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Factorización Scherzer
Prohibida su copia o reproducción sin permiso del autor el fisicomatemático
Raúl Scherzer Alcalde 582 Guadalajara, Jalisco, México
33 36 14 68 15
La factorización o escríbelo como una multiplicación
Factor común,
factorización por agrupación y
por fórmula.
Las ocho factorizaciones básicas.
Se inventaron como un procedimiento para convertir las sumas y restas de polinomios
en productos o multiplicaciones.
Las ocho factorizaciones.
Factor común.
Por fórmula
Por agrupación.
Diferencia de cuadrados x2 − y2 = (x + y)(x − y)
Diferencia de cubos x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2)
Suma de cubos x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2)
Trinomio cuadrado perfecto.
Trinomio de la forma x2 + bx + c.
Trinomio de la forma ax2 + bx + c.
FACTOR COMÚN
Factorización por término o factor común.
Las reglas para encontrar el factor común son:
1) Se toma del polinomio la literal o letra que se repita en
todos los términos pero que sea la de menor
exponente.
2) Se toma, si existe, el divisor mayor diferente de 1 que
divida a todos los coeficientes o números del polinomio.
3) Con los elementos tomados en el paso 1 y 2 formamos
el que llamaremos el término o factor común, luego
dividiremos al polinomio entre el factor común y el
resultado de la división será el otro factor.
Factorización por término o factor común.
1) a2 + ab =
2) b + b2 =
3) x2 + x =
4) 3a3 − a2 =
5) x3 − 4x4 =
6) 5m2 + 15m3 =
7) ab − bc =
8) x2y + x2z =
9) 2a2x + 6ax2 =
10)9a3x2 − 18ax3 =
a (a + b) b (1 + b) x
a2 (3a − 1)
x3 (1 − 4x)
5m2 (1 + 3m)
b (a − c)
x2 (y + z)
2ax (a + 3x) 9ax2 (a2 − 2x)
(x + 1)
Factorización por término o factor común.
1) 15c3d2 + 60c2d3 =
2) 35m2n3 − 70m3 =
3) abc − abc2 =
4) 24a2xy2 − 36x2y4 =
5) 14x2y2 − 28x3 + 56x4 =
6) 55m2n3x+110m2n3x2−220m2y3=
7) x − x2 + x3 − x4 =
8) 12m2n+24m3n2−36m4n3+48m5n4 =
9) 16x3y2−8x2y−24x4y2−40x2y3=
10)3a2b+6ab−5a3b2+8a2bx =
15c2d2 (c + 4d) 35m2 (n3 − 2m)
abc
12xy2 (2a2 − 3xy2)
14x2 (y2 − 2x + 4x2)
55m2 (n3x+2n3x2−4y3)
x (1 − x + x2 − x3)
12m2n (1 + 2mn − 3m2n2 + 4m3n3)
8x2y (2xy−1−3x2y−5y2)
ab (3a + 6 − 5a2b + 8ax)
(1 − c)
Ejemplos donde el factor común es un polinomio.
a(x+1) + b(x+1) = (x+1) (a+b)
x(a+1) − 3(a+1) = (a+1) (x−3)
2(x−1) + y(x−1) = (x−1) (2+y)
m(a−b) + (a−b)n = (a−b) (m+n)
2x(n−1) − 3y(n−1) = (n−1) (2x−3y)
a(n+2) + n+2 = (n+2) (a+1) a(n+2) + 1(n+2) =
a2+1 − b(a2+1) = (a2+1) (1−b) 1(a2+1) − b(a2+1) =
Ejemplos donde el factor común es un polinomio.
