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Modelos ARIMA
Paro y empleo registrado
Equipo docente de Econometría II
Econometría II
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Estimación de modelos ARIMA: Paro y empleo registrado
El objetivo de este trabajo es realizar un repaso de la metodología ARIMA de
series temporales aplicándola a dos variables económicas fundamentales, empleo y
paro. En general se considera que estos modelos predicen muy bien a corto plazo, pero
es discutible que puedan hacerlo de forma aceptable a medio y largo plazo. Al no tener
relación alguna con la teoría económica difícilmente pueden captar el efecto de las
nuevas condiciones de la coyuntura económica, sobre todo cuando se producen cambios
o puntos de inflexión del ciclo económico, como ocurre en la economía española
actualmente.
El análisis de los modelos ARIMA exige no sólo un conocimiento teórico
suficiente y una destreza práctica, sino también la posibilidad de disponer de algún
programa de ordenador para la realización de los cálculos necesarios. Nosotros
utilizaremos el programa GRETL, programa de econometría gratuito que se puede bajar
de Internet. En el curso virtual (presentación de la asignatura) se puede descargar el
programa. Iremos viendo paso a paso como se utiliza el programa y repasando la teoría
de los modelos ARIMA, es decir repasaremos lo estudiado en los seis primeros
capítulos del libro.
En general, para identificar, estimar y validar un modelo ARIMA se deben
seguir los siguientes pasos:
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Recomendamos que el alumno vaya siguiendo mediante el programa GRETL los
distintos pasos que vamos realizando para adquirir competencia en el manejo del
programa y obtener, de esta manera, una mayor comprensión teórica y práctica.
También recomendamos que al analizar los distintos correlogramas de las series se
tenga a mano el anexo I de este documento (forma que toma el Correlograma para la
identificación de modelos ARIMA) de manera que pueda comprender por qué se elije
un tipo de modelo determinado y no otro. El anexo II muestra como se calcula el
correlograma (Funciones de Autocorrelación Total y Parcial) de cualquier serie de
tiempo, los alumnos deben de comprender y saber calcularlas manualmente.
Analizaremos las variables paro y empleo en España durante los últimos 27 años
(hasta diciembre de 2009, es decir, estimaremos el modelo ARIMA entre enero 1982 y
diciembre de 2009 y haremos una predicción para 2010). La actualidad del tema es
evidente, la coyuntura económica muestra una actividad económica caracterizada por
una grave crisis del sector financiero internacional que en España se ha manifestado
esencialmente en una fuerte crisis de liquidez. El panorama nacional se agrava con el
fuerte endeudamiento de las familias y las empresas, el extraordinario déficit por cuenta
corriente y la caída de la actividad en general (aumento del paro y disminución del
empleo) pero especialmente del sector de la construcción.
Primero nos planteamos qué datos utilizar. Tradicionalmente se ha utilizado el
paro y el empleo registrado. Pero actualmente se utiliza la Encuesta de Población Activa
(EPA) que para algunos autores son de mayor calidad. Aquí utilizaremos las fuente de
la Seguridad Social (paro y afiliaciones registradas en la Seguridad Social) que tienen la
ventaja de tener periodicidad mensual, la EPA es trimestral, y también de ser una
estadística cuyos datos se publican con anterioridad, es decir, tenemos datos más
actualizados para el análisis de coyuntura. El alumno interesado en el tema puede
realizar el análisis de las series de la EPA que también se pueden descargar de la misma
base de datos que utilizaremos.
La base de datos utilizada es la del Banco de España (www.bde.es). Entrando en
“Boletín estadístico” y “Series temporales completas”, grabamos en disco la carpeta
“be.zip”, que contiene multitud de ficheros de datos. También la carpeta contiene el
fichero denominado “Catálogo” en el que se describen todas las series de tiempo que
contiene la base de datos y los ficheros donde se encuentran cada una de ellas. Los
ficheros son del tipo “.csv” que se pueden leer mediante Excel. Para visualizar los datos
correctamente (en Excel) seleccionamos, en el fichero “catalogo” y la primera columna
completa, entramos en el menú “datos” “texto en columnas” y seleccionamos la
opciones “delimitados” ”coma””finalizar”.
Los Afiliados a la Seguridad Social, es decir el empleo registrado, se encuentra
en el fichero “be2419.csv” y el paro registrado en “be2415.csv”. Las afiliaciones
comienzan en enero de 1982, el paro en 1939. Para tener ambas variables en el mismo
fichero utilizaremos el periodo que va de enero de 1982 a febrero de 2010. Para utilizar
estos datos en el programa Gretl primero crearemos un fichero Excel con ambas series
temporales, ello se consigue simplemente creando un fichero nuevo de Excel con los
datos de afiliaciones y paro en las dos primeras columnas (desde enero de 1982 hasta
febrero de 2010, mediante el procedimiento de copiar y pegar) además en la primera fila
de ambas columnas pondremos los nombres de ambas columnas (“afiliados” y “paro”
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en nuestro caso, que luego utilizaremos como nombre de las variables) y finalmente
grabamos el fichero para luego utilizarlo (afiliados.xls).
Gretl Al abrir el programa Gretl aparece su ventana principal, en la opción “Archivo”
del menú podemos seleccionar la opción “Nuevo conjunto de datos” si queremos grabar
los datos manualmente o “Abrir datos” si queremos trabajar con datos grabados
anteriormente en otra sesión o importar datos. Puesto que vamos a importar los datos de
Excel, seleccionamos en el menú: “Archivo” ”Abrir datos” ”Importar”
”Excel” buscamos el fichero “Afiliados.xls” ”Afiliados.xls”. El programa
pregunta si comenzar a copiar en la fila 1 y columna 1 “ok” Los datos han sido
interpretados como sin fecha Desea interpretarlos como serie de tiempo Mensual
introducir la fecha de la primera observación (en este caso enero de 1982) y
finalmente en la ventana aparecerán las dos variables.
