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LABORATORIO DE FISICA
Preparado para las clases del ao lectivo 2009-2010
Para Primer Ao de Bachillerato
1
ndice general
1. PRELIMINARES 4
1.1. Fisica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Divisin de la Fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. MEDIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1. Requisitos para medir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2. Propiedades de una Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3. Tipos de Medicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1. Antecedentes: Sistema Mtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2. SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3. Unidades Bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.4. Unidades Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.5. Prefijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.6. Principales Reglas del SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.7. Unidades ajenas al SI que se obtienen experimentalmente . . . . 12
1.3.8. Unidades ajenas al SI aceptadas para su uso con el Sistema Inter-
nacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. OTROS SISTEMAS DE UNIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1. Sistema Ingls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2. Sistema Tcnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. DIMENSIN DE LAS MAGNITUDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6. NOTACION CIENTFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7. Cifras Significativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8. REDONDEO DE NMEROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2. FUNCIONES Y GRAFICOS 21
2.1. FUNCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1. Funcin Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1.1. Ordenada al origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
NDICEGENERAL NDICEGENERAL
2
2.1.1.2. Funcin Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2. Funcin no Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2.1. Funcin Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2.2. Funcin raz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2.3. Funcin Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2.4. Funcin Linealizada con Logaritmos . . . . . . . . . . . 32
2.1.3. Interpolacin y Extrapolacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3. Errores de Medida 37
3.1. GENERALIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2. CALCULO DE LOS ERRORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1. Error Absoluto (ea) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.2. Error Relativo (er) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.3. Error Porcentual () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.4. Error Mximo(em) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.5. Valor Medio De Una Magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.6. Desviaciones con relacin a la media aritmtica . . . . . . . . . . 43
3.2.7. Error medio (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3. PROPAGACION DE ERRORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4. EQUIPO Y APARATOS DE MECANICA 49
4.1. PIEZAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2. APARATOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.1. Balanza de Brazos Iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.2. El Calibrador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.3. El Palmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.4. Medidor de Fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.5. Probeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5. PRACTICAS 56
6. Ejercios 105
6.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2. Distancia, rapidez, tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.3. MRU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.4. MRUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3
NDICEGENERAL NDICEGENERAL
PROLOGO
Si a la ciencia se la entiende como los conocimientos sistemticamente ordenados, lgicos, no
como un dogma que se aprende sin objetar razones, que mejor que llegar al conocimiento
mediante la observacin, la manipulacin y la experimentacin que permiten comprobar o
desechar hiptesis que se originan en la enseanza terica o en la razn comn y de esta manera
inducir leyes fsicas, que en el estudiante se conviertan en una aprehensin perenne de los
fenmenos fsicos estudiados.
El presente trabajo surge de la necesidad de sistematizar las clases de Laboratorio de
Fsica para los estudiantes del primer ao de bachillerato
Los temas de la unidad Preliminares si bien se encuentra en casi cualquier libro de fsica, sin
embargo se presentan aqu porque es indispensable su conocimiento previo la realizacin de las
prcticas de laboratorio.
La unidad Errores se trata en forma limitada, abordando nicamente los errores estadsticos de
fcil comprensin y aplicacin.
La unidad Funciones y Grficos es una introduccin del tema, suficiente para que los
estudiantes puedan inducir las leyes bsicas de la Fsica de acuerdo con el nivel medio de la
Educacin
La presentacin grfica de los principales Equipos y Aparatos de Mecnica tiene como objetivo
que los estudiantes los identifiquen claramente con sus nombres
Los informes para las Prcticas del Laboratorio en general tiene el mismo formato. Se deja el
espacio para dibujar los aparatos utilizados, el registro de clculos y contestar el cuestionario.
El fundamento terico es un resumen mnimo indispensable previo a la realizacin de la prctica.
Finalmente como en todo lo que se hace siempre hay la posibilidad de errores, inquietudes,
sugerencias, etc., por favor comunqueme a la siguiente direccin electrnica
ravicc@gmail.com
Dr. Ramiro Castillo
Captulo 1
4
PRELIMINARES
1.1. Fisica
Etimolgicamente viene del griego phisis, que significa naturaleza. Es la ciencia natural que
estudia las propiedades de la materia, la energa, el tiempo, el espacio y sus interacciones. La
fsica estudia por lo tanto el micro-mundo de las de las partculas subatmicas, el macro-mundo
de la formacin y evolucin del Universo y el mesomundo de los fenmenos naturales
cotidianos
1.1.1. Divisin de la Fsica
Para su estudio la Fsica se divide en Clsica y Moderna
Fsica Clsica
1. Mecnica: Estudia los fenmenos relacionados con el movimiento de los cuerpos.
Se subdivide en
a) Cinemtica, es el estudio del movimiento de los cuerpos por su trayectoria
b) Dinmica, es el estudio de las causas del movimiento de los cuerpos
c) Esttica, es el estudio de los cuerpos en equilibrio
2. Termodinmica: Estudia los fenmenos relacionados con el calor y la temperatura
3. ptica: Estudia los fenmenos relacionados con la luz
4. Acstica: analiza el sonido y el fenmeno de la audicin, as como las propiedades de las
ondas que se propagan en un medio material.
5. Electromagnetismo: Estudia los fenmenos relacionados con la electricidad y
magnetismo
1.2. MEDIDA CAPTULO1. PRELIMINARES
Fsica Moderna
1. Relatividad
a) La Teora de la Relatividad Especial, tambin llamada Teora de la Relatividad
Restringida, publicada por Albert Einstein en 1905, describe la fsica del
movimiento en el marco de sistemas de referencia inerciales.
Prof. Dr. Ramiro Castillo 5
1) Teora General de la Relatividad, publicada por Einstein en 1916 incluye los
sistemas en campos gravitatorios.
2. Fsica cuntica conocida tambin como mecnica ondulatoria y como mecnica cuntica,
es la rama de la fsica que estudia el comportamiento de la materia a escala muy pequea.
1.2. MEDIDA
Medir Es la tcnica por medio de la cual asignamos un nmero a una propiedad fsica, como
resultado de una comparacin cuantitativa de dicha propiedad con otra similar
adoptada como base de comparacin.
Magnitud Cualidad de la materia que puede ser medida
Unidad Es una magnitud, que por convenio sirve para comparar otras de su misma
especie.
Metrologa Ciencia de las mediciones
1.2.1. Requisitos para medir
La persona que va a medir
Lo que se va a medir, es decir la propiedad fsica a medir
El, o los instrumentos con los que se mide
Sistema de referencia, que incluye un punto de origen y la unidad de medida
Estrategia de medicin
1.2.2. Propiedades de una Medida
La medida del todo es igual a la suma de sus partes
En ausencia de la propiedad fsica, nada o ninguno determina una medida cero
La medida de una parte no es mayor que la medida del todo
Si un proceso de medicin se repite, bajo las mismas condiciones, los resultados son
similares
1.3. SISTEMAINTERNACIONALDEUNIDADES CAPTULO1. PRELIMINARES
Prof. Dr. Ramiro Castillo 6
1.2.3. Tipos de Medicin
1. Directa
Es un proceso de comparacin directa entre el objeto a medirse y la unidad de medida.
Ejemplos:
a) Medir con una regla la longitud de un objeto
b) Medir con una probeta el volumen de un lquido
2. Indirecta
Es un proceso en el que se requiere medir directamente magnitudes relacionadas con el
objeto a medirse y mediante operaciones matemticas encontrar el valor de lo que se
quiere medir o utilizar instrumentos de medicin indirecta. Ejemplos:
a) Medir el rea de un terreno rectangular: consiste en medir directamente el largo y
ancho y luego calcular el rea con la frmula
b) Medir el volumen de un cubo: consiste en medir directamente una arista y luego el
volumen con la frmula respectiva
c) Medir la distancia recorrida con un odmetro
La medicin indirecta en algunos casos puede ser la nica forma de medir, como por ejemplo
al determinar la distancia entre la tierra y la luna, en otros casos se puede medir tanto directa
como indirectamente, como al medir directamente con una cinta mtrica el permetro de un
disco o indirectamente al medir el radio del disco con el cual se calcula el permetro mediante
la frmula respectiva.
1.3. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
1.3.1. Antecedentes: Sistema Mtrico
Hasta el siglo 18, en el mundo se usaba diferentes unidades de medida. La falta de una norma
comn provocaba mucha confusin debido a:
1. Unidades con el mismo nombre variaban de un lugar a otro
2. Las subdivisiones de las diferentes medidas no eran decimales, lo cual representaba
grandes complicaciones para el clculo.
En 1790, la Asamblea Nacional Francesa encarg a la Academia de Ciencia disear un sistema
de unidades decimal simple y en 1795 instituy el Sistema Mtrico Decimal que tardara hasta
1840 en convertirse definitivamente en oficial y obligatorio.
Los ejercitos de Napolen Bonaparte fueron los encargados de extender el sistema mtrico en
Europa excepto a los ingleses, enemigos en ese tiempo de los franceses.
En 1875, 17 pases firmaron la llamada Convencin del Metro, adoptando legalmente el sistema
mtrico de unidades, se cre la conferencia General de Pesas y Medidas, CGPM, y la oficina
Internacional de Pesas y Medidas BIPM.
En 1889 se convoc la primera Conferencia General de Pesas y Medidas.
1.3. SISTEMAINTERNACIONALDEUNIDADES CAPTULO1. PRELIMINARES
Prof. Dr. Ramiro Castillo 7
Con el tiempo casi todos los pases del mundo fueron adoptando este sistema de unidades. En
el Ecuador se adpt 5 de diciembre de 1856, sin embargo continuaron en uso la mayor parte de
las medidas coloniales e inglesas.
1.3.2. SI
La Undcima Conferencia General de Pesas y Medidas (11. CGPM) en 1960, resolvi adoptar
el nombre Sistema Internacional de Unidades, con la abreviatura internacional SI, para un
sistema prctico y reglamentado de unidades bsicas, unidades derivadas, las anteriores
unidades suplementarias y prefijos, estableciendo por lo tanto una especificacin comprensible
para las unidades de medida. Desde ese entonces, sucesivas reuniones del CGPM y del Comit
Internacional de Pesas y Medidas (CIPM) han agregado y modificado cuando fue necesario la
estructura original del SI para tener en cuenta los avances de la ciencia y las necesidades de los
usuarios.
Las unidades SI estn divididas en dos clases: unidades de bsicas y unidades derivadas. Desde
el punto de vista cientfico, la divisin de las unidades SI en esas dos clases es en cierta medida
arbitrario, dado que no es esencial a la fsica. No obstante, el CGPM, considerando las ventajas
de un sistema de unidades de medida nico, prctico y de alcance mundial para las relaciones
internacionales, para la enseanza y para el trabajo cientfico, decidi basar el Sistema
Internacional en una seleccin de siete unidades bsicas bien definidas que por convencin se
consideran dimensionalmente independientes.