1−x + 2a(1−x) = 1(1−x) + 2a(1−x) = (1−x) (1+2a)
−m−n+x(m+n) = −1(m+n)+x(m+n) = (m+n) (x−1)
a3(a−b+1)−b2(a−b+1) = (a−b+1)
4m(a2+x−1)+3n(x−1+a2) = (a2+x−1)
(a3−b2)
(4m+3n)
x(2a+b+c)−2a−b−c = (2a+b+c) (x−1)
(x+y)(n+1)−3(n+1) = (n+1) (x+y−3)
(x+1)(x−2)+3y(x−2) = (x−2) (x+1+3y)
(a+3)(a+1)−4(a+1) = (a+1) (a+3−4) = (a+1) (a−1)
FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN
Factorización por agrupación.
Factorizar
a2 + ab + ax + bx
a(a + b) + x(a + b) = (a + b)(a + x)
Factorizar
am − bm + an − bn
m(a − b) + n(a − b) = (a − b)(m + n)
Factorizar
ax − 2bx − 2ay + 4by
x(a − 2b) − 2y(a − 2b) = (a − 2b)(x − 2y)
Factorización por agrupación.
Factorizar
3m − 2n − 2nx4 + 3mx4
3m + 3mx4 − 2n − 2nx4 = 3m(1 + x4) − 2n(1 + x4) =
= (1 + x4)(3m − 2n)
Factorizar
4a3 − 1 − a2 + 4a
4a + 4a3 − 1 − a2 = 4a(1 + a2) − (1 + a2) =
= (1 + a2)(4a − 1)
Factorización por agrupación.
Factorizar
x + x2 − xy2 − y2
x2 + x − xy2 − y2 = x(x + 1) − y2(x + 1) =
= (x + 1)(x − y2)
Factorizar
a2x2 − 3bx2 + a2y2 − 3by2
a2x2 + a2y2 − 3bx2 − 3by2 = a2(x2 + y2) − 3b(x2 + y2) =
= (x2 + y2)(a2 − 3b)
Factorización por agrupación.
Factorizar
2a2x − 5a2y + 15by − 6bx
2a2x − 6bx − 5a2y + 15by = 2x(a2 − 3b) − 5y(a2 − 3b) =
= (a2 − 3b)(2x − 5y)
Factorizar
6m − 9n + 21nx − 14mx
6m − 9n − 14mx + 21nx = 3(2m − 3n) − 7x(2m − 3n) =
= (2m − 3n)(3 − 7x)
FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS.
Diferencia de cuadrados.
Factorizar.
x2 − y2 = (x + y)(x − y)
36x4 − 49x10 = (6x2 + 7x5)(6x2 − 7x5)
16a2 − 25b6 = (4a + 5b3)(4a − 5b3)
1 − 4m2 = (1 + 2m)(1 − 2m)
a2b8 − c2 = (ab4 + c)(ab4 − c)
4a2 − 9 = (2a + 3)(2a − 3)
100 − x2y6 = (10 + xy3)(10 − xy3)
25x2y4 − 121 = (5xy2 + 11)(5xy2 − 11)
Diferencia de cuadrados.
25 − 36x4 = (5 + 6x2)(5 − 6x2)
100m2n4 − 169y6 = (10mn2 + 13y3)(10mn2 − 13y3)
196x2y4 − 225z12 = (14xy2 + 15z6)(14xy2 − 15z6)
256a12 − 289b4m10 = (16a6 + 17b2m5)(16a6 − 17b2m5)
1 − 9a2b4c6d8 = (1 + 3ab2c3d4)(1 − 3ab2c3d4)
1
16 −
4x2
49 = (
1
4 +
2x
7 ) (
1
4 −
2x
7 )
a2
36 −
x6
25 = (
a
6 +
x3
5 ) (
a
6 −
x3
5 )
Diferencia de cuadrados.
Caso especial.
(a + b)2 − c2 = [(a + b) + c][(a + b) − c] =
= (a + b + c)(a + b − c)
a6 − (a + 1)2 = [a3 + (a + 1)][a3 − (a + 1)] =
= (a3 + a + 1)(a3 − a − 1)
(x + y)2 − a2 = [(x + y) + a][(x + y) − a] =
= (x + y + a)(x + y − a)
4 − (a + 1)2 = [2 + (a + 1)][2 − (a + 1)] =
= (2 + a + 1)(2 − a − 1)
FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA DIFERENCIA DE CUBOS.