Con el objetivo de poder realizar predicción histórica reduzco el rango de datos
hasta diciembre de 2009 (GRETL: en el menú “Muestra” “Establecer rango”
reducir final hasta “2009.12” “ok”) para realizar la estimación entre enero de 1982 y
diciembre de 2009, es decir, como si sólo tuviéramos datos hasta diciembre de 2009.
Paro registrado El Gráfico 1 muestra el paro registrado (GRETL: en el menú seleccionar “Ver”
“Gráficos” “Gráfico de series temporales” elegir “Paro” “ok”)
Gráfico 1
Paro registrado (1982.01-2009.12)
Se aprecia el fuerte crecimiento del paro hasta la segunda mitad de los ochenta
(crisis del petróleo y reconversión industrial); la caída hasta el noventa y dos (obras de
infraestructuras para las Olimpiadas y la Exposición Universal de Sevilla); la crisis del
noventa y tres, con aumentos del paro hasta mediados de los noventa; la fuerte caída del
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paro hasta principios del nuevo milenio (entrada en el Euro, tipos de interés bajos,
desarrollo de todos los sectores y especialmente de la construcción); el nuevo milenio
presenta unos niveles de paro estables hasta el comienzo de la crisis actual donde el
paro se dispara desde el entorno de los dos millones de parados en 2008 a los cuatro
millones de 2010.
Para poder aplicar la metodología ARIMA la serie debe ser estacionaria:
1. Bajo el supuesto de que una series histórica está compuesta por «n»
variables aleatorias. En sentido estricto esa serie es estacionaria si y sólo
si las funciones de distribución de frecuencias de esas «n» variables son
iguales, es decir, si para distintos momentos de tiempo se cumple que:
F(Zt)=F(Zt’), representando «t» y «t’» dos momentos diferentes de
tiempo (t ≠ t’).
2. En sentido amplio, sin embargo, basta con que se cumplan las siguientes
condiciones:
a. Media constante: E(Zt) =
Z
b. Varianza constante: var(Zt) = σ2
De manera que lo primero que hay que hacer es ver si la serie del paro registrado
es estacionaria, el menos en sentido amplio. En el gráfico 1 se aprecian ciclos que, en
principio, y puesto que estos movimientos parecen sistemáticos, difícilmente son
compatibles con la definición de estacionaridad («n» variables aleatorias con igual
Función de Distribución). Una forma práctica de ver si una serie es estacionaria o no, es
calcular las Función de Autocorrelación Total y si los valores decrecen rápidamente, la
serie es estacionaria. El Correlograma del paro en niveles se reproduce en el gráfico 2
(GRETL: en el menú seleccionar la variable “Paro” con el ratón en el menú pinchar
en “Variable” “Correlograma”).
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Gráfico 2
Correlograma del Paro en niveles
Donde la Función de Autocorrelación decrece lentamente (parte superior del
gráfico 2, denominado “FAC”), consecuentemente el paro en niveles no es estacionario.
La metodología ARIMA asume que la forma de conseguir series estacionarias
consiste en diferenciar regular y/o estacionalmente. Una serie es integrada de orden cero
si es estacionaria [I(0)] e integrada de orden uno [I(1)] si es necesario una primera
diferencia regular para conseguirlo y así sucesivamente. Si consideramos la parte
regular y estacional conjuntamente entonces una serie por ejemplo I(1,1) es aquella que
se hace estacionaria, o integrada de orden cero [I(0)], realizando una primera diferencia
regular [d(Zt)=Zt–Zt-1] y otra estacional [d12
(Zt)=Zt–Zt-12].
Puesto que el paro registrado no es estacionario en niveles probamos la primera
diferencia regular, es decir, comprobamos si el paro es integrado de orden uno [I(1)]
calculando la primera diferencia regular para ver si es estacionaria (GRETL: seleccionar
la variable “Paro” y en el menú seleccionar “Añadir” “Primeras diferencias de las
variables seleccionadas” en la ventana se muestra la nueva variable en diferencias
“d_Paro”).
El gráfico 3 muestra el paro en primeras diferencias (GRETL: en el menú
selecinar “Ver” “Gráficos” “Gráfico de series temporales” elegir “d_Paro”
“ok”).
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Gráfico 3
Paro registrado en diferencias
Cuyo Correlograma se muestra en el siguiente gráfico (GRETL: seleccionar la
variable “d_Paro” con el ratón en el menú “Variable” “Correlograma”).
Gráfico 4
Correlograma del paro en diferencias (d_Paro)
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La Función de Autocorrelación del paro registrado en diferencias decrece
rápidamente en los desfases regulares (primeros desfases) pero de forma lenta en los
retardos estacionales (12, 24, 36 y 48), de manera que no es estacionario en la parte
estacional, o dicho de otra forma, el paro registrado no es una serie integrada de orden
uno [I(1)]. De manera que diferenciamos estacionalmente para comprobar si el paro es
integrado de orden uno estacional [I(0,1)].
Calculamos una diferencia estacional del paro reproducida en el gráfico que se
muestra a continuación (GRETL: seleccionar la variable “Paro” y en el menú
“Añadir” “Primeras diferencias estacionales de las variables seleccionadas” en
la ventana aparece la nueva variable en diferencias estacionales “sd_Paro”).
Gráfico 5
Diferencia estacional del paro (sd_Paro)
Donde se observa con claridad las crisis del periodo (máximos relativos):
principios de los ochenta, crisis del noventa y tres, crisis del noventa y seis, del dos mil
tres y sobre todo la actual. Su Correlograma (GRETL: seleccionar la variable
“sd_Paro” con el ratón y en el menú “Variable” “Correlograma”) es el siguiente.
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Gráfico 6
Correlogarama del paro en diferencias estacionales (sd_Paro)
Presenta una Función de Autocorrelación Total (FAC) que decrece lentamente
en la parte regular, la serie en diferencias estacionales no es estacionaria, el paro
registrado no es integrado de orden uno estacional [I(0,1)]. De manera que probamos si
el paro es integrado de orden uno regular y estacional [I(1,1)] calculando una diferencia
estacional a partir de la serie en diferencias regulares (GRETL: seleccionar la variable
“d_Paro” y en el menú “Añadir” “Primeras diferencias estacionales de las
variables seleccionadas” en la ventana aparece la nueva variable en primeras
diferencias regulares y estacionales “sd_d_Paro”), cuyo gráfico se reproduce a
continuación (GRETL: “Ver” “Gráficos” “Gráfico de series temporales”
elegir “sd_d_Paro” “ok”).