La lgica de este sistema lo hace til y empleado por la comunidad cientfica de todo el mundo.
En el Ecuador a partir del 9 de enero de 1974, se establecio el SI como sistema
legal nico de medidas, con el caracter de uso obligatorio
1.3. SISTEMAINTERNACIONALDEUNIDADES CAPTULO1. PRELIMINARES
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1.3.3. Unidades Bsicas
MAGNITUD SIMBOLO1 UNIDAD SIMBOLO
Longitud L metro m
Masa M kilogramo kg
Tiempo T segundo s
Intensidad de corriente elctrica I amperio A
Tempertatura termodinmica kelvin K
Intensidad luminosa candela cd
Cantidad de sustancia N mol mol
Metro Longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vaco durante un intervalo de
tiempo de 1/299 792 458 de segundo
Kilogramo Unidad de masa igual a la masa del prototipo internacional que se conserva en
Sevres, Francia en la oficina Internacional de pesas y medidas. El prototipo es un
bloque cilndrico formado por la aleacin de platino e iridio.
Segundo Unidad de tiempo igual al lapso que tarda un tomo de cesio 133 en realizar 9 192
631 770 vibraciones
Amperio Unidad de intensidad de corriente elctrica, intensidad constante que manteniendo
en dos conductores paralelos, rectilneos, de longitud infinita y seccin transversal
despreciable separados un metro en el vaco produce entre ellos una fuerza de 2.10-
7 newton por metro de longitud
Kelvin Unidad de temperatura termodinmica y es la 1/273,16 parte de la temperatura
termodinmica del punto triple del agua (punto en el que coexisten en equilibrio
los estados slido, liquido y gaseoso del agua)
Candela Unidad de intensidad luminosa y es la intensidad luminosa, en la direccin
perpendicular de una superficie de 1/600 000 metros cuadrados de un cuerpo negro
a la temperatura de solidificacin del platino a una presin de una atmsfera
Mol Unidad de cantidad de sustancia y es la cantidad de sustancia de un sistema que
contiene tantos componentes elementales como tomos hay en 0,012 kg de carbono
1
1.3.4. Unidades Derivadas
Se forman mediante la multiplicacin y/o divisin de las unidades bsicas. Los nombres y
smbolos de las unidades as formadas en trminos de las unidades bsicas pueden reemplazarse
por nombres especiales y smbolos que pueden ser asimismo usados para formar expresiones y
smbolos de otras unidades derivadas
Unidades derivadas sin nombres especiales. Ejemplos
MAGNITUD SIMBOLO UNIDAD SIMBOLO
1 Smbolo dimensional
1.3. SISTEMAINTERNACIONALDEUNIDADES CAPTULO1. PRELIMINARES
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Area A metro cuadrado m
Volumen V metro cbico m
Densidad de masa kilogramo por metro cbico kg/m
Velocidad lineal v metro por segundo m/s
Aceleracin lineal a metro por segundo cuadrado m/s
Velocidad angular w radin por segundo rad/s
Aceleracin angular radin por segundo cuadrado rad/s
nmero de onda metro a la menos 1 m1
Intensidad de campo magntico H amperio por metro A/m
luminancia L candela por metro cuadrado cd/m
Unidades derivadas con nombres especiales. Ejemplos
MAGNITUD SIMBOLO UNIDAD SIMBOLO
Anguo plano radin2 rad
Angulo slido estereoradin sr
Fuerza F newton N
Presin P pascal Pa
Frecuencia f hertzio Hz
Energa, trabajo E, A julio J
Carga elctrica q columbio C
Difrerencia de Potencial V voltio V
Resistencia elctrica R ohmio
Potencia P vatio w
Capacidad elctrica C faradio F
Radin Es el ngulo plano comprendido entre dos radios de una circunferencia que cortan
sobre ella un arco de longitud igual al radio
Estereoradin Es el ngulo slido que teniendo su vrtice en el centro de una esfera determina
sobre su superficie una rea igual a la de un cuadrado de longitud igual al radio
Newton Es la fuerza que comunica a una masa de 1 kilogramo, una aceleracin de 1 metro
por segundo cuadrado
Pascal Es la presin ejercida por una fuerza de 1 newton perpendicular sobre una
superficie de 1 metro cuadrado
Hertzio Es el nmero de veces que se repite un fenmeno peridico en la unidad de
tiempo
Julio Es el trabajo de una fuerza de 1 newton que acta desplazando su punto de
aplicacin 1 metro en la direccin de la fuerza
2 El radin y el esteroradin denominadas anteriormente unidades suplementarias
1.3. SISTEMAINTERNACIONALDEUNIDADES CAPTULO1. PRELIMINARES
Prof. Dr. Ramiro Castillo 10
Ohmio Es la resistencia elctrica entre dos puntos de un conductor, con diferencia de
potencial de 1 voltio por el que circula una corriente de 1 amperio, si el conductor
no es generador de fuerza electromotriz
Vatio Es la potencia que genera energa de 1 julio por segundo
Faradio Es la capacidad de un condensador entre cuyas laminas hay una diferencia de
potencial de 1 voltio cuando esta cargado con una cantidad de electricidad de 1
culombio
1.3.5. Prefijos
La CGPM ha adoptado progresivamente una serie de palabras de origen griego y latino como
prefijos para ser usados en la formacin de los mltiplos y submltiplos decimales de las
unidades SI
Prefijos para formar los mltiplos
PREFIJO SIMBOLO FACTOR NUMERICO
yotta Y 1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
zetta Z 1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000
exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000
peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000
tera T 1012 = 1 000 000 000 000
giga G 109 = 1 000 000 000
mega M 106 = 1 000 000
kilo k 103 = 1 000
hecto h 102 = 100
deca da 101 = 10
Prefijos para formar los submltiplos
PREFIJO SIMBOLO FACTOR NUMERICO
1 = 0 1
c 2 = 01 0
3 =
6 =
9 = 0, 000 000 001
12 = 0, 000 000 000 001
15 = 0, 000 000 000 000 001
18 = 0, 000 000 000 000 000 001
21 = 0, 000 000 000 000 000 000 001
24 = 0, 000 000 000 000 000 000 000 001
1.3. SISTEMAINTERNACIONALDEUNIDADES CAPTULO1. PRELIMINARES
Prof. Dr. Ramiro Castillo 11
Para formar los mltiplos y submltiplos de la unidad de masa, se forman agregando prefijos
al nombre gramo y los smbolos de prefijos al smbolo de la unidad g.
Ejercicios
a) Formar los mltiplos y submltiplos de las unidades fundamentales
b) Formar los mltiplos y submltiplos de los ejemplos de unidades derivadas quetienen
nombres especiales
1.3.6. Principales Reglas del SI
Reglas Generales
No se pondr puntos al final de los smbolos de las unidades o de sus mltiplos o
submltiplos.
Ejemplos: m kg mF
El smbolo de la unidad ser el mismo para el singular y para el plural. Ejemplo: 1 N 8 N
Al escribir o pronunciar el plural de las unidades, se usar las reglas de la Gramtica
Espaola.
Ejemplos: mol - moles julio - julios
No deber combinarse nombres y smbolos al expresar el nombre de una unidad derivada.
Ejemplo: m/s y no m/segundo o metro/s
Al expresar las unidades derivadas La palabra por significa divisin. En la multiplicacin
se expresa las unidades una a continuacin de la otra.
Ejemplos: m/s metro por segundo N.s newton-segundo
Escritura de nmeros
Al escribir nmeros se utilizar exclusivamente cifras arbigas y notacin decimal. Para separar
la parte entera de la decimal se lo har con una coma. A partir de la coma se har una separacin
en grupos de tres cifras con un espacio en blanco. Ejemplos:
6 345 456 0,000 32
Escritura numrica de fechas
Se utilizarn nicamente nmeros arbigos separados por un guin, con el siguiente orden y
cifras: el ao con cuatro cifras, el mes con dos cifras y el da con 2 cifras. Ejemplos:
1959-09-24 1999-04-23 2005-10-02
Denominacin del tiempo
El da se divide en 24 horas desde las 00h00 hasta las 24 h, para escribir y denominar el tiempo
se utilizar nicamente nmeros arbigos en grupos de dos cifras acompaados del smbolo
1.3. SISTEMAINTERNACIONALDEUNIDADES CAPTULO1. PRELIMINARES
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respectivo, con el siguiente orden: horas( h ) , minutos ( min ) y segundos ( s ). Si la hora se
expresa solo con minutos o con segundos, puede omitirse el ltimo smbolo. Las 24h de un da
corresponde a las 00h00 del siguiente da. Ejemplos:
09 h 45 min 05 s 17 h 05 min 12 15 h 30 min 07 h 40
1.3.7. Unidades ajenas al SI que se obtienen experimentalmente
MAGNITUD NOMBRE SIMBOLO VALOR EN UNIDADES SI
Masa Unidad de masa atmica u 1,660 53.10-27 kg
Energa electronvoltio eV 1,602 19.10-19 J
Longitud unidad astronomica ua 1,495 978 706 91.1011 m
1.3.8. Unidades ajenas al SI aceptadas para su uso con el Sistema
Internacional
MAGNITUD NOMBRE SIMBOLO VALOR EN UNIDADES SI
Masa tonelada t 1 000 kg=1 Megagramo
Tiempo minuto, hora, dia min h d 1 min = 60 s, 1 h = 3 600 s
Temperatura grado celsius C C = 1 K
Angulo Plano grado /180 rad
Volumen litro L 1 L = 1000 cm
CAPTULO1. PRELIMINARES
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1.4. OTROSSISTEMASDEUNIDADES
1.4. OTROS SISTEMAS DE UNIDADES
En el mundo prevalecen adems del SI dos sistemas de unidad el ingls y el Sistema Tcnico.
Estos sistemas consideran a la fuerza como magnitud fundamental y a la masa como unidad
derivada.