Diferencia de cubos.
Factorizar.
x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2)
a3 − 8 = (a − 2)(a2 + 2a + 4)
27a3 − b6 = (3a − b2)(9a2 + 3ab2 + b4)
64a3 − 729 = (4a − 9)(16a2 + 36a + 81)
x3y6 − 216y9 = (xy2 − 6y3)(x2y4 + 6xy5 + 36y6)
a3b3x3 − 1 = (abx − 1)(a2b2x2 + abx + 1)
8a3 − 27b6 = (2a − 3b2)(4a2 + 6ab2 + 9b4)
FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA SUMA DE CUBOS.
Suma de cubos.
Factorizar.
x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2)
a3 + 8 = (a + 2)(a2 − 2a + 4)
27a3 + b6 = (3a + b2)(9a2 − 3ab2 + b4)
64a3 + 729 = (4a + 9)(16a2 − 36a + 81)
x3y6 + 216y9 = (xy2 + 6y3)(x2y4 − 6xy5 + 36y6)
a3b3x3 + 1 = (abx + 1)(a2b2x2 − abx + 1)
8a3 + 27b6 = (2a + 3b2)(4a2 − 6ab2 + 9b4)
Trinomio Cuadrado Perfecto
Regla para conocer si un trinomio es cuadrado
perfecto.
Un trinomio ordenado en relación con una letra es
cuadrado perfecto cuando el primero y el tercer
términos son cuadrados perfectos o tienen raíz
cuadrada exacta positiva y el segundo término es
el doble producto de sus raíces cuadradas.
Por ejemplo: el trinomio a2 − 10a + 25 sus raíces
son a y 5, su doble producto es 2(a)(5) = 10a que
es el segundo término, luego es trinomio cuadrado
perfecto.
FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
Trinomio Cuadrado Perfecto
Regla para conocer si un trinomio es cuadrado
perfecto.
Por ejemplo: el trinomio 49m6 − 70am3n2 + 25a2n4
sus raíces son 7m3 y 5an2, su doble producto es
2(7m3)(5a2n4) = 70am3n2 que es el segundo
término, luego es trinomio cuadrado perfecto.
Por ejemplo: el trinomio 9b2 − 35a2b + 25a4 sus
raíces son 3b y 5a2, su doble producto es
2(3b)(5a2) = 30a2b que no es el segundo término,
luego no es trinomio cuadrado perfecto.
Trinomio Cuadrado Perfecto
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto.
x2 ± 2xy + y2 = (x ± y)2
Estando ordenado se toma la raíz del primero el
signo del segundo y la raíz del tercero.
Factorizar
9b2 − 30a2b + 25a4 = (3b − 5a2)2
49a2 − 14a + 1 = (7a − 1)2
36 + 12m2 + m4 = (6 + m2)2
y4 + 1 + 2y2 = y4 + 2y2+ 1 = (y2 + 1)2
Trinomio Cuadrado Perfecto
Factorizar
9 − 6x + x2 = (3 − x)2
1 − 2a3 + a6 = (1 − a3)2
4x2 − 12xy + 9y2 = (2x − 3y)2
1 + 14x2y + 49x4y2 = (1 + 7x2y)2
1 + a10 − 2a5 = 1 − 2a5 + a10 = (1 − a5)2
a2/4 − ab + b2 = (a/2 − b)2
FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA TRINOMIO DE LA FORMA X2+BX+C.
Trinomio de la forma x2+bx+c
Regla para factorizar un trinomio de la forma
x2+bx+c.
Se ordena en forma descendente se saca raíz al
primer término y se coloca la misma como el
primer término en un par de paréntesis, luego se
buscan dos números que sumados o restados den
el coeficiente del segundo término, pero que
multiplicados los mismos números den el
coeficiente del tercer término con todo y signo.
Esos números son respectivamente los segundos
términos del par de paréntesis.
