UNIDAD 10

ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA

OBJETIVOS

Al f inalizar la unidad, el alumno:

Estadística II 397

Introducción

L

S

Unidad 10398

H : la norma H : H1:

SH :

mediana es la medida de tendencia central que divide en dos partes iguales a una distribución, dejando la misma cantidad de datos con un valor superior o igual a ella, y la misma cantidad con un valor inferior o igual a ella.

Estadística II 399

10.1 Prueba del signo

prueba del signo

10.1.1 La prueba del signo para una muestra

HH1

Pasos:

Para aplicar la distr ibución de probabilidad binomi al:

p q

Unidad 10400

n

n.

Estadística I

P x nCx p qx n x

H

P x

H

P x

Ejemplo 1

Tabla 10.1

Solución :

Estadística II 401

n

n = 14pq

P x)= 12,13,14P C12 14 12

12 2

P C13 14 1313 1

P C14 14 1414

P

P 1

10.1.2 La prueba del signo para dos muestras

H 1 2

H1 1 2

Unidad 10402

x1)

Pasos:

x1 x2

x 1 x2

x1 x2

x1 x2 o x 1< x 2,

Para aplicar la distr ibución de probabilidad binomi al:

p q

n

n.

P x nCx p qx n x

P x

H

2 P x

H

2 P x

Estadística II 403

Ejemplo 2

H : 1 2 H1 1 2

Tabla 10.2

Solución :

x1 x 2 x1 x2

x1 x2

npq

P xP CP C

P x

2[ P

Unidad 10404

Como P(0.0216)<0.05 se rechaza H0; por lo tanto se acepta que el número de defectos en las unidades producidas es menor con el sistema nuevo.

Ej er ci ci o 1

H H1

Tabla 10.3

H 1 2 H1: 1 2

Tabla 10.4

10.2. Prueba T de Wilcoxon

Estadística II 405

10.2.1. Prueba T de Wilcoxon para una muestra

HH1

Pasos:

Tc

Unidad 10406

Tc

n

HTc Tn ,

HTc < Tn,

Ejemplo 3

HH1

Solución :

Tc

Tc

,n

zH

pn

Estadística II 407

T

H0 se rechaza si : Tc < Tn, de un extremo

10.2.2. Prueba T de Wilcoxon para dos muestras

H 1 2

H1 1 2

x1)

Pasos:

x1 x x1 x2

Unidad 10408

Tc

Tc T

HTc Tn ,

HTc < Tn,

z H

n

Ejemplo 4

H 1 2

H1 1 2

Estadística II 409

Solución :

Tc

Tc = 2 T

TH0 se rechaza si : Tc < Tn, de dos extremos

1 2

Ej er ci ci o 2

H

H1

Tabla 10.3.

Unidad 10410

Tabla 10.4

10.3. Prueba U de Mann–Whitney

z

Estadística II 411

Pasos:

H

H1

H1

zu

Fórmulas para la prueba U

Paso 1

zu

Grupo o muestra 1

U n nn n

R1 1 21 1

1

12

Grupo o muestra 2

U n nn n

R2 1 22 2

2

12

en donde:n1

Unidad 10412

n2

R1

R2

Paso 2:

U

n n1 2

2 U

n n n n1 2 1 2 112

zu

z

zU

Ui U

Ui

z zUi

2

H

z zUi

2

H

Z2

z2

z

H

Estadística II 413

z z2

z2

Ejemplo 5

Tabla 10.5

Solución :

Unidad 10414

R1 n1 R2 n2

Fórmulas para la prueba U

Grupo o muestra 1

U1

12

Grupo o muestra 2

U2

12

Media de U Desviación estándar de U

U 2 U

112

Prueba z

zU1 13= zU2 13

1

Ej er ci ci o 3

H

Estadística II 415

Tabla 10.6

10.4. Prueba H de Kruskal - Wallis

Hk

H

Pasos:

HH :

1=

2=

3 nH

1

H1:

1

2 3

n

H o Hc

Unidad 10416

Fórmulas para la prueba H

Fórmula 1

HN N

Rn

Ni

ii

j121

3 11

en donde:

NRi i ni i

H 2,gl

gl = kdonde k

Si existen rangos empatados:

Hc

H H

Hc2

,gl

gl = kk

Fórmula 2

HH

t t

N N

c

i ii

j

1

3

13

en donde:

ti iNH

Estadística II 417

H o Hc 2,gl H

H o Hc 2

,gl H

2 , gl

gl kk

2 , gl

kgl

2

Ejemplo 6

Tabla 10.7

Unidad 10418

Solución :

RA nA tA =2RB nB tA =4RC nC tA =4RD nD tA =4N =22 k=4 gl =k

H12

22 22 1

2 2 2 2

33 22 1

HC

Hc

1

12 2 4 4 4 4 4 4

22 22

3 3 3 3

3

Hc < 20.05,3 se acepta H0 1.3159 < 7.81 se acepta H0, a un nivel de significancia

de 5% los precios de las acciones de las 4 empresas tienen medianas idénticas. Es decir, no existe variación en el precio mediano de las acciones de las 4 empresas.