1.4.1. Sistema Ingls
Originado en Inglaterra y por lo mismo utilizado en los pases de lengua inglesa es utilizado en
Latinoamrica en algunas actividades de carcter comercial que se desarrollan principalmente
con los Estados Unidos. Sus principales unidades son:
MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO VALOR EN UNIDADES SI
Longitud pie ft 1 ft = 0,304 8 m
Tiemp segundo s 1 s = 1 s
Fuerza libra lb 4,448 222 N
Masa slug slug 1 slug = 14, 593 9 kg
Equivalencias
1 m = 3,281 pies 1 km = 0,621 4 mi
1 pulg = 0,025 4 m = 2,54 cm = 25,4 mm 1 pie = 12 pulg = 0,304 8 m = 30,48 cm
1 mi = 5 280 pies = 1,609 34 km = 1 609 34 m 1 kg = 2,204 622 47 lbs
1 kg = 0,0685 slug 1 lb = 0,453 592 4 kg = 453,592 4 g 1 onza = 28,35 g 1 N =
0,2247 lbs
1.4.2. Sistema Tcnico
El Sistema Tcnico que se conoce tambin como sistema gravitacional, es usado principalmente
por los ingenieros
MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO VALOR EN UNIDADES SI
Longitud metro m 1m = 1 m
Tiempo segundo s 1 s = 1 s
Fuerza kilogramo fuerza kp kgf 1 kgf = 9,8 N
Masa unidad tcnica de masa utm 1 utm = 9,8 kg
1.5. DIMENSINDELASMAGNITUDES
CAPTULO1. PRELIMINARES
Prof. Dr. Ramiro Castillo 14
1.5. DIMENSIN DE LAS MAGNITUDES
La palabra dimensin revela la naturaleza fsica de una cantidad. Una distancia que se mide en
metros, no deja de ser distancia si se mide en kilmetros o pies, Su dimensin es una longitud
independientemente de la unidad de medida o sistema de unidades que se utilice
Todas las magnitudes fsicas pueden expresarse como funciones potenciales de las dimensiones
fundamentales: L, M, T, I, , , N
Ejemplos: rea A L Volumen V L densidad
MT3
El smbolo se utiliza con el significado de: dimensionalmente igual a, que establece una
relacin entre la magnitud y las dimensiones fundamentales, esta relacin no implica una
ecuacin.
Una magnitud es adimensional, si la combinacin del grupo de dimensiones que los conforman
es igual a 1
Determinacin dimensional de la constante k en la ley de Hooke: F =k x
Despejar la constante k de la ecuacin k
Reemplazar las magnitudes k
[x] k
k
hasta un nivel bsico
Expresar dimensionalmente k MLL1T2
cada una de las magnitudes
Expresin dimensional de k k MT2
F = fuerza x = deformacin lineal a = aceleracin v = velocidad
r = desplazamiento t = tiempo
Determinar dimensionalmente las siguientes magnitudes:
Superficie Volumen
Velocidad lneal Aceleracin lneal
Velocidad angular Aceleracin angular
Fuerza Presin
Trabajo Potencia
1.6. NOTACIONCIENTFICA CAPTULO1. PRELIMINARES
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1.6. NOTACION CIENTFICA
Escribir un nmero en notacin cientfica significa expresarlo como el producto de un nmero
entre 1 y 103 multiplicado por una potencia entera de 10.
Para simplificar la escritura de nmeros muy grandes o muy pequeas se utiliza la notacin
cientfica.
Ejemplos:
Notacin Ordinaria Notacin Cientfica
20 000 000 000 000 000 = 2.1016
6 550 000 000 000 000 000 000 = 6,55.1021
0,000 000 000 000 000 236 = 2,36.10-16
0,000 000 000 000 000 000 25 = 2,5.10-19
La conversin de un nmero en notacin ordinaria a notacin cientfica se basa en la
multiplicacin y divisin del nmero por un mltiplo de 10 tomando en cuenta que:
10 = 101
100 = 102
1 000 = 103
10 000 = 104
100 000 = 105
1 000 000 = 106
El exponente del 10 es igual al nmero de dgitos que se traslada la coma decimal, si la coma
se traslada a la izquierda el exponente es positivo, si la coma se traslada a la derecha el
exponente es negativo, lo anterior nos permite expresar directamente un nmero en notacin
cientfica. En los nmeros que no tienen cifras decimales ubicamos imaginariamente la coma
despus del ltimo dgito y contamos las cifras que se traslada.
Operaciones
Los nmeros en notacin cientfica estn expresados en forma de potencia por lo que, para
multiplicar o dividir se sigue las leyes de la potenciacin. Ejemplos:
1. 2 . 105 3, 2 . 104 = 6, 4 . 105+4 = 6, 4 . 109
2. 1, 5 . 102 4, 8 . 104 = 7, 2 . 102+4 = 7, 2 . 102
3 incluido el 1 y excluido el 10
CAPTULO1. PRELIMINARES
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3. 3, 1 . 103 2, 85 . 109 = 8, 835 . 1039 = 8, 835 . 1012
4. 9, 84 . 106 8, 25 . 105 = 81, 18 . 106+5 = 8, 118 . 101 . 1011 = 8, 118 . 1012
1.6. NOTACIONCIENTFICA CAPTULO1. PRELIMINARES
Prof. Dr. Ramiro Castillo 17
5. 9, 84 . 106 8, 25 . 105 = 81, 18 . 106+5 = 8, 118 . 101 . 1011 = 8, 118 . 1012
6. (2 . 108)3 = 23 . 108.3 = 8 . 1024
Para sumar o restar, se expresa el nmero menor con la misma potencia del nmero mayor y se
divide el coeficiente para 10, 100, 1000, etc. de acuerdo como se aumente en 1, 2, 3, etc. el
exponente. Se suma o resta de los coeficientes de las potencias y el resultado se expresa con la
potencia comn. Ejemplos:
1. 2 . 105 + 3, 5 . 104 = 2 . 105 + 0, 35 . 105 = 2, 35 . 105
2. 4, 8 . 103 + 2, 4 . 102 = 0, 48 . 102 + 2, 4 . 102 = 2, 88 . 102
3. 5, 6 . 104 6 . 106 = 0, 056 . 106 6 . 106 = 5, 944 . 106
4. 3, 2 . 102 7, 12 . 104 = 0, 032 . 104 7, 12 . 104 = 7, 152 . 104
5. 9 . 105 8 . 104 = 9 . 105 0, 000 000 008 . 105 = 8, 999 999 992 . 105
El resultado del numeral 5 es prcticamente 9.105 porque la diferencia 900 000 -
0,0008 = 899 999,999 2 900 000
Ejercicios
Expresar en notacin cientfica
Parte A
1. 7 000 000
2. 25 000 000
3. 450 000 000 000 000
4. 2 000 000 000
5. 759 000 000 000 000
6. 5 480 000 000
7. 89 250 000 000 000
8. 5 325 000 000
9. 487
10. 6 674
Parte B
1. 0, 000 000 25
2. 0, 000 5789
3. 0, 000 007
4. 0, 000 000 000 956 5
5. 0, 048
6. 0, 000 047
7. 0, 000 000 458 32
8. 0, 000 000 000 000
325
CAPTULO1. PRELIMINARES
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9. 0, 98
10. 0, 000 19
e) 7.10-5 f) 1,4.106 g) -
4,25.10-7
Efectuar la operacin propuesta
1. 3 . 105 2 . 103
2. 2, 7 . 102 7, 5 . 104
3. 8, 53 . 105 6 . 106
4. 2 . 108 (9 . 104)
5. 5 . 108 7 . 105
6. 6, 25 . 105 8, 4 . 105
7. 9, 5 . 108 (5, 4 . 107)
Parte C
1. Velocidad de la luz en el vaco: c = 300 000 000 m/s
2. Constante de Coulomb: k = 9 000 000 000 Nm/C
3. Equivalente mecnico del calor: J = 4 185 J/kcal
4. Presin atmosfrica normal: Pa = 101 300 Pa
5. Masa de la tierra: m = 5 975 000 000 000 000 000 000 000 kg
6. Radio medio de la tierra: R = 6 340 000 m
7. Distancia media de la tierra al sol: ua = 150 000 000 000 m
8. Distancia media de la tierra a la luna: R = 384 000 000 m
9. Carga del electrn: q = -0,000 000 000 000 000 000 160 2 C
10. Constante de gravitacin universal: G = 0,000 000 000 066 7 Nm/kg
Expresar en notacin ordinaria
1. Dimetro del sol: D = 1,39.109 m
2. Masa del sol: m = 1,99.1030 kg
3. Constante de Avogadro: N = 6,02.1023 mol-1
4. a) 4.108 b) 3,456.105 c) 5,895.10-4 d) 2,4568.102
1.6. NOTACIONCIENTFICA CAPTULO1. PRELIMINARES
Prof. Dr. Ramiro Castillo 19
8. 3, 48 . 104 (1, 9 . 103)
9. (4, 77 . 109)2
10. (5 . 104 8 . 101)2
1. 3, 5 . 105 + 4, 2 . 105
2. 5, 7 . 104 2, 5 . 104
3. 7, 3 . 106 + 6 . 106
4. 2 . 108 9 . 108
5. 5 . 104 + 7 . 105
6. 4, 25 . 105 + 6, 2 . 105
7. 8, 5 . 108 5, 4 . 107
8. 6, 25 . 104 7, 25 . 103
9. 4, 77 . 109 8, 35 . 1010
10. 5, 56 . 104 + 8 . 101 1.7. CIFRASSIGNIFICATIVAS
1.7. Cifras Significativas
Una medicin se expresa con un nmero de cifras que permite conocer la precisin con la cual
se realiz, estas cifras se llaman significativas.
Al decir que la longitud de un objeto es 25,8 cm significa que la medicin se realiz con una
precisin de dcimas de centmetro. Como el valor numrico de una medicin es una
aproximacin, la ltima cifra significativa es aproximada, no hay razn para aproximar ms de
una cifra. En 25,8 cm tenemos tres cifras significativas 2, 5 y 8; las cifras 2 y 5 son exactas y
la cifra 8 aproximada. No es lo mismo decir que el objeto mide 25,8 cm o 25,80 cm; en el
segundo caso significar que la medicin se realiz con una precisin de centsimas de cm, las
cifras 2, 5 y 8 son exactas y la cifra 0 aproximada. Es ms precisa la medicin que tiene ms
cifras significativas.
Los ceros no son cifras significativas si su funcin es nicamente localizar el punto decimal.
Los ceros a la derecha o comprendidos entre los nmeros 1 a 9 si son cifras significativas.
Ejemplos:
0,25 tiene dos cifras significativas
0,002 5 tiene dos cifras significativas
0,002 05 tiene tres cifras significativas
0,002 50 tiene tres cifras significativas
250 tiene tres cifras significativas
CAPTULO1. PRELIMINARES
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2 500 tiene cuatro cifras significativas
Si una medicin se expresa en notacin cientfica, todos los dgitos del nmero(excepto los de
la potencia) son cifras significativas.