Trinomio de la forma x2+bx+c
Regla para factorizar un trinomio de la forma
x2+bx+c.
Factorizar
x2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5) Se observa que:
2 + 5 = 7 y 2 x 5 = 10
Factorizar
x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) Se observa que:
2 + 3 = 5 y 2 x 3 = 6
Factorizar
x2 − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) Se observa que:
−3 −4 = −7 y
(−3)x(−4) = 12
Trinomio de la forma x2+bx+c
Regla para factorizar un trinomio de la forma
x2+bx+c.
Factorizar
x2 + 2x − 15 = (x − 3)(x + 5)
Se observa que:
−3 + 5 = 2 y
(−3)x(5) = −15
Factorizar
x2 − 5x − 14 = (x − 7)(x + 2) Se observa que:
−7 + 2 = −5 y
(−7)x(2) = −14 Factorizar
a2 − 13a + 40 = (a − 5)(a − 8) Se observa que:
−5 −8 = −13 y
(−5)x(−8) = 40
Trinomio de la forma x2+bx+c
Regla para factorizar un trinomio de la forma
x2+bx+c.
Factorizar
m2 − 11m − 12 = (m − 12)(m + 1)
Se observa que:
−12 + 1 = −11 y
(−12)x(1) = −12
Factorizar
n2 + 28n − 29 = (n − 1)(n + 29) Se observa que:
−1 + 29 = 28 y
(−1)x(29) = −29 Factorizar
x2 + 6x − 216 = (x − 12)(x + 18) Se observa que:
−12 +18 = 6 y
(−12)x(18) = −216
Trinomio de la forma x2+bx+c
Regla para factorizar un trinomio de la forma
x2+bx+c en casos especiales.
Factorizar
x4 − 5x2 − 50 = (x2 − 10)(x2 + 5)
Se observa que:
−10 + 5 = −5 y
(−10)x(5) = − 50
Factorizar
x6 + 7x3 − 44 = (x3 − 4)(x3 + 11) Se observa que:
−4 + 11 = 7 y
(−4)x(11) = − 44 Factorizar
a2b2 − ab − 42 = (ab − 7)(ab + 6) Se observa que:
−7 + 6 = − 1 y
(−7)x(6) = − 42
FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA TRINOMIO DE LA FORMA AX2+BX+C.
Trinomio de la forma ax2+bx+c
Regla para factorizar un trinomio de la forma
ax2+bx+c.
Método de las tijeras. Ordenado el polinomio se descompone el primer y tercer
términos, en cuatro términos que se colocan en las
esquinas de un rectángulo, los primeros del lado izquierdo
y los segundos del lado derecho. Luego se obtienen dos
términos de multiplicar las diagonales y con ellos se
efectúa la suma algebraica, si se obtiene el segundo
término del trinomio, la factorización se hace sumando los
dos términos superiores del rectángulo por la suma de los
dos inferiores.
Trinomio de la forma ax2+bx+c
Factorizar
6x2 − 7x − 3 =
2x
3x
− 3
1
− 9x
2x
− 7x Segundo término
(2x − 3)(3x + 1)
Trinomio de la forma ax2+bx+c
Factorizar
20x2 + 7x − 6 =
4x
5x
3
− 2
15x
− 8x
7x Segundo término
(4x + 3)(5x − 2)
Trinomio de la forma ax2+bx+c
Factorizar
18a2 − 13a − 5 =
a
18a
− 1
5
− 18a
5a
− 13a Segundo término
(a − 1)(18a + 5)
Trinomio de la forma ax2+bx+c
Factorizar
15x4 − 11x2 − 12 =
3x2
5x2
− 4
3
− 20x2
9x2
− 11 x2 Segundo término
(3x2 − 4)(5x2 + 3)
Trinomio de la forma ax2+bx+c
Factorizar
12x2y2 + xy − 20 =
3xy
4xy
4
− 5
16xy
− 15xy
xy Segundo término
(3xy + 4)(4xy − 5)
Trinomio de la forma ax2+bx+c
Factorizar
6x2 − 11ax − 10a2 =
2x
3x
− 5a
2a
− 15ax
4ax
− 11ax Segundo término
(2x − 5a)(3x + 2a)
Trinomio de la forma ax2+bx+c
Factorizar
20 − 3x − 9x2 =
3x
− 3x
5
4 − 15x
12x
− 3x Segundo término
(5 + 3x)(4 − 3x)
FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA COMBINADAS.