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Gráfico 7
El paro en diferencias regulares y estacionales (sd_d_Paro)
Cuyo correlograma es (GRETL: seleccionar la variable “sd_d_Paro” con el
ratón y en el menú “Variable” “Correlograma”).
Gráfico 8
Correlograma del paro diferenciado regular y estacionalmente (sd_d_Paro)
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La parte regular se asemeja a un AR(2) puesto que la Función de
Autocorrelación Total presenta dos valores significativamente distintos de cero mientras
que la Función de autocorrelación parcial decrece rápidamente. En los desfases
estacionales la cuestión es diferente: el primer desfase estacional es significativo, la
Función de Autocorrelación Parcial estacional decrece rápidamente1. De manera que el
paro en diferencias regulares y estacionales es estacionario [I(1,1)] y parece responder a
un modelo AR(2) regular y MA(1)2 estacional, es decir, un SARIMA(2,1,0)(0,1,1) que
se puede escribir de las siguiente forma:
(1-B)(1-B12
)Wt = Zt = a1Zt-1 + a2Zt-2 + bVt-12 + Vt [1]
Cuya forma compacta es,
(1 - a1B - a2B2)Zt=(1+bB
12)Vt [2]
La estimación del modelo se reproduce en el cuadro 1 (GRETL: en el menú
seleccionar “Modelo” “Series de tiempo” “ARIMA” seleccionar como variable
dependiente “sd_d_Paro” seleccionar en la parte no estacional: orden AR = 2,
diferencia = 0 y orden MA = 0. Y en la parte estacional: orden AR = 0, diferencia = 0 y
orden MA = 1. Manteniendo la constante y seleccionar “ok” apareciendo una ventana
con la estimación del modelo).
ARMA, usando las observaciones 1983:02-2009:12 (T = 323)
Estimado usando el filtro de Kalman (MV exacta)
Variable dependiente: sd_d_Paro
Desviaciones típicas basadas en la matriz de productos externos
Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p
-----------------------------------------------------------------
const 516.235 841.265 0.6136 0.5395
phi_1 0.230043 0.0541967 4.245 2.19e-05 ***
phi_2 0.201914 0.0543272 3.717 0.0002 ***
Theta_1 −0.857650 0.0395960 −21.66 4.89e-104 ***
Media de la vble. dep. 1193.783 D.T. de la vble. dep. 57244.63
media innovaciones −1831.765 D.T. innovaciones 44426.59
Log-verosimilitud −3922.995 Criterio de Akaike 7855.991
Criterio de Schwarz 7874.879 Crit. de Hannan-Quinn 7863.531
Cuadro 1
Estimación del modelo SARIMA(2,1,0)(0,1,1) del paro
Todos los parámetros son significativos: a1 (phi_1), a2 (phi_2) y b1 (Theta_1), el
término independiente se suele mantener por cuestiones de ajuste aún cuando en este
caso no es significativo. La validación del modelo se realiza comprobando que los
1 En este sentido hay que recordar que aunque la parte regular parece que se ajusta más a un AR(2) esto
no queda claro y podía también corresponder a un ARMA(1,1) regular, de manera que se recomienda
estimar también este modelo, y elegir el que mejor ajusta siguiendo el criterio de Akaike, esto es lo que se
ha hecho siguiendo el criterio de parsimonia (libro de texto pág. 143), resultando que el que mejor ajusta
es el AR(2) regular.
2 Para la identificación de los modelos ARIMA hay que tener siempre en cuenta la forma que toma el
Correlograma para cada modelo teórico, en el ANEXO I de este trabajo se muestra la forma teórica que
toman los distintos modelos ARIMA y en el ANEXO II se muestra como se calcula el Correlograma
(Función de Autocorrelación Total y Parcial).
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residuos son RB (Ruido Blanco). El gráfico 9 muestra el Correlograma de las
discrepancias (GRETL: en el cuadro de la estimación del modelo (cuardo 1) seleccionar
“Gráficos” “Gráficos de residuos” “Correlograma de los residuos”).
Gráfico 9
Correlograma de los residuos de modelo SARIMA(2,1,0)(0,1,1) del paro.
Que presenta una Función de Autocorrelación (“FAC”) con sólo un valor
significativo, mayor de ( 2 323 ) = 0.110, en el retardo 8 (0,146), el estadístico Box-
Pierce3 en el retardo 50 es 36, con un p-valor del 0.932, lo que muestra unos residuos
cercanos a la imagen empírica de RB. De manera que podemos considerar el modelo
SARIMA(2,1,0)(0,1,1) para el paro registrado como validado.
Una vez estimado el modelo realizamos la predicción para 2010, para ello
calculamos, a partir de la serie original la serie estacionaria en Excel. El cuadro 2
reproduce la serie original del paro a partir de enero de 2009 (se puede calcular en Excel
o a partir de la serie calculada por GRETL “sd_d_paro”), la columna Vt es la que
calcula por GRETL como residuos del modelo (GRETL: en la ventana de estimación
del modelo elegir “Guardar” “Residuos” se genera una serie denominada
“uhatxx” que es la serie Vt del cuadro 2).
