Post on 30-Jun-2022
ESTALMAT-Andalucía Actividades 15/16 Sesión:4Fecha:09/01/16Título:MóvilesconGeogebraVeteranos
AnaMartínCaraballo,JoséMªVázquezdelaTorrePrieto Página1
1. Definicióndelugargeométrico.
Un lugar geométrico se define como un conjunto de puntos que cumplen una misma
propiedad.
En muchas ocasiones, los lugares geométricos que satisfacen una propiedad dada son
elementos sencillos (una recta, una circunferencia, una curva cónica,...),mientras que en
otras ocasiones pueden corresponderse con trazados mucho más complejos. Así, la
mediatriz, labisectriz, las cónicas, la cicloide, el caracoldePascal, la cisoidedeDioclesy
otrasfigurasgeométricascuriosassonlugaresgeométricos.
Ladefinicióndelugargeométricosepuedeextenderalespacio(esfera,cilindro,…),enesta
unidadvamosatrabajarsoloenelplano.
2. CómodescribirunlugargeométricoconGeogebra.
ParaconstruirunlugargeométricoconGeogebranecesitamosdosobjetos:
i. Unpuntoqueseráelquedescribaellugargeométrico.
ii. Otropuntoqueseráelquesemuevayhagaquelascondicionescambien,ypor
tanto,existaunlugargeométrico.
3. Ejemplo1…Algunosejemplosfácilesdelugaresgeométricos.
A. MEDIATRIZ:Lugargeométricodelospuntosequidistantesalosextremosdeun
segmento.
B. BISECTRIZ: Lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados de un
ángulo.Labisectrizdeunánguloeslarectaquepasandoporelvérticedelángulo
lodivideendosángulosiguales.
C. CÓNICAS
ESTALMAT-Andalucía Actividades 15/16 Sesión:4Fecha:09/01/16Título:MóvilesconGeogebraVeteranos
AnaMartínCaraballo,JoséMªVázquezdelaTorrePrieto Página2
a. Circunferencia: Lugar geométrico de todos los puntos del plano que
equidistandeotropuntofijoycoplanariollamadocentroenunacantidad
constantellamadaradio.
b. Elipse:Lugargeométricodetodoslospuntosdelplano,talesquelasuma
delasdistanciaaotrosdospuntosfijos,llamadosfocos,esconstante.
c. Hipérbola: Lugar geométrico de todos los puntos del plano tales que el
valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos,
llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices (que es una
cantidadpositiva).
d. Parábola: Dada una recta L, llamada directriz, y un punto fijo F (no
pertenecientealarecta),llamadofoco,ellugargeométricodelospuntos
queequidistandelarectaLyelpuntoFsedenominaparaboladefocoFy
directrizL.
ESTALMAT-Andalucía Actividades 15/16 Sesión:4Fecha:09/01/16Título:MóvilesconGeogebraVeteranos
AnaMartínCaraballo,JoséMªVázquezdelaTorrePrieto Página3
4. Ejemplo2…..ELCARACOLDEPASCAL
A. Planteamientodelproblema.
Se considera la circunferencia x2 + y2 = 4 (circunferencia de centro el origen y
radio 2). Calcular el lugar geométrico descrito por el punto P, pie de las
perpendiculares trazadas desde el punto A(0,4) a las tangentes a dicha
circunferencia.
B. ResolucióndelproblemaenGeogebra.
a. Dibujamosenlaventanagráficaunacircunferenciacentradaenelorigen
yderadio2,asícomoelpuntoA(0,4).
b. Colocamos sobre la circunferencia un punto genérico B a fin de que le
podamosmover,ysobreestepuntohacemospasarlarectatangentetala
circunferenciaquepasaporél.
c. DesdeelpuntoAhacemostrazarlaperpendicularpadichatangentet,y
dondeintersectencolocamosunpuntoP.
d. Activamos el rastro del punto P clicando con el botón derecho sobre
dichopunto.
e. Clicamos sobre la herramienta Elección y hacemos que el punto B se
muevasobrelacircunferencia.Deestemodo,elpuntoPseirápunteando
ellugargeométricoquebuscamos.
ESTALMAT-Andalucía Actividades 15/16 Sesión:4Fecha:09/01/16Título:MóvilesconGeogebraVeteranos
AnaMartínCaraballo,JoséMªVázquezdelaTorrePrieto Página4
f. Sihacemosvisible lahojadecálculoenelMenúVista,podemosobtener
lascoordenadas(x ,y) de lospuntosdel lugargeométricoquemarcael
puntoPconelrastreoactivado.
