Post on 30-Apr-2020
05/04/11
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Contrastes para proporciones
Estadística
Departamento de Ciencias del Mar y Biología Aplicada
Prof, Dr. Jose Jacobo Zubcoff
Estadística
Contrastes para los parámetros de
Una proporción
Contrastes para proporciones
05/04/11
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Supongamos que poseemos una sucesión de observaciones independientes, de modo que cada una de ellas se comporta como una distribución de Bernoulli de parámetro p La v.a. X, definida como el número de éxitos obtenidos en una muestra de tamaño n es por definición una v.a. de distribución binomial
Estadística Estadística
Contraste para una proporción
Contrastes para proporciones: Una proporción
La proporción muestral (estimador del verdadero parámetro p a partir de la muestra -ML-) es Y el contraste bilateral quedará definido como Donde p0 será un valor prefijado
Estadística Estadística
nXp =ˆ
00 : ppH =
Contrastes para proporciones: Una proporción
05/04/11
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Para ello nos basamos en un estadístico (de contraste) que sigue una distribución aproximadamente normal para tamaños muestrales suficientemente grandes Donde si p era la prob. de éxito, q=1-p Recordemos para ello las condiciones de aproximación a una Normal (recordar Teorema del Límite Central):
Estadística Estadística
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛≅=npqpN
nXp ,ˆ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
≥
5
5
pynp
Contrastes para proporciones: Una proporción
Partiendo de los supuestos anteriores podemos llegar mediante la tipificación a: Por lo que los intervalos de confianza quedarían como: Que para grandes muestras y aplicando corr. de continuidad:
Estadística Estadística
nqpppZ00
0ˆ −=
α−=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
≤−
≤ 1ˆ00
0 b
nqpppaP ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=−
nqpZp
nqpZpI p 00
2/00
2/1 ˆ,ˆ0 ααα
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−+−
−−=−
nnppZp
nnppZpI p 2
1)ˆ1(ˆˆ,21)ˆ1(ˆˆ 2/2/
10 ααα
Contrastes para proporciones: Una proporción
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1. No se rechaza para un determinado nivel de significación si
2. Que traducido a estadístico no rechazo si:
3. Recordad que para el p-valor calculado como:
⎩⎨⎧
≠
=
01
00
::
ppHppH
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−∈
nqpz
nqpZpp 00
2/00
2/0 ,ˆ αα
2/00
0exp
ˆαZ
nqpppZ t <
−=
chazoNop Re⇒>α
( )⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
>=−⇒>=
nqpppZPvalorpZZPp t00
0exp
ˆ*22/
Contraste de hipótesis
Estadística Estadística
Contrastes para proporciones: Una proporción
1. No se rechaza si
2. Estadístico
3. p-valor:
1. No se rechaza si
2. Estadístico: 3. p-valor:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∞−∈
nqpZpp 00
0,ˆ α
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
>=−
nqpppZPvalorp00
0ˆ
⎩⎨⎧
<
≥
01
00
::
ppHppH
⎩⎨⎧
>
≤
01
00
::
ppHppH
chazoNoZ
nqppp Reˆ00
0 ⇒<−
α
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∞−∈ ,ˆ 00
0 nqpZpp α
αZ
nqpppchazoNo −>
−⇒
00
0ˆRe
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
<=−
nqpppZPvalorp00
0ˆ
Estadística Estadística
Contrastes para proporciones: Una proporción
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Estadística
⎩⎨⎧
≠
=
01
00
::
ppHppH
05.0=α
Región de aceptación No rechazo
R. Crítica Rechazo
95.01 =−α
αZtZ exp
⎩⎨⎧
>
≤
01
00
::
ppHppH
025.02/ =α
Región de aceptación No rechazo
R. Crítica Rechazo
95.01 =−α
025.02/ =α
R. Crítica Rechazo
2/αZ− 2/αZtZ exptZexp−
)1,0(ˆ00
0 N
nqppp
≈−
p-valor p-valor
p-valor
)1,0(N
)1,0(N
Ejemplo, Una medicina que se prescribe comúnmente para aliviar la tensión nerviosa se considera que es efectiva en un 60%. Resultados experimentales con una nueva medicina que se administra en una muestrea aleatoria de 100 adultos que padecen de tensión nerviosa muestran que 70 tuvieron éxito. ¿Ésta es evidencia suficiente para concluir que la nueva medicina es superior a la que se prescribe actualmente? 1. Definición de hipótesis y Alfa=0.05
Estadística Estadística
Contrastes para proporciones: Una proporción
⎩⎨⎧
>
≤
6.0:6.0:
1
0
pHpH
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2. Los cálculos necesarios son: Proporción de efectividad de la medicina: 3. Criterios de aceptación: a) Región de aceptación:
:p̂
Estadística Estadística
Contrastes para proporciones: Una proporción
7.010070
ˆ ===nXp
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∞−∈
nqpZpp 00
0,ˆ α
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+∞−∈
100)6.01(6.06.0,7.0 05.0Z
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅+∞−∈
1004.06.0645.16.0,7.0 ( )68.0,7.0 ∞−∉ RECHAZO H0