Ejemplos:
3,1.105 tiene dos cifras significativas 3,10.105
tiene tres cifras significativas
3,100.105 tiene cuatro cifras significativas
En la conversin de unidades no debe perderse ni aumentarse cifras significativas. Ejemplos de
Conversin:
a) 400 g a kg b) 30 cm a m c) 2,5 kg a g d) 70 km a m
a) 400 g = 0,400 kg (es incorrecto 0,4 kg)
b) 30 cm = 0,30 m (es incorrecto 0,3 m)
c) 2,5 kg = 2,5.103 g (es incorrecto 2500 g)
d) 70 km = 7,0.104 m (es incorrecto 70 000 m)
CAPTULO1. PRELIMINARES
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1.7. CIFRASSIGNIFICATIVAS
Operaciones
En la suma o resta, el nmero de decimales debe ser igual al menor nmero de decimales de
cualquiera de los elementos de la suma o resta.
Al multiplicar o dividir nmeros, el nmero de cifras significativas del resultado debe ser el
mismo que el nmero de cifras significativas del elemento con menor precisin. Ejemplos
1. Hallar la suma de:
a) m1= 16,56 g m2 = 25,4 g m3 = 12,350
b) m1 = 2,45 kg m2 = 308 g
c) x1 = 40,345 m x2 = 80,5 cm x3 = 20 cm
16, 56
25, 4 2, 45
40,
345
0,
805
Sol. a) 54,3 g b) 2,76 kg c) 41,35 m
2. Calcular el rea de un terreno de 12,56 m de ancho y 40,30 m de largo
A = la A = (40, 30 m)(12, 56 m) A = 506, 2 m2
3. Calcular la rapidez media de un mvil que recorre en lnea recta 5,49 m en 2,2 s
d 5, 49 m m
v = v = v = 2, 5 t 2, 2 s s
4. Calcular el rea de una circunferencia de 4,51 cm de radio
A = r2 A = (4, 51 cm)2 A = 20, 340 1 cm2 . 3, 141 592 A = 63, 9 cm2
Al realizar sucesivas operaciones por lo general conviene retener cifras no significativas
para redondear en el resultado final.
En ocasiones al multiplicar, dividir elevar a una potencia o extraer una raz, es necesario
retener en el resultado una cifra ms de lo que dicta la regla.
Se considera que los nmeros reales tienen infinitas cifras significativas.
1.8. REDONDEODENMEROS
CAPTULO1. PRELIMINARES
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1.8. REDONDEO DE NMEROS
Cuando se realizan clculos, se presenta frecuentemente la necesidad de redondear un nmero,
lo cual consiste en reemplazar un nmero por otro con menor cantidad de cifras significativas
que las obtenidas como resultado de la operacin realizada y que correspondan a una realidad
fsica determinada. Existen tres formas de redondear los nmeros:
1. Redondeo por defecto hasta n-sima cifra significativa consiste en omitir todaslas cifras
comenzando con la (n + 1)
2. Redondeo por exceso hasta n-sima cifra significativa consiste en omitir todas lascifras
comenzando con la (n + 1) aumentando en una unidad a la ltima cifra conservada.
3. Redondeo con el error mnimo hasta n-sima cifra significativa consiste en omitirtodas
las cifras comenzando con la (n + 1) Con los siguientes criterios:
a) Aumentar en una unidad a la ltima cifra conservada si la primera de las cifras
suprimidas es mayor que 5
b) Mantener inalterada la ultima cifra conservada si la primera de las cifras suprimidas
es menor que 5
c) Aumentar en una unidad a la ltima cifra conservada, si la primera de las cifras
suprimidas es igual a 5 seguida de por lo menos un dgito
d) Si la primera de las cifras suprimidas es igual a 5 sin otras cifras a continuacin o
nicamente con ceros, mantener inalterada la ultima cifra conservada si es par o
cero y aumentar en una unidad a la ltima cifra conservada si es impar
Nmero Redondeo a Por defecto Por exceso Error mnimo
3 654,755 6 cifras 3 654,75 3 654,76 3 654,76
3 654,755 5 cifras 3 654,7 3 654,8 3 654,8
3 654,755 4 cifras 3 654 3 655 3 655
3 654,755 3 cifras 3,65.103 3,66.103 3,65.103
3 654,755 2 cifras 3,6.103 3,7.103 3,7.103
3 654,755 1 cifra 3.103 4.103 4.103
Captulo 2
23
FUNCIONES Y GRAFICOS
2.1. FUNCION
Una funcin es una relacin que se establece entre un parmetro independiente con un
parmetro dependiente, en tal forma que a cada valor del parmetro independiente le
corresponda un nico valor del parmetro dependiente.
Los datos experimentales obtenidos en un laboratorio, tabulados y representados grficamente,
permiten determinar si existe una relacin que sea funcin entre las variables de un fenmeno.
Si la relacin es una funcin, podemos concluir en una ley para eventos que se realicen con las
mismas caractersticas, calcular el valor de constantes fsicas y obtener la ecuacin matemtica
del fenmeno representado.
Pasos para construir un diagrama
1. Identificar plenamente el parmetro independiente que se representa en el eje delas
abscisas y el dependiente que se representa en el eje de las ordenadas. Cuando interviene
la variable tiempo que es independiente va en el eje de las abscisas
2. Escribir el ttulo en la parte superior del diagrama
3. En cada eje sealar la magnitud y unidad fsica respectiva
4. Calcular las escalas para cada eje y expresarlas junto al diagrama. La escala conrelacin
a 1 cm, resulta de dividir el mximo valor de la variable para la longitud en cm de la lnea
en la que se va a representar la magnitud.
5. Identificar y numerar en cada eje la divisin correspondiente a cada valor de lavariable.
Cada divisin en cm (con sus dcimas) medida a partir del origen del sistema de
referencia, resulta de dividir el valor de la variable para la escala. En el punto de divisin
se escribe el valor de la variable, no la distancia del origen al punto de divisin.
6. Sealar con un asterisco, cruz u otro signo cada uno de los puntos experimentales(pares
ordenados). Los puntos experimentales deben estar unidos a los ejes con lneas auxiliares
2.1. FUNCION CAPTULO2. FUNCIONESYGRAFICOS
Prof. Dr. Ramiro Castillo 24
7. Unir los puntos experimentales mediante una lnea continua (suavizada) que sigauna
tendencia recta o curva definida.
8. Si el diagrama es una lnea recta deducir la ley general, la ecuacin general, calcular la
pendiente del diagrama que es la constante de proporcionalidad entre las magnitudes,
expresar la ecuacin general.
9. Si el diagrama es una lnea curva, se procede a linealizar el grfico es decir convertir la
curva en recta y luego proceder como en el literal h.
Normas para trazar las lneas
Los puntos experimentales que representan a la funcin, no coinciden todos obligatoriamente
en la lnea que se va a trazar, como son resultado de mediciones hay un margen de error
probable, lo cual no significa que la medicin este mal hecha o que los valores sean incorrectos.
Para decidir por donde trazar la mejor lnea es aconsejable que:
1. El nmero de mediciones no sea menor a cinco
2. La lnea debe pasar por el mayor nmero de puntos
3. El nmero de puntos que no quedan sobre la lnea, en lo posible deben estarsituados
equitativamente a los lados
4. Si algn punto esta excesivamente lejos de la lnea que sugiere la mayora hayque
desecharlo.
5. Las lneas curvas deben tener un solo trazo, no segmentos de recta, utilizar uncurvgrafo
6. La lnea que representa a la funcin debe distinguirse claramente de las lneasauxiliares
2.1.1. Funcin Lineal
Una funcin es lineal si el grfico que resulta de representar los puntos determinados por la
variable independiente y dependiente es una lnea recta. De lo cual se deduce inmediatamente
una ley de proporcionalidad directa y una ecuacin de primer grado.
Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al multiplicar o dividir una de ellas por un
nmero, la otra tambin se multiplica o divide por el mismo nmero.
La constante de proporcionalidad o valor que relaciona las dos variable es la
pendiente(tangente) del diagrama
El desplazamiento en funcin del tiempo, en el MRU es una funcin lneal
Escalas:
r: 1cm = t:
1cm =
2.1. FUNCION CAPTULO2. FUNCIONESYGRAFICOS
Prof. Dr. Ramiro Castillo 25
=
N r(m) t(s)
1 0 0
2 2,0 2,5
3 4,0 5,0
4 6,0 7,5
5 9,0 11,5
6 11,0 14,0
Calculo de la pendiente Anlisis dimensional de la pendiente
r
mm
t
(9, 0 4, 0) m
m = L
(11, 5 5, 0) s m
T 5,
0 m
m =
6, 5 s m LT1 m
m = 0, 77 s
Anlisis del Diagrama: Es una lnea recta inclinada que pasa por el origen del sistema de
referencia, con pendiente positiva y constante.
Ley General: El desplazamiento es directamente proporcional al tiempo. r t Ecuacin
General: r = kt
Ecuacin Particular: r = 0, 77t
Significado fsico de la pendiente: Fsicamente la pendiente representa una velocidad.
2.1.1.1. Ordenada al origen
Una funcin tiene ordenada al origen, si la lnea del diagrama empieza en un punto sobre el eje
vertical o de las ordenadas, distinto al origen del sistema de referencia.
t(s)
, 0 , , 2 , 5 5 0 7 , 5 11 5 14 0
0 2 ,
6,0
11 , 0
0 , 9
4,0
r(m) r = f(t)
2.1. FUNCION CAPTULO2. FUNCIONESYGRAFICOS
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=
En las funciones lineales con ordenada al origen la ecuacin general tiene la forma:
D o = kI D = kI + o
D = variable dependiente o = valor de la interseccin de la recta con el eje de las ordenadas k
= constante de proporcionalidad I = variable independiente
La constante de proporcionalidad se calcula en la misma forma que la funcin lineal que no
tiene ordenada al origen.
Escalas:
x: 1cm = t:
1cm =
N r(m) t(s)
1 3,0 0
2 6,0 0,78
3 9,0 1,55
4 13,5 2,73
5 16,5 3,5
Calculo de la pendiente Anlisis dimensional de la pendiente
r
mm
t
(13, 5 6, 0) m
m = L
(2, 73 0, 78) s m T 7,
5 m
m =
1, 95 s m LT1 m
m = 3, 8 s
16 , 5
13 , 5
9 , 0
, 6 0
3 , 0
3 , 50 , 2 73 0 78 1 , 55 ,
t(s)
r(m) r = f(t)
2.1. FUNCION CAPTULO2. FUNCIONESYGRAFICOS
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Anlisis del Diagrama: Es una lnea recta inclinada con ordenada al origen, con pendiente
positiva y constante.
Ley General: El desplazamiento es directamente proporcional al tiempo. r t
Ecuacin General: r
ro = kt
Ecuacin Particular: r = 3, 8t + 3, 0
Significado fsico de la pendiente: Fsicamente la pendiente representa una velocidad.
