FUNCIONES

C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : F un c ion es

Introducció n:

Q uizá s la idea centra l en la ma tem ática sea e l concep to de

función. En la historia de la m a tem á tica , p a rece ser REN É

DESC A RTES q uien introdujo p rim era m ente en e l a ño de 1637 e l

concep to de función, p a ra sig nifica r la p otencia entera de la

va ria b le x . Posteriorm ente LE IBNIZ (1646 – 1716) utilizó d icho

concep to p a ra denota r la s ca ntida des a sociada s a una curva.

LEO N H A RD EULER (1706 – 1783) lo utilizó lueg o pa ra identifica r la

re la ción entre va ria b le y consta ntes en una fórm ula. Pero, la

definic ión q ue se usa a ctua lm ente de función es deb ida a

D IRIC H LET (1805 – 1859) la cua l describ e a una funció n com o u na

reg la de corresp ondencia entre dos conjuntos.

Intuitiva m ente se considera q ue la ca ntida d y es función de la

ca ntida d x , s i ex iste a lg una reg la, ley o p roced im iento q ue

p erm ita a sig na r un va lor único de y , p a ra ca da va lor q ue se

considere de x , dentro de c ierto conjunto p osib le de va lores.

M ucha s veces es p osib le exp resa r d icha reg la o ley p or m ed io de

una ecua ción m a temá tica com o ocurre p or e jem p lo, con e l

á rea y de un c írculo, en función del ra d io x ; 2pxy ; otra s

veces es d ifíc il o a ún imp osib le ha lla r la fórm ula m a temá tica q ue

re la ciona la s va riab les x e y a unq ue sig a siendo p osib le la

a sig na ción de un va lor único de y p a ra ca da va lor de x .

Lo q ue interesa rea lm ente es p oder determ ina r un conjunto de

p a res ordena dos yx, , indep end ientem ente de si la ley o reg la

q ue re la ciona la s va ria b les x e y es de tip o m a tem á tico,

em p írica o simp lem ente descriptiva .

A sí, tend iendo en cuenta la descrito en la colum na a nterior,

g enera lm ente se ha ce uso de las funciones rea les, (a ún cua ndo

e l ser hum a no no se da cuenta), en e l m a nejo de c ifra s

num érica s en corresp ondencia con otra , deb ido a q ue se está

usa ndo sub conjuntos de los núm eros rea les. La s funciones son de

m ucho va lor y utilida d p a ra resolver p rob lema s de la vida d ia ria,

p rob lem a s de fina nza s, de econom ía, de esta d ística, de

ing eniería , de m ed ic ina, de q uím ica y fís ica , de a stronom ía , de

g eolog ía, y de cua lq uier á rea socia l donde ha ya q ue re la ciona r

va ria b les.

C ua ndo se va a l m erca do o a cua lq uier centro com erc ia l,

s iem p re se re la ciona un conjunto de determ ina dos ob jetos o

p roductos a lim entic ios, con e l costo en p esos p a ra a sí sab er

cuá nto p odem os com p ra r; si lo lleva m os a l p la no, p odem os

escrib ir esta corresp ondencia en una ecua ción de función "x"

com o el p recio y la ca ntidad de p roducto com o "y".

E l concep to de función es e l m ejor ob jeto q ue los m a tem á ticos

ha n p od ido inventa r p a ra exp resa r e l ca m b io q ue se p roduce en

la s cosa s a l pa sa r e l tiem p o.

En este ca p ítulo com enza rem os p or p repa ra r e l ca m ino p a ra los

sig uientes a l a na liza r a sp ectos b á sicos de la s funciones ta les

com o: identifica r cuá ndo una re la ción entre dos conjuntos es una

función, visua liza r una función a tra vés de d istintos m étodos,

ob tener inform a ción de esa rep resenta ción y reconocer c iertos

conjuntos a socia dos a la s funciones ta les com o el dom inio y la

im a g en.

H a rem os hinca p ié en q ue una función p uede rep resenta rse de

d iferentes m odos: m ed ia nte una ecuación, con una g rá fica, o

con p a lab ra s.

UNID A D 1: FUNC IONES Y SUS GR A FIC A S

C á lculo d i feren cia l C a p ítulo 1 : Fun c ion e s

A cada e lemen to

del dominio le

corresp ond e un

único e lemen to d el

Ra n go.

Iny ectiva

F. inyectiva

F. n o in yectiva

fCodfRan

Todos los valores de

"y" (el codominio) son

imágen de un valor

de "x" (el dominio).

Sobre yectiva

F. sob reyectiva

F. no sobreyectiva

Es in y ect iva y

sob rey ec tiva a

la vez .

Biyectiva

F. Binyectiva

F. no biyectiva

Fu n ción pa r

Fu n ción im pa r

im par

)()( 21

F . c re c ien te

F . d ecr ec ien te

C recie nte

D ecrec ie nte

Pu ed e ser:

Y s e les p ued e h a lla r:

D om in io Ra n g o

C on ju n to d e va lores

en los qu e p u ed e

eva lua rse la fu n ción .

Se llam a Recorrido, Rango o Imagen de

una función al conjunto de valores que

obtiene la función al reem plazar x. Este

se puede encontrar despejando x en la

función.

RELA C IÓ N

Se d efin e c om o :

C orrespond enc ia q ue hay e ntre lo s e lem entos

d e d os conjuntos A y B . e sto es A X B .

Q ue p uede ser:

FU NC IÓ N

S i se c um p le q u e :

Se a sign a a ca d a un o d e lo s e lem en tos “ x” d el

con jun to “A ” un ún ico elem en to “ y” d e l c on jun to “ B ” .

Se c la s ifica n en :

Elem ent ales tra sc e nde nte s

Polin óm ica

C on sta n te

Lin ea l

C ua d rá tica

Ra cion a l

V a lor a b s ol.

Exp on en cia l

Loga rítm ica

T rigon om etrica

T rig. in versa

H ip erb ólica

H ip erb . in versa

N o Elem e ntales

Pa rte en tera .

Pa ra ob s erva r su c om p orta m ien to e s

a d ecua d o rep r esen ta rla grá fica m en te.

Su grafica:

Pa ra gra fica rla p od em os rec urrir a :

Tabulac ión Identificación de la

func ión

Hacer tabla de

valores en dond e

están los valores

dados a x y los

correspondientes

hallados de y .

Un a vez

id en tifica d a la

fun c ión , d eterm in ar

sus ca ra cterística s y

con ba se en e llas

gra fica r.

Es el conjunto de puntos yx, en 2R para los

cuales yx, es un par ordenado de la función

Sus in terseccion es con los e jes, se logra n a sí:

C on e l e je x C on e l e je y

Son los n úmeros

reales x para los

cuales 0xf . A

estos núm eros se les

llama también "ceros"

de la función f.

A q uellos n úmeros

reales p a ra lo s

cua les s e d é )0(f .

SIM ETRÍA . Ten dr á si:

La gra fica d e la fun ción es sim étrica con resp ecto a l e je y si la

func ión n o se a ltera c uan do: Se ob tiene una ecuación

eq uiva len te cuand o yx, se sustituye por yx, .

La grafica de la fun c ión es sim étrica con resp ecto a l origen si

la fun ción no se a ltera cuand o: Se obtien e un a ecuación

eq uiva len te cuand o yx, se sustituye por yx ,

No tendrá si:

La gra fica d e la fun c ión n o ten d rá sim etría si n o se

cum p le n in gun o d e lo s ca sos a n teriores.

A lg un a s p ued en ten er :

Se d en o ta n :

xfy y;x:f y f x ; , lo

q ue sign ifica q ue f en v ía x a y.

M APA CONCEPTUAL 1: FUNCIONES

G ra fica de una función : xfy

G RAFIC A

D E UN A

FUNC IÓ N

M u estra c on m ayor

clar idad , la re la ción que

existe entre las v ariab les

x e y de u na función .

Se lo gra con e l con jun to d e p a re ja s ord en a d a s 2, Ryx .

La cua l se de fin e: Sea RBRAf : una func ión re al

de v ariab le r ea l. La gráf ic a de f es el con junto d e puntos

2, Ryx ta le s qu e la par eja orden ada yx, perten ece a f.

Es d ecir, Grá fica d e fDxxfyRyxf ,/, 2 .

A lg un a s p os een f un c ion es in versa s. La s f un c ion es in versa s d e

un a f un c ión se p u ed en id en tifica r a sí (c rite rio gra fico) :

C RITE RIO D E LA REC TA H O RIZ O N TA L:

Un a fun c ión p osee in versa si a l tra zar recta s h orizon ta les ésta s

corta n a la fun c ión en un so lo p un to; en ca so con tra rio la fun c ión

a la q ue se le tra za n recta n h orizon ta les n o p osee in versa .

La fun c ión sí p osee fun c ión La fun c ión n o p osee fun c ión

In versa ya q ue a l tra za r recta s In versa ya q ue a l tra zar recta s

h orizon ta les, ésta s corta n a la h orizon ta les, ésta s corta n a la

fun c ión en un só lo p un to. f un c ión en va r ios p un tos.

La restr icc ión d a d a en la d efin ic ión d e f un c ión , d e q ue n o

exis ten 2 p a re ja s q ue ten ga n la p rim era com p on en te ig ua l , s e

tra d uc e en la gra fica d e la f un c ión d e la sig uien te m a n era :

C RITE RIO D E LA REC TA V ERT IC A L:

Un a gra fica c orresp on d e a un a fun c ión si a l tra za r recta s

vertica les ésta s c orta n a la f un c ión en un s o lo p un to .

La gra fica si es f un c ión , la

recta vertica l toca la

fun c ión en un s o lo p un to .

La gra fica n o es f un c ión , la

recta ver tica l to ca la

fun c ión en 3 p un to s.

Fig ura 1 .1 . Fig ura 1 .2 .

M APA CONCEPTUAL 2: GRAFICA DE UNA FUNCIÓN

C oncep to Func ió n

1. Determ ina r cua les de la s sig uientes re la ciones son funciones y

cua les no .

a . la re la ción BAf : donde ponmA ,,, , tsrB ,, y

sptosnrmf ,,,,,,,

b . c .

So luc ión:

a . f s i es función, ya q ue a cada elem ento de A le corresp onde

un único e lem ento de B.

b . g no es función, p ues e l e lem ento c del conjunto x está

a socia do con 2 e lem entos en e l conjunto y, y todos los

e lem entos del conjunto x no form a n pa rte del dom inio.

c . H si es función, p orq ue e n la g ra fica se ob serva q ue no ex isten

2 p a re jas ordenada s en las cua les se rep ita la seg unda

com p onente, es decir, cada e lem ento de x está a socia do

con un único e lem ento de y.

T ipo de Función:

2. Da das las sig uientes funciones, encontra r dom inio y ra ng o.

A dem á s determ ina r, si son inyectiva s (uno a uno), b iyectiva s,

sob reyectivas, pa r, im pa r, creciente, decreciente, sim étrica.

Lueg o, tra za r la g ra fica (tab ula ción).

a . 12)( xxf b. 2)( 2 xxf c . xxxf 3)(

So luc ión:

a . 12)( xxf

Dom inio : E l dom inio de 12)( xxf corresp onde a todos los

p osib les va lores de x p a ra los cua les )(xf está definida. C om o

x p uede tom a r cua lq uier va lor, se d ice q ue e l dom inio de

12)( xxf corresp onde a l conjunto de los núm eros rea les.

Dom 12)( xxf R o (en nota ción de conjuntos Rxx /

o en nota ción de interva los , .

Rango : Se ob tiene desp eja ndo x en la función 12)( xxf .

A sí; 12)( xxf

C om o y p uede tom a r cua lq uier va lor, se d ice q ue e l ra ng o de

12)( xxf corresp onde a l conjunto de los núm eros rea les.

Ra ng o de 12)( xxf R o (en nota ción de conjuntos

Ryy / o en nota ción de interva los , .

¿Función inyectiva?

La función 12)( xxf es inyectiva , p ues a ca da núm ero

d iferente del dom inio le corresp onde un único núm ero del ra ng o.

A lg eb ra ica m ente, se p uede exp lica r:

1212 2121 xxxfxf

21 22 xx

Lo q ue m uestra q ue la ig ua lda d de imá g enes im p lica ig ua lda d

de p re imá g enes.

Ejercicios R esueltos . M apa C onceptual 1 y 2

Fig ura 1 .3 .

¿Función Sobreyectiva?

La función 12)( xxf será sob reyectiva si e l ra ng o de la

función es ig ua l a l codom inio1 de la función, esto es, si e l

codom inio es ig ua l a los R .

C om o Ra n )()( xCodomfRxf

La función 12)( xxf es sobreyectiva .

¿Función B iyectiva?

C om o la función 12)( xxf es inyectiva y sob reyectiva,

entonces es biyectiva .