Estadística II 419

Ej er ci ci o 4

H

Tabla 10.8

Ej er ci ci os r esuel t os

H H1

Tabla 10.9

Unidad 10420

Solución : o

n

npq

P xP CP C11 11

11

P C12 1212 4

P C13 1313 3

P C14 1414 2

P C 1

P CP

P

H 1 2 H1: 1 2

Estadística II 421

Tabla 10.10

Solución :x1 x2 x1 x2

x1 x2

npq

P xP CP CP C

P x

2[ P

Como se acepta H0 no existe una diferencia significativa entre los réditos por dividendo del mes 1 con respecto al mes 2.

H :H1

Unidad 10422

Solución :

Tc

Tc

Tt ,n

TH0 se acepta si: Tc > Tn, de un extremo

H 1 2 H1: 1 2

Solución :

Tc

Tc

T ,n

TH0 se acepta si : Tc > Tn, de dos extremos

Estadística II 423

Tabla 10.11

Solución :

H

RH nH RM nM =12

U1 121

2

U2 1212 12 1

2

Unidad 10424

U

122 U

12 12 112

z

zU1zU2

=

± 0.0976 < ± 1.96 se acepta H0, tanto hombres como mujeres cometen la misma cantidad mediana de errores contables.

H

Tabla 10.12

Solución :

22 32 23 3 1 23

1 22 1 2 32 1 33 2

3 2 24 1 3 1 32

Estadística II 425

R1 n1 t1

R2 n2 t2

R3 n3 t3

N k=3 gl =k–1

H12

13

2 2 2

1

HC

Hc

13 3 3

3

Hc < 2

0.05,2 se acepta H

0 0.7167

< 5.99

se acepta H

0, a un nivel de significancia

de 5% las muestras proceden de poblaciones iguales, es decir, tienen la misma cantidad mediana de días anticipados de adquisición de boleto.

Ej er ci ci os pr opuest os

H H1

Tabla 10.13

Tabla 10.14

Unidad 10426

H H1

Tabla 10.15

H

Tabla 10.16

Aut oeval uaci ón

Estadística II 427

d) Z

H:

Unidad 10428

d) Z

Estadística II 429

Respuest as a l os ej er ci ci os

Ejercicio 1

o

12 11 14 14 11 1

n

npq

P xP CP CP

P

x1 x2 x1 x2

x1 x2

Unidad 10430

npq

P xP C 4 1

P CP x

2[ P

Como P(0.3752) 0.01 se acepta H0, no existe una diferencia significativa

entre la af luencia de este año con respecto al anterior.

Ejercicio 2

Tc

Tc = 4

Tt ,n

TH

0 se rechaza si : T

c < T

n, de un extremo

Estadística II 431

Tc

Tc

Tt ,n

T = 1 H0 se acepta si : T c > T n, de dos extremos

Ejercicio 3

Unidad 10432

R1 n1 R2 n2

Fórmulas para la prueba UGrupo o muestra 1

U1

12

Grupo o muestra 2

U2

12

124

Media de U Desviación estándar de U

U 2 U

112

Prueba z

zU1 13= zU2 13

1

Ejercicio 4

Estadística II 433

RA nA tA

RB nB tB

RC nC tC

RD nD tD

N k=4 gl =k

H12

13

2 2 2 2

1)

Hc

H > 20.05,3 se rechaza H0; 11.4014 > 7.81 se rechaza H0, a un nivel de

significancia de 5% las muestras no proceden de poblaciones iguales, es decir, las medianas no son iguales. En este caso, existen poblaciones que consideran que el desempeño en la asignatura de matemáticas no depende del tipo de calculadora, y otras poblaciones consideran que sí.

Unidad 10434

Respuest as a l os ej er ci ci os pr opuest os

o

n = 12pq

P xP C12

2

P C11 12 1111 1

P C12 12 1212

P

P

x1 x2 x1 x2

x1 x2

Estadística II 435

npq

P xP CP CP CP CP C

P x

2[ P

P ,

Tc

Tc

T ,n

TH0 se acepta si : Tc > Tn, de un extremo

:

Unidad 10436

Tc

Tc

T ,n

TH0 se acepta si : Tc > Tn, de dos extremos

RA nA RB nB =12

Estadística II 437

U1 12 1212 12 1

2

U2 12 1212 12 1

2

U

12 122 U

12 12 12 12 112

zU1

21 2= zU2

122 2

2 se rechaza H

0, por lo tanto se dice que las muestras no

proceden de poblaciones con medianas iguales. Uno de los autos da mayor rendimiento de gasolina, en este caso el auto A.

RA

n1

tA

RB

n2

tB =1

RC

n3

tC =1

N k=3 gl =k

H12

131

3 12 2 2

1)

Unidad 10438

HC

Hc

11 1 1 13 3 3

3

Hc < 20.01,2 se acepta H0 6.6662 < 9.21 se acepta H0,a un nivel de

significancia de 1% las muestras proceden de poblaciones iguales, es decir, tienen la misma calificación mediana.

Respuest as a l a aut oeval uaci ón

453Estadística II

Bibliografía básica

Bibliografía comentada

454