84 Captulo 7 ONDAS PERIDICAS EN UNA DIMENSIN interacciones campos y ondas / fsica 1 b.d.

Yahemosvistocomounpulsopuedetransferirenergadeunlugaraotrodelespaciosindesplazarmasa.Ahoraanalizaremosquocurrecuan-dotenemosunconjuntodepulsosqueserepitenperidicamente.Enesecasoobtenemosunasucesindepulsos,untrendepulsosquesedenomi-naondaperidica.

Ondaperidicasedenominaalconjuntodepulsosquesonemitidosaintervalosigualesdetiempo.Esdecirencadaperodoseprovocaunaperturbacinidnticaalaanterior.

Cuando un punto delmedio elstico es separado de su posicin deequilibrio,selerealizauntrabajo,cedindoleenerga.stasepropagaporlasinteraccionesentrelaspartculasdelmedio,cadaunaempujaasuve-cina.Siestosucede,decimosquelaenergasetransfiereporunmovimien-toondulatorio.

Pensemosenelsiguienteejemplo:unacuerdatensaylarga,conunodesusextremosunidoaunamasaquepuedeoscilaralestarunidaaunresorte(fig1).

Separamos lamasadesuposicindeequilibriounadistanciaAy laliberamos(Aeslaamplituddelaoscilacindelamasaunidaalresorte).EsnaturalpensarqueelpuntoP,queeselpuntodelacuerdaqueestunidoalamasa,adquieraelmismomovimientoqueelcuerpo.Semoververticalmentealejndosede laposicindeequilibriounadistanciatam-binA.Estadistancialallamaremosamplituddelaonda.(Fig.2).ElmismorazonamientopodemoshacerdelpuntodelacuerdavecinoaP,yassu-cesivamente.Estatransmisinnoesinstantnea,porejemploelpuntoMcomenzaramoverseuntiempodespus.

Amplitudeslamximaseparacindecadapuntodelmedioelsti-coconrespectoalaposicindeequilibrio.LarepresentamosconlaletraA.SuunidadenelSistemaInternacionaleselmetro(m)yestrelacionadaconlaenergaquetransmitelaonda.

Fig 1. Onda peridica propagndose en una cuerda

M

M

M

M

M

M

M

M

M H

H

H

M

M

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

A

Ondas peridicas

en una dimensin

CAPTULO 7

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ONDAS PERIDICAS EN UNA DIMENSIN..Captulo 7interacciones campos y ondas / fsica 1 b.d. 85

LaenergaquetransfiereconstantementelamasaalpuntoPcomienzaaviajarporlacuerda,mientrasquecadapuntodelamismaslosemuevehaciaarribayabajo,aligualquelamasa.Lospulsosgeneradosviajanhacialaderechamientrasquecadapuntodelacuerdaoscilaenformavertical.Porlotantohemosgeneradounaonda peridicatransversalqueviajaatravsdelacuerda.

Esimportantedestacarqueelsistemamasa-resortenocrealaenerga,algnagenteexternoquenosemencionaenesteejemploeselencargadodeaportarla.

UntiempodespusquecomienzaamoverseP,elpuntoM,realizaelmismomovimientoqueste.LuegoqueMcomienzaaoscilar,ambospuntostienenentodomomentolamismaposicinylamismavelocidad.SisiguiramoslasecuenciaveramosquesucedelomismoconelpuntoH.Diremosquelospuntosquecumplenestacondicinestnenfase(fig3).

Dospuntosdelmedioseencuentranenfasecuandoestnalamis-madistanciadelaposicindeequilibrioyconlamismavelocidadentodomomento.

Longitud de onda

Aladistanciaentredospuntosconsecutivosenfaseladenominamoslongitud de onda (fig4).Larepresentamosconlaletralambdadelalfa-betogrieto.Suunidadenelsistemainternacionaleselmetrom,comotodadistancia.

Longituddeondaesladistanciaentredospuntosconsecutivosdelmedio,que semuevenen fase. Se representacon la letra lambdadelalfabetogriego.Suunidadenelsistemainternacionaleselmetrom.

Perodo

Eneltiempoquetardaunaondaenviajarunadistancia,cadapuntodelacuerdarealizaunaoscilacincompleta.Recuerdaqueunaoscilacincompletaescuandounpuntodelmedioqueesperturbado,vuelveaestarenlaposicininicialyconlamismavelocidadquetena.AestetiempolodenominaremosperodoylorepresentamosconlaletraT.Suunidadenelsistemainternacionaleselsegundos.Todoslospuntosdelacuerdasemuevenconelmismoperodo,queeselmismodelagenteexternoquegeneralospulsos.