¿Función par, im par o ninguna?

La función 12)( xxf será p a r si f domx xfxf )()( .

12)( xxf

12)( xxf com o xfxf )( La función no es par .

La función 12)( xxf será imp a r si f domx xfxf )()( .

12)( xxf

12)( xxf com o xfxf )( La función no es im par .

La función 12)( xxf no es par ni im par.

¿Función C reciente, decreciente o constante ?

La función es creciente en todo su dom inio , ya q ue p a ra ca da

21 xx siem p re 21 xfxf . M á s a dela nte se trab a ja rá n unos

criterios m ás concretos sob re éste item.

1 El c o do m inio y rango de una func ió n so n d ife re nte s . Te nga pre se nte s las de finic io ne s d adas.

Co do m inio : El c o do m inio o c o njunto de lle gada de f e s e l c o njunto Y y se de nota Codf o b ie n Cf .

Im age n, re c o rrido o rango : La im age n, re c o rr ido o rango de f e stá fo rm ada po r lo s v a lo res que a lc anza la

m ism a. Es e l c o nju nto de to do s lo s o bje to s transfo rm ado s, se de no ta fRan o b ie n

fR y e stá de fin ida po r:

yxfXxYyR f ,/ .

¿S im étrica con respecto al e je y , sim étrica con respecto al

o rigen o ninguna?

La grafica de la función 12)( xxf es simétrica con respecto al

eje y si la función no se altera cua ndo: Se obtiene una ecua ción

equivalente cuando yx, se sustituye p or yx, ,

12)( xxf

12 xy C om o 12)( xxf se a ltera a l ca m b ia r yx, por

yx, no hay simetría con respecto a l eje y .

La gra fica de la función 12)( xxf es simétrica con respecto al

orig en si la función no se altera cua ndo: Se obtiene una ecua ción

equivalente cuando yx, se sustituye p or yx ,

12)( xxf

12 xy C om o 12)( xxf se a ltera a l ca m b ia r yx, por

yx , no ha y sim etría con respecto a l origen.

La g ra fica de 12)( xxf no p osee sim etría .

Grafica. La obtenem os a tra vés

de tab la de va lores. F ig ura 1.4.

x )(xf

2 51)2(2)2( f

1 31)1(2)1( f

0 11)0(2)0( f

3 51)3(2)3( f

4 71)4(2)4( f

Fig ura 1 .4 .

b . 2)( 2 xxf

Dom inio : E l conjunto de los núm eros rea les.

Dom 2)( 2 xxf R o (en notación de conjuntos Rxx / o

en nota ción de interva los , .

Rango : Se ob tiene desp eja ndo x en la función 2)( 2 xxf .

A sí; 2)( 2 xxf 22 xy 2 yx

y p uede toma r cua lq uier va lor en donde 02 y y+2, se d ice

q ue e l ra ng o de 12)( xxf corresp onde a l conjunto de los

núm eros rea les ta les q ue 2y .

Ra nf: 2y o (en nota ción de co njuntos 2/ yy o en

nota ción de interva los ,2 .

La función 2)( 2 xxf no es inyectiva , p ues ex isten núm eros

d iferentes en e l dom inio q ue tienen la m isma im ag en, p or

e jem p lo, -1, 1. A sí, 11 s in emb a rg o, 111 ff

La función tiene p or ra ng o 2y y p or codom inio: R.

C om o Ra n )()( xCodomfxf

La función 2)( 2 xxf no es sobreyectiva.

C om o la función no 2)( 2 xxf es inyectiva y no es

sob reyectiva, entonces no es biyectiva .

La función 2)( 2 xxf será p a r si f domx xfxf )()( .

2)(2 xxf 2)( 2 xxf

com o xfxf )( La función es par .

De a cuerdo a la fig ura 1.5. la función es d ecreciente en e l

interva lo 0, y creciente en e l interva lo ,0 .

o rigen o ninguna?

La gra fica de la función 2)( 2 xxf es simétrica con respecto al

eje y si la función no se altera cua ndo: Se obtiene una ecua ción

equivalente cuando yx, se sustituye p or yx, ,

2)( 2 xxf

22 xy Como 2)( 2 xxf no se altera al cambiar yx, por

yx, hay simetría con respecto al eje y . Además, es importante

determinar que si la grafica de una función es par, podemos concluir

que es simétrica con respecto al eje y.

Grafica. La obtenem os a tra vés de tabla de valores. F ig ura 1.5.

x )(xf

2 22222

1 12112

0 22002

1 12112

2 22)2()2( 2 f

Fig ura 1 .5 .

Dom inio : E l conjunto de los núm eros rea les d iferentes de 0 (ya

q ue no está p erm itida la d ivisión entre 0).

)( 0/ xRx o en nota ción de interva los

,00, .

Rango : Se ob tiene desp eja ndo x en la función x

A sí; x

y p uede tom a r cua lq uier va lor d iferente de 0. E l ra ng o de

1)( corresp onde a l conjunto 0/ yRy o en n ota ción

de interva los ,00, .

La función x

)( es inyectiva , p ues a ca da núm ero d iferente

del dom inio le corresp onde un único núm ero del ra ng o.

La función tiene p or ra ng o 0y y p or codom inio: 0y .

C om o Ra n )()( xCodomfxf

La función x

)( es sobreyectiva .

C om o la función x

)( no es inyectiva y si es sob reyectiva,

entonces no es biyectiva .

La funciónx

)( será p a r si f domx xfxf )()( o será

im p a r si f domx xfxf )()(

com o xfxf )( La función es im par.

De acuerdo a la fig. 1.6. la función es decreciente en todo su dominio.

o rigen o ninguna?

La gra fica de la función x

)( es sim étrica con respecto a l e je y si

la función no se a ltera cuando: Se obtiene una ecuación equiva lente

cua ndo yx, se sustituye p or yx, ,

No e s simé tric a c o n re spe c to a l e je y .

Si e s sim é tric a co n re spe c to a l o rige n.

Grafica. La obtenem os a tra vés de tabla de valores. F ig ura 1.6.

x )(xf

Fig ura 1 .6 .

Dom inio y Rango .

3. Hallar el dominio y rango de cada función. Luego, trazar la grafica.

a . 13 2 xxf b . 2

xxg c .

xxi e .

1 f. 12 xxk

So luc ión :

a . 13 2 xxf

Dom inio : La función corresp onde a una función p olinóm ica

cua drá tica, x p uede tom a r cua lq uier va lor en e l conjunto de los

R . Lueg o RDomf

Rango : E l ra ng o de f se p uede ha lla r a sí:

13 2 xxf

13 2 xy

13 2 yx 3

C om o no se p ueden ob tener ra íces cua dra da s de núm eros

neg a tivos, entonces determ inam os cua ndo 103

Ra n ,1f o 1y

G rafica:

Dom inio : La función 2

xxg no está definida p a ra 2x

p ues 02 x cua ndo 2x . Lueg o, 2)( Rxg Dom

Lueg o, Rx s í y só lo sí 0y . Ra n 0 Rg

G rafica: F ig ura 1.8.

xh es eq uiva lente a

xxxh , entonces )(xh no está definida p a ra 2x y

2x Lueg o, 2,2)( Rxh Dom

Fig ura 1 .7 .

x )(xf

2 1312322

1 411312

0 110302

1 411312

2 1312322

Fig ura 1 .8 .

x )(xf

Lueg o, Rx s í y só lo sí 0y . Ra n 0 Rh

xxi no está definida pa ra 3x

Lueg o, 3)( Rxh Dom

23)3( xxy 233 xyxy 233 yxxy

233 yyx 3

Lueg o, Rx s í y só lo sí 3y . Ra n 3 Ri

Dom inio : La función x

1 está definida p a ra a q uello

va lores en q ue 04 x , 4x Lueg o, 4)( xxj Dom

Lueg o, Rx s í y só lo sí 0y . Ra n 0 Rj

Fig ura 1 .9 .

x )(xf

Fig ura 1 .10 .

x )(xf

2)10(310

2)5(35

2 83)2(

2)2(32

2)0(30

2)5(35

Fig ura 1 .11 .

x )(xf

f. 12 xxk

Dom inio : La función 12 xxk está definida pa ra aq uellos

q ue ha cen 012 x , esto es, 2

1x Lueg o,

1)( xxk Dom

12 xxk

122 xy 2

Lueg o, Ra n Rk

C ortes con e l e je x y con el e je y

4. H a lla r los p untos de corte de la función da da con los e jes

coordena dos. Lueg o g ra fica r.

a . 12)( xxf b . 1)( 2 xxf

So luc ión :

a . Pa ra ha lla r los cortes con e l e je x , es decir los p untos de la

form a )0,(x se ig ua la la función a 0 y se desp eja x .

012 x 2

e l p unto de corte con e l e je x es 0,21

Pa ra ha lla r los cortes con e l e je y ,

es decir los p untos de la form a

),0( y se ca lcula )0(f .

1102)0( f

e l p unto de corte c on e l e je y

es 1,0 . Figura 1.13 .

b . Pa ra ha lla r los cortes con e l e je x , es decir los p untos de la

form a )0,(x se ig ua la la función a 0 y se desp eja x .

012 x 1x

los p untos de corte con e l e je x son 0,1 y 0,1 .

Pa ra ha lla r los cortes con e l e je y , es decir los p untos de la form a

),0( y se ca lcula )0(f .

110)0(2

e l p unto de corte con e l e je y es 1,0 . Figura 1.14 .

Fig ura 1 .12 .

x )(xf

21 012)(

1 1112)1( k

25 212)(

5 3152)5( k

Fig ura 1 .13 .

Fig ura 1 .14 .

F igura 1 .15

1. A un ta nq ue q ue tiene la forma de u n cono c ircula r recto

invertido de 4 mts. de rad io y 16 m ts. de a ltura entra ag ua a una

ra zón determ ina da. Exp resa r e l volum en de a g ua en un insta nte

da do:

a . En función de la a ltura h.

b . En función del rad io de la b ase x.

So luc ión.

En la figura 1.15 .

a p a rece e l cono con la s

d im ensiones da da s y

una p orc ión del

volum en en e l insta nte

determ ina do.

E l volum en del ag ua en

e l insta nte determ inado

viene da do p or:

C om o los triá ng ulos O DE y OBC son sem eja ntes, se tiene:

a . Si se q uiere exp resa r e l volum en en función de la a ltura h, se

deb e desp eja r x en (2) y sustituirlo en (1). A si,

Lueg o, entonces,

b . Pa ra exp resa r e l volum en en función del ra d io x, se sustituye (2)

en (1).

2. Un a la m b re de 100 cm. de long itud se corta a una d ista ncia x

de uno de sus extrem os en dos pa rtes, form a ndo con una de e lla s

un c írculo y con la otra un cuadra do (figuras 1.16. y 1.17) .

a . Exp rese e l p erím etro de ca da fig ura en función de x.

b . Exp rese e l á rea tota l de la s figuras 1.16. y 1.17. en función de x.

¿C uá les son sus resp ectivos dom inios?

So luc ión .

Long itud de la c ircunferencia: xrxrlc

a . Perím etro del cua drado xLxLPc 1004

A hora : 100,021 xPDxPD (Dom inio de xP1 ).

b . Á rea del c írculo 2

1xxxArAc

Á rea del cua dra do 22

2 10016

1xxxALAcua

A si q ue: xAxAxA 21 22 10016

donde 1000 x

Ejercicios R esueltos . Situaciones que se representan con funciones

Lon g itud d e la p erím etro d el

C ircun feren cia = x c ua d ra d o = 100 -x

Fig ura 1 .1 7 .

Fig ura 1 .16 .

Perím e tro d e la c ir cun fer en cia

Perím e tro d el c ua d ra d o

Fig ura 1 .18 .

3 . Se d isp one de

una ca rtulina

cua dra da de

la do a y se q uiere

ha cer una ca ja

sin ta p a

recorta ndo

cua dra dos

ig ua les en la s

esq uina s y

dob la ndo sus lados (Ver fig.). Exp rese e l volum en de la ca ja en

función del la do del cuadra do recorta do.

Soluc ión.

Volum en de la ca ja = Á rea de la b ase x a ltura

xxaxv .22

xaaaxxxxaxaxxaxv 222322244.44.2 p a ra

4 . Un a b reva dero

q ue está lleno de

a g ua tiene 2 m ts.

de la rg o y sus

extrem os tienen la

form a de triá ng ulos

eq uilá teros

invertidos de 60 cm .

de la do (Ver

fig .1.17.) . ¿C uá l es e l volum en de ag ua en e l a b revadero?

Si a l ab reva dero se le a b re un orific io en e l fondo y e l ag ua se

esca p a a una razón da da . Exp rese e l volum en en un insta nte

da do p osterior en función:

a . De la b a se del triá ng ulo.

b . De la a ltura del triá ng ulo.

