Post on 23-Dec-2015
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OBJETIVOS GENERALES• Mostrar la idea de caminos aleatorios y su utilidad en la caracterización
biológica de macromoléculas.
• Estudiaremos estructuras desde el punto de vista estadístico
• Dogma central verdadero de la biología central (secuencia y consecuencia):
"La secuencia determina la estructura; la estructura determina la función"
• Culminar en una densidad de probabilidad y utilizarla para calcular propiedades de las estructuras.
CAMINO ALEATORIO• Es una formalización matemática de la trayectoria que
resulta de hacer sucesivos pasos aleatorios.
• Es cualquier proceso aleatorio donde la posición de una partícula en cierto instante depende sólo de su posición en algún instante previo y alguna variable aleatoria que determina su subsecuente dirección y la longitud de paso.
ESTRUCTURAS"LA SECUENCIA DETERMINA LA ESTRUCTURA; LA
ESTRUCTURA DETERMINA LA FUNCIÓN"
• Es necesario estudiarlas para comprender la dinámica funcional.
• Generalmente, es mejor hacer una descripción estadística de las estructuras.
• Estructura: Caja monótona regular de átomos en celdas unitarias.
• Una estructura es el conjunto (r1, r2, r3, ..., rN) donde ri = (xi, yi, zi) es el vector de posición del i-ésimo átomo en la molécula de N átomos.
MACROMOLÉCULAS COMO CAMINOS ALEATORIOS
• Caracterizaremos la geometría de una macromolécula con la función r(s).
• Polímeros: macromoléculas compuestas por una o varias unidades químicas (monómeros) que se repiten a lo largo de toda una cadena.
• Discretizaremos un polímero en una serie de segmentos de longitud a, y trataremos cada uno como una barra rígida.
Figura. Modelo de camino aleatorio para polímeros con segmentos de
longitud a .
Correspondencia entre estructura real y la idealización en términos del modelo de caminos aleatorios.
• Haremos un análisis de los caminos aleatorios en una dimensión, luego generalizaremos estas ideas.
• Imaginaremos un arreglo de camino aleatorio confinado a una dimensión con longitud a de cada barra y con N segmentos.
• Se construye como una secuencia de pasos izquierdos y derechos.
• Las probabilidades de cada paso son pi = pd = 1/2.
• Total: 2^N macromoléculas diferentes, cada una con probabilidad 1/(2^N).
- Pasos derechos.- Pasos izquierdos.- Combinación de pasos derechos e izquierdos.
• Calcularemos la distancia media del camino aleatorio en función del número de segmentos.
• Partiremos de la varianza, dada por la ecuación (1), donde xi es el desplazamiento en el camino aleatorio debido a un paso derecho (a) o izquierdo (-a).
• Por la independencia de xi y xj, el segundo término de (1) es cero.
• Sustituyendo (2) en (1) obtenemos que la distancia media es dada por (3).
Ecuaciones para la obtención de la distancia media del camino
aleatorio.
• Analizaremos ahora la probabilidad de dar nr pasos derechos.
• El número caminos posibles W que pueden dar nr pasos derechos es dado por la combinatoria de pasos derechos nr con los pasos totales N:
Ejemplo de pasos derechos posibles para cuando hay 3 barras, es decir,
N=3.
NOTA: Tenemos como objetivo llegar a una distribución de probabilidad.
• La probabilidad de que cada camino aleatorio ocurra es dada por:
• En términos de la distancia media R:
Gráfica de la densidad de probabilidad p(R; N)
DENSIDAD DE PROBABILIDAD
• Para una dimensión:
• Para tres dimensiones:
• Obtenidas de varias manipulaciones algebraicas, estas densidades de probabilidad describen la estructura de polímeros largos .