Perodoeseltiempoquedemoracadapuntodelmedioenrealizarunaoscilacincompleta.LorepresentamosconlaletraT.Suuni-dadenelsistemainternacionaleselsegundos.

Fig 4. Longitud de onda es la distancia ente dos puntos en fase. Tambin es la distancie entre dos crestas o valles consecutivos

Fig 2. Amplitud de una onda. Llamaremos cresta a la elongaciones hacia arriba y valles a la elongaciones hacia abajo.

Fig 3. Los puntos P, M y H estn en fase. Estn a la misma distancia de la posicin de equilibrio y tienen la misma velocidad en todo momento.

cresta

valle

amplitud

amplitud

Posicin de

equilibrio

de la cuerda.

P M H

cresta cresta

valle

Longitud de onda

Longitud de onda

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86 Captulo 7 ONDAS PERIDICAS EN UNA DIMENSIN interacciones campos y ondas / fsica 1 b.d.

Frecuencia

Definiremoslafrecuenciacomolacantidaddeoscilacionesociclosquecadapuntorealizaenunaunidaddetiempo.

fN de oscilaciones

t=

Suunidadenelsistemainternacionaldemedidas,es1 1s

s= .AestaunidadseledenominHertz,Hzenhonoralfsicoalemn.(Fig.5)

Frecuenciaeslacantidaddeoscilacionescompletasquecadapuntodelmediorealizaporunidaddetiempo.Serepresentaconlaletraf.SuunidadenelsistemainternacionaleselHertzHz.

Relacin entre el perodo y la frecuencia

Analicemosahoralarelacinqueexisteentraelperodoylafrecuencia.Retomemoselconceptode frecuencia,comoelnmerodeoscilacionesporunidaddetiempo:

fN de oscilaciones

t=

yrecordemosqueelperodoeseltiempoque

demoracadapuntodelmedioenrealizarunaoscilacincompleta.

Porlotanto,cuandoserealizauna1oscilacin,eltiempoquetardaenproducirseesunperodoT.Sustituimosenlaecuacindedefinicindefrecuenciaynosquedaexpresadalasiguienterelacin:

fN de oscilaciones

t T=

=

1 f

T=

1

Veamosotroejemploparareforzarlarelacinfuncionalentreelpero-doylafrecuencia.

Siunpuntodemoramediosegundoencumplirunciclo,podrcom-pletardosciclosporsegundo.Sidemorauncuartodesegundo,podrcompletarcuatro.Conesterazonamientoseponeenevidencialarelacininversaentrelafrecuenciayelperodo:

Tf

=1

f

T=

1

Velocidad de propagacin de una onda

Lafigura6muestrauntrendepulsosquesemuevenhacialaderechaporunacuerdatensa.Enlasecuenciaapareceunafotoinstantneadela

formade la cuerda cadaun tiempo T s10

. Sedestac con trazoazulun

mismopulsoencadaimagen.Sepuedeobservarquesedesplazahaciala

Fig. 5. Heinrich Rudolf Hertz, fsico alemn, naci en Hamburgo el 22 de febrero de 1857 y falleci en Bonn el 1 de enero de 1894. En 1885 en la universidad de Karlsruhe descubri las ondas electromagnticas. Fue el primero en demostrar la existencia de la radiacin electromagntica constru-yendo un aparato para producir ondas de radio. A partir del experimento de Michelson en 1881 prob experimentalmente que las seales elctricas pueden viajar a travs del aire, como haba sido predicho por James Maxwell y Michael Faraday. Tambin descubri el efecto fotoelctrico que fue explicado ms adelante por Albert Einstein.

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ONDAS PERIDICAS EN UNA DIMENSIN..Captulo 7interacciones campos y ondas / fsica 1 b.d. 87

derecha.Paramedirsuvelocidaddeberamossabereldesplazamientodelpulsoydividirloentreeltiempoquetardaenrealizarlo.Yahemosvistoquesielmedioeshomogneo,lavelocidaddepropagacinesconstante,porloquepodemosutilizarunaexpresindelMovimientoRectilneoUnifor-mequeseguramenteyaestudiasteenaosanteriores.

v xt

=

x desplazamiento

t tiempo

=

=

Comoyahemosvisto,lavelocidadsemideen ms

enelS.I.

Siobservamosdetalladamentelasecuenciasdeimgenes,vemosquemientraselpulsoviajaentredospuntosen fase, todos lospuntosde lacuerdacumplenunaoscilacincompleta.Laformadelacuerdaenestosdosinstanteseslamisma.Entonces,cuandoelpulsoviajaunadistanciatranscurreuntiempoT,

Enuncicloeldesplazamientoquetienelaondaesigualaunalongituddeondax=yeltiempoquetranscurre,esunperodot=T.