So luc ión.

Volum en = (Á rea de la b ase) . (a ltura)

Pero 330BD

y 60AC .

Lueg o,

33180000200.2

330.60cmV

En e l insta nte p osterior en e l q ue se m ide e l volum en, las ca ra s

la tera les son triá ng ulos cuya b a se es x y cuya a ltura es h.

A si q ue hxhx

V .100200.2

A hora , com o los triá ng ulos A BC y M BN son segm entos, se tiene:

3233060

a . Pa ra exp resa r e l volum en en función de la b a se del triá ng ulo,

se desp eja h en y se sustituye en

A si, xh2

Lueg o, xxV2

2350 xV con 600 x

00 v (e l ta nq ue está va cío)

32 318000060.35060 cmV (e l ta nq ue está lleno)

b . Ig ua lm ente, si se q uiere exp resa r e l volum en en función de

la a ltura h, de se tiene: 3

y sustituyendo en se ob tiene:2.

2100 hh

Esto es, 2

3200hhV con 3300 h

Fig ura 1 .19 .

N ote q ue:

00 v (e l ta nq ue está va cío)

3180000330.3

3200330 cmV (e l ta nq ue está lleno)

5 . Los puntos A y B

están situados uno

frente a l otro y en

lados op uestos de

un rio recto de 300

m ts. de a ncho. Los

p untos Q y D está n

respectivam ente y

en la m isma orilla de

B a x mts. y a 600

m ts. (Ver fig 1.20).

Una com pa ñía de te léfonos desea tender un cab le desde A hasta

D p a sa ndo p or Q. Si e l costo p or m etro de cab les es de k4

5 p esos

b a jo e l ag ua y de k pesos por tierra ; exp rese e l costo total com o

una función x. ¿C uá l es e l dom inio de la función costo?.

So luc ión .

La función costo tota l viene da da p or:

DQdkQAdkC ,.,.4

5 con 6000 x

xkxkxC 6003004

5 22 con 6000 x

E l Dom inio de la función costo tota l es e l interva lo 600,0 .

N ote q ue:

i. kkkC 975600300

Esto significa que si 0x , el punto Q coinc ide con B y en este

caso, el cable se debe tender desde A hasta B p or agua y desde B

hasta D por tierra, implicando un gasto total de k975 pesos.

ii. kkkC 5.8385375300600

5600 22

Esto significa q ue si 600x , el punto Q coinc ide con D y en este

caso, e l cab le se deb e tender directamente desde A hasta D p or

agua, dema ndando un gasto total de aprox. k5.838 pesos.

iii. kkkC 825200300400

5400 22

Esto sig nifica q ue si e l p unto Q está a 400 m ts. de B y se tiende

e l ca b le p or a g ua desde A ha sta Q y p or tierra desde Q ha sta

D , dem a nda ría un g a sto m enor p a ra la comp a ñía q ue los dos

ca sos a nteriores.

M a s a dela nte se dem ostra rá usa ndo Deriva ción, q ue

cua lq uier va lor de x, x ¹ 400, dem a nda rá un g a sto m a yor p a ra

la com pa ñía .

6 . Se disp one de 1000

dólares pa ra construir un

tanque cilíndrico de altura y

p ies, rem ata do en sus

extremos p or dos semiesferas

de ra dio x p ies. (Ver fig 1.21.).

E l costo de m ateria l de la

p arte esférica es de 4 dóla res p or 2pie y e l de la pa rte c ilínd rica

es de 2 dóla res por 2pie . Expresar el volum en del tanque en

función del rad io x .

So luc ión .

En la figura 1.21.

A p a rece e l

ta nq ue q ue se

desea construir.

Fig ura 1 .20 .

Fig ura 1 .21 .

Figura 1.22.

La p arte c ilínd rica es eq uiva lente al rectá ng ulo de long itud y y

a ncho x2 .

Lueg o, e l á rea de la p a rte c ilínd rica es: xy2 y su costo 1C viene

da do p or xyC 41 .

C om o los extrem os son dos sem iesfera s, su á rea es eq uiva lente a l

á rea de una esfera de ra d io x , esto es 24 x , y su costo 2C viene

da do p or 2

2 16 xC .

A si q ue, 100021 CC

25041000164 22

21 xxyxxyCC

A hora Ect VVV (Volum en tota l)

Pero, yxVC

2 (Volum en del c ilind ro)

4xVE (Volum en de la esfera )

De esta form a :32

4xyxVT

C om o se deb e exp resa r e l volum en tota l en funció n de x

única m ente, se desp eja la va ria b le y en y se sustituye en

.A si, de se tiene q ue: x

24250 , y sustituyendo este va lor

de y en se p uede escrib ir: 32

44250x

sim p lifica ndo se obtiene fina lm ente: 3

8250 xxxV

¿Es p osib le exp resa r e l volum en del ta nq ue en función de y?

¡Tra te de hacerlo!

7 . Una p iscina recta ng ular de 20 m ts. de la rgo p or 10 m ts. de a nch o,

tiene 4 mts. de p rofund ida d en un extrem o y 1 mts. en e l otro. La

figura a djunta ilustra una vista tra nsversa l de la p isc ina. E l ag ua pa ra

llenar la pisc ina es bombeada por el extrem o p rofundo.

a . Determine una

función q ue exprese el

volumen V de agua en

la piscina com o función

de su p rofund idad x en

el extrem o profundo.

b . C a lcula r 1V y 2V .

So luc ión .

a . Sea L la long itud de la m ed ida del nive l del a g ua desde e l

extrem o p rofundo ha sta e l m enos p rofundo.

N ote q ue L y x son los la dos de un triá ng ulo rectá ng ulo

sem eja nte a l triá ng ulo cuyos lados son 20 y 3 m ts.

De esta form a , se p uede estab lecer la sig uiente p rop orc ión:

20 con 30 x

A hora , e l volum en V en un insta nte determ inado viene dado p or :

V = (Á rea de la sección tra nsversa l) . (a ncho)

10010.

xxxLV 3

100xxV

b . 32 3,333

1001 mtV ;

33,1333

1002 mtV

Fig ura 1 .23 .

Ya se analizó el concepto de función y sus elem entos; ahora nos

centrarem os en la grafica de funciones, no con el m étodo de

tabulación, usado en los ejercicios resueltos anteriores, sino,

determ inando el t ipo de función y sus característ icas para así poder

graficar de una m anera m ás analít ica y exacta.

Para dar in icio a la grafica de funciones por m edio de sus

característ icas, clasificarem os las funcione s.

FUNCIONES ALGEBRAICAS O ELEMENTALES .

Una función algebraica explícita o elem ental es aquella cuya variable y

se obtiene combinando un núm ero finito de veces la variable x y

constantes reales por medio de operaciones algebraicas de sum a, resta,

multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces.

A este grupo pertenecen:

1. Funciones polinómicas : Son las funciones xPx , donde P es

un po linom io en x , es decir una sum a fin ita de potencias de x

m ultip licados por coeficientes reales.

1.1. Función constante : kxf , k es constante. Es un monomio de

grado 0, ya que 0kxk . ( 10 x prop. Potencias).

1.2. Función lineal : baxxf es un binom io de 1er. Grado .

1.3 . Función cuadrática : cbxaxxf 2es un tr inom io de 2do . grado.

1.4 . Función cúbica : dcxbxaxxf 23es un cua tr im onio de 3er .

grado.

1.5. Función polinómica grado 4 . 01

1 ..... axaxaxaxf n

2. Función racional: Son funciones obtenidas al d ivid ir una función

po linomial por otra, no idént icam ente nula.

3. Función valor absoluto.

4. Función raíz o radical .

FUNCIONES TRASCENDENTES

No siem pre se puede modelar con funciones del t ipo algebraico; esto

ha dado lugar al desarrollo de otro tipo de funciones, las funciones

trascendentes, las cuales se clasifican en : l as trigonom étricas y sus

inversas, relacionadas con el triángu lo rectángulo ; y las logarítmicas y

exponenciales, m ás asociadas a una variación en progresión geom étrica

(crecim iento poblacional, por ejemplo).

1. Función exponencial: xaxf

2. Función logarítm ica: xxf alog

3. Funciones trigonométricas : seno , coseno, tangente, secante,

cosecante, cotangente.

4. Funciones trigonométricas inversas : seno inverso, coseno inverso,

tangente inverso, secante inverso, cosecante inverso, cotangente inverso.

5. Funciones hiperbólicas : seno h iperbólico , coseno hiperbólico,

tangente h iperbólica, secante h iperbólica, cosecante hiperbólica,

cotangente hiperbólica.

6. Funciones hiperbólicas inversas : seno h iperbólico inverso,

coseno hiperbólico inverso, tangente hiperbólica inverso,

secante h iperbólica inverso , cosecante hiperbólica inverso,

cotangente hiperbólica inverso .

Funciones no elementales

1. Función parte entera.

1.1: C LA SIFIC A C IÓN D E FUNC IONES

“Las funciones algebraicas son a quellas c uya reg la

de correspondencia es una expresión algebraica”.

FUN C IO N ES PO LIN Ó M IC A S

Se de fine c o m o

1 ..... axaxaxaxf n

; c o n 0na , Zn ,...,,, 210 naaaa con s ta n tes , l la m a d a s c oefic ien tes d el

p olin om io.

De pe ndie ndo de su g rado se ide n tif ic a su g rafic a:

FU NC IÓ N C O NSTANTE

bxfy Rb

Su gra fica es

G ra do po lin om io : 0

L ínea rect a

p a ra le la a l e je x

FU NC IÓ N LINEAL

bmxxfy

Su gra fica es

L ínea rect a

corte en e je y: b y ,

p en d ien te : m .

FU NC IÓ N C U AD RÁTIC A

cbxaxxfy 2 c o n 0a

Su gra fica es

Pará bola

a b re h a cia a rrib a s i 0a y

a b re h a cia a rrib a s i 0a

Pa ra gra fica rla siga los sig uien tes p a sos :

G ra do po lin om io : > =3

1. Determ in e los b ra zos d e la grá fica , Esto es ,

Si n es im p a r y 0na

la g raf ica in icia con u n b ra zo ca íd o y term in a en un b ra zo leva n ta d o

Si n es im p a r y 0na

la g raf ica in icia con u n b ra zo leva n ta d o y term ina en u n b ra zo caíd o

Si n es p a r y 0na ; la g ra f ica in icia y term ina con b ra zos leva n ta d os

Si n es p a r y 0na ; la g ra f ica in icia y term ina con b ra zos ca íd os

2. Id en tifiqu e n úm ero d e va lles y cú sp ides, Esto es , Núm ero com b in ad o d e va lles y

cú spid es n o d eb e exced er a 1n a u n qu e pu ed e ser m en or.

3. H a lle los cortes con el eje x, Esto es , 0... 01

axaxaxa n

H ág a lo p or fa ctoriza ción o teorem a d e las ra íces ra ciona les.

Th d e la s ra íces ra ciona les : D ad o 0... 01

axaxaxa n

n,p os ibles

ceros son d e la form a q

pd on d e p es un div isor d e

0a y q es un div isor d e na

4. Id en tifiqu e la p osición d e la gra fica , con resp ecto a l eje x, Esto es , D eterm in e a

p a rtir d e los ceros s i la g ra fica se en cu en tra p or en cim a o p or d eb a jo d el eje x.

5. con la inform a ción ob ten ida en los ítem s an teriores, g ra fiq u e la fu n ción.

D om inio : Tod os los rea le s

Su gr afic a e s un a c urv a s uav e y co ntin ua , esto es , s i n cam bios br uscos

M APA CONCEPTUAL 3: FUNCIONES POLINÓM ICAS

Aplicación : Las funcio nes po lin óm icas t ienen u na g ra n ap lic ación en la

e labo rac ió n de mo de los q ue desc riben fen ómen os rea les . A lgu nos de

e llos son: la c oncen trac ión de una susta ncia en un c om puesto , la d ista ncia

reco rr id a po r un m óv il a ve loc ida d cons tan te , la co mp ra de cie rta

cant ida d de obje tos a un prec io un ita rio, e l sala rio de u n t ra bajado r más

su com is ió n, la va ria ción de la a ltu ra de u n p royec ti l, e n tre o t ros .