Como alternativa al último paso, se puede visualizar el lugar geométrico
haciendousoprecisamentede laherramienta“LugarGeométrico”,enelqueen
primerlugarsepinchaconelratónelpuntodellugargeométricodeseado,yen
segundo lugar el punto que vamos amover. Por tanto, si pinchamos con esta
herramienta primero el punto P y luego el punto B obtenemos el lugar
geométricosolicitado,peroestavezdeformacontinuaenlugarde“porpuntos”.
Utilizarestasegundaalternativadespuésdehabercalculadoellugargeométrico
delaotraforma.
C. Historiadelacurvaobtenida.
El lugar geométrico en cuestión es el CARACOL (O LIMAÇON) DE PASCAL,
descubierto por el padre de Blaise Pascal, Étienne Pascal (1588-1651) y
denominadaasíporel francésGilles-PersonneRoverbalen1650cuandoutilizó
deestacurvacomoejemplodesusmétodosdedibujodetangentes,endefinitiva
paraelestudiodeladiferenciación.
EstacurvayahabíasidoestudiadaporAlbertoDurero(1471-1528)aquiensele
debeverdaderamentesudescubrimiento,muchoantesdequePascalcentrarasu
atención en ella, y 125 años antes de la denominación de Roverbal. Durero
propusounmétododedibujodelcaracol,aunquenolodenominólimaçon,sino
arácnidaoarañaen suobra “Vnderweysungdermessungmitdemzirckelund
richtscheyt”(Núremberg,1525).
El nombre de limaçon proviene del término en latín limax (caracol). Étienne
Pascal mantuvo correspondecia con Mersenne, en cuya casa se celebraban
reuniones con lasmatemáticas como tema fundamental de lasmismas, y a las
queacudíangeómetrasfamosos,entreellosRoverbal,quienutilizóesteforopara
darleelnombreconelquelaconocemosactualmente.
ESTALMAT-Andalucía Actividades 15/16 Sesión:4Fecha:09/01/16Título:MóvilesconGeogebraVeteranos
AnaMartínCaraballo,JoséMªVázquezdelaTorrePrieto Página5
5. Ejemplo3…..CISOIDEDEDIOCLES
A. Planteamientodelproblema.
Se considera la circunferencia de expresión (x − 2)2 + y2 = 4. Se traza la recta
tangente t a dicha circunferencia por el extremo diametralmente opuesto al
origendecoordenadas.Trazamosporelorigenunarectacualquieram.Hallarel
lugar geométrico de los puntos P tales que la distancia desde el origen de
coordenadas a P sea igual que la distancia de la intersección de la recta m
cualquieraconlacircunferencia(PuntoA)alpuntoB.
B. ResolucióndelproblemaenGeogebra.
a. Con la herramienta círculo con centro y radio, pinchar en la ventana
gráfica de geogebra en el punto (2, 0) y radio 2, así dibujamos la
circunferencia dada. La otra posibilidad es introducir la expresión de la
circunferenciaenlabarradeentradadelaventanaalgebraica.
b. Dibujar una recta que pase por el origen de coordenadas y un punto
genéricodelacircunferencia(PuntoA).
c. Dibujar la recta tangente a la circunferencia en el punto (4, 0), o bien
introducirenlabarradeentradalaexpresióndeestarecta(x=4).
ESTALMAT-Andalucía Actividades 15/16 Sesión:4Fecha:09/01/16Título:MóvilesconGeogebraVeteranos
AnaMartínCaraballo,JoséMªVázquezdelaTorrePrieto Página6
d. Colocarunpuntoen la intersecciónde la rectagenéricaquepasaporel
origenconlarectax=4(PuntoB).
e. ConlaherramientacompásmedimosladistanciaquehaydelpuntoAalB
yllevamosesadistanciaalorigendecoordenadas.Dondeintersecteconla
rectagenéricacolocamoselpuntoPlugargeométricosolicitado.
f. ActivamoselrastroenelpuntoP,detalmodoquemoviendoelelpuntoA
(con la herramienta selección), el punto P va dejando el rastro y
dibujandoellugargeométricopedido.
Como alternativa a este últimopunto, podemos hacer uso de la herramienta
“LugarGeométrico”,pinchandoprimerosobreelpuntoPqueeselencargado
de trazar el lugar solicitado, y después sobre el punto A (el B también es
válido),deestemodoobtendremosuntrazadocontinuoenlugardeporpuntos
dellugargeométricoencuestión.
C. Historiadelacurvaobtenida.
El lugar geométrico en cuestión es la CISOIDE DE DIOCLES. Diocles (240-180
a.C.) fue contemporáneo deNicómedes (280-210 a.C). Llevó a cabo su estudio
con el finde resolver el problema “délico” dehallar la longituddel ladodeun
cubocuyovolumenfueradosveceseldeuncubodado(laduplicacióndelcubo)1.