3 Ver pp. 203-204 del libro de texto.
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Cuadro 2
Predicción 2010 de la serie estacionaria
Paro registrado SARIMA(2,1,0)(0,1,1)
Obs. Wt
Paro
dparo
dWt=(Wt-Wt-1)
dd12paro
(dd12Wt=dWt-dWt-12) Vt
Predicción
12
t tdd W Z
ene-09 3327801 198838 66460 59345 7333
feb-09 3481859 154058 100652 90762,2 10111
mar-09 3605402 123543 137899 86599,3 51524
abr-09 3644880 39478 1936 9407,1 -7254
may-09 3620139 -24741 -39799 -23281,9 -16298
jun-09 3564889 -55250 -92099 -58140,4 -33738
jul-09 3544095 -20794 -57286 -6754 -50311
ago-09 3629080 84985 -18100 60406,6 -78288
sep-09 3709447 80367 -15000 43853,5 -58634
oct-09 3808353 98906 -93752 13454,5 -106992
nov-09 3868946 60593 -110650 -18291,3 -92141
dic-09 3923603 54657 -85037 20593,7 -105413
ene-10 4048493 124890 -73948 18337,0 -92285
feb-10 4130625 82132 -71926 39581,3 -111507
mar-10
-105233
abr-10
-22075
may-10
20484
jun-10
50380
jul-10
6309
ago-10
-51291
sep-10
-37095
oct-10
-11023
nov-10
16204
dic-10 -17146
La última columna es la predicción que hemos calculado aplicando la ecuación del
modelo estimado, es decir, a partir de [1] tenemos que,
Zt = 516,235 + 0,230043Zt-1 + 0,201914Zt-2 – 0,85765Vt-12 [3]
Como sólo disponemos de datos de enero y febrero de 2010, sólo podemos
comparar la predicción en estos dos meses, en ambos la predicción subestima el paro.
La predicción en niveles se realiza a partir de [1], el modelo estimado es
(1-B)(1-B12
)Wt = Zt = 516,235 + 0,230043Zt-1 + 0,201914Zt-2 – 0,85765Vt-12 +Vt
operando en la parte izquierda de la ecuación tenemos,
(1-B12
-B+B13
)Wt=Zt =516,235 + 0,230043Zt-1 + 0,201914Zt-2 – 0,85765Vt-12 +Vt
Wt–Wt-12–Wt-1+Wt-13=Zt=516,235+0,230043Zt-1+ 0,201914Zt-2–0,85765Vt-12+Vt
el paro en niveles a partir de Zt es,
Wt = Zt + Wt-12 + Wt-1 – Wt-13 [4]
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De manera que podemos calcular, a partir de [4], la predicción del paro en
niveles hasta diciembre de 2010 que se reproduce en el cuadro 3. Para ello recurrimos a
Excel. La segunda columna muestra el paro registrado (Wt) en niveles hasta febrero de
2010, la tercera es la predicción de la serie estacionaria (última columna del cuadro 2)
hasta diciembre de 2010, aplicando la ecuación [4], se llega a la predicción del paro en
niveles hasta diciembre de 2010.
Cuadro 3
Predicción 2010 del paro en niveles
Paro registrado SARIMA(2,1,0)(0,1,1)
Obs Wt
Paro
Zt
estimada
Wt
estimada
ene-10 4048493 -92285 4030156
feb-10 4130625 -111507 4091044
mar-10
-105233 4148935
abr-10
-22075 4166339
may-10
20484 4162081
jun-10
50380 4157212
jul-10
6309 4142727
ago-10
-51291 4176420
sep-10
-37095 4219692
oct-10
-11023 4307575
nov-10
16204 4384372
dic-10
-17146 4421883
Podemos calcular, a partir de la ecuación [1], el paro estimado en niveles hasta
diciembre de 2009 (GRETL: en el menú seleccionar “Modelo” “Series de tiempo”
“ARIMA” seleccionar como variable dependiente “Paro” seleccionar en la
parte no estacional: orden AR = 2, diferencia = 1 y orden MA = 0. Y en la parte
estacional: orden AR = 0, diferencia = 1 y orden MA = 1. Manteniendo la constante y
seleccionar “ok” apareciendo una ventana con la estimación del modeloen la
ventana de estimación del modelo seleccionar “Gráficos” “gráfico de la variable
estimada y observada). El gráfico 11 muestra el paro registrado y estimado en niveles.
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Gráfico 11
Paro registrado y estimación [modelo SARIMA(2,1,0)(0,1,1)]
Donde se observa a simple vista el buen ajuste del modelo.
El gráfico 12 muestra la predicción del paro en 2010 y los observados.
Gráfico 12
La predicción subestima el paro efectivo hasta abril (aunque se puede considerar
una predicción aceptable hasta este mes), a partir de mayo la predicción sobrestima lo
realmente sucedido. En este sentido hay que recordar que los modelos ARIMA son
especialmente adecuados para predecir a corto plazo, lo que ocurre en este caso si
consideramos sólo los 4 primeros meses.
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Empleo (Afiliaciones a la Seguridad Social)
Los economistas consideramos, en general, que el empleo es más adecuado para
el análisis de la evolución de la economía que el paro puesto que mayor empleo implica
necesariamente mayor producción, mientras que en el paro influyen otras circunstancias
no relacionadas directamente, como la incorporación de la mujer al mercado de trabajo,
la emigración, etc.
El gráfico 12 muestra el empleo registrado (GRETL: en el menú seleccionar
“Ver” “Gráficos” “Gráfico de series temporales” elegir “Afiliaciones”
“ok”).
EL gráfico 12 muestra una tendencia creciente si consideramos todo el periodo.
También se aprecia la ralentización de la primera mitad de la década de los ochenta
(crisis del petróleo), la crisis del noventa y tres y la crisis actual.
Gráfico 12
Empleo (afiliaciones a la Seguridad Social)
Puesto que la serie no es estacionaria [I(0)], Calculamos su primera diferencia
para ver si es integrada de orden uno [I(1)], su gráfico se muestra a continuación
(GRETL: seleccionar la variable “Afiliados” y en el menú “Añadir” “Primeras
diferencias de las variables seleccionadas” en la ventana principal aparece la nueva
variable en diferencias “d_Afiliados”).
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Gráfico 14
Primera diferencia del empleo
Que presenta una varianza creciente a lo largo del periodo (heterocedasticidad),
en definitiva la serie en primeras diferencias no es estacionaria.
En muchas ocasiones aplicando logaritmos se consigue evitar la
heterocedasticidad. De manera que transformamos la serie original en logaritmos
(GRETL: seleccionar la variable “Afiliados” y en el menú “Añadir” “Logaritmos
de las variables seleccionadas” en la ventana principal aparece la nueva variable en
logaritmos “l_Afiliados”). El siguiente gráfico muestra el empleo en logaritmos.