Si es e l á ng ulo de inc li nac ió n de u n a re cta l , y o0 , e nto nces , la pen die nte m de l es: tanm . A d em ás , s i

),( 11 yxp y ),( 22 yxp son dos p untos distinto s de l , s e c um pl e que :

, ento nces ,

12tanxx

Pendie nte y- inte rc epto

:m Pen d ien te

:b y- in terc ep to

De te rm ina S i 1l y 2l son d os rec ta s d e p en d ien tes 1m y 2m resp ec tiva m en te, Perm ite id en t ifica r :

Ec uac io ne s pa ra la re c ta Re c tas pa ra le las Re c tas Pe rpe nd ic u la re s Re c tas se c ante s

Q ue so n

Punto - p en die nte

11 xxmyy

Sus p en d ien tes s on ig ua le s

Se cr uza n y s us p en d ien tes

son in versa s y d e sign os

con tra rio y form a n un

á n gulo d e 090

Se cr uza n en un p un to

FUN C IÓ N LIN EA L Dom inio : R

G ráfic am e nte le c o rre spo nde P ara grafic arla p ro c e da

de la sigu ie nte m ane ra:

Si bmxy

U bique e l c o rte e n e l e je y : b . A p artir de b haga

un de splazam ie nto ve rtic al de las un idade s

e stable c idas e n e l de no m inado r de la

pe ndie nte : m , a pa rtir de a llí haga un

de splazam ie nto ho rizo nta l de las un idade s

e stable c idas e n e l num e rado r de la pe ndie nte :

m , a llí ub ique e l se gundo punto . Co n lo s do s

punto s trac e la g rafic a de la líne a re c ta.

Q ue se de te rm ina co n

L IN EA REC TA

EC UA C IÓ N C A N Ó NIC A EC UA C IÓ N G EN ERA L

Se de fine c o m o :

C ruza po r 0,0

No c ruza po r 0,0

Si S i

Se de fine c o m o :

0 CByAx

Do nde RCBA ,,

T ie ne

Pendiente

Q ue se de fine :

S i S i

M APA CONCEPTUAL 4: FUNCIÓN L INEAL

De te rm ina

FUN C IÓ N C UA D RÁ TICA

Se de fine c o m o

cbxaxxf 2 ; c o n 0 ay R ,, cba

EC U AC IO NES C U AD RÁTIC AS

Q ue son d e la form a

02 cbxax ; con 0 ay R ,, cba

Y s e s o luc ion a n p or

Form ula gen eral pa ra

ecu aciones d e 2do g rad o. Fa ctoriza ción

C om p leta ción

d e cu ad ra d os

Q ue es

Y d e term in a

El d iscrim in a n te acb 42

A p a rtir d e l c ua l se ca lc ula n la s

So lu c ion es d e la ec ua c ión

Q ue p u ed en s er

2 solu cion es rea les ,

Si 042 acb

1 solu ción rea l,

Si 042 acb 2 solu cion es com p lejas ,

Si 042 acb

Su grafic a e s

PARÁ BO LA

El eje d e sim etr ía : Es la recta con resp ecto a la cu a l la ram a d e la pa ráb ola se refleja en la

otra .

Vértice :p un to de in tersección en tre la p a ráb ola y su eje d e sim etría .

A b ertura :

Si en cbxaxxfy 2 , 0a , la pa rá b ola ab re ha cía a rrib a . En este ca so exis te

u n p u nto m ín im o llam ad o vértice .

Si en cbxaxxfy 2 , 0a , la p a rá b ola a b re ha cía a rrib a . En este ca so, el

vértice es un pu nto m á xim o.

A m p litud : El valor d e a en la fu n ción cbxaxxfy 2 , tam b ién ind ica la ab ertu ra d e

la pa rá b ola as í, s i:

1a , la pa ráb ola es + estrecha , en rela ción con la p a ráb ola d ond e 1a .

, la pa ráb ola es m ás an ch a, en rela ción con la p a ráb ola d on d e 1a .

C uyo s ele m e nto s so n

1 : 2axxfy , do nd e 0 cb

Esta p a rá b ola tien e vért ice en 0,0 . E je d e sim e tría :

e l e je y .

S i 0a la p a rá b ola a b re h a cía arrib a ; S i 0a la

p a rá b ola a b re h a cía a b a jo .

A d em á s, s i 0a ,la p a rá b ola se c ierra en re la c ión

con la p a rá b ola 2xy y si 1a ,la p a rá b ola se a b re

en re la c ión con la p a rá b ola 2xy .

2 : caxxfy 2 , donde 0b

Esta paráb ola tien e vértice en c,0 o c,0 . El e je d e

sim etría es e l e je y .

c T ra slad a la paráb ola vertica lmen te.

S i 0c la tra sla c ión es ha cia a rriba .

S i 0c la tra sla c ión es ha cia ab a jo.

S i 0a la p aráb ola ab re ha cía a rriba ;

S i 0a la p aráb ola ab re ha cía a ba jo.

3 : bxaxxfy 2 , donde 0c

o cbxaxxfy 2

Eje d e sim etría es una re cta vertica l para le la a l e je y .

El vértice es le p un to d e coord enad as yx, d ond e

e y se ob tien e reemp laza nd o e l va lor

ob ten id o de x en la fun c ión da da .

S i 0a la p ará bola ab re ha cía arriba ;

S i 0a la p aráb ola ab re ha cía a ba jo.

G rafique la parábo la te n ie ndo e n c ue nta lo s sigu ie nte s 3 c aso s:

Su fo rm a

Vértic

E je d e

s im etría

Vértic

E je d e

s im etría

2axy a <0

V értic

caxy 2

E je d e

sim etría

E je d e

sim etría

V értic e

caxy 2

a <0 cbxaxy 2

V értic e

Eje d e

sim etrí

bxaxy 2

V értic e

Eje d e

sim etrí

a >0 cbxaxy 2

bxaxy 2

M APA CONCEPTUAL 5: FUNCIÓN CUADRÁTICA

G raficas funciones po linóm icas (TO DAS LA S FUNC ION ES

PO LIN Ó M IC AS T IEN E RDom: RRan: )

G ra fica r.

a . 3xf b . 13 xxg c . 0123 yx

d . 432 xxxf e . xxxxf 32 23 f. 50243 2 xxxf

g . 42 xxh h. 133126 24 xxxxf i. 2

So luc ión :

a . 3xf

C orresp onde a una función consta nte

(p olinóm ica de g ra do 0). Su g ra fica es

una línea recta horizonta l p a sa ndo p or

e l va lor de 3.

RDom: 3:Ran Figura 1 .25 .

b . 13 xxg

RDom: RRan:

La ecua ción corresp onde a una

función linea l (p olinom io de g ra do

1), cuya g ra fica es una línea recta .

Pa ra g ra fica rla ráp idam ente,

deb em os tener a )(xgy

desp eja da (com o en efecto lo

está ), ub ica m os e l corte en e l e je

y ( térm ino indep end iente, pa ra

este e jem p lo es 1 ) , a p a rtir de

este p unto g ra fica m os la p end iente (núm ero q ue a com p a ña a l

e je x ) , d e la sig uiente m a nera: ha cem os un desp la za m iento

vertica l de 3 unida des (num era dor de la p end iente) y a pa rtir

de a llí un desp laza m iento de 1 unida d (denom inador de la

p end iente), a llí ub ica m os e l seg undo p unto y lueg o tra zam os la

g ra fica . Figura 1 .26 .

c . 0123 yx

RDom: RRan:

La ecua ción corresp onde a una

función linea l y su g ra fica es una

línea recta , p a ra g ra fica rla

desp eja r a y .

0123 yx 2

Ub ica m os e l corte en le e je y , esto

es, 21,0 a p a rtir de a llí ub icam os

p end iente, desp la za m iento vertica l

3 , desp lazam iento horizonta l 2 ,

a llí se ub ica e l seg undo p unto y se g ra fica la línea recta . Figura

1 .27 .

d . 432 xxxf

RDom: RRan:

La e c uac ió n c o rre spo nde a una func ió n

c uadrátic a c uya grafic a e s una

parábo la. P ara grafic arla te ne mo s e n

c uenta los va lo re s de cba ,, . P ara

nue stro ejem plo 1a , 3b y 4c .

El vértice es e l p unto de

coordena da s:

, = 425

.23 ,, f

Eje de sim etría es la recta vertica l p a ra le la a l e je y , 23

C om o 01a la p a rá b ola a b re ha cía a ba jo.

C ortes en e l e je :x Va lore q ue ha cen 0 a la función.

0432 xx 0432 xx 014 xx

1,4 xx Los cortes con e l e je :x 0,1,0,4

C ortes en e l e je :y H a cer )0(f . 44030)0(2

E l corte con e l e je :y 4,0 . Figur a 1 .28 .

Ejercicios R esueltos . M apa C onceptual 3 , 4 y 5

Fig ura 1 .25 .

Fig ura 1 .2 6 .

Fig ura 1 .27 .

Fig ura 1 .28 .

e . xxxxf 32 23

Determ ina r b ra zos de la g ra fica . C om o la función es im p a r, la

g ra fica tiene un b ra zo ca ído y otro leva ntado.

xf entre valles y cúspides t ien e máximo 2, ya qu e 2131 n .

Encontra r los ceros del p olinom io, esto es, los p untos donde

corta e l e je x . Esto es,

032 23 xxx 0)32( 2 xxx 0)1)(3( xxx

los va lores de x q ue hacen cero la función son:

0x ; 03 x 3x ; 01x 1x

Así, los co rte s co n el eje x están dado s po r lo s puntos: 0,0 , 0,3 , 0,1 .

Determinar en una recta re al po r

donde va la función, esto es:

Ubicamos los 3 punto s que cortan al

eje x en el plano cartesiano . (fig

1.29.) Esto divide el plano e n 4

intervalos. Aho ra tom amos un valor

de cada intervalo, lo evaluamos en

la función; si obtenemo s un número

positivo la

función está

por e ncima y

si obtenemos

un número

negativo la

función está

por debajo.

G ra fica m os la función teniendo en

cuenta la inform a ción de los ítem s

a nteriores.

f. 50243 2 xxxf RDom: RRan:

La ecuación corresponde a una fun ción cu adrática cu ya grafica es una

parábola . Para graficarla tenemos en cu enta

los va lores de cba ,, . Para nu estro ejemplo

3a , 24b y 50c .

El vértice es e l p unto de coordena da s:

, = 2,44,4 f

Eje de sim etría es la recta vertica l

p a ra le la a l e je y , 42

Como 03 a la parábola abre hacía arriba.

C ortes en e l e je :x Va lore q ue ha cen

0 a la función.

com o 0245034244 22 xxacb la funció n dentro del

conjunto de los rea les no p osee va lores q ue la ha g a n 0, lo

q ue im p lica q ue no tiene cortes con e l e je x .

C ortes en e l e je :y H a cer )0(f . 505002403)0(2

E l corte con e l e je :y 50,0 . Figur a 1 .31 .

g . 42 xxh RDom: RRan:

La ecuación corresponde a una función

cuadrática cuya grafica es una parábola.

Para graficarla tenemos presente que no tiene

término lineal (bx ) lo que indica que es una

parábola trasladada verticalmente -4

unidades del origen (ya que 04 c , así la

parábola tiene por vértice el punto de

coordenadas )4,0( . Abriendo hacía arriba

ya que 01a y con eje de simetría el eje y .

C o rtes en el eje :x Va lo res qu e h ac en 0 a la fu n ció n .

022042 xxx .Lo s co rtes co n el eje x so n )0,2(,0,2

C o rtes en el eje :y Hac er )0(f . 440)0(2

f El co rte

co n el eje :y 4,0 . Fig u ra 1 .32 .

Fig ura 1 .29 .

Fig ura 1 .30 .

inte rvalo N o. de l

inte rvalo signo Posic ión func ió n

3x -4 - Por d eb a jo d el e je x

03 x -1 + Por en c im a d el e je x

10 x 1 /2 - Por d eb a jo d el e je x

0x 2 + Por en c im a d el e je x

Fig ura 1 .31 .

Fig ura 1 .32 .

h. 133126 24 xxxxf

Determ ina r b razos de la g ra fica . C om o la función es pa r y

06 na la g ra fica tiene 2 b razos ca ídos.

xf entre valles y cúspides t ien e máxim o 3 ya qu e 3141 n .

Cortes c on el eje y . Ha cer 13130301206024

C orte en e l e je y es: )13,0(

Esta grafica (por ahora) requiere e la ayuda de

una calculadora graficadora para su modelación

o recurrir a la tabulación.

Tabla de valores para completar su análisis (más

adelante usarem os la derivada para hacer la

grafica más precisa).

G ra fica m os la función teniendo

en cuenta la inform a ción de los

ítem s a nteriores.

Corresponde a una función constante

(polinóm ica de grado 0). Su gra fica es

una línea recta horizonta l pasa ndo p or el

valor de 21 .

RDom: 3:Ran Figura 1 .34 .

Ya q ue está determ ina do un va lor pa ra y p or ca da va lor de x

excep to 3x , e l dom inio de G consiste de todos los núm eros

rea les excep to 3. C ua ndo 3x e l num era dor y e l denom ina dor

son cero, y 0/0 no está definido.