DioclestambiénestudióelproblemadeArquímedesdecortarunaesferaporun
plano demanera que los volúmenes de las dos partes tengan una proporción
dada. La atribución de la cisoide de Diocles puede comprobarse en los
comentariosdeArquímedesdeSiracusa(287-212a.C),ensulibroLaesferayel
cilindro.EnellosArquímedesafirmaquelacisoidefuecreadaporDioclesyaél
seatribuye.
1 El problema de la duplicación del cubo, junto con el de la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo son considerados los tres problema clásicos griegos de la época heroica, denominada así, puesto que las únicas herramientas usadas para su resolución eran tan sólo el compás y la regla.
ESTALMAT-Andalucía Actividades 15/16 Sesión:4Fecha:09/01/16Título:MóvilesconGeogebraVeteranos
AnaMartínCaraballo,JoséMªVázquezdelaTorrePrieto Página7
6. Ejemplo4…..CUÁRTICAPIRIFORME
A. Planteamientodelproblema.
SeconsideralacircunferenciaCdeexpresión(x−a2)2+y2=(a/2)2.Setrazala
rectapperpendicularalejedeabcisasporelpuntoAgenéricodecoordenadas
(b,0).Setrazaunarectagenéricamquepasaporelorigendecoordenadas,yque
corta a la recta p en el punto M. Por el punto M hacemos pasar una recta s
paralela al eje de abcisas que corta a la circunferencia C en R y S. Por R y S
trazamossendasrectasparalelasapquecortanalarectamenlospuntosPyQ.
HallarellugargeométricodescritoporlospuntosPyQ.
B. ResolucióndelproblemaenGeogebra.
a. Dibujamos la circunferencia C genérica eligiendo la herramientas de
circunferenciadadocentroyunpuntodelamisma(porejemplo).
b. Eligiendolaherramientaderectaquepasapordospuntos,dibujamosla
recta genérica que pasa por el origen m y un punto al azar D de la
circunferenciaC.
ESTALMAT-Andalucía Actividades 15/16 Sesión:4Fecha:09/01/16Título:MóvilesconGeogebraVeteranos
AnaMartínCaraballo,JoséMªVázquezdelaTorrePrieto Página8
c. Dibujamosunarectaverticalgenéricapintroduciendosuexpresiónenla
barradeentrada(x=b,siendobunnúmerorealpositivo).
d. Porelpuntode interseccióndemconp trazamoselpuntoMy la recta
horizontals,paraelloenherramientaselegimoslarectaparalelaquepasa
porunpunto.
e. Por los puntos de intersección de s y la circunferencia C, dibujamos los
puntosRySylasrectasverticales,mediantelaherramientarectaparalela
aotra(p)quepasaporunpunto.
f. Enlospuntosdeinterseccióndelasrectasverticalesconlarectagenérica
mcolocamosnuestrospuntosPyQy activamosenellos el rastro.Para
ellohacemosclicenellosconelbotónderechoydesplegandoelmenúde
diálogo elegimos la opción Activar Rastro. Elegimos la herramienta
SeleccionarymovemoselpuntoDdeestemodoalmoverselospuntosPy
Qrepresentanellugargeométricobuscado.
Como alternativa a este último punto podemos hacer uso de la
herramientaLugarGeométrico.Unavezelegidaestapinchamosprimero
sobre el puntoP y luego elDpara visualizar la primeraparte del lugar
geométrico solicitada de forma continua. Y después con la misma
herramienta pinchamos sobre el punto Q primero y a continuación el
puntoRyvisualizamosdeestemodoellugargeométricocompleto.
C. Historiadelacurvaobtenida.
El lugargeométricoencuestiónes laCUÁRTICAPIRIFORME, tambiénconocida
como GOTA DE AGUA. Esta curva fue estudiada por Gohierre de Longchamps
(1842-1906)en1886,entreotrascurvasque fueronnombradasdespuésdeél.
AnteriormentehabíasidoestudiadaporJohnWallis(1616-1703)en1685ypor
PierreOssianBonnet(1819-1892)en1844.
ESTALMAT-Andalucía Actividades 15/16 Sesión:4Fecha:09/01/16Título:MóvilesconGeogebraVeteranos
AnaMartínCaraballo,JoséMªVázquezdelaTorrePrieto Página9
7. Ejemplo5…..LACURVADELAHECHICERA
A. Planteamientodelproblema.
SeconsideralacircunferenciaCdeexpresiónx2+(y-a/2)2=(a/2)2.Escogemos
unpuntoBenlarectay=aylounimosconelorigendecoordenadasO.Llamamos
D a la intersección de OB con la circunferencia. Marcamos P el punto de
intersección de la vertical trazada desde B con la horizontal trazada desde D.