Sustituyendoen laecuacindevelocidadnosquedaexpresada lasi-guienterelacinentrelavelocidaddepropagacin,lalongituddeondayelperodo.

v xt T

= =

vT

=

LaecuacinrecinobtenidavT

= podemosexpresarlacomo,v

T=

1 queesexactamentelomismo.

Recordandoque fT

=1 ,ysustituyendoenlaexpresinanteriorynos

quedaexpresadalarelacinfuncionalentrelavelocidaddepropagacin,lalongituddeondaylafrecuencia.

v f=

Aligualqueparalospulsos,lavelocidaddepropagacindeunaondanodependedelmecanismoqueoriginelaonda,nidesuamplitud,nidelafrecuencia,nitampocodelalongituddeonda.Esunacaractersticapro-piadelmediopordondeviaja.Estaesunapropiedadmuyimportantedetodoslosfenmenosondulatorios.Enestecaso,dependenicamentedepropiedadesdelacuerda.

Lavelocidaddepropagacindelasondasporunacuerdaesinde-pendientedelafrecuenciaylalongituddeonda.Esunacaractersti-capropiadelmediopordondeviaja.

Fig. 6. Velocidad de propagacin de una onda peridica en una cuerda

Fig. 7. Al aumentar al doble la frecuencia de la oscila-cin, a la misma cuerda, sometida a la misma tensin, la longitud de onda se reduce a la mitad. La velocidad de propagacin de las ondas es la misma, ya que solo depende del medio.

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

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88 Captulo 7 ONDAS PERIDICAS EN UNA DIMENSIN interacciones campos y ondas / fsica 1 b.d.

Lavelocidaddepropagacindelasondasporunacuerdaesindepen-dientedelafrecuenciaydelalongituddeonda.stasmagnitudesestnvinculadasdetalmaneraquesuproductoesunvalorconstante.(Fig.7)

Sielagenteexternoquegenera lospulsosaumentasu frecuencia, lafrecuenciadelaondatambinaumentar.Enestecasolalongituddelaondadisminuirdeformatalquexf=K.

Esdecires inversamenteproporcionalaf (fig8). Esta relacin laexpresamosdelasiguienteforma:

1f

Ejemplo 1

Enunacuerdahomogneasegeneran120pulsoscada1,0minutos.Lacuerdatieneunlargode16mycadapulsolarecorrecompletamenteen4,0s.

a)Determinalavelocidaddepropagacindelaondaporlacuerda.Lavelocidaddepropagacinlapodemoscalcularcomoelcocienteen-treladistanciarecorridaporcualquierpulsodelacuerdayeltiempoquedemoraenhacerlo:

v xt

=

v ms

ms

= =164 0

4 0,

,

b)Determinalafrecuenciayelperododelaondaenlacuerda.Sisegeneran120pulsoscada1,0minuto(60segundos),quieredecirquesecrean2,0pulsosporsegundo,porlotantolafrecuenciaesde2,0Hz.Comprobemosesterazonamiento,utilizandoladefinicindefre-

cuencia, fN de oscilaciones

t=

f

oscs

Hz= =12060

2 0, f Hz= 2 0,

Elperodolopodemoscalculardelarelacin Tf

=1

THz

s= =12 0

0 50,

, T=0,50s

c)Calculalalongituddeondadelaondaenlacuerda.

xf=vporlotanto = vf =

4 0

2 0

,

,

msHz

=2,0m

d)Siaumentamoslafrecuenciacuatroveces,cmovaranlavelocidaddepropagacinylalongituddeonda?

Lavelocidaddepropagacinnodependedelaformacomosegeneranlospulsos,porlotantonodependedelafrecuencia.Mientrasnocam-bielatensinyladensidadlinealdemasa,lavelocidadpermanecerconstante.

Fig. 8. La grfica de dos magnitudes inversamente pro-porcionales es un arco de una curva llamada hiprbola.

f

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ONDAS PERIDICAS EN UNA DIMENSIN..Captulo 7interacciones campos y ondas / fsica 1 b.d. 89

Lalongituddeondasicambiar.Considerandoquexf=vconstante,silafrecuenciaaumentacuatroveces,lalongituddeondadebedismi-nuiralacuartaparte,entonceselproductosemantieneigual.

Estoes

= vf=

4 0

8 0

,

,

msHz

=0,50m

Reflexin de ondas peridicas en una dimensin

Cuandountrendeondasperidicasviajaporunacuerdatensayllegaaunextremofijoquenooscila,cadaunodesuspulsossereflejainvertido.Lavelocidaddepropagacincambiaslodesentido,mientrasquelafre-cuenciaylongituddeondanovaran.