Fa ctoriza ndo e l num era dor en )3)(3( xx tenem os

)3)(3(

xxy o 3 xy ,

sup oniendo q ue 3x . En otras p a la b ras, la función G consiste

de toda s la s p a re ja s ordenada s ),( yx ta les q ue

3y3 xxy

E l ra ng o de G consiste de todos los núm eros rea les excep to 6.

La g rá fica consiste de todos los p untos en la recta 3 xy

excep to e l p unto )6,3( . Figura 1.35.

Fig ura 1 .3 3 .

Fig ura 1 .34 .

-2 -29

Fig ura 1 .35 .

FUN C IÓ N RA C IO NA L

Se de fine c o m o

bxbxbxb

axaxaxa

; c o n q(x)y )(xp po lino m io s y 0)( xq

P ara grafic arla, siga lo s sigu ie nte s paso s:

D om inio : Tod os los rea le s e xcep to

los q ue h a ga n 0 a l d en om in a d or .

1 . A N A LÍC E SIM ETR ÍA S

Sim etría con respecto al e je y:

S i la fun c ión n o se a ltera a l rem p lazar yx, p or yx,

Sim etría con respecto al e je x :

S i la fun c ión n o se a ltera a l rem p lazar yx, p or yx ,

Sim etría con respecto al o rigen:

S i la fun c ión n o se a ltera a l rem p lazar yx, p or yx ,

N um era d or y d en om in a d or si es p osib le y lu eg o sim p l ifiq u e

2 . FA C T O RIC E

Lín ea re cta q ue , p r o lon ga d a , se a cerca in d efin id a m en te a un a

curva , sin l le ga r a en con tra rla .

C ortes C on e l e je x: va lor es q ue h a cen 0 a l n um era d or .

C ortes c on e l e je y: es h a c er )0(f

4 . EN C U EN TRE C O RTES

C O N L O S E JES

Se ob tien en d e a cu erd o a l gra d o

d el n um era d or y d en om in a d or

m = gra d o d el n um era d or;

n = gra d o d el d en om in a d or

Pu ed en s er:

3 . D ETER M IN E A SÍN TO TA S

Ho rizo nta le s

T ien e s ó lo sí :

nm o nm

S i nm La a sín tota es 0y

S i nm La a sín tota es

V e rtic ale s

S i nm La (s) a sín tota (s) son los

va lores d e x q u e h a cen 0 a l

d en om in a d or.

O blic uas

Pero m d eb e ser m a y or q u e n

en só lo 1 un id a d . S i esto s e

cum p le s e h a c e la d iv isión .

Eje m p lo

xxf 2m 1n

Se h a ce la d iv isión p a ra

en con tra r la a sín tota ob licua .

1x xx-

x 1x x

A sín tota ob licu a

O b ten ga otr os va lores si es n ece sa rio p a ra id en ti fica r p or d ón d e

va la gra fica y trá cela c on lo s p un to s ob ten id os y la s a sín tota s.

5 . G RA FIQ UE

M APA CONCEPTUAL 6: FUNCIÓN RACIONAL

Func ió n rac iona l.

1. G ra fica r la s sig uientes funciones ra ciona les.

xxf b .

xxg c .

So luc ión :

Dom inio y rango.

Dom inio : Todos las R m enos los va lore q ue ha cen 0 a l

denom ina dor. 1 RDomf

Rango : Ob tenido desde la g ra fica ,04, .

S im etrías :

C on e l e je y. Sustituya m os yx, p or yx,

xy la función se a lte ra a l sustituir yx, p or

yx, no ha y sim etría con resp ecto a l e je y .

C on e l o rigen . Sustituya m os yx, p or yx ,

xy la función se a ltera a l sustituir yx, p or

yx , no ha y sim etría con resp ecto a l orig en.

Factorizac ión de la función .

La función está tota lm ente fa ctoriza da.

A sínto tas : Pa ra encontra rla s se tiene en cuenta q ue g ra do

num era dor 2m y g ra do del denom ina dor 1n

H orizontal: N o tiene ya q ue 2m > 1n .

Vertical: Va lores q ue ha cen 0 a l denom ina dor. 01x

a síntota vertica l es la recta 1x

O blicua : T iene ya q ue e l g ra do del num era dor 2m excede

a l g ra do del denom ina dor 1n en só lo 1 unida d. A hora

encontra rem os la a síntota ob licua , ha ciendo la d ivisión.

Intersecciones con los ejes.

eje x . Va lores q ue

ha cen 0 l num era dor.

02 x 0x

C orte en e l e je x. 0,0 .

eje y. Ha cer

C orte en e l e je y . 0,0 .

Puntos estratégicos

G ra fica de la función. Figura 1.36 .

Ejercicios R esueltos . M apa C onceptual 6

A sín tota O b licu a

Fig ura 1 .36 .

Dom inio y rango.

denom ina dor. 2 RDomf

Rango : 2

xy 22 yxy 2

0 RRanf

S im etrías :

C on e l e je y . Sustituya m os yx, p or yx,

xy la función se a ltera a l sustituir yx, p or

yx, no ha y sim etría con resp ecto a l e je y .

C on e l origen . Sustituya m os yx, p or yx ,

xy la función se a ltera a l sustituir

yx, p or yx , no ha y sim etría con resp ecto a l orig en.

La función está tota lm ente fa ctoriza da .

H orizontal: S i tiene. C om o g ra do num era dor 0m es m enor

q ue g ra do denom ina dor, entonces la a síntota horizonta l es e l

e je x ( recta 0y ) .

Vertical: Va lores q ue ha cen 0 a l denom ina dor. 02 x

A síntota vertica l es la recta 2x

O blicua : N o tiene. Ya q ue una función no p uede tener

a síntota horizonta l y ob licua a l m ism o tiemp o.

e je x . Va lores q ue ha cen 0 a l num era dor. N o hay ning ún

va lor q ue hag a cero a l num era dor. Por lo ta nto la función no

corta a l e je x .

eje y . H a cer 120

f C orte en e l e je y . 1,0 .

Puntos estratég icos

c . 21

Dom inio y rango.

denom ina dor. 2,1 RDomf

Rango : Desde la g ra fica en a l fig ura 1.37. ,20,(

Fig ura 1 .37 .

S im etrías :

C on e l e je y . Sustituya m os yx, p or yx,

función se a ltera a l sustituir yx, p or yx, no ha y

sim etría con resp ecto a l e je y .

C on e l origen . Sustituya m os yx, p or yx ,

función se a ltera a l sustituir yx, p or yx , no ha y

sim etría con resp ecto a l orig en.

La función está tota lm ente fa ctoriza da .

H orizontal: S i tiene. C om o g rado num era dor 2m es ig ua l a l

g ra do denom inador 2n , entonces la a síntota horizonta l es

e l e je la recta 21

2y ) .

Vertical: Va lores q ue ha cen 0 al denomina dor.

012 xx Asíntotas vertica les son las rectas 2x y 1x

O blicua : N o tiene. Ya q ue una función no p uede tener

a síntota horizonta l y ob licua a l m ism o tiemp o.

eje x . Va lores q ue ha cen 0 a l num era dor. 002 2 xx .

C orte con e je x p unto 0,0

eje y . H a cer

C orte en e l e je y . 0,0 .

Puntos estratég icos

Fig ura 1 .38 .

FUN C IÓ N V A LO R A BSO LUTO

Se de fine c o m o

0 xsi -

D om inio : Tod os los rea le s

Un ión d e tod os los p un to s d e la gra fica c ua n d o 0x , con

tod o s los p un tos d e la gra fica c ua n d o 0x .

V ariac io ne s de la func ió n valo r abso luto

Su g rafic a e s

Se pue de n re alizar

Ec uac ió n

G rafic a

1 . A m plitud xAy

2 . D espla zam ie nto en x Bxy

3 . D espla zam ie nto en y Cxy

1 . Se a la rga vert ica lm en te. Por ca d a un

m ov im ien to en x tien e A m ov im ien to en y .

2 . S i 0B se tra sla d a B un id a d e s a la izq uierd a .

S i 0B se tra sla d a B un id a d es a la d ere ch a .

3 . S i 0C se tra sla d a C un id a d e s h a cía a rrib a .

S i 0C se tra sla d a C un id a d es h a cía a b a jo.

x es la d ista n c ia d e l origen a x . ax es la d ista n c ia d e l p un to x h a sta

Ejem p lo: 43 x sign ifica q u e la d ista n c ia d el p un to x a l p un to 3 es d e

4 un id a d es . T ra b a ja n d o sob re la re cta rea l, e xis ten 2 p un tos q ue es tá n

situa d os a 4 un id a d es d e d is ta n c ia d e l p un to 3 y q ue p a ra en c on tra rlos

b a sta a va n za r 4 un id a d es a la d er ech a d e 3 o 4 un id a d es a la izq uierd a .

G rá fica m en te ,

M a tem á tica m en te ,

43 o 43

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

4 un id a d es 4 un id a d es

Re pre se nte la

d istanc ia, así

M APA CONCEPTUAL 7: FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

FU NC IÓ N RAD IC AL

Un a fun c ión ra d ica l es un a fun c ión

q ue con t ien e ra íce s d e va ria b les .

Por e jem p lo xxf )( ;

D ep en d e d el ín d ice d e la ra íz .

S i e l ín d ice es p a r; la f un c ión n o está

d efin id a p a ra va lores d e x p a ra los

cua les e l ra d ica n d o e s n e ga t ivo.

S i e l ín d ice es im p a r, la fun c ión está

d efin id a p a ra tod os los n úm ero s rea les.

Su dom i nio Su Ra ng o

Pu ed e d eterm in a rse a l

tra za r su grá fica .

S i la fun c ión p os ee un

p olin om io en e l d en om in a d or,

p a ra gra fica rla se uti liza e l

tra ta m ien to d es crito p a ra la s

fun c ion es ra c ion a le s.

FU NC IÓ N SEG M E NTAD A

O A TRO ZO S

n o só lo un a f órm u la d es crib e s u c om p orta m ien to,

se lla m a n se gm en ta d a s o d efin id a s p or in terva los

Pa ra la s cua le s, nIII 21;

la grá fica d e la f un c ión eq u iva le a la

un ión d e la s grá fica s d e ca d a p a rte .

T iene l a sig uie nte fo rm a:

nn Ixsixf

Ixsixf

Su dom i nio y

su R a ngo

El dominio de la función

es la unión de los

dominios de cada parte

y el rango de la función

es la unión de los rangos

de cada parte.

M A PA

C O N C EPTU A L

9 : FU N C IÓ N

SEG M EN TA D A

O A TR O ZO S

M A PA

C O N C EPTUA L

8: FUN C IÓ N RA D IC AL

Función Valor abso luto , función radical y .

1. G ra fica r la s sig uientes funcio nes.

a . xxf )( 12)( xxf b. 3 3)( xxg

xxh d.

e . xxf )( f. 1)( 2 xxf

g . xy 5 h.

So luc ión :

a . 12)( xxf

1f , Ra n ,0f

12)( xxf no está definida si 012 x ; es decir, s i 21x .

Lueg o, la g rá fica emp ieza a pa rtir de 2

N o ex isten a síntota s vertica les, ya q ue no es una función

ra ciona l.

N o tiene intersección con e l e je y , ya q ue )(xf no está

definido p a ra 0x .

N o tiene a síntota horizonta l, ya q ue no es una función

ra ciona l.

O tros va lores y la g rá fica de la función son los sig uientes:

G ra fica de la función. Figura 1 .3 9 .

b . 3 3)( xxg

RDomg : , RRang :

3 3)( xxg está definida en todo R . Lueg o, 0)( xg s i 3x .

N o existen a síntota s vertica les.

Intersección con e l e je y: 44,1330)0( 33 g

N o tiene asíntota horizonta l.

O tros va lores y la g rá fica de la función se m uestra n a

continua ción:

Ejercicios R esueltos . M apa C onceptual 7 , 8 , Y 9

x )(xf

Fig ura 1 .39 .

Ta b la de va lores y g ra fica en la fig ura 1.40.

xxh 0)( xh s i 2x . A demá s, )(xh no está

definida si 21 x .

A síntota vertica l: la recta 1x .

N o tiene intersección con e l e je y, p ues la función no está

definida pa ra 0x .

C om o el g ra do del num era dor es ig ua l a l g rado del

denom ina dor, es decir, mn , ha y una a síntota horizonta l en

1y , es decir, 1y .

O tros va lores y la g rá fica ( figura 1.41) de la función se

m uestra n a continua ción:

),(,22,2)2,(321 DomfDomfDomfDomf

31,131,11321 RangfRangfRanfRanf

La g rá fica de f es la

unión de ca da una de

la s g rá fica s de 21, ff y

3f . Figura 1.42 .

Fig ura 1 .40 .

x )(xg

-2 7,153

1 2,123

Fig ura 1 .41 .