2.1.1.2. Funcin Constante
Para cualquier valor de la variable independiente, el valor de la variable dependiente no cambia.
Su grfico es una lnea recta horizontal, paralela al eje del parmetro independiente
La velocidad en funcin del tiempo en el movimiento rectilineo uniforme es un ejemplo de
funcin constante
Escalas:
x: 1cm = t:
1cm =
N v(m/s) t(s)
1 16,0 0
2 16,0 0,2
3 16,0 0,4
4 16,0 0,6
5 16,0 0,8
6 16,0 1,0
Ley General: La velocidad es constante en el tiempo
Ecuacin General: v = k
Ecuacin Particular: v = 16, 0 m/s
El grfico representa un movimiento de velocidad constante porque para cualquier tiempo la
velocidad es la misma.
v(m/s) v = f(t)
t(s) 0 0 , 2 0 , , 6 0 , 8 1 , 0 4 0
16 , 0
4 , 0
8 0 ,
12 , 0
2.1. FUNCION CAPTULO2. FUNCIONESYGRAFICOS
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2.1.2. Funcin no Lineal
Una funcin no lineal tiene como grfico una lnea curva, por lo tanto su pendiente es
variable, positiva o negativa. Lo que impide obtener inmediatamente la ley que rige el
fenmeno.
Para obtener la ley general, la ecuacin general y la ecuacin particular es necesario linealizar
la curva, lo cual se obtiene al elevar a un exponente la variable independiente para obtener una
ecuacin de la forma:
D = kIn + o
D = Variable dependiente K = constante de proporcionalidad
I = variable independiente n = exponente positivo o negativo, diferente de cero y uno o =
ordenada al origen si existe
Si la funcin tiene como grfico una de las siguientes curvas
el exponente al que habr que elevar la variable independiente para linealizar la funcin, es
mayor que uno.
Si la funcin tiene como grfico una de las siguientes curvas
El exponente al que habr que elevar la variable independiente para linealizar la funcin, es
mayor que cero y menor que uno.
D D = f(t)
D D = f(t)
2.1. FUNCION CAPTULO2. FUNCIONESYGRAFICOS
Prof. Dr. Ramiro Castillo 29
Si la funcin tiene como grfico una curva como la siguiente:
El exponente al que habr que elevar la variable
independiente
para linealizar la funcin, es menor que cero
t
Decidir con absoluta certeza el valor numrico del exponente solo es posible, si previamente se
conoce dicho valor, en caso contrario se probara para diferentes valores posibles. Un
procedimiento directo es usando logaritmos.
2.1.2.1. Funcin Cuadrada
La funcin cuadrada es una funcin no lneal. Un caso de este tipo de relacin es
desplazamiento en funcion del tiempo, en el movimiento rectilineo uniformemente variado
N r(m) t(s) t(s)
1 0,0 0,0 0,0
2 0,25 1,0 1,0
3 1,00 2,0 4,0
4 2,25 3,0 9,0
5 4,00 4,0 16
6 6,25 5,0 25
Anlisis del Diagrama: Es una lnea curva rama de parbola, que pasa por el origen del sistema
de referencia, con pendiente positiva y variable. Linealizacin
Escalas:
r: 1cm =
t: 1cm =
2.1. FUNCION CAPTULO2. FUNCIONESYGRAFICOS
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=
x
m
t
(4, 00 1, 0) m
(16
4,
0) s
3, 0 m
12 s
m
s
An
lis
is
di
me
nsi
on
al
de
la
pe
ndi
ent
e
[x] L 2 m m m LT
[t] T
Anlisis del Diagrama:
Es una lnea recta inclinada que pasa por el origen del sistema de referencia, con pendiente
positiva y constante.
Ley General:
El desplazamiento es directamente proporcional al tiempo al cuadrado. r t
Ecuacin General: r = kt
) 2
t 2
r(m) r= f(t
2 2
Escalas:
r: 1 cm =
t :1cm = 2
t (s )
m =
m =
m = 0 25
2.1. FUNCION CAPTULO2. FUNCIONESYGRAFICOS
Prof. Dr. Ramiro Castillo 31
Ecuacin Particular: r = 0, 25t
Significado fsico de la pendiente: Fsicamente la pendiente representa una aceleracin
2.1.2.2. Funcin raz cuadrada
La relacin entre el periodo y la longitud de un pndulo simple es una funcin no
lneal
Escalas:
T: 1cm =
L: 1cm =
T T =f(L)
N T(s) L(m) L1/2(m1/2)
1 0,0 0,0 0,0
2 0,90 0,2 0,45
3 1,27 0,4 0,63
4 1,55 0,6 0,77
5 1,80 0,8 0,89
6 2,01 1,0 1,00
Anlisis del Diagrama: Es una lnea curva rama de parbola, que pasa por el origen del sistema
de referencia, con pendiente positiva y variable.
Linealizacin
Escalas:
T: 1cm =
M1/2: 1cm =
2.1. FUNCION CAPTULO2. FUNCIONESYGRAFICOS
Prof. Dr. Ramiro Castillo 32
T
m = L1/2
m = (0, 77 0, 45) m1/2 (1, 55 0, 90) s 0, 65 s
m = 0, 32 m1/2
s
m = 2 m1/2
Anlisis dimensional de la
pendiente
T 1/2T
mm L1/2 m L
Anlisis del Diagrama:
Es una lnea curva, que pasa por el origen del sistema de referencia, con pendiente positiva y
variable.
Ley General:
El periodo de un pndulo es directamente proporcional a la raz cuadrada de la longitud: T L1/2
Ecuacin General: T = k L1/2
Ecuacin Particular: T = 2 L1/2
Significado fsico de la pendiente: Fsicamente la pendiente representa
2.1.2.3. Funcin Inversa
Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si al multiplicar o dividir una de ellas por un
nmero, la otra se divide o multiplica por el mismo nmero.
De acuerdo con la Segunda Ley de Newton, para una fuerza
constante, la relacin entre la
L ) ( m
L
T
/ 2 1 / 2 1
1 / 2
L 1 / 2
2.1. FUNCION CAPTULO2. FUNCIONESYGRAFICOS
Prof. Dr. Ramiro Castillo 33
aceleracin y la masa es una
funcin inversa.
Escalas:
x:
1cm = t:
1cm =
Anlisis del Diagrama: Es una lnea curva, rama de hiprbola, con pendiente negativa y variable.
Linealizacin
N a(m/s) m(kg) m-1(kg1)
1 1,0 12,0 0,08
2 2,0 6,0 0,17
3 3,0 4,0 0,25
4 4,0 3,0 0,33
5 5,0 2,4 0,42
6 6,0 2,0 0,50
2
2.1. FUNCION CAPTULO2. FUNCIONESYGRAFICOS
Prof. Dr. Ramiro Castillo 34
3, 0 m/s 0,
25 kg
Anlisis dimensional de la pendiente
2
Anlisis del Diagrama:
Es una lnea recta inclinada que pasa por origen del sistema de referencia, con pendiente
positiva y constante.
Ley General:
La aceleracin es inversamente proporcional a la masa a m1
Ecuacin General: a = k m1
Ecuacin Particular: a = 12 m1
Significado fsico de la pendiente: Fsicamente la pendiente es una fuerza
2.1.2.4. Funcin Linealizada con Logaritmos
Si no se tiene la certeza del exponente al que se debe elevar la variable independiente para
linealizar una funcin se usa logaritmos, representando en los ejes el valor del logaritmo de
cada variable resultando como grfico una lnea recta.
[a]
m 1] [m
LT
m M1 m MLT2
1
2 a = f(m )
a(m/s )
1
1 m (kg ) 1
Escalas: a: 1cm = m: 1cm =
m
m
m = 1
m =
2.1. FUNCION CAPTULO2. FUNCIONESYGRAFICOS
Prof. Dr. Ramiro Castillo 35
Si la funcin es de la forma: D = kIn
La ecuacin en forma logartmica es: logD = logk + nlogI
En el diagrama logD = f(logI)
La constante de proporcionalidad de la funcin es k logk es la ordenada al origen
del grfico, el antilogaritmo es el valor de k
El exponente de la funcin n se obtiene calculando la pendiente del diagrama n = Sean X la variable independiente y Y la variable independiente, los valores y su correspondiente
logaritmo son:
N X(u) Y(u) logX logY
1 3,0 9,3 0,477 0,969
2 6,0 24,6 0,778 1,390
3 9,0 43,3 0,954 1,637
4 12,0 64,8 1,079 1,812
5 15,0 88,6 1,176 1,948
6 18,0 114,4 1,255 2,058
Escalas:
x: 1cm = t:
1cm =
y (u) y = f(x)
2.1. FUNCION CAPTULO2. FUNCIONESYGRAFICOS
Prof. Dr. Ramiro Castillo 36
Anlisis del Diagrama: Es una lnea curva, que parte del origen del sistema de referencia, con
pendiente positiva y variable.
Linealizacin:
Escalas:
x: 1cm = t:
1cm =
Anlisis del Diagrama: Es una lnea recta inclinada con ordenada al origen, con pendiente
positiva y constante.
Y Y
X
X
Y
2.1. FUNCION CAPTULO2. FUNCIONESYGRAFICOS
Prof. Dr. Ramiro Castillo 37
Clculo de la constante de proporcionalidad
k = log10, 301 k = 2
Clculo de la pendiente ( valor del exponente n)
m = m m = m = 1, 4
Ley General: La magnitud Y es directamente proporcional a la magnitud Xelevada al exponente
1,4 Y X1/4
Ecuacin General: Y = k X1/4
Ecuacin Particular: Y = 2 X1/4
2.1.3. Interpolacin y Extrapolacin
La interpolacin y extrapolacin es el procedimiento para obtener valores no tabulados.
El tiempo t = 3,5 s no es un valor de la tabla, al
sealar el referido valor en el eje
correspondiente del grfico y levantar una lnea
auxiliar hasta la recta que representa a la
funcin para luego proyectarle horizontalmente, se obtiene en
la interseccin con el eje vertical el valor interpolado x = 10,5
m
El tiempo t = 6,5 s corresponde a una posicin x
= 19,5 obtenido al prolongar los ejes del grfico
para extrapolar el valor correspondiente
Escalas:
x: 1cm = t:
1cm =
N x(m) t(s)
1 0,0 0,0
2 3,0 1,0
3 6,0 2,0
4 9,0 3,0
5 12,0 4,0
6 15,0 5,0
2.1. FUNCION CAPTULO2. FUNCIONESYGRAFICOS
Prof. Dr. Ramiro Castillo 38
En resumen los grficos nos permiten:
1. Determinar si existe o no relacin lineal entre las variables que intervienen en
unfenmeno fsico
2. Deducir leyes fsicas, calcular constantes y obtener la ecuacin particular del fenmeno
estudiado
3. Comparar constantes fsicas tericas con las obtenidas en el laboratorio
4. Determinar valores desconocidos mediante interpolacin, extrapolacin o con laecuacin
particular deducida.