Gráfico 15
Empleo en logaritmos
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Del que se pueden hacer los mismos cometarios que de la serie en niveles
(gráfico 14): tendencia creciente, crisis de la primera mitad de los ochenta, crisis del
noventa y tres y ralentización actual. Puesto que la serie no es estacionaria en media
calculamos su primeras diferencias con el objetivo de contrastar si la primera diferencia
del empleo registrado en logaritmos es integrado de orden uno [I(1)] (GRETL:
seleccionar la variable “l_Afiliados” y en el menú “Añadir” “Primeras
diferencias de las variables seleccionadas” en la ventana principal aparece la nueva
variable en diferencias “d_l_Afiliados”). Cuyo gráfico se muestra a continuación.
Gráfico 16
Primeras diferencias del empleo en logaritmos
Donde no se aprecia existencia de heterocedasticidad ni tendencia, su
Correlograma se muestra en a continuación (GRETL: seleccionar la variable
“d_l_Afiliados” con el ratón y en el menú “Variable” “Correlograma”).
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Gráfico 17
Correlograma de las primeras diferencias regulares del empleo en logaritmos
Cuya Función de Autocorrelación Total (FAC) cae rápidamente en los primeros
desfases regulares pero también se observa una caída lenta en los retardos estacionales.
De manera que no es estacionaria en la parte estacional, el empleo en logaritmos no es
integrado de orden uno [I(1)]. Ensayamos una diferencia estacional para ver si el
empleo en logaritmos es integrado de orden uno estacional [I(0,1)].
Calculamos la primera diferencia estacional del empleo en logaritmos (GRETL:
seleccionar la variable “l_Afiliados” y en el menú “Añadir” “Primeras
diferencias estacionales de las variables seleccionadas” en la ventana principal
aparece la nueva variable en diferencias estacionales “sd_l_Afiliados”). Cuya gráfica se
muestra a continuación.
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Gráfico 18
Primera diferencia estacional del empleo en logaritmos
Se observa, a partir de sus mínimos relativos la crisis de la primera mitad de los
ochenta, la del noventa y tres, y la actual. Su Correlograma (Seleccionar la variable
“sd_l_Afiliados” con el ratón y en el menú “Variable” “Correlograma”) se
muestra a continuación.
Gráfico 19
Correlograma de la primera diferencia estacional del empleo en logaritmos
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Que presenta una Función de Autocorrelación Total que disminuye lentamente,
de manera que la primera diferencia estacional del empleo en logaritmos no es
estacionaria. Calculamos la primera diferencia regular y estacional del empleo en
logaritmos con el objetivo de ver si el empleo en logaritmos es integrado de orden uno
regular y estacional [I(1,1)] (GRETL: seleccionar la variable “d_l_Afiliados” y en el
menú “Añadir” “Primeras diferencias estacionales de las variables
seleccionadas” en la ventana principal aparece la nueva variable en diferencias
estacionales “sd_d_l_Afiliados”). Cuyo gráfico se muestra seguidamente.
Gráfico 20
Primeras diferencias regulares y estacionales del empleo en logaritmos
Cuyo Correlograma (GRETL: seleccionar la variable “sd_d_l_Afiliados” con el
ratón y en el menú “Variable” “Correlograma”) se reproduce seguidamente.
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Gráfico 21
Correlograma de las primeras diferencias regulares y estacionales del empleo en
logaritmos
Correlograma que no es fácil de interpretar (sorprende que sea creciente los tres
primeros retardos tanto de la función de autocorrelación parcial como total), en todo
caso el empleo en logaritmos es integrado de orden uno regular y estacional [I(1,1)]. El
primer desfase no es significativo mientras que el segundo y tercero si lo son. Los
desfases estaciones son significativos al menos los dos primeros (desfases 12 y 24) tanto
en la autocorrelación parcial como total. Hemos llegado, mediante estimaciones
iterativas de diferentes especificaciones alternativas, siguiendo el criterio de Akaike
(pág. 178), al modelo SARIMA(3,1,1)(0,1,2) que se reproduce a continuación (GRETL:
en el menú seleccionar “Modelo” “Series de tiempo” “ARIMA” seleccionar
como variable dependiente “sd_d_l_Afiliados” seleccionar en la parte no
estacional: orden AR = 3, diferencia = 0 y orden MA =1. Y en la parte estacional: orden
AR = 0, diferencia = 0 y orden MA = 2. También eliminar la constante y seleccionar
“ok” apareciendo una ventana con la estimación del modelo).
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ARMA, usando las observaciones 1983:02-2009:12 (T = 323)
Estimado usando el filtro de Kalman (MV exacta)
Variable dependiente: sd_d_l_Afiliado
Desviaciones típicas basadas en la matriz de productos externos
Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p
----------------------------------------------------------------
phi_1 0.371055 0.118985 3.119 0.0018 ***
phi_2 0.131039 0.0578205 2.266 0.0234 **
phi_3 0.301385 0.0675287 4.463 8.08e-06 ***
theta_1 −0.398225 0.120043 −3.317 0.0009 ***
Theta_1 −0.476254 0.0596572 −7.983 1.43e-15 ***
Theta_2 −0.188983 0.0608877 −3.104 0.0019 ***
Media de la vble. dep. −0.000092 D.T. de la vble. dep. 0.004192
media innovaciones 8.46e-06 D.T. innovaciones 0.003446
Log-verosimilitud 1370.121 Criterio de Akaike −2726.241
Criterio de Schwarz −2699.797 Crit. de Hannan-Quinn −2715.68
Cuadro 5
Estimación del modelo SARIMA(3,1,1)(0,1,2) del empleo en logaritmos
Cuyos parámetros son significativos. La validación del modelo, a partir del
Correlograma de los residuos se muestra a continuación (GRETL: en el cuadro de la
estimación seleccionar “Gráficos” “Gráficos de residuos” “Correlograma”).