-3 58,1

4 63,0

D om ,2)1,( h R an 1,0 h

Fig ura 1 .4 2 .

e. xxf )(

E l dom inio de la función es e l conjunto de los núm eros rea les;

E l ra ng o de la función es e l conjunto de los núm eros rea les

p ositivos y e l cero; Ra n ,00R f .

La ta b la de va lores y la g rá fica se m uestra n en la figura 1.43 .

f. 1)( 2 xxf .

La función 1)( 2 xxf se p uede escrib ir en form a

eq uiva lente com o:

0)1)(1(si)1(

0)1)(1(si1)(

Pa ra e l ca so 0)1)(1( xx la so luc ión de la inecua ción

determ ina q ue entre ),1(y1, la g rá fica

corresp onde a la curva de la p a rá b ola 12 x .

Pa ra e l ca so 0)1)(1( xx la so luc ión de la inecua ción

determ ina q ue en e l interva lo 1,1 la g rá fica corresp onde a

la curva de la pa rá b ola )1( 2 x .

La g rá fica de la función

1)( 2 xxf se m uestra en la

figura 1.44 .

g . xy 5

El dom inio de f es e l conjunto

de todos los núm eros rea les

m enores q ue o ig ua les a 5, e l

cua l es 5, y e l ra ng o de

f es e l con junto de todos los

núm eros rea les no neg a tivos,

e l cua l es ,0 . Figura 1.45 .

E l dom inio de F es ),( , y e l ra ng o

de F es ),( . Figura 1.46 .

x -2 -1 0 1 2

)(xf 2 1 0 1 2

Fig ura 1 .43 . xxf )(

1)( 2 xxf Figur a 1 .44 .

xy 5 F igura 1.45.

Fig ura 1 .46 ,

O PERAC IO NES ARITM ÉTIC A S

O PERA C IO N ES EN TRE FUN C IO N ES

Dadas 2 func io ne s )(xf y )(xg , se c o m binan a travé s de :

DomgDomfgfioDo

xgxfgf x

Producto

xgDomgDomfg

C ociente

DomgDomfgfioDo

xgxfgf x

DomgDomfgfioDo

xgxfgf x

C O M PO SIC IÓ N

La fu n ción com p u esta d en ota da p or fg está d ef in id a

p or xfgfg x y el d om in io d e fg es el

con ju nto d e tod os los n úm eros x d el d om in io d e g ta les

q u e )(xg está en el d om in io d e f .

xfgxfg S ign if ica a p l ica r

p rim ero f y de spué s g .

xgfxgf S ign if ica a p l ica r

p rim ero g y de spué s f .

Do m in io de f

D om in io d e g

Ra n g o d e f

Ra n g o d e g

Pa ra h a lla r la f un c ión in versa d e un a f un c ión

se p ro ced e a sí

1. se escrib e xfy .

2 . Se com p ru eb a s i la fun ción d a da es b iyectiva .

3 . Se d esp eja x d e la ecu a ción xfy en

térm in os d e y , pa ra ob ten er un a e4cu a ción d e

la form a yfx 1 .

4 . Se in tercam bia x p or y p u esto q u e n o im p orta

el s ím b olo q u e se use pa ra la va ria ble.

5 . Se com p ru eb an las cond icion es:.

xxff 1 p a ra tod o x en el d om in io d e f . y

xxff 1 p a ra tod o x en el d om in io d e 1f .

INV ERSA S

S i f es un a f un c ión un o a un o

con sid era d a c om o e l con jun to d e p a res

ord en a d os yx, , en ton ce s e xis te un a

fun c ión in versa 1f , lla m a d a in versa d e

f , q u e es e l c on jun to d e p a res

ord en a d os xy, d efin id a p or xyf 1 sí

y só lo sí xfy . El d om in io d e 1f es e l

ra n go d e f y e l Ra n g o d e 1f es e l

d om in io d e f .

A d em á s:

Si f es u na fu n ción u n o a un o y tien e a 1f com o

el su in versa , en ton ces 1f es u na fu n ción u n o a u n o

y tien e a f com o su inversa. Ad em ás,

xxff 1 p a ra tod o x en el d om in io d e f . y

xxff 1 p a ra tod o x en el d om in io d e

M APA CONCEPTUAL 10 :

OPERACIONES ENTRE FUNCIONES

O peraciones entre funciones :

S i 1)(3)( xxgyxxf , ha lla r la s funciones f + g, 3f – g ,

f y g – g, estip ula ndo e l dom inio de ca da uno de e lla s.

Sea 25)( xxf y xxg 5log)( H a lla r:

a . xgf b . xfg

H a lla r la inversa de la función f(x) = Ln2x. Lug o, traza r la g rá fica

de f(x) y )(1 xf .

4. Determ ina r si la s funciones a. 1)( 3 xxfy y b .

12 xxfy tienen función inversa , en ca so de tenerla ,

encontra rla ; en ca so de no tenerla , ind ica r si es p osib le ha cer

a lg o p a ra q ue la tenga .

So luc ión

1 . S i 1)(3)( xxgyxxf , ha lla r la s funciones f + g, 3f

– g , g

f y g – g, estip ula ndo e l dom inio de ca da uno de e lla s.

Pa ra em p eza r, ob servam os q ue e l dom inio de f es toda la recta

rea l y e l de g es e l conjunto de todos los x 1 . A hora,

13))(( xxxgf C on }1/{)( xxgfDom

1931)3(3))(3( xxxxxgf ; }.1/{)3( xxesgfDom

f }1/{)( xxxgDom

011))(( xxxgg

A unq ue la exp resión fina l está definida pa ra todo x , e l dom inio

dep ende de los p asos interm ed ios. En este ca so, e l dom inio de

gg es }.1/{ xx

2 . Sea 25)( xxf y xxg 5log)( H a lla r:

b . xgf b . xfg

255(f(x)))(x)o(g

255.5logff(g(x))g)(x)o(f

2)2(log

xLogggf

3 . H a lla r la inversa de la función xxf 2ln . Lueg o, traza r la

g rá fica de xf y )(1 xf

H a lla ndo la función inversa de xxf 2ln

Paso 1°: xy 2ln

Paso 2°: se com p rueba si f es b iyectiva

2121 2ln2ln)( xxxfxf Definic ión

21 ln2lnln2ln xx A p lica ndo p rop log a rítm os

21 lnln xx O p era ndo

21 lnln xxee Exp onencia l a a m b os la dos

21 xx Def. Función inversa

Lueg o, f es inyectiva.

yexxy RRanf es sob reyectiva

es b iyectiva

Ejercicios R esueltos . M apa C onceptual 10

Paso 3°: 2

2ln 1yy e

Paso 4°: 2

)( 11xy e

Paso 5°: Se com p rueba n la s

cond ic iones

xfxffa

22ln))(()

Lueg o, 2

xf es la función inversa

d e xxf 2ln)(

La s g rá fica s de xxf 2ln)( y 2

xf se m uestra n En fig.1.47.

4. D eterm ina r si la s funciones a . 1)( 3 xxfy y b .

12 xxfy tienen función inversa , en ca so de tenerla,

encontra rla ; en ca so de no tenerla, ind ica r si es p osib le ha cer

a lg o p a ra q ue la tenga .

Para 1)( 3 xxfy RranfDomf .

Usa ndo e l criterio de la recta vertica l p a ra determ ina r si una

función tiene o no funció n inversa ( figura 1.48) ob serva m os q ue la

función 1)( 3 xxfy p osee función inversa , ya q ue la s recta s

toca n a la función en un solo p unto.

A l desp eja r x en la ecua ción se obtiene: 3 1 yx

Por la form a q ue p resenta esta ecua ción, se sab e q ue da do

cua lq uier va lor de y , toma do del ra ng o de f (esto es, de R ) ,

ex iste uno y so lo un va lor de x situa do en e l dom inio de f . En

consecuencia , la ecua ción nos define otra fu nción cuyo

dom inio es e l ra ng o de f y cuyo ra ng o es e l dom ino de f .

A si p or e jem p lo, la ecua ción a sig na a l va lor x = 2 , un único

va lor de y , en este ca so, y = 23 – 1 = 7.

La seg unda ecua ción, efectúa la op era ción inversa , esto es a l

va lor 7y , le asig na e l va lor de 2173 x .

Si se quiere ahora rep resentar, com o es

usua l, con x a la variable indep end iente

y con y

a la dependiente, se

interca mbia x con y en la ecuación

y así se obtiene:3 1 xy .

Es decir, 313 11)( xxfxxfy

La función definida por

31 1 xf es

la función inversa de 1)( 3 xxfy

Las gra ficas de 1)( 3 xxfy

y 31 1 xf se rep resentan en la fig. 1.48.

C onsidere a hora la función 12 xxfy

cuya g rá fica se m uestra en la figura 1.49.

RDomf y e l ,1Ranf .

A l desp e ja r x , se ob tiene: 1 yx .

Esta últim a ecua ción, d ice q ue p a ra cada

va lor q ue se le a sig ne a la va ria b le y , le

corresp onden 2 va lores a la va ria b le x , y en

consecuencia , esta últim a ecua ción no

define una función.

En este ca so se d ice q ue la funció n 12 xxfy no tiene

inversa o q ue 1f no existe.

Fig ura 1 .47 .

Fig ura 1 .48 .

Fig ura 1 .49 .

C onsiderem os nueva m ente la función 12 xxfy . C om o

se m encionó a ntes, la función :

12 xxfy RDomf y e l ,1Ranf

N o tiene inversa (p ues f no es inyectiva o uno a uno , p or lo

ta nto no es b iyectiva , cond ic ión necesa ria p a ra q ue una función

teng a inversa ).

Sin em b a rg o, la función 12 xxfy g enera 2 funciones:

,10,: randomf s iendo 1)( 2 xxf

y ,1,0: Randomg s iendo 1)( 2 xxg

En do nde f y

g so n func io ne s

uno a uno e n sus

re spe c tivo s

do m in io s ( fig . 1.50 )

y e n c o nse c ue nc ia

tie ne n inve rsa.

Pa ra la función

f se tiene:

,10,: randomf s iendo 1)( 2 xxf

Por función inversa a:

1)(1 xxf 0,,1: randomf

La s g rá fica s de f y 1f Se m uestra en la figura 1 .61 .

Ig ua lm ente, p a ra la función g se tiene:-

1)( 2 xxg con ,1,0 Random

Por función inversa a: 1)(1 xxg ,0,,1: randomf

La s g rá fica s de g y 1g Se m uestra en la figura 1 .6 2 .

A dem á s,

xxxxxxfxff 222211 111

Es decir, xxff 1 p a ra ca da fDx 0, .

Ig ua lm ente,

xxxxfxff 111112

Es decir, xxff 1 p a ra ca da 1,1 fDx .

Se deja p a ra e l lector e l ha cer las m ism a s considera ciones pa ra la

función g y 1g .

O b servaciones Im p orta ntes:

A l p roceso a p licado a la función 1)( 2 xxf ( función q ue no

tiene función inversa p a ra todo su dom inio) p a ra q ue sí tenga

función inversa , se le conoce restricc ión de l dom in io p ara la

exis tenc ia de fu nc ión inve rsa .

N ótese en la s fig ura s 1.61. y 1.62. q ue las g rá ficas de ( f y 1f ) y

( g y 1g ) son sim étrica s con resp ecto a la recta xxfy ;

A sí, una func ión y su in ve rsa sie m pre se ven re fle ja da s en la

func ión iden tida d xxfy .

Fig ura 1 .50 .

Fig ura 1 .62 .

Fig ura 1 .61 ..

Aplicacion es d e a lgunas d e las func iones trascen den tes.

Función logarítm ica

La geología com o cienc ia req uiere del plan teamien to de ecuacion es logarítm icas para el

cálculo de la in tensid ad de un evento, tal como es e l caso de un sism o. La ma gn itud R

de un terrem oto está d efinida com o

en la esca la de Rich ter, dond e A es la

intensidad y 0A es una constante. ( A es la amp litud d e un sismógra fo estánda r, q ue está

a 100 kilómetros del epicentro de l terrem oto).

Los a strón omos p ara d eterm inar una ma gnitud estelar de una estrella o planeta utilizan

ciertos cá lculos d e cará cter logarítm ico. La ecuación logarítm ica les perm ite determ inar la

brillan tez y la ma gn itud .

En la física la func ión logarítm ica tien e muchas ap licaciones entre la s cuales se p uede

mencionar el cálculo del volum en " L " en d ecibeles d e un sólido, para e l cual se emplea

la siguien te ecuación

log.10I

, d ond e I es la intensidad d el son id o (la en ergía

cayend o en una unid ad de área p or segund o), 0I es la intensidad d e sonid o má s baja

que e l oíd o h um ano pued e oír ( lla mad o umbra l a ud itivo). Una conversa ción en voz alta

tiene un ruid o d e fon do d e 65 d ecibeles.