Ejercicios:
Con las tablas de valores, graficar las funciones y obtener la ecuacin particular respectiva
t(s) x(m)
0,0 0,00
0,7 1,19
1,2 2,04
1,9 3,23
2,4 4,08
3,0 5,10
3,6 6,12
t(s) x(m)
0,0 1,60
0,5 2,75
1,1 4,13
1,8 5,74
2,6 7,58
3,2 8,96
4,0 10,80
t(s) v(m/s) t(s) v(m/s)
0,0 0,00 0,0 3,00
0,8 0,72 0,9 6,06
1,6 1,44 1,7 8,78
2,4 2,16 2,5 11,50
3,2 2,88 3,2 13,88
4,0 3,60 4,3 17,62
4,8 4,32 5,0 20,00
t(s) v(m/s)
0,0 0,00
0,5 0,13
1,3 0,85
2,1 2,21
3,2 5,12
4,0 8,00
5,0 12,50
T(S)
valor interpolado
x(m) x = f(t)
valor extrapolado
15 , 0
12 , 0
10 , 5
9 , 0
, 0 6
3 , 0
0 1 ,0 2,0 3,0 3,5 4,0 5 , 0
19 5 ,
6 , 5
2.1. FUNCION CAPTULO2. FUNCIONESYGRAFICOS
Prof. Dr. Ramiro Castillo 39
t(s) x(m) t(s) x(m) t(s) x(m)
0,0 1,0 0,0 0 0,0 0,50
0,6 1,4 0,5 1 0,8 0,63
1,2 2,6 1,0 4 1,2 0,79
2,0 5,4 1,5 9 1,5 0,95
2,8 9,6 2,5 25 1,9 1,22
3,4 13,7 3,0 36 2,3 1,56
4,5 23,3 3,5 49 3,0 2,30
a(m/s) m(kg) a(m/s) m(kg)
4,0 0,5 10,0 0,02
2,5 0,8 6,7 0,03
1,7 1,2 4,0 0,05
1,4 1,4 2,9 0,07
1,2 1,7 2,2 0,09
1,0 2,0 2,0 0,10
T(s) m(kg) T(s) L(m) X(u) Y(u)
4,5 0,09 0,0 0,0 1 2,000
5,2 0,12 0,6 0,1 2 0,500
5,8 0,15 1,1 0,3 3 0,222
6,5 0,19 1,4 0,5 4 0,125
7,2 0,23 1,8 0,8 5 0,080
7,5 0,25 2,0 1,0 6 0,056
X(u) Y(u) X(u) Y(u)
0,0 0,0 1,2 1,141
1,0 0,3 2,3 5,094
1,5 0,8 3,4 12,52
2,1 2,3 4,1 19,25
2,6 4,4 5,3 34,75
3,1 7,4 6,5 55,56
4,0 16,0 7,0 65,89
40
Captulo 3
Errores de Medida
3.1. GENERALIDADES
Error y Precisin
Error de medida es la discrepancia entre el valor experimental y el valor real de una magnitud.
La exactitud al medir no existe. La medida de una magnitud fsica es aproximada, no se puede
obtener una medida exacta, siempre existir un error casual o sistemtico que impide conoce el
valor verdadero de una magnitud.
Al medir debemos referirnos a la precisin que depende de la unidad de medida usada. Entre
dos mediciones de una misma magnitud es ms precisa aquella que se realiz con la menor
unidad de medida. Si se mide el dimetro de una moneda con una regla graduada en milmetros
y se mide tambin con un calibrador que aprecie cinco centsimas de milmetro, es ms precisa
la medida con el calibrador pero no es exacta.
Clasificacin
1. Errores Sistemticos Son aquellos que permanecen constantes o varan en forma
predecible al medir repetidas veces la misma magnitud. Tienden a desviar el valor de una
medida en una sola direccin, esto significa que los valores sern siempre mayores o
siempre menores al valor verdadero. Estos errores pueden ser detectados y corregidos.
Se originan por:
a) Fallas en los instrumentos. Ej. Mala calibracin, equipos daados
b) Procedimientos defectuosos del experimentador. Ej. Ajuste incorrecto del cero,
lecturas mal realizadas, clculos errneos
c) Condiciones ambientales en que se desarrolla la experimentacin. Ej. Temperatura,
humedad
2. Errores Aleatorios Se producen al azar como producto de la accin propia de medir,
con igual probabilidad de que sean positivos o negativos y con mayor incidencia en las
mediciones de menor valor absoluto
Error y Resultado de una medicin
Mientas ms precisa es la medida de una magnitud, ms se acerca a su valor verdadero, que no
se conoce pero se acepta su existencia.
3.2. CALCULODELOSERRORES CAPTULO3. ERRORESDEMEDIDA
Prof. Dr. Ramiro Castillo 41
El resultado de una medida consiste en un Intervalo en el cual podemos garantizar que se
encuentra el valor verdadero.
Ese intervalo se forma con el valor experimental el error de medida. Si designamos con x al
valor verdadero que es desconocido y con xm al valor observado o experimental que est
afectado de error entonces:
x = xm e
Resultado de la medicin = valor experimental error de medida
3.2. CALCULO DE LOS ERRORES
Para determinar los errores aleatorios se utiliza mtodos estadsticos, que en forma limitada se
describen a continuacin
3.2.1. Error Absoluto (ea)
Se define como la diferencia ente valor experimental y el valor verdadero de la magnitud. Para
el efecto las constantes fsicas se consideran como valores verdaderos.
ea = xm xv
Error absoluto = valor experimental - valor verdadero
Un error absoluto negativo significa que el valor experimental es menor que el valor verdadero.
Un error absoluto positivo significara que el valor experimental es mayor que el valor verdadero
Ejemplo.- El coeficiente de dilatacin lineal del cobre es v = 17 . 106 C1, si en el laboratorio
se determina un valor de m = 16 . 106 C1, el error absoluto de la medicin es:
ea = m v
ea
ea
El resultado de la medicin es:
= m ea
= (16 . 106 1 . 106) C1
3.2. CALCULODELOSERRORES CAPTULO3. ERRORESDEMEDIDA
Prof. Dr. Ramiro Castillo 42
3.2.2. Error Relativo (er)
Es el error por cada unidad en que se mide la magnitud y se calcula dividiendo el mdulo del
error absoluto para el valor verdadero de la magnitud.
error absoluto
xv
Ejemplo
El error relativo para el coeficiente de dilatacin lineal es:
er = |ea|
v
er
er = 0, 06
3.2.3. Error Porcentual ()
Es el error por cada 100 unidades en que se mide la magnitud y se calcula multiplicando el error
relativo por 100, expresando el resultado con el smbolo del tanto por ciento.
= (error relativo)100 %
= er . 100 % La magnitud medida se expresa:
Se considera que si se obtiene:
x = xm
El error porcentual
El error porcentual
El error porcentual
1010 %%
>1 % y
3.2. CALCULODELOSERRORES CAPTULO3. ERRORESDEMEDIDA
Prof. Dr. Ramiro Castillo 43
= er100 % = 0, 06 . 100 %
El resultado de la medicin es:
= 6 %
=
=
m
16 . 106 C1 6 %
Ejemplo 2
La densidad del hierro es 7,8 g/cm3 si en el laboratorio se obtiene 7,6 g/cm3
Clculo de errores
ea = m v er = |e
a| = er100 %
v
| | g3 = 0, 03 . 100 % ea = (7, g
6 7, 8)cm3 r = 0, 2 cm e g g 7, 8cm3
ea = 0, 2 cm3 er = 0, 03 = 3 %
El resultado de la medicin es:
g
= m = 7, 6 cm3 3 %
En resumen:
Error Absoluto Error Relativo Error Porcentual
ea = xm xv
Es la diferencia entre el valor
medido y el valor verdadero
No es suficiente para
caracterizar la presicion de
la medida Tiene
unidades
er = |xeav|
Es el error por cada unidad
con la que se mide la
magnitud.
Permite determinar la
precisin de la medida
realizada.
Es adimensional
= er . 100 % Es el error por cada 100
unidades de la magnitud
medida
Permite la comparacin entre
distintas mediciones
realizadas
Es adimensional
3.2. CALCULODELOSERRORES CAPTULO3. ERRORESDEMEDIDA
Prof. Dr. Ramiro Castillo 44
3.2.4. Error Mximo(em)
Si al medir y realizar ms de una lectura, el valor experimental de la magnitud no cambia;
entonces podemos atribuir como error de la medicin a la mitad de la unidad de medida, que
es el mximo error posible en que puede incurrirse. Al expresar el resultado de una medicin
se aadir em
unidad de medida
em =
2
Ejemplo
Si al medir la longitud de un cuerpo con una regla graduada en milmetros se obtiene 15,82 cm,
como la unidad de medida es el milmetro:
1 mm
El resultado de la medicin
x = xm em
x = 15, 82 cm 0, 05cm
El error relativo de una medida, se define como la razn entre error mximo y el valor medido
0, 05 cm
er =
er = 0, 003 15, 82 cm
El error porcentual es:
= er100 % = 0, 003 . 100 % = 0, 3 %
El resultado de la medicin
x = xm x = 15, 82 cm 0, 3 %
em = 2 em = 0, 5 mm
em = 0, 05 cm
er = error maximo
valor medido
er =
El error relativo para el ejemplo es:
em
xm
3.2. CALCULODELOSERRORES CAPTULO3. ERRORESDEMEDIDA
Prof. Dr. Ramiro Castillo 45
3.2.5. Valor Medio De Una Magnitud
Si una magnitud se mide varias veces, se requiere determinar el valor medio, la media aritmtica
o promedio de las mediciones.
El valor medio, se aproximar tanto ms al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor sea
el nmero de medidas, ya que los errores aleatorios de cada medida se va compensando unos
con otros, por lo que el valor ms probable, del verdadero valor de una magnitud es su media
aritmtica.