Gráfico 22
Correlograma de los residuos del modelo SARIMA(3,1,1)(0,1,2) del empleo en
logaritmos
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Presenta valores significativos (mayores de 0.110 en términos absolutos) en la
Función de Autocorrelación Total en los desfases 14, 23, 28, 32, 33, 39 y 45. El
estadístico Box-Pierce en el retardo 50 es 72, de manera que a pesar de que los primeros
retardos no son significativos el estadístico Box-Pierce indica que los residuos no son
RB.
Supuesto que los residuos se pudieran considerar RB, el modelo en notación
compacta es,
(1–a1B–a2B2–a3B
3)(1–B)(1–B
12)Ln(Wt) = (1+b1B+b2B
12+b3B
24)Vt
operando tenemos,
(1–B)(1–B12
)Ln(Wt) =Zt= Vt+b1Vt-1+b2Vt-12+b3Vt-24+a1Zt-1+a2Zt-2+a3Zt-3
(1–B12
– B + B13
)Ln(Wt) =Zt= Vt+b1Vt-1+b2Vt-12+b3Vt-24+a1Zt-1+a2Zt-2+a3Zt-3
y el modelo estimado es,
(1–B12
–B+B13
)Ln(Wt)=Zt=Vt-0,40Vt-1-0,48Vt-12-0,19Vt-24+0,37Zt-1+0,13Zt-2+0,30Zt-3
Estimado el modelo realizamos la predicción para 2010, para ello calculamos, a
partir de la serie original, la serie estacionaria en Excel, el cuadro 7 reproduce la serie
original del empleo a partir de enero de 2009 (se puede calcular en Excel o a partir de la
serie calculada en GRETL “sd_d_l_Afiliado”), la columna Vt es la que calcula GRETL
como residuos del modelo (GRETL: en la ventana de estimación del model elegir
“Guardar” “Residuos” se genera una serie denominada “uhatxx” que es la serie
Vt del cuadro 7).
Cuadro 7
Predicción 2010 de la serie estacionaria
Afiliados registrado SARIMA(2,1,0)(0,1,1)
Obs. Wt
Afiliados Ln(Wt)
dLn(Wt) dln(Wt)=ln(Wt)-
-ln(Wt-1)
dd12Ln(Wt) dd12Ln(Wt)=dLn(Wt)-
-dLn(Wt-12) Vt
Predicción
12 ln t tdd W Z
ene-09 18150678 16,7142185 -0,0084998 -0,0040778 -0,0006345 -0,0036334
feb-09 18075777 16,7100833 -0,0041352 -0,0075399 -0,00326 -0,0037403
mar-09 17967287 16,7040633 -0,00602 -0,0088447 -0,004365 -0,003938
abr-09 17955064 16,7033828 -0,0006805 -0,0017706 0,0004384 -0,0014779
may-09 18100171 16,7114319 0,00804919 0,00118264 0,006958 -0,0048668
jun-09 17917981 16,7013153 -0,0101167 0,000216 -0,0003865 0,00036113
jul-09 17958362 16,7035664 0,00225112 0,00303413 0,00354 0,00172091
ago-09 17796399 16,6945067 -0,0090597 -0,0030696 0,0008793 -0,0032061
sep-09 17791858 16,6942515 -0,0002552 0,01125313 0,005335 0,00460376
oct-09 17870659 16,6986708 0,00441927 0,01139138 0,008891 0,0047416
nov-09 17777153 16,6934247 -0,0052461 -0,0027403 -0,005734 0,00386092
dic-09 17640018 16,6856806 -0,007744 0,01140938 0,004613 0,0078418
ene-10 17546714 16,6803773 -0,0053034 0,00319644 -0,0031786 0,00637507
feb-10 17550412 16,6805880 0,00021073 0,00434589 -0,000811 0,00515687
mar-10
0,00891597
abr-10
0,00496195
may-10
0,00071901
jun-10
0,00625066
jul-10
0,0023973
ago-10
-8,375E-05
sep-10
0,00230021
oct-10
-0,0018737
nov-10
0,00341032
dic-10 0,00022638
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podemos calcular la serie en niveles a partir de la serie estacionaria
Ln(Wt) – Ln(Wt-12) – Ln(Wt-1) + Ln(Wt-13) = Zt
Ln(Wt) = Zt + Ln(Wt-12) + Ln(Wt-1) – Ln(Wt-13) [5]
Wt = exp[Zt + Ln(Wt-12) + Ln(Wt-1) – Ln(Wt-13)] [6]
A partir de [6] calculamos la predicción del empleo en niveles hasta diciembre
de 2010. Para ello recurrimos a Excel. La segunda columna del cuadro 8 muestra los
afiliados registrados (Wt) en niveles hasta febrero de 2010, la tercera la predicción de la
serie estacionaria (última columna del cuadro 7), hasta diciembre de 2010. Calculando
[6] se llega a la predicción de los afiliados registrados en niveles (última columna del
cuadro 8).
Cuadro 8
Predicción 2010 del empleo en niveles
Afiliados SARIMA(3,1,1)(0,1,2)
Obs Wt
Afiliados
Zt
estimada
Wt
estimada
ene-10 17546714 0,00637507 17602577
feb-10 17550412 0,00515687 17564651
mar-10
0,00891597 17601310
abr-10
0,00496195 17676831
may-10
0,00071901 17832506
jun-10
0,00625066 17763699
jul-10
0,0023973 17846465
ago-10
-8,375E-05 17684030
sep-10
0,00230021 17720231
oct-10
-0,0018737 17765396
nov-10
0,00341032 17732812
dic-10
0,00022638 17600003
Podemos mostrar los afiliados observados y estimados en logaritmos, hasta
diciembre de 2009 (GRETL: en el menú seleccionar “Modelo” “Series de tiempo”
“ARIMA” seleccionar como variable dependiente “l_Afiliados” seleccionar
en la parte no estacional: orden AR = 3, diferencia = 1 y orden MA = 1. Y en la parte
estacional: orden AR = 0, diferencia = 1 y orden MA = 2. Eliminando la constante y
seleccionando “ok” aparece la ventana con la estimación del modeloen la
ventana de estimación seleccionar “Gráficos” “gráfico de la variable estimada y
observada). El gráfico 23 muestra el empleo registrado y estimado en logaritmos.