Hallar el lugar geométrico descrito por el punto P al mover el punto B, cuya
ecuaciónseráf(x)=a3/(x2+a2).
Paraa=1,eláreaqueencierraestacurvaconelejeOXesigualaπ.
B. ResolucióndelproblemaenGeogebra.
a. Dibujamos la circunferencia C genérica eligiendo la herramientas de
circunferenciadadocentroyradioiguala4(porejemplo).
b. Eligiendo la herramienta de tangentes, dibujamos la recta tangente a la
circunferenciaCenelpuntoA.
ESTALMAT-Andalucía Actividades 15/16 Sesión:4Fecha:09/01/16Título:MóvilesconGeogebraVeteranos
AnaMartínCaraballo,JoséMªVázquezdelaTorrePrieto Página10
c. MarcamosunpuntoBenlarectatangenteyconlaherramientasegmento
unimosBconelorigendecoordenadasO.
d. Marcamos el punto de intersección D, de este segmento con la
circunferenciaC.
e. Trazamos una recta paralela a la recta tangente que pase por D y una
perpendicularalarectatangentequepaseporB.
f. MarcamoselpuntoPinterseccióndeestasdosrectas.
g. Activamosel rastroenelpuntoP.Paraellohacemosclicenellosconel
botón derecho y desplegando el menú de diálogo elegimos la opción
ActivarRastro.ElegimoslaherramientaSeleccionarymovemoselpunto
B de este modo al moverse el punto P representa el lugar geométrico
buscado.
Como alternativa a este último punto podemos hacer uso de la
herramientaLugarGeométrico.Unavezelegidaestapinchamosprimero
sobreelpuntoPyluegoelBparavisualizarellugargeométricosolicitado
deformacontinua.
C. Historiadelacurvaobtenida.
María Gaetana Agnesi, matemática, filósofa y lingüista, es conocida
popularmenteporlacurvadelahechicera.
La mal llamada curva de la hechicera la había estudiado previamente
Fermaten1703yGrandi,en1718,labautizóconelnombredeversoria
(en latín)oversiera (en italiano), refiriéndoseal caboquehacegirar la
veladeunanave.
Cuando Colson aprende italiano para traducir al inglés una obra tan
importante, confundió versiera con avversiera (hechicera) y lo tradujo
comowitchofAgnesi(labrujaAgnesi)produciéndoselaparadojadeque
una mujer que dedicó su vida y su fortuna a los demás pase a la
posteridadconelsobrenombredebruja.
ESTALMAT-Andalucía Actividades 15/16 Sesión:4Fecha:09/01/16Título:MóvilesconGeogebraVeteranos
AnaMartínCaraballo,JoséMªVázquezdelaTorrePrieto Página11
8. Ejemplo6…..CARDIOIDE
A. Planteamientodelproblema.
A.1.Planteamoselproblemadeunacircunferenciaquerueda,sindeslizamiento,
por el exterior de otra circunferencia de igual radio que permanece inmóvil
podríanser,porejemplo,dosmonedasdeigualvalor.¿Quétrayectoriadescribira
unpuntofijodelacircunferenciarodante?
A.2.DeterminarellugargeométricoqueresultarácuandoBseaunpuntosituado
enelexteriordelacircunferencia,ocuandoseaelcentrodelacircunferencia.
A.3. ¿Qué pasa si los radios de las circunferencias no son iguales? Probamos
definiendodosdeslizadoresparalascircunferencias
1.-¿Qué figurasobtenemossi losradiosde lascircunferenciassonnúmeros
enteros?
2.-¿Quésucedesilarelaciónentrelosradiosnoesunnúmeroentero?
3.-¿Ysilacircunferenciaquesedeslizaesderadiomayorquelainmóvil?
ESTALMAT-Andalucía Actividades 15/16 Sesión:4Fecha:09/01/16Título:MóvilesconGeogebraVeteranos
AnaMartínCaraballo,JoséMªVázquezdelaTorrePrieto Página12
9. Ejemplo6…..Otras----OIDES
A. CICLOIDE:Curvageneradaporunpuntofijodeunacircunferenciaqueruedasin
deslizamientoalolargodeunarecta.
Basándonos en este tipo de curvas existen dos grandes grupos: hipocloides y epicloides.
Algunasdeellasyalashemosvisto.
B. HIPOCLOIDE:Curvageneradaporunpuntofijodeunacircunferenciaquerueda
sindeslizamientoporlaparteinternadeotracircunferencia.
A. EPICLOIDE:Curvageneradaporunpunto fijodeunacircunferenciaque rueda
sin deslizamiento por la parte externa de otra circunferencia (por ejemplo el
caridoidevistoanteriormente).