Sean: x1, x2, x3 . . . xn el resultado de medir una magnitud, su valor medio es:
n
Ejemplo 1. Al medir la longitud de un objeto se obtienen los siguientes datos:
n
i
n
= (40,10+40,12+40,095+40,11+40,12)mm
= 200, 545 mm = 40, 11 mm
Ejemplo 2. Los valores obtenidos al medir la masa de un cuerpo son los
expuestos en la tabla adjunta.
n
mi m = i=1 = m1 + m2 + m3 + . . . + mn n n
(51, 2 + 51, 5 + 51, 3 + 51, 4 + 51, 1 + 51, 4) g
x =
xi i=1 n
x = x1 + x2 + x3 + . . . + xn n
N i(mm)
1 40,10
2 40,12
3 40,09
4 40,11
5 40,12
3.2. CALCULODELOSERRORES CAPTULO3. ERRORESDEMEDIDA
Prof. Dr. Ramiro Castillo 46
m =
6
307, 9 g
m = 6 m = 51, 3 g
3.2.6. Desviaciones con relacin a la media aritmtica
Al medir una cantidad fsica x, se denomina desviacin con relacin a la media
aritmtica, la diferencia de cualquier valor xi con el valor medio.
desviacin = valor medido - media aritmtica
d = xi x
Ejemplo
Los valores obtenidos al medir la arista de un cubo y las desviaciones con respecto a la media
aritmtica son:
n
ai
a = i=1 n
121, 85 mm
a =
6
a = 20, 31 mm
d1 = a1 a d1 = 20, 30 20, 31 d1 = 0, 01 mm
d2 = a2 a d2 = 20, 28 20, 31 d2 = 0, 03 mm
d3 = a3 a d3 = 20, 33 20, 31 d3 = 0, 02 mm
d4 = a4 a d4 = 20, 29 20, 31 d4 = 0, 02 mm
N mi(g)
1 51,2
2 51,5
3 51,3
4 51,4
5 51,1
6 51,4
N ai(mm)
1 20,30
2 20,28
3 20,33
4 20,29
5 20,32
6 20,33
121,85
3.2. CALCULODELOSERRORES CAPTULO3. ERRORESDEMEDIDA
Prof. Dr. Ramiro Castillo 47
d5 = a5 a d5 = 20, 32 20, 31 d5 = 0, 01 mm
d6 = a6 a d6 = 20, 33 20, 31 d6 = 0, 02 mm
3.2.7. Error medio (e)
Si al medir y realizar ms de una lectura, los valores experimentales de la magnitud no son
iguales, se define como error medio, al promedio de los valores absolutos, de las desviaciones
con respecto a la media aritmtica de la magnitud
n
|xi x| i=1
e = n
La magnitud medida se expresa:
x = x e
La ecuacin anterior significa que el verdadero valor de la magnitud medida se encuentra en el
intervalo limitado por:
x = x
e y x = x + e
Si el valor calculado del error medio es menor que la apreciacin del aparato con el cual se
hicieron las mediciones, se toma como error medio la apreciacin del aparato de medida
Ejemplo
Clculo del error medio con los datos que se obtuvieron al medir el dimetro de un cilindro
Media aritmtica de las mediciones
n
i
= i=1 n
=92 , 74 mm
6
= 15, 46 mm
3.2. CALCULODELOSERRORES CAPTULO3. ERRORESDEMEDIDA
Prof. Dr. Ramiro Castillo 48
Se realiza el clculo de los valores absolutos de las
desviaciones, que constan en la tabla
Clculo del error medio de las mediciones n
n
Con el
error medio obtenido se expresa correctamente el valor de la
medida
= e = (15, 46 0, 02) mm
Clculo del Error Relativo y Porcentual
El error relativo se calcula mediante la razn entre el error medio y la media aritmtica de las
mediciones
e 0, 02 mm
er = er = 15 , 46 mmer = 0, 001
El error porcentual es:
= er100 % = 0, 001 . 100 % = 0, 1 %
El resultado de la medicin expresado con el error porcentual es:
= = 15, 46 cm 0, 1 %
N i(mm) | |(mm)
1 15,42 0,04
2 15,48 0,02
3 15,46 0,00
4 15,44 0,02
5 15,49 0,03
6 15,45 0,01
92,74 0,12
e = (0, 04 + 0, 02 + 0, 00 + 0, 02 + 0, 03 + 0, 01) mm
6
e = 0, 12 mm
6
e = 0, 02 mm
3.3. PROPAGACIONDEERRORES CAPTULO3. ERRORESDEMEDIDA
Prof. Dr. Ramiro Castillo 49
3.3. PROPAGACION DE ERRORES
El clculo de los errores de magnitudes que se miden indirectamente se realiza en funcin de
los errores de las magnitudes que se miden directamente.
El error absoluto, el error mximo y el error medio tienen la misma categoria en la propagacin
de errores.
Lo suiguiente es un resumen para calcular errores de las medidas indirectas que involucran las
principales operaciones matemticas.
Error de una Suma
OPERACION ERROR ABSOLUTO ERROR RELATIVO
S = x + y es = ex + ey
ex + ey
ers =
x + y
El error absoluto de una suma es igual a la suma de los errores absolutos de cada uno de los
elementos de la suma
Error de una Diferencia
OPERACION ERROR ABSOLUTO ERROR RELATIVO
D = x y eD = ex + ey ex + ey erD = x
y
El error absoluto de una diferencia es igual a la suma de los errores absolutos de los elementos
de la resta.
Conviene remarcar que los errores no se restan, se suman.
Error de un Producto
OPERACION ERROR ABSOLUTO ERROR RELATIVO
M = xy eM = xey + yex erM = erx + ery
El error relativo de un producto es igual a la suma de los errores relativos de los factores Error
de un cociente
OPERACION ERROR ABSOLUTO ERROR RELATIVO
x
C = y
xey + yex ec = 2
y
erc = erx + ery
3.3. PROPAGACIONDEERRORES CAPTULO3. ERRORESDEMEDIDA
Prof. Dr. Ramiro Castillo 50
El error relativo de un cociente es igual a la suma de los errores relativos del dividendo y el
divisor
Error de una Potencia
OPERACION ERROR ABSOLUTO ERROR RELATIVO
P = xn eP = nxn1ex erP = nerx
El error relativo de una potencia es igual al producto del exponente por el error relativo de la
base
Error de una Raz
OPERACION ERROR ABSOLUTO ERROR RELATIVO
R = n x n x e
eR = x nx
e
erR = rx n
El error relativo de una raz es igual al error relativo de la cantidad subradical dividido para el
ndice de la raz
Ejemplos
1. Se mide la masa de un material por partes y se obtiene los siguientes valores:
m1 = (25, 3 0, 3) g m2 = (16, 1 0, 2) g m3 = (40, 8 0, 4) g La masa
total es: m = m1 + m2 + m3 m = 25,3 + 16,1 + 40,8 ( 0,3 + 0,2 + 0,4 ) g
m = (82,2 0,9) g
2. Para medir la masa de cierta cantidad de agua utilizando una probeta, se determina que
la masa de la probeta vacia es: mp =(60,5 0,3) g y de la probeta con agua es: mpa =
(140,7 0,4) g La masa del agua es: ma = mpa mp ma = 140,7 - 60,5 (0,3+0,4) g ma = (80,2 0,7) g
3. Para determinar el rea de un terreno rectangular se mide el largo y ancho y seobtiene:
Largo: l = (18,44 0,05) m Ancho: a = (12,36 0,05) m El rea media del terreno es:
A = la A = (18, 44 m)(12, 36 m)
El error relativo de cada dimensin es:
A = 227, 9 m2
3.3. PROPAGACIONDEERRORES CAPTULO3. ERRORESDEMEDIDA
Prof. Dr. Ramiro Castillo 51
0, 05 m
erl erl = erl = 0, 0027 18, 44 m
0, 05 m
era = era = 0, 004 era12, 36 m
El error relativo del rea es:
erA = erl + era erA = 0, 0027 + 0, 004
El error porcentual del rea es:
erA = 0, 007
A = erA100 % A = 0, 007 . 100 %
El error absoluto del rea es
A = 0, 7 %
eA = lea + ael eA = (18, 44 m)(0, 05 m) + (12, 36 m)(0, 05 m) eA = 0, 922
m + 0, 618 m eA = 1, 5 m
El rea del terreno es:
A = 227, 9 m 7 % A = (227, 9 1, 5) m
52
Captulo 4
EQUIPO Y APARATOS DE MECANICA
4.1. PIEZAS
Base triangular
Brazo de balanza con pasadores
Dispositivo disparador Corredera
4.1. PIEZAS
Paralelepipedo Espiga de eje
Barra de soporte
0 1 2 3 4 5 6 7 8
4.2. APARATOS CAPTULO4. EQUIPOYAPARATOSDEMECANICA
Prof. Dr. Ramiro Castillo 53
Regla Esferas
Masas Placas de centro de gravedad
Tabla de experimentacin
Grapa
Resorte
Carro
Polea
4.2. APARATOS
4.2.1. Balanza de Brazos Iguales
Las balanzas son aparatos para medir masas.
El concepto de masa apareci en la fsica de Isaac Newton en la segunda mitad del siglo XVII.
Newton identific la masa como la cantidad de materia que forma el cuerpo. Actualmente se
define la masa como la medida de la inercia de un cuerpo.
Las balanzas estn graduadas en: toneladas, kilogramos, gramos o miligramos.
CAPTULO4. EQUIPOYAPARATOSDEMECANICA
Prof. Dr. Ramiro Castillo 54
Una tonelada = 1 000 kilogramos
Un kilogramo = 1 000 gramos
Un gramo = 1 000 miligramos
La balanza de brazos iguales es una palanca de primer gnero, que compara una masa
desconocida con otras ya conocidas denominadas masas prototipo.
1.- Base en V 2.- Varilla soporte 3.- Escala
4.- Platillo con suspensin 5.- Fiel de 150 mm 6.- Ganchos en S
7.- Brazo de balanza 8.- Espiga de eje 9.- Manguito en cruz
10.- Correderas
Forma de medir
Despus de realizar el montaje, se procede a nivelarla, desplazando las correderas sobre los
brazos de la balanza, hasta que el fiel quede sobre la divisin central de la escala. Luego se
ubica en un platillo de la balanza el cuerpo de prueba y en el otro las masas prototipo hasta que
se consiga el equilibrio de los brazos de la balanza.
La suma del valor de las masas prototipo es igual a la masa del cuerpo de prueba.
3
7
4
9
2
1
5
8
6 10
4.2. APARATOS CAPTULO4. EQUIPOYAPARATOSDEMECANICA
Prof. Dr. Ramiro Castillo 55
4.2.2. El Calibrador
Denominado tambin pie de rey o vernier, es un aparato para medir longitudes, con mayor
precisin que un metro o una regla, permite medir con una apreciacin de una dcima de
milmetro o cinco centsimas de milmetro de acuerdo al aparato.
El calibrador sirve para realizar mediciones de longitudes exteriores, interiores y profundidades.
En el calibrador se distinguen dos partes fundamentales que son: la regla fija, graduada en
milmetros y una regla mvil o nonius.