El trinomio cuadrado perfecto y la diferencia de cuadrados
Factorizar
a2 − 6ay + 9y2 − 4x2 =
Primero se factoriza el trinomio cuadrado perfecto.
a2 − 6ay +9y2 − 4x2 = (a − 3y)2 − 4x2
Segundo se factoriza la diferencia de cuadrados.
(a − 3y)2 − 4x2 = [(a − 3y) + 2x][(a − 3y) − 2x] =
Finalmente
a2 − 6ay +9y2 − 4x2 = (a − 3y + 2x)(a − 3y − 2x)
El trinomio cuadrado perfecto y la diferencia de cuadrados
Factorizar
a2 + 2ab + b2 − 1 =
Primero se factoriza el trinomio cuadrado perfecto.
a2 + 2ab + b2 − 1 = (a + b)2 − 1
Segundo se factoriza la diferencia de cuadrados.
(a + b)2 − 1 = [(a + b) + 1][(a + b) − 1] =
Finalmente
a2 + 2ab + b2 − 1 = (a + b + 1)(a + b − 1)
El trinomio cuadrado perfecto por suma o resta
Factorizar
x4 + x2y2 + y4 =
No es trinomio cuadrado perfecto, sumamos y
restamos x2y2.
x4 + x2y2 + y4 = x4 + x2y2 + y4 + x2y2 − x2y2 =
Finalmente se resuelve como los anteriores:
x4 + 2x2y2 + y4 − x2y2 = (x2 + y2)2 − x2y2 =
x4 + 2x2y2 + y4 − x2y2 =
[(x2 + y2) + xy ][(x2 + y2) − xy ] =
x4 + x2y2 + y4 = (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 − xy)
El trinomio cuadrado perfecto por suma o resta
Factorizar
4a4 + 8a2b2 + 9b4 =
No es trinomio cuadrado perfecto, sumamos y
restamos 4a2b2. Se obtiene de 2(2)(3) − 8 = 4.
4a4 + 8a2b2 + 9b4 = 4a4 + 8a2b2 + 9b4 + 4a2b2 − 4a2b2 =
Finalmente se resuelve como los anteriores:
4a4 + 12a2b2 + 9b4 − 4a2b2 = (2a2 + 3b2)2 − 4a2b2 =
4a4 + 12a2b2 + 9b4 − 4a2b2 =
[(2a2 + 3b2) + 2ab][(2a2 + 3b2) − 2ab] =
4a4 + 8a2b2 + 9b4 = (2a2 + 3b2 + 2ab)(2a2 + 3b2 − 2ab)
Factorizar una suma de dos cuadrados.
Factorizar
a4 + b4 =
En general una suma de cuadrados no tiene
factorización, pero hay algunas que al sumarles y
restarles se les puede hacer factorización como en
el caso anterior:
Para formar un trinomio cuadrado perfecto le falta
4a2b2
a4 + 4a2b2 + b4 − 4a2b2 = (a2 + 2b2)2 − 4a2b2 =
Finalmente
a4 + b4 = (a2 + 2b2 + 2ab)(a2 + 2b2 − 2ab)
Factorizar una suma de dos cuadrados.
Factorizar
4m4 + 81n4 = Para formar un trinomio cuadrado perfecto le falta
2(2m2)(9n2) = 36m2n2
4m4 + 36m2n2 + 81n4 − 36m2n2 = (2m2+ 9n2)2 − 36m2n2 =
Finalmente
4m4 + 81n4 = (2m2 + 9n2 + 6mn)(2m2 + 9n2 − 6mn)