b) Estadístico: c) p-valor
teot ZZ =>= 645.104.2exp
Estadística Estadística
Contrastes para proporciones: Una proporción
RECHAZO H0
04.2
1004.06.06.07.0ˆ
00
0exp =
⋅−
=−
=
nqpppZ t 645.105.0 == ZZteo
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
>=−
nqpppZPvalorp00
0ˆ ( ) ( )04.2104.2 <−=−⇒>=− ZPvalorpZPvalorp
0207.00.97931 =−=− valorpRECHAZO H0
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Estadística
Contrastes para los parámetros de
Dos proporciones
Contrastes para proporciones
Supongamos que tenemos dos muestras independientes tomadas sobre dos poblaciones, en la que estudiamos una variable de tipo dicotómico (Bernoulli): Donde X1 y X2 contabilizan en cada caso el número de éxitos en cada muestra se tiene que cada una de ellas se distribuye como una variable aleatoria binomial:
Estadística Estadística
Contraste para la diferencia de proporciones
Contrastes para proporciones: Dos proporciones
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Estadística Estadística
Contrastes para proporciones: Dos proporciones Los estimadores de las proporciones en cada población tienen distribuciones que de un modo aproximado son normales (cuando n1 y n2 son bastante grandes) El contraste que nos interesa realizar es el de si la diferencia entre las proporciones en cada población es una cantidad conocida Delta El estadístico de contraste sigue una distribución normal:
1. No se rechaza para un determinado nivel de significación si
2. Que traducido a estadístico no se rechaza si:
3. Recordad que para el p-valor calculado como:
Estadística
⎪⎩
⎪⎨⎧
≠−
=−⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
≠
=
0:
0:
:
:
1
0
1
0
yx
yx
yx
yx
ppHppH
ppHppH
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++−∈−
y
yy
x
xx
y
yy
x
xxyx n
qpnqpZ
nqp
nqpZpp ˆˆˆˆ,
ˆˆˆˆˆˆ 2/2/ αα
2/exp ˆˆˆˆ
ˆˆαZ
nqp
nqp
ppZ
y
yy
x
xx
yxt <
+
−=
chazoNop Re⇒>α
( )⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−>=−⇒>=
y
yy
x
xx
yxt
nqp
nqp
ppZPvalorpZZPp
ˆˆˆˆ
ˆˆ*22/ exp
Contraste de hipótesis
Contrastes para dos Poblaciones independientes. Diferencia de medias, varianzas conocidas
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1. No se rechaza si
2. Estadístico
3. p-valor:
1. No se rechaza si
2. Estadístico: 3. p-valor:
Estadística
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+∞−∈−
y
yy
x
xxyx n
qpnqpZpp ˆˆˆˆ,ˆˆ α
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−>=−
y
yy
x
xx
yx
nqp
nqp
ppZPvalorp
ˆˆˆˆ
ˆˆ
⎪⎩
⎪⎨⎧
<−
≥−⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
<
≥
0:
0:
:
:
1
0
1
0
yx
yx
yx
yx
ppHppH
ppHppH
⎪⎩
⎪⎨⎧
>−
≤−⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
>
≤
0:
0:
:
:
1
0
1
0
yx
yx
yx
yx
ppHppH
ppHppH
αZ
nqp
nqp
ppchazoNo
y
yy
x
xx
yx <
+
−⇒
ˆˆˆˆ
ˆˆRe
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+∞+−∈− ,
ˆˆˆˆˆˆy
yy
x
xxyx n
qpnqpZpp α
αZ
nqp
nqp
ppchazoNo
y
yy
x
xx
yx −>
+
−⇒
ˆˆˆˆ
ˆˆRe
Contrastes para dos Poblaciones independientes. Diferencia de medias, varianzas conocidas
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−<=−
y
yy
x
xx
yx
nqp
nqp
ppZPvalorp
ˆˆˆˆ
ˆˆ
Ejemplo, Con objeto de saber si se debe o no construir una central nuclear en un municipio, se ha desarrollado una encuesta y tomado el voto del municipio donde se propone su ubicación y el voto en otros municipios de la Comunidad Autónoma. Si 120 de 200 encuestados del municipio rechazan la implantación y 240 de 500 del resto de la Región también lo hacen, ¿se puede afirmar que la proporción de encuestados que rechazan la implantación es más alto que la proporción de votantes del resto de la Región?. Utiliza un nivel de significación del 0.025. 1. Definición de las hipótesis y de Alfa=0.025
Estadística Estadística
Contrastes para proporciones: Dos proporciones
⎪⎩
⎪⎨⎧
>−
≤−⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
>
≤
0:
0:
:
:
1
0
1
0
yx
yx
yx
yx
ppHppH
ppHppH
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2. Los cálculos necesarios son: 3. Criterios de aceptación: a) Región de aceptación:
52.0ˆ1ˆ4.0ˆ1ˆ
48.0ˆ6.0ˆ
500200240120
=−==−=
====
==
==
yyxx
yy
xx
yx
pqpqnXp
nXp
nnYX
Estadística Estadística
Contrastes para proporciones: Dos proporciones
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅+
⋅∞−∈−
50052.048.0
2004.06.096.1,48.06.0
( )0412.096.1,12.0 ⋅∞−∈ ( )081.0,12.0 ∞−∉ RECHAZO H0
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+∞−∈−
y
yy
x
xxyx n
qpnqpZpp ˆˆˆˆ,ˆˆ α
b) Estadístico: c) p-valor
teot ZZ =>= 96.1913.2exp
Estadística Estadística
Contrastes para proporciones: Dos proporciones
RECHAZO H0
913.2
50052.048.0
2004.06.0
48.06.0ˆˆˆˆ
ˆˆexp =
⋅+
⋅−
=
+
−=
y
yy
x
xx
yxt
nqp
nqp
ppZ 96.1025.0 == ZZteo
( )tZZPvalorp exp>=− ( ) ( )913.21913.2 <−=−⇒>=− ZPvalorpZPvalorp
0019.00.99811 =−=− valorpRECHAZO H0