Apreciacin
Si en un calibrador 10 partes del nonius corresponden a 9 milmetros de la regla fija, cada
divisin del nonius es igual a 9/10 de milmetro. La apreciacin del aparato A = 0,1 mm es la
diferencia entre la longitud de la menor divisin de la regla fija (1 mm) y la longitud de la
divisin del nonius (9/10 mm)
Si para un nonius dividido en 20 partes se hacen corresponder 19 milmetros de la regla fija,
cada divisin del nonius es igual 19/20 de milmetro. La apreciacin del aparato A = 0,05 mm
es la diferencia entre la longitud de la menor divisin de la regla fija (1 mm) y la longitud de la
divisin del nonius (19/20 mm).
Forma de medir
Si el cero del nonius coincide con una divisin de la regla fija, la longitud de la pieza tendr
una medida con cifras enteras en milmetros.
Si el cero del nonius queda entre dos divisiones de la regla fija la longitud de la pieza tendr
una parte entera ms una parte decimal, la parte entera es el valor inmediatamente anterior al
cero del nonius y la parte decimal lo determina la divisin del nonius que coincide con una de
las divisiones de la regla fija.
4.2.3. El Palmer
Se denomina tambin tornillo micromtrico y es un aparato de medida con el cual se consiguen
mediciones ms precisas que con el calibrador.
4.2. APARATOS CAPTULO4. EQUIPOYAPARATOSDEMECANICA
Prof. Dr. Ramiro Castillo 56
El palmer consta de una pieza fija y otra mvil llamada tambor, que se mueve a travs de una
tuerca, avanza o retrocede al hacerle girar.
Paso(p) Es la distancia sobre la tuerca, que avanza el tambor al girar una vuelta completa.
Generalmente 0,5 mm o 1 mm
La apreciacin(A) Es la razn entre el paso y el nmero de divisiones de la escala del tambor
Si la escala del tambor esta dividida en 50 partes y por cada vuelta completa el avance es de 1
mm
p 1 mm
n = 50 p = 1 mm A = A = A = 0, 02 mm n 50
Si la escala del tambor esta dividida en 50 partes y por cada vuelta completa el avance es de
0,5 mm
p 0, 5 mm
n = 50 p = 0, 5 mm A = A = A = 0, 01 mm n 50
Forma de medir
Si el cero de la escala del tambor coincide con la lnea central de la escala de la tuerca, la
longitud de la pieza tendr una medida con cifras enteras en milmetros; si no coincide la
longitud de la pieza tendr una parte entera ms una parte decimal.
La parte entera es el valor en la escala de la tuerca inmediatamente anterior al filo del tambor y
la parte decimal lo determina la divisin de la escala del tambor que coincide con la lnea central
de la escala de la tuerca.
Al medir volmenes de agua, indirectamente se mide su masa, porque 1 cm de agua es
aproximadamente 1 gramo de agua; por lo tanto si se mide 60 cm podemos afirmar que la masa
correspondiente es 60 g.
4.2. APARATOS CAPTULO4. EQUIPOYAPARATOSDEMECANICA
Prof. Dr. Ramiro Castillo 57
4.2.4. Medidor de Fuerzas
El medidor de fuerzas es un aparato que utiliza la deformacin de un resorte,
dentro de los lmites elsticos en los que se cumple la ley de
Hooke. La deformacin provocada por la accin de una fuerza es asociada
a una escala numrica graduada, de acuerdo con una unidad de fuerza
previamente definida.
La unidad de fuerza del SI es el newton(N); otras unidades de fuerza usadas
son: la dina, el kilopondio (kp) o kilogramo fuerza (kgf), el pondio (p) o
gramo fuerza (gf) y la libra (lb)
El newton y la dina son unidades derivadas, el kilopondio y la libra son
unidades fundamentales
Newton Es la fuerza que a una masa de 1 kg le comunica una aceleracin
de 1 m/s 1 N = 1 kg.m/s
Dina Es la fuerza que a una masa de 1 g le comunica una aceleracin de 1 cm/s
1 dina = 1 g.cm/s
Kilopondio Es la fuerza con la cual el planeta atrae a una masa de 1 kg 1 kp = 1
utm.m/s
Libra-fuerza Es la fuerza de atraccin de la tierra sobre una libra masa 1 lib =
1 slug.pie/s
Aunque representan conceptos diferentes, el valor numrico de la masa de un
cuerpo en kg es igual al valor numrico del peso en kp o
kgf, 5 kg de masa en el SI representa 5 kp de peso
en el Sistema Tcnico
De acuerdo con la unidad usada al medidor de fuerzas se lo llama:
dinammetro, pondmetro o newtmetro La equivalencia entre
las unidades es:
1 dina = 10-5 N = 1,02.10-6 kp 1 N = 105 dinas = 0,102 kp = 0,225 lb
1 kp = 9,8.105 dinas = 9,8 N 1 p = 9,8.102 dinas = 9,8.10-3 N
1 lb = 4,45 N
10 N
1 0.5
4.2. APARATOS CAPTULO4. EQUIPOYAPARATOSDEMECANICA
Prof. Dr. Ramiro Castillo 58
4.2.5. Probeta
Es un recipiente cilndrico de plstico o de vidrio que permite medir directamente el volumen
de los lquidos.
Est formado por un tubo generalmente transparente de unos centmetros de
dimetro, y tiene una graduacin mediante una
serie de marcas grabadas que indican distintos volmenes. En la parte
inferior est cerrado y posee una base que sirve de apoyo,
mientras que la superior est abierta para introducir el lquido a
medir y tiene un pico que permite verter el lquido a medir.
Forma de Medir
1. Limpiar la probeta antes de utilizarla
2. Introducir el lquido a medir hasta el nivel requerido
3. Si se pas vuelque el lquido parcialmente y repetir el paso 2.
4. Efectuar el experimento
5. Restituya el lquido al recipiente original
La escala numrica esta graduada en cm .Las probetas ms comunes tienen una apreciacin de
0,5 cm, 1 cm y 2 cm
Ejemplo. Si el nivel del lquido coincide con el nmero 80 de la escala, el volumen de lquido
contenido ser de 80 cm
Una probeta se utiliza tambin para medir volmenes de cuerpos especialmente irregulares. Se
vierte generalmente agua en la probeta hasta un determinado nivel, luego se introduce el cuerpo
de prueba, el nivel del agua sube; la diferencia entre el nivel final y el inicial es el volumen del
cuerpo.
59
Captulo 5
PRACTICAS
Las prcticas y demostraciones de laboratorio es la actividad acadmica en la que el alumno
logra el mximo de participacin y el profesor asume el rol de gua para: Motivar el aprendizaje
de la Fsica, comprobar los conocimientos cientficos, utilizar el mtodo cientfico, prevalecer
la objetividad sobre lo prejuicios, desarrollar habilidades de tipo manual, tomar y analizar datos,
representar grficas, distinguir la teora de la prctica
Para las prcticas se forman grupos, que son responsables pecuniariamente en caso de prdida
o dao del material y equipo que se les entrega. Luego de su realizacin cada uno de los
estudiantes elaborar el respectivo informe para su evaluacin. Tomando en cuenta que:
1. El informe es el resumen del trabajo de las prcticas de Laboratorio.
2. El informe debe presentarse hasta el da y hora en punto sealadas por el profesor.
3. El informe ser receptado nicamente a los estudiantes que participen en la realizacin de
la prctica.
4. Se asignar la nota cero para los estudiantes que no participen en la realizacinde la
prctica.
5. La nota de la prctica corresponde a un 20 % del trabajo en el laboratorio y 80 %al informe.
6. En el informe se evala esencialmente el contenido cientfico pero tambin lapresentacin.
INFORME DE LABORATORIO
PRACTICA N 1 CALIFICACION___________________________
TEMA: Medida de Longitudes NOMBRE:__________________________N____
FECHA:______________________ CURSO: ________________GRUPO:__________
OBJETIVO:
Medir la longitud de cinco cuerpos y expresar el resultado con el error mximo y el error
porcentual
Aplicar las reglas de conversin de unidades y cifras significativas
EQUIPO:
1. Regla
CAPTULO5. PRACTICAS
Prof. Dr. Ramiro Castillo 60
2. Cuerpos de prueba: ___________________________________________________
_____________________________________________________________________
ESQUEMA:
CAPTULO5. PRACTICAS
Prof. Dr. Ramiro Castillo 61
FUNDAMENTO TEORICO
Los trminos comparativos mas alto, igual de alto, menos alto o ms distancia, igual distancia,
menos distancia nos conducen a la nocin de una escala numrica que se basa en una unidad de
longitud, necesaria para efectuar las comparaciones.
La unidad de longitud originalmente se asocio al tamao de la mano, el brazo o el pie del hombre.
En 1799 en Francia, luego de las mediciones geodsicas que tuvo como objetivo calcular la
circunferencia de la tierra, se defini la unidad de longitud metro, como la diez millonsima
parte de un cuadrante de meridiano terrestre (distancia de la Lnea Equinoccial, al Polo Norte)
del cual se elabor el metro patrn construido con una aleacin de platino e iridio, que fue
aceptado internacionalmente como unidad estndar de longitud.
Despus el metro se defini en trminos de la longitud de onda emitida por los tomos del gas
kriptn-86 y actualmente se define en trminos de la distancia recorrida por la luz en el vaco
en un intervalo de tiempo.
El sistema ingls usa como unidad de longitud el pie
La conversion de unidades implica la multiplicacin o divisin por una determinada cantidad.
Para la conversin de los valores que se obtengan en la prctica, es suficiente las siguientes
equivalencias:
1 mm = 0, 1 cm = cm 1 cm = 10 mm
1 mm = 0, 001 m = m 1 m = 1 000 mm
1 cm = 0, 01 m = m 1 m = 100 cm
1 pie = 0, 3048 m = 30, 46 cm 1 m 3, 28 pies
REALIZACION
1. Medir la longitud de cada uno de los cuerpos con la regla
2. Tabular los resultados
3. Realizar los clculos
4. Contestar el cuestionario
REGISTRO DE VALORES Y CALCULOS
N CUERPO DE PRUEBA (mm) (cm) (m) (pies)
CAPTULO5. PRACTICAS
Prof. Dr. Ramiro Castillo 62
1
2
3
4
5
CAPTULO5. PRACTICAS
Prof. Dr. Ramiro Castillo 63
CUESTIONARIO Y CONLUSIONES
1. Escribir el resultado de la medicin de cada una de las longitudes, utilizando elmximo
error posible
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
2. Escriba el resultado de la medicin de cada una de las longitudes, utilizando elerror
porcentual
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
3. Tomando en cuenta el error porcentual En cul de las mediciones se cometims error y
cul fue la ms precisa?
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
.................................................................................................................................