Función Exponencial

Se aplica a la química y física. En algun os elemen tos rad ioa ctivos son de tal na turaleza

que su can tidad dism in uye con respecto a l tiemp o, se cump le la ley expon encial y se dice

que el elemen to d ecrece o d ecae.

En la q uím ica, el PH d e es la con cen tra ción de H +, d onde H + una sustan cia se d efine

com o : logH ion es d e una sustan cia expresada en moles p or litro. El PH del a gua

destilada es 7. Una sustancia con un PH m enor q ue 7, se d ice que es ácida , m ientras q ue

su PH es ma yor q ue 7 , se d ice q ue es base. Los amb ien ta listas m id en constan tem en te el

PH del agua d e lluv ia deb id o al efecto dañin o de la "lluv ia ácida" q ue se origina p or las

emisiones de dióxid o d e azufre de las fá bricas y plan ta s e léctrica s q ue traba jan con

carbón .

Otras d e la a plica ción d e la s func ion es exp onen cia l fue con el descubrim iento del Polonio

(elem ento radioa ctivo) descub ierto por Marie C urie en 1 898 d eca e expon encialm en te

de acuerdo a la fun ción: tmm 005,0

, dond e 0m es la masa in icial de l Polonio,

m es la masa al cab o d e un tiemp o y t es e l tiem p o en día s.

El crecimiento poblacional (Demogra fía) d e un a región o p ob lac ión en añ os, parece estar

sobre una curva d e cara cterística exp on encial q ue sugiere el m od elo ma temático da do

por: ktNN 0

, don de 0N es la p obla ción inicia l, t es e l tiemp o transcurrid o en añ os y

k es una constante. (En 1798, e l econ omista in glés Th omas Malth us ob servó que la relac ión

ktNN 0 era válida para determ inar el crec im iento d e la p obla ción m und ial y

establec ió, ad emás, q ue com o la cantidad de a lim entos crecía d e manera lineal, el

mund o n o p odía reso lver e l problema del hambre. Esta lúgubre predicción ha tenid o un

impacto tan imp ortan te en el p ensam ien to econ ómico, q ue e l m odelo exp onen cia l de

crecim ien to p ob lac iona l se con oce con e l n ombre d e m odelo Ma lth usian o).

En la m edicina, m uch os medicamen tos son utilizad os para e l cuerp o h um ano, d e m anera

que la can tida d presente sigue una ley exp on encial de d ism inución .

En M atemática Financiera (Admin istra ción), para el cálculo de interés comp uesto se

emplean las fun ciones exp onen ciales. Por ejem plo: sup on gam os q ue se tien e c ierta

cantidad inic ial de d inero P0 q ue se coloca a un in terés an ual d el i% . A l fina l d el primer año

se tendrá e l ca pital inic ial más lo q ue se ha ganado de interés P0i, si este proceso se

con tin úa p or n añ os, la expresión q ue se ob tiene está dad a por: nipp 10, d onde P

es el cap ita l final si los intereses se acum ulan en un p eríod o d e tiempo, P0 es e l capital

inic ial, i es la tasa de in terés (an ual, m ensual, diaria) y n es el p eríodo d e tiemp o (añ o,

meses, día s, etc.).

Funciones trigo nométricas

Las razon es trigonométricas se pued en utilizar, fun dam enta lmen te, para reso lver trián gulos,

así com o para reso lver diferen tes situa ciones prob lemática s en otra s c ien cia s.

En Top ografía se p uede determ inar la altura d e un edificio, teniend o la base y el án gulo.

Por ejemp lo, la torre d e Pisa , fue con struida sobre una base de arena p oco consisten te;

debid o a ello ésta se aparta cada vez má s de su vertical. Origina lmen te tenía una a ltura

de 54 ,6m, aproximadam en te. En 1990 un ob serva dor situad o a 46 m d el cen tro de la ba se

de la torre , determ in ó un án gulo de eleva ción de 54º a la pun ta de la torre, e l ob serva dor

para determ inar al desplazamiento (h undim ien to en e l sue lo es m uy peq ueño, compara do

con la a ltura d e la torre) aplicó la ley del sen o para d eterm inar el án gulo d e inc lina ción y la

ley del cosen o para determ inar el desplazamiento de la torre .

En Óptica , en las disp ersion es en prisma o cuand o un ra yo de luz a trav iesa un a pla ca de

cierto material.

En la Avia ción, si dos aviones parten de una ba se a érea a la m ism a velocidad forman do

un án gulo y siguien do en tra yectorias rectas, se p ued e d eterm inar la distancia q ue se

encuentran en tre los m ism os.

El capitán d e un barco p uede d eterm inar el rumb o eq uivocad o del barco, siempre en

línea recta, ord enand o m odificar e l rumb o en grado para d irigirse directam en te a l p un to

destin o correcto.

FUNC IONES TR A SC END ENT ES

FU NC IÓ N LO G ARITNO N ATU RAL

FU NC IÓ N EXPO NE NC IAL N ATU RAL

T ie ne po r func ió n inve rsa

1 . C orta e l e je x en 0,1 2 . D om in io: R , Ra n go : R

3 . E je y es un a a s ín to ta d e la f un c ión .

4 .S i 1a , xy alog crecien te. Si 10 a , xy alog d ecrecien te.

La f un c ión n o está d efin id a p a ra n úm er os n e ga tivos .

C uyas c arac te rístic as so n

1. nmmn aaa logloglog 2 . nmn

maaa logloglog

3 . mpm a

a loglog 4 . 01ln 5 . 1ln 6 . 0ln (a s íntota )

Se a p lican tam b ién para xxf ln

C uyas pro pie dade s so n

FUN C IÓ N LO G A RÍTM IC A

Se d efin e c om o

0 ,1 ,log aaxy a

Se d efin e c om o

C uya gra fica C uya gra fica

2,71con , xy

Se d efin e c om o

FUN C IÓ N EXPO N EN C IA L

Se d efin e c om o

1y , aRaay x

C uya gra fica C uya gra fica

C orta e l e je y en 1,0 2 . D om in io : R , Ra n g o: R

3 . El e je x es un a a sín tota d e la fun c ión .

4. S i 1a , xay es creciente. Si 10 a ,

xay es d ecrecien te.

5 . N o tien e cortes con e l e je x . 6 . nm ba sí y s ó lo sí nm

C uyas c arac te rístic as so n

1 . yxyx aaa . 2 . yx

a 3 . xxxbaab

5 . xyyx aa 6 . 10 a

C uyas pro pie dade s so n

o xx ln y

P o r é sta pro pie dad, se c um ple :

M APA CONCEPTUAL 11 : F. EXPONENCIAL

Y F. LOGARÍTM ICA

FUN C IO N ES C IRC ULA RES

Se de fine c o m o

tx cos y tx cos

S iem p re q ue Rt y ),( yxp es e l p un to d e in terse cción d e la c irc un feren cia

un ita ria con e l la d o f in a l d e l á n g ulo cu ya m ed id a es t ra d ia n es. Segm en tos c uya lon gitud c oin c id e c on e l

va lor a b solu to d e la s s e is fun c ion es

tr ig on om é trica s d e un á n g ulo d a d o.

Las g rafic as de las

FU NC IO N ES TRIG O NO M ÉTRIC A S

Q ue so n

Se trazan

Las lín eas trigo nom étric as

Se utilizan para e labo rar

Son fun c ion e s c u ya s im á g en es se r ep iten e xa cta m en te en e l

m ism o ord en a igua les in terva lo s d e s u d om in io .

Y a que

Se C arac te rizan po r se r

Fu nc io nes peri ódic as

Se analizan

D om in io y Ra n go

Ec uac ió n

Se pue de n re alizar

V a ria c ion e s d e la s fun c ion es

tr ig on om é trica s

G rafic a

1 . A m plitud Asenxy

2 . Período senBxy

3 . D espla zam ie nto de fase

CBxseny

1 . S e a la r ga vert ica lm en te .

2 . Se rep ite la gra fica d e la fun c ión la s v eces q ue d iga

B en e l p eríod o.

S i 1B se com p rim e h oriz on ta lm en te.

S i 10 B se a la r ga h orizon ta lm en te .

3 . S i 0C se tra sla d a C un id a d e s a la izq uierd a .

S i 0C se tra sla d a C un id a d es h a cía la d er ech a .

Se re stringe para de fin ir

La s f un c ion es tr igon om étrica s

in versa s

Q ue so n

A rcos en o: Arcsenx ó xsen 1

A rc oco sen o : xArcos ó x1cos

A rc ota n gen te : xArc tan ó x1tan

A rc oco ta n g en te : xArccot ó x1cot

A rc ose ca n te : xArcsec ó x1sec

A rc oco seca n te: xArccsc ó x1csc

M APA CONCEPTUAL 12 : FUNCIONES

C IRCULARES

senxxf )( xxf cos)( xxf tan)(

1. RDom 2 . 1,1Ran .

3 . Fu n ción im pa r, pu es senxxsen es

s im étrica con resp ecto a l orig en .

4 . Es u n fun ción p eriód ica , con p eríod o 2 ; es d ecir,

kxsensenx 2 .

1 . RDom 2. 1,1Ran .

3 . Es pa r, pu es xx coscos es s im étrica con resp ecto a l eje y .

4 . Fun ción p eriód ica, con p eríod o 2 ; es d ecir, kxx 2coscos .

5 . In terseccion es con los ejes : nx 2

1 . ZnnRDom 2

2. RRan .

3 . Fun ción p eriód ica, con p eríod o ; es u na fun ción im p a r.

4 . As íntotas vertica les Znnx ,2

5 . In terseccion es con los ejes nx , 0y

xxf cot)( xxf sec)( xxf csc)(

1. ZnnRDom 2. RRan .

3 . Fun ción p eriód ica, con p eríod o ; es u na fun ción

im p a r.

4 . As íntotas vertica les Znnx , ;

5 . In terseccion es con los ejes nx 2

, y n o tien e

1. ZnnRDom 2

2. ,11,Ran .

3 . Fun ción p eriód ica, con p eríod o 2 ; es u na fu n ción pa r.

4 . As íntotas vertica les Znnx ,2

5 . In terseccion es con los ejes x n o tien e , 1y

1. ZnnRDom 2. ,11,Ran .

3 . Fun ción p eriód ica, con p eríod o ; es u na fun ción im p a r.

4 . As íntotas vertica les Znnx , ;

5 . In terseccion es con los ejes x n o tien e, y n o tien e

FU NC IO N ES TRIG O NO M ÉTRIC A S M APA CONCEPTUAL 13 : FUNCIONES

TRIGONOM ÉTRICAS

Función exponencial, func ió n logarítm ica y Funciones

tr igonom étricas.

G ra fica r:

a . )2ln()( xxf b . )1()( xLogxf e

c . 3)( Lnxxf d . xxf 3

1)( f. senxxf 3)(

g . xsenxf2

2)( h. xxf 3cos)(25

i. xsenxf 32)(

So luc ión :

a . )2ln()( xxf

Sa b em os q ue: 1ln ; 0ln no esta definido y 01ln teniendo

en cuenta esto determ inem os:

71,422 xxx

Por lo ta nto la función p a sa p or e l p unto 1,71.4

22002 xxx

Por lo ta nto la función tiene p or a síntota la recta 2x

32112 xxx

Por lo ta nto la función p a sa

p or e l p unto 0,3 .

Desp ués de determ ina r

esto ub ica m os la asíntota

com o una línea p untea da ,

ub ica m os los 2 p untos y

lueg o g ra ficam os. Figura

1.63 .

b . )1()( xLogxf e

71,111 xxx

p or e l p unto 1,71.1

101 xx

Po r lo tanto la fun ción t ien e

po r asín tota la recta 1x

01111 xxx

p or e l p unto 0,0 .

G ra fica , la figura 1 .64 .

c . 3)( Lnxxf

Por p rop ieda d de los loga ritm os:

LnxLnxxf 3)( 3

A sí, g ra fica r esta función es g ra fica r

la función xxf ln)( p ero

m ultip lica da p or 3. Es decir la

g ra fica tiene p or a m p litud 3

unida des. A sí s i la función

xxf ln)( p a sa p or e l p unto de

coordena da s 1, , la función

3)( Lnxxf p a sa p or e l p unto de

coordena da s 3, Figura 1.65 .

Ejercicios R esueltos . M apa C onceptual 11, 12 Y 13

Fig ura 1 .63 .

Fig ura 1 .64 .

d . xxf 3

La grafica de la función corta al e je

y en e l punto 1,0 , ya que 130

xxf 3 es creciente ya q ue 13 .

La función no corta a l e je x .

La función tiene p or a síntota e l

e je x o la recta 0y .

La g ra fica de la función se m uestra en la figura 1 .66 .

