) Construya el grfico de barras.
b) Construya el grfico de lneas.
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c) Construya el grfico de sectores
6. Las temperaturas medias mensuales en Asuncin en el ao 2 000 fueron:
Ene Feb Mar Ab May Jun Jul Ago Set Oct Nov Dic
27,2 27,4 27 22.3 18.1 17.2 16.3 19.1 23, 24,4 26 27,17. El nmero de estudiantes graduados en cada una de las cinco reas acadmicas
segn su gnero son:
CARRERA EDAD
HOMBRE MUJER
20 20
ADMINISTRACIN 200 100 80 100
EDUCACIN 450 150 120 100
HUMANIDADES 100 120 150 200
BIOLOGA 180 200 60 100
CIENCIAS SOCIALES 100 190 125 250
Encuentre los grficos compuestos para la informacin dada.
EJERCICIOS CON VALORES CUANTITATIVOS1. Los siguientes datos representan el precio al menudeo de una muestra de 40
diferentes marcas de accesorios de bao:
50 50 20 2250 22 14 6028 20 25 3065 35 24 1040 24 48 1250 25 15 2022 120 10 5032 35 17 4530 35 50 9979 65 25 105
a) Desarrolle la clasificacin ordenada.
b) Forme la distribucin de frecuencia.
c) Grafique el polgono de frecuencia.
2 .En la siguiente informacin presenta las cantidades otorgadas en prstamos
personales (en dlares) por una financiera de plaza.
a) Desarrolle la clasificacin ordenada.
b) Forme la tabla de frecuencia
c) Halle el rango.
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Lic. Olga Cardozo 33
d) Lmite superior de la segunda clase
e) Lmites reales de la tercera clase.
f) Frecuencia relativa porcentual la cuarta clase.
h) Construya el histograma y el polgono de frecuencia932 1000 7206 2227 550
3000 727 973 300 2112
1200 720 1525 784 1670
935 1000 1388 1500 700
1190 954 870 630 554
660 1610 440 1219 1900
254 850 1890 850 586
660 720 2200 452 300
3. Supuestamente un cereal para desayuno incluye 200 pasas en cada caja. Una
muestra de 60 cajas, mostr el siguiente nmero de pasas en cada caja.
a) Lmites reales de la cuarta clase.
b) Frecuencia relativa porcentual.
c ) Marca de clase.
d) Construya el histograma y el polgono de frecuencia.
e) Construya la ojiva ms de.
f) Construya la ojiva menos de
191 193 193 193 195 195 196 196 196 197
197 197 198 198 198 198 198 199 199 199
199 200 200 200 200 200 200 200 200 200
200 200 201 201 201 201 202 202 202 202
202 202 202 202 203 203 203 204 204 204
205 205 205 205 206 206 206 206 206 207
4.La siguiente tabla muestra el saldo en las cajas de ahorro de un determinado banco
de la capital(en dlares)
27 74 149 302 521
37 87 185 303 703
43 100 203 321 758
55 110 215 350 863
57 125 234 404 968
68 127 234 440 980
72 141 252 489 1000
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a) Coloque los datos en una tabla de frecuencia.
b) Halle las marcas de clase.
c) Trace polgono de frecuencia.
d) Construya el diagrama de tallo-hojae) El banco considera como cliente preferencial aquel cliente que tenga como
saldo final $ 400 0 ms en su cuenta. Estime el porcentaje de clientes preferidos.
5. La siguiente tabla da la altura (en pies) de 100 rboles de una finca.
1 3 5 7 9 12 14 16 21 28
1 3 5 7 9 13 14 16 21 28
1 3 5 8 9 13 15 16 21 28
1 4 5 8 9 13 15 17 22 28
2 4 5 8 10 13 15 17 23 28
2 4 6 8 10 13 15 17 24 29
2 4 6 8 10 13 16 18 24 29
2 5 6 9 11 13 16 19 24 29
2 5 6 9 11 13 16 20 26 30
3 5 6 9 11 14 16 20 26 30
a) Formar la serie de frecuencia
b) Lmites de la cuarta clase.
c) Frecuencia relativa porcentual de la quinta clase.
d) Menor frecuencia.
e) Construya el histograma
f) Construya el diagrama de tallo-hoja
g) Construya la Ojiva menos de
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BIBLIOGRAFA
El material presentado es un compendio de referencias bibliogrficas de libros de textos de EstadsticaAplicada, de diferentes autores:
Mason L.M. (2002) Estadstica bsica para Administracin y Economa. Mxico : Pearson. Lincon Ch. (2002) Introduccin a la Estadstica. Continental. Berenson L. (2000) Estadstica Bsica en Administracin. Mxico: McGraw Hill. Canavos, G. (1987). Probabilidad y Estadstica. Mxico: McGraw Hill.
Tambin lectura electrnica recuperada de:
http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-1-est.htmhttp://www.dm.uba.ar/materias/estadistica_Q/2011/1/modulo%20descriptiva.pdfhttp://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/34.%20Estadistica%20Descriptiva.pdfhttp://www.ditutor.com/estadistica/estadistica_descriptiva.html
http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-1-est.htmhttp://www.dm.uba.ar/materias/estadistica_Q/2011/1/modulo%20descriptiva.pdfhttp://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/34.%20Estadistica%20Descriptiva.pdfhttp://www.ditutor.com/estadistica/estadistica_descriptiva.htmlhttp://www.ditutor.com/estadistica/estadistica_descriptiva.htmlhttp://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/34.%20Estadistica%20Descriptiva.pdfhttp://www.dm.uba.ar/materias/estadistica_Q/2011/1/modulo%20descriptiva.pdfhttp://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-1-est.htm