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Gráfico 23
Empleo registrado y estimación en logaritmos, modelo SARIMA(3,1,1)(0,1,2)
Que muestra un buen ajuste, de manera que aunque no está claro si los residuos
son RB, podemos utilizar el modelo para predecir. El gráfico 24 muestra la predicción
del empleo para 2010 y el empleo observado en enero y febrero.
Cuadro 24
Predicción del empleo en niveles para 2010 SARIMA(3,1,1)(0,1,2)
Se plantea una coyuntura en la que el empleo termina el año en los mismos
niveles en que empezó, comparando la predicción con lo efectivamente ocurrido la
conclusión es que la predicción en su conjunto se puede considerar adecuada
sobrestimado el empleo pero en una cuantía aceptable.
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El alumno debe observar que en la parte regular de este modelo ARIMA(3,1,1),
la suma de los componentes autorregresivo y medias móviles es 4, muy alejado de la
recomendación de Anderson (p + q ≤ 2) (pág. 143 del libro). Hubiera sido mejor estimar
el modelo SARIMA(0,1,0)(0,1,2) y añadir dos autorregresivos de orden 2 y 3. En este
caso el criterio de Akaike mejora (-2742,589) y por tanto también el ajuste. El
correlograma de los residuos presenta valores significativos (mayores de 0.110 en
términos absolutos) de la Función de Autocorrelación Total en los mismos desfases que
el modelo anterior y el estadístico Box-Pierce en el retardo 50 es también 72, de manera
que tampoco en este modelo queda claro si los residuos son RB. En todo caso la
predicción es muy parecida y desde el punto de vista didáctico consideramos mejor el
modelo estimado anteriormente.
Conclusiones
Las evidencias empíricas muestran que ambas variables son integradas de orden
uno regular y estacional [I(1,1)].
El paro se ajusta bien el modelo SARIMA(2,1,0)(0,1,1), es decir un AR(2) en la
parte regular y un MA(1) en la estacional cuyos residuos son una imagen empírica
cercana a ruido blanco. La predicción es adecuada en los primeros 4 meses, alejándose a
partir del mes mayo de lo efectivamente ocurrido.
El modelo del empleo que mejor se ajusta es un SARIMA(3,1,1)(0,1,2). Los
residuos del modelo presentan dudas respecto a su validación. El pronóstico sobrestima
las cifras de empleo pero se comparta bastante bien, el pronóstico de estancamiento del
empleo ha resultado cierto.
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ANEXO I (forma que toma el Correlograma para la identificación de modelos ARIMA)
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ANEXO II (CÁLCULO DEL CORRELOGRAMA)
Como sabéis, los modelos ARIMA utilizan como herramienta para identificar y validar
sus modelos el Correlograma. A continuación se muestra como se calculan las
Funciones de Autocorrelación Total y Función Autocorrelación Parcial de cualquier
serie temporal.
Función de Autocorrelación.
En el libro de Econometría II se ilustra el proceso de cálculo de la función de
autocorrelación referida a los 12 números de la serie original de manchas solares pág.
85 y siguientes.
La función de autocorrelación se puede calcular a partir de los siguientes estadísticos:
1.
T
t t
uT
t uttu
u
ZZT
ZZZZT
C
CR
1
2
1
01
1
2.
T
t t
uT
t utt
u
u
ZZT
ZZZZuT
C
CR
1
2
1
01
1
3.
T
t t
uT
t utt
u
u
ZZT
ZZZZuT
C
CR
1
2
1 21
01
1
donde:
T
t tZT
Z11
1, y
uT
t utZ
uTZ
11
1
Asíntóticamente los tres estadísticos son iguales, pero cuando se trabaja con pocas
observaciones puede haber diferencias significativas.
Realizando la función de autocorrelación a partir del estadístico 1.
T
t t
uT
t uttu
u
ZZT
ZZZZT
C
CR
1
2
1
01
1
, y teniendo en cuenta los cálculos intermedios
que se reproducen en el cuadro 1.
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Cuadro – 1
Obs. Z (Zt-
43,28) (Zt-
43,28)2
Zt-1 (Zt-1-43,28) (Zt-43,28)
(Zt-1-43,28) Zt-2 (Zt-2-43,28)
(Zt-43,28)
(Zt-2-43,28) Zt-3 (Zt-3-43,28)
(Zt-43,28)
(Zt-3-43,28) … Zt-10
(Zt-10-43,28)
(Zt-43,28)
(Zt-10-43,28)
1749 80,90 37,62 1415,01 …
1750 83,40 40,12 1609,35 80,90 37,62 1509,06 …
1751 47,70 4,42 19,51 83,40 40,12 177,18 80,90 37,62 166,14 …
1752 47,80 4,52 20,40 47,70 4,42 19,95 83,40 40,12 181,19 80,90 37,62 169,90 …
1753 30,70 -12,58 158,34 47,80 4,52 -56,83 47,70 4,42 -55,58 83,40 40,12 -504,80 …
1754 12,20 -31,08 966,17 30,70 -12,58 391,13 47,80 4,52 -140,39 47,70 4,42 -137,28 …
1755 9,60 -33,68 1134,57 12,20 -31,08 1046,99 30,70 -12,58 423,85 47,80 4,52 -152,14 …
1756 10,20 -33,08 1094,51 9,60 -33,68 1114,36 12,20 -31,08 1028,34 30,70 -12,58 416,30 …
1757 32,40 -10,88 118,45 10,20 -33,08 360,06 9,60 -33,68 366,59 12,20 -31,08 338,29 …
1758 47,60 4,32 18,63 32,40 -10,88 -46,98 10,20 -33,08 -142,81 9,60 -33,68 -145,40 …
1759 54,00 10,72 114,85 47,60 4,32 46,26 32,40 -10,88 -116,63 10,20 -33,08 -354,54 … 80,90 37,62 403,13
1760 62,90 19,62 384,81 54,00 10,72 210,23 47,60 4,32 84,68 32,40 -10,88 -213,49 … 83,40 40,12 786,96
Suma 519,40 7054,60 4771,39 1795,38 -583,17 1190,08
Media 43,28 587,88
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En definitiva utilizando este estadístico, la Función de Autocorrelación es:
Desfase Ru
1
676.0
7054,60
4771,39
1
2
1
1 1
0
1
1
T
t t
T
t tt
ZZ
ZZZZ
C
CR
2
7054,60
1795.38
1
2
2
1 2
0
22 T
t t
T
t tt
ZZ
ZZZZ
C
CR 0.254
3
7054,60
583,17-
1
2
3
1 3
0
33 T
t t
T
t tt
ZZ
ZZZZ
C
CR -0,083
… ….