Sielextremoesmvil,cadapulsosereflejaderecho,ylaondareflejadatienelasmismascaractersticasquelaondaincidente.Lonicoquecam-biaeselsentidodelavelocidaddepropagacin.

Tantoenelextremolibrecomofijo,laamplituddelaondareflejadaserlamismaqueladelaondaincidente,siempreycuandoelextremofijonoabsorbaunafraccindelaenergadelaonda.

Refraccin de ondas peridicas en una dimensin

Hastaaquhemosconsideradoondasquesepropaganporunmediohomogneo.Ennuestrosejemploslasperturbacionesviajanporunacuer-dacuyospuntostienen idnticaspropiedades.Noestudiaremosenestecursoquocurresilacuerdanoeshomognea,oseaquesuspropiedadesvancambiando.Sanalizaremoselcasoenquelaondasetransmitedeunmedioaotro.Estopuedesucedersi tenemosdoscuerdasunidas,unaacontinuacindelaotra.Dadoquelosmediossondiferentes,lavelocida-desdepropagacinnoserniguales.

Enlafigura9semuestraunaondaperidicaviajandoporunacuerda,quellegaalpuntodeuninconotracuerdadediferentem.Lascuerdastienendiferentedensidadlinealdemasaypodemossuponerquelaten-sinenambaseslamisma.Alllegaralpuntodeunin,partedelaondaincidentesereflejayparteserefractaalacuerda2.

Refraccindeondasenunadimensin,eselfenmenofsicoquesellevaacabocuandounaondaincidentecambiademediodepropa-gacin.

Fig. 9. Onda incidente propagndose con v1 ,

1 y f

1 ,

por una cuerda de densidad lineal de masa m1 .

Sentido de propagacin de la onda

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90 Captulo 7 ONDAS PERIDICAS EN UNA DIMENSIN interacciones campos y ondas / fsica 1 b.d.

Analizaremosqupropiedadestienelaondarefractada(fig10).

Recordandoque vT

p= lavelocidaddepropagacinsermenor

enlacuerdaquetengamayordensidadlinealdemasam.

Veamosestoconmayordetalle.Sigeneramosunaondaenlacuerda1,viajarconunavelocidadv

1.Alpasaralacuerda2tendrunavelocidadv

2.

Comom1v

2.

Pongamosatencinahoraenelpuntodeunindelascuerdas(U)(fig11).Razonandoanlogamenteacomolohicimosconlamasaacopladaalre-sortequegenerabalospulsosenlacuerda,elpuntodeuninvibraconlamismafrecuenciadesupuntoscontiguos(AyB).Porlotanto,AyB,quesonpuntosdecuerdasdiferentes,debernoscilaralamismafrecuencia.

Lafrecuenciadeunaondanocambiacuandosetransmitedeunme-dioaotro,esdecircuandoserefracta.

Silasvelocidadessondiferentesperolafrecuenciaeslamisma,recor-dando v f= entonceslalongituddeondaencadacuerdadeberserdiferente.

Despejando = vf,comolafrecuenciaeslamisma,

siv1>v

2,entonces

1>

2(fig12)

Enelmedioenque laonda sepropagaconmayorvelocidad tendrmayorlongituddeonda,enelmedioensepropagaconvelocidadmenor,tendrmenorlongituddeonda.

Ejemplo 2

Enelextremodeunacuerdadem1=1,8x10-3

kgm

segeneranondasperi-

dicasconunafrecuenciade16,0Hz.Estacuerdaseencuentraunidaaotra

dem2=5,4x10-3

kgm

.AmbasestnsometidasaunaTensinde4,2N.

a)Determinalalongituddeondaenlacuerda1( 1 )Comov f= = v

f,paradeterminar

1necesitamosprimerocal-

cularlavelocidaddepropagacin. v Tp1

1

= sustituyendotenemos

que v Nkgm

p13

4 2

18 10=

,

, v

p1=48

ms

1

1=

vf

1

48

16 0=

msHz,

1=3,0m

Fig. 10. Onda refractada, con su v2,

2, f

2 viajando por

una cuerda de m2

Omitimos representar la onda reflejada para centrarnos en el fenmeno de la refraccin.

Fig. 11. U es el punto de unin ente las cuerdas. A pertenece a la cuerda 1, B a la cuerda 2 y vibran con la misma frecuencia.

Sim1v

2

Comof

1=f

2

1>

2

Sim

1>m

2v

1