La grafica de la fun ción corta al eje y en

el punto 1,0 , ya que 1

1)( es decreciente ya q ue

La función no corta a l e je x .

La función tiene p or a síntota e l e je x o la recta 0y .

La g ra fica de la función se m uestra en la figura 1 .67 .

f. senxxf 3)(

La g ra fica de la función senxxf 3)( se p uede ob tener a pa rtir de

la g ra fica de senxxf )( m ultip lica ndo ca da va lor de senx p or 3 .

En p a rticula r, e l va lor m á xim o de senxxf 3)( es 3 y e l va lor

m ínim o es 3 . Entonces la a m p litud de senxxf 3)( es 3 .

A sí, 333 senx

E l p eríodo de senxxf 3)( es , es decir, la g ra fica de

senxxf 3)( se rep ite ca da veces.

Los ceros de la función está n

Znnx , , es decir, la g ra fica

de senxxf 3)( corta e l e je x

en ,....3,2,

La g ra fica de la función se

m uestra en la figura 1.68 .

g . xsenxf2

Pa ra xsenxf2

2)( , se tiene:

A m p litud: 22 A y

Período: 422

La g rafica de la fun ción se m u estra

en la fig u ra 1 .69 .

h. xxf 3cos)(25

Pa ra xxf 3cos)(25 , se tiene:

A m p litud: 2

Período: 3

i. xsenxf 32)(

A m p litud: 2A y

Período: 3

Desfase

Figura 1 .66.

Fig ura 1 .67 .

Fig ura 1 .68 .

Fig ura 1 .69 .

Fig ura 1 .70 .

Fig ura 1 .71 .

C o m o po r e jem plo a:

Se tie ne la funció n inve rsa

ó arcsenxy

1,1Dom

C uya grafic a e s

FUN C IO N ES TR IG O N O M ÉTRIC A S INV ER SA S

Exis ten sólo si se restring e el d om in io d e las fu n cion es trig on om étrica s, ya qu e ésta s n o son

fun cion es b iyectiva s, p u es n ing un a es in yectiva (cond ición p a ra qu e u na fun ción ten ga in versa ).

Se restri ng e e l dom i nio de :

xy cos

arccos

,0,1,1 RanDom

C uya grafic a e s

xy tan

arctan

C uya grafic a e s

xy cot

ó xarcy

,0, RanDomR

C uya grafic a e s

,0,1,1 RanDomR

xy sec

ó xary

C uya grafic a e s

xy csc

ó xarcy

0,,1,122 RanDomR

C uya grafic a e s

M APA CONCEPTUAL 14 : F.

TR IGONOM ÉTR ICAS INVERSAS

FUN C IO N ES HIPERBÓ LIC A S

com b in a cion es d e x y x

Su g raf ica es

Se ob tien en d e com b in a cion es d e x y x

Son a n á log as a las fun cion es trig on om étrica s. Los va lores d e esta s fu n cion es están rela cion ad os con las coord en a da s d e

los pu ntos d e un a h ip érb ola equ ilátera d e m an era sem eja nte a la form a en q u e los va lores d e las fu n cion es

trig on om étricas corresp on d ien tes está n rela cion ad os con las coord ena da s d e los p un tos d e un a circu nferen cia .

Se d ef in en a s í

senhxy

RRanRDom :,:

Su grafic a e s

arcsenhxy

T ien e p or fun c ión in versa

Su g raf ica es

,1:,: RanRDom

Su grafic a e s

hxy arccos

Su g raf ica es

senhxxy

coshtanh

1,1:,: RanRDom

Su grafic a e s

hxy arctan

Su g raf ica es

senhxxy

coshcoth

,,00,:

Su grafic a e s

xarcy coth

Su g raf ica es

xxxhxy

Su grafic a e s

hxarcy sec

xxsenhxhxy

Su grafic a e s

hxarcy csc

,0:1,1: RanRDom

Su g raf ica es Su g raf ica es

0,:1,1:22 RanRDom

Función parte entera o m ayor entero

Es a q uella función ZR:f definida m ed ia nte

xxxf donde)( es e l m a yor entero m enor o ig ua l q ue x, es

decir; Z,1)( nnxnnxxf .

E l dom inio de la función es e l conjunto de los núm eros rea les;

RDomf .

E l ra ng o de la función es e l conjunto de los núm eros enteros,

ZRanf .

La ta b la de va lores se m uestra a continua ción.

La g rá fica de la función se rep resenta en la figura 1.72 .

E jem p lo: g ra fica r xxxg

So luc ión :

C om o g está definida p a ra todos los va lores de x , su dom inio es

, a p a rtir de la definic ión de x se obtiene lo sig uiente.

xxGtoporxxsi

2)(,tan;232

1)(,tan;121

)(,tan;010

1)(,tan;101

2)(,tan;212

y a sí sucesiva m ente. De m odo m ás g enera l, s i n es cua lq uier

núm ero entero, entonces

xnxGtopornxnxnsi )(,tan;,1

C on estos va lores de función se p uede d ib uja r la g rá fica G,

m ostra da en la fig ura. A p a rtir de la g rá fica se observa q ue e l

contra dom inio es (-1,0]. A l tra za r la g rá fica de xxINTxG )()(

se ob tiene la fig ura 1.72. a ., lo cua l ap oya la resp uesta .

Fig ura 1 .72 . xxf )(

x … 12 x 01 x 10 x 21 x 32 x 43 x …

)(xf … -2 -1 0 1 2 3 …

FUNC IÓN PA R TE ENT ER A

Fig ura 1 .72 .a .

1. Si A ={1,2,3} y B={4,5,6,7}. H a lla r la s p a re jas q ue cump len

ca da re la ción. Lueg o, ha lla r su dom inio y su ra ng o.

a . R 1 : “La sum a de la p rim era com p onente con la seg unda

com p onente es m a yor q ue 7”.

b . R 2 : “E l p roducto de la p rim era com p onente con la

seg unda com p onente es un núm ero im p a r”.

c . R 3 : “La p rim era com p onente eq uiva le a la seg unda

com p onente d ism inuida en uno”.

d . R 4 : “La seg unda com p onente es e l dob le de la p rim era

com p onente”.

2. Ind ica r cuá les de la s sig uientes re la ciones son funciones.

Lueg o justifica r la resp uesta.

a . )},(),,(),,{(1 zcybxaR

b . )},3(),,1(),,1{(2 zyxR

b . }1/),{(,, 2

3 xyyxRRYRXSi

3. Eva lua r ca da función p a ra los va lores q ue se ind ica n.

a . 32)( 2 xxf ; p a ra f( -2), f(0), f(1)

xxf ; p a ra f(-1), f(3m +1), f

c. 53)( xxf ; p a ra

1f , f 12 aa

4. En ca da uno de los sig uientes e jerc ic ios, la función es el

conjunto de todas las pa re ja s (x , y) q ue sa tisfa cen la

ecua ción da da . Encontra r e l dom inio y e l ra ng o de la

función y tra za r la g rá fica de la función.

a . 13)( xxf b . 43)( xxg c . 23)( xxh

xsixxh

1031)(

xxxg g . 1)( 2 xxg

xxf )( i.

xsixxh

j. xxxf 16)( 3 k. 32)( 2 xxxg

m . 311)( xxxxh n. 231)(2

l. 43)( 3 xxxf o. 31224)( 234 xxxxxg

p . 13)( xxxxh

5. En los e jerc ic ios sig uientes, la s funciones f y g está n definida s.

En ca da p rob lem a definir la s sig uientes funciones y determ ina r

e l dom inio de la función resulta nte: 1) f+g; 2) f -g; 3) f.g ;

4)f/g; 5) g /f ; 6) g /f; 7) f o g; 8) g o f.

a . 1)(;5)( 2 xxgxxf

c . 1)(;1)( 2 xxgxxf

6. Da das las sig uientes funciones, encontra r dom inio y ra ng o.

A dem á s determ ina r, si son inyectiva s (uno a uno), b iyectiva s,

sob reyectivas, pa r, im pa r, creciente, decreciente, sim étrica.

Lueg o, tra za r la g ra fica (tab ula ción).

1)())()

15)()132)() 724

xxhd xxgc

xxfb xxxfa

Ejercicios Propuestos : C apítulo 1

6. Dem ostra r q ue si f y g son funciones imp a res, entonces f.g y

f/g son funciones p a res.

7. Si 22)( 2 xxxf , encontra r dos funciones g p a ra las

cua les 54)( 2 xxxgof

8 . Eva lu ar la expresió n

xfhxf )()( para las sig u ien tes fu n cion es:

2)()53)()

2)()3)()

xxhd xxgc

xxfb xxxfa

9. H a lla r una fórm ula p a ra la función f cuyo g rá fico consta de

los p untos yx, q ue sa tisfa cen ca da una de la s sig uientes

ecua ciones.

2)024) 225

yxb xyxa

10. Resolver p a ra x:

a ) 7.15 x b )

212 75 xx

11. En los sig uientes e jerc ic ios encontra r la inversa de f(x).

xxf b )

3)( xxf c) 12)( 3 xxf

12. Determ ina r la a mp litud, p eriodo y desfa sa m iento de ca da

función. Lueg o, tra za r la g rá fica q ue se describ e en un

p eriodo.

xseny b ) xseny 2 c)

xy e) xy

1tan4 f)

14. G ra fica r la s sig uientes funciones log a rítm ica s y exp onencia les:

a ) xxf 2)( b)

3)( c) xxg 5ln)( d) 1log)( 2

1. a. )7,3(),6,3(),5,3(),7,2(),6,2(),7,1{(1 R };

Dom R 1 ={1,2,3}; Ra n R 1 ={5,6,7}

b. R 2 = {(1,5),(1,7),(3,5),(3,7)}; Dom R 2 ={1,3}; Ra n R 2 ={5,7}

c . R 3 = {(3,4)}; Dom R 3 ={3}; Ra n R 3 ={4}

d. R 4 = {(2,4),(3,6)}; Dom R 4 :={2,4}; Ra n R 4 :={3,6}

2. a. Sí p orq ue a ca da elem ento del dom inio le corresp onde uno

y só lo un e lem ento en e l ra ng o.

b. N o p orq ue a un e lem ento del dom inio le corresp onden dos

e lem entos en e l ra ng o.

c . Sí p orq ue a cada elem ento del dom inio le corresp onde uno

y só lo un e lem ento en e l ra ng o.

3. a. f(-2)=5; f(0) =3 y f(1) =5

3)1( f ;

4. a. dom inio: , ; ra ng o ,

13)( xxf

b . dom inio:

4; ra ng o ,0

43)( xxg

R espuestas Ejercicios Propuestos: C apítulo 1

c. dom inio: , ; ra ng o ,0

23)( xxh

d . dom inio: , ; ra ng o ,4

xsixxH

e . dom inio: todos los núm eros rea les

excep to -5 y -1; ra ng o todos los

núm eros rea les excep to -7 y -3. ,0

1031)(

f. dom inio: todos los núm eros rea les excep to 2;

ra ng o ,0 ,0 2

5. a. 1) 62 xx , dom inio: ,

2) 42 xx , dom inio ,

3) 55 23 xxx , dom inio: ,

4) 1/5 2 xx ,dom: todos los núm eros rea les excep to -1 y 1

5) 5/12 xx , dom inio: todos los núm eros rea les excep to 5

6) 62 x , dom inio ,

7) 24102 xx , dom inio ,

b . 1)xx

2 12 , dom inio: todos los núm eros rea les excep to 0 y 1

2 1, dom inio: todos los núm e ros rea les excep to 0 y 1

1 , dom inio: todos los núm eros rea les excep to 0 y 1

xx , dom inio: todos los núm eros rea les excep to 0 y 1

1 , dom inio: todos los núm eros re a les excep to -1, 0 y 1

1, dom inio: todos los núm eros rea les excep to 0 y 1

1, dom inio: todos los núm eros rea les excep to -1 y 1

c . 1) 112 xx , dom inio: ,1

2) 112 xx , dom inio: ,1

3) 11 xx , dom inio: ,1

4) 1x , dom inio: ,1

x, dom inio: ,1

6) 2x , dom inio: ,2

7) 112 x , dom inio: ,22, y

6. a ) p a r; b) ning una ; c) pa r; d ) ning una

8. g(x) = x – 3; g (x) = 1 - x

9. a ) hx23 b)

xhx 22

c) 3 d) 22 33 hxhx

10. a ) 5

xxf c) f(x) = 2x

11. a ) 33.0x b ) 325.4x

12. a ) x

23)(1 b) 31 )( xxf

13. a) 3

desfaseTA

b ) :,2,2 desfaseTA

xseny 2

2:,2,3

desfaseTA

desfaseTtienenoA

e) haynodesfaseTtienenoA :,4,

desfaseTtienenoA

14. a ) xxf 2)( b )

c) xxg 5ln)( d ) 1log)( 2

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