10
7054,60
1190.08
1
2
10
1 3
0
103 T
t t
T
t tt
ZZ
ZZZZ
C
CR 0,169
Función de Autocorrelación Parcial
La Función de Autocorrelación Parcial coincide con el parámetro mínimo cuadrático
autorregresivo de orden «q», así el valor de la Función de Autocorrelación Parcial de la
serie «Zt» en desviaciones a las medias será:
Zt = a11Zt-1 [1], donde «a11» es el valor de la Función de Autocorrelación Parcial de
orden uno.
Zt = a1Zt-1 +a22Zt-2 [2], donde «a22 » es el valor de la Función de Autocorrelación
Parcial de orden dos, obsérvese que «a11» es distinto que «a1».
……..
Zt = a1Zt-1 + a2Zt-2 + … + appZt-p [3], donde «app» es el valor de la Función de
Autocorrelación Parcial de orden «p».
De manera que se puede calcular la Función de Autocorrelación parcial por MCO.
También es posible calcular la Función de Autocorrelación Parcial a partir de la
Función de Autocorrelación (ecuaciones de Yule-Walker).
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Cálculo de la Función de Autocorrelación Parcial de orden uno (a11).
Multiplicando [1] por «Zt-1»en ambos lados se tiene,
ZtZt-1 = a11Zt-1Zt-1, y aplicando esperanzas,
E (ZtZt-1) = a11E(Zt-1Zt-1)
C1 = a11C0, y dividiendo por «C0»,
R1 = a11, de manera que el Función de Autocorrelación y la Función de Autocorrelación
Parcial de orden uno coinciden.
Cálculo de la Función de Autocorrelación Parcial de orden 2 (a22)
Multiplicando [2] por «Zt-1» en ambos miembros se tiene,
ZtZt-1 = a1Zt-1Zt-1 + a22Zt-2Zt-1 , y aplicando esperanzas,
E (ZtZt-1) = a1E(Zt-1Zt-1) + a22E(Zt-1Zt-2)
C1 = a1C0 +a22C1, y dividendo por «C0»,
R1 = a1R0 +a22R1 [4]
multiplicando [2] por «Zt-2»en ambos miembros,
ZtZt-2 = a1Zt-1Zt-2 + a22Zt-2Zt-2 , y aplicando esperanzas,
E (ZtZt-2) = a1E(Zt-1Zt-2) + a22E(Zt-2Zt-2)
C2 = a1C1 +a22C0, y dividendo por «C0»,
R2 = a1R1 +a22R0 [5]
De manera que tenemos dos ecuaciones [4] y [5] y dos incógnitas («a1» y «a22») sistema
de ecuaciones que en forma matricial se:
0 11 1
1 02 22
R RR a
R RR a , premultiplicando por la matriz inversa del segundo miembro
tenemos,
1
0 11 1
1 022 2
R Ra R
R Ra R
[6]
de manera que podemos calcular a22 conociendo «R1» y «R2».
Cálculo de la Función de Autocorrelación Parcial de orden p (auu)
Multiplicando [3] por «Zt-u» en ambos miembros se tiene,
ZtZt-u = a1Zt-1Zt-u + a2Zt-2Zt-u + … + appZt-pZt-u, y aplicando esperanzas,
E (ZtZt-u) = a1E(Zt-1Zt-u) + a2E(Zt-1Zt-u)+…+ E(appZt-pZt-u)
Modelos ARIMA
Paro y empleo registrado
Econometría II
UNED
34
Cu = a1Cu-1 +a2Cu-2+ …+appCu-p, y dividendo por «C0»,
Ru = a1Ru-1 +a22Ru-2+…+ appRu-p [7]
Dando valores a u se obtienen las ecuaciones de Yule-Walker.
1
1 0 1 1 1
22 1 0 2 2
1 2 0
u
u
uu u u u
a R R R R
a R R R R
a R R R R
, que permiten calcular la Función de
Autocorrelación parcial de orden «u».
Cálculo de la Función de Autocorrelación Parcial de las manchas solares
Función de Aucorrelación Parcial de orden 1 se calcula a partir de [1]
a11 = R1; a11=0.676
La función de Aucorrelación parcial de orden 2 se calcula a partir de [6]
1 1
0 11 1
1 022 2
1 0.676
1 0.676 0.676 0.6760.543 0.543
0.676 1 0.254 0.676 1 0.254
0.543 0.543
1.84162 1.24494 0.676
1.24494 1.84162 0.254
R Ra R
R Ra R
-0.374
Valores que coinciden con los del Correlograma calculado por el ordenador.
Sample: 1749 1760
Included observations: 12
Autocorrelation Partial
Correlation
AC PAC Q-Stat Prob
. |***** | . |***** | 1 0.676 0.676 6.9865 0.008
. |** . | .***| . | 2 0.254 -0.374 8.0747 0.018
. *| . | . *| . | 3 -0.083 -0.142 8.2022 0.042
.***| . | .***| . | 4 -0.429 -0.435 12.065 0.017
****| . | . | . | 5 -0.534 0.055 18.897 0.002
****| . | . **| . | 6 -0.477 -0.212 25.277 0.000
. **| . | . |* . | 7 -0.264 0.192 27.614 0.000
. | . | . **| . | 8 -0.014 -0.204 27.623 0.001
. |* . | . *| . | 9 0.096 -0.094 28.141 0.001
. |* . | . *| . | 10 0.169 -0.101 30.532 0.001