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Contenido
ObjetivosDefinicion del Concepto FuncionPrueba de la Recta VerticalFunciones Inyectivas, Suprayectivas y BiyectivasPrueba de la Recta HorizontalFunciones Crecientes, Decrecientes, Constantes
Funciones en una Variable Real y sus Graficas:Conceptos Basicos
Carlos A. Rivera-Morales
Precalculo I
Rivera-Morales, Carlos A. Funciones Reales y sus Graficas
Contenido
ObjetivosDefinicion del Concepto FuncionPrueba de la Recta VerticalFunciones Inyectivas, Suprayectivas y BiyectivasPrueba de la Recta HorizontalFunciones Crecientes, Decrecientes, Constantes
Tabla de Contenido
ObjetivosDefinicion del Concepto FuncionPrueba de la Recta VerticalFunciones Inyectivas, Suprayectivas y BiyectivasPrueba de la Recta HorizontalFunciones Crecientes, Decrecientes, Constantes
Rivera-Morales, Carlos A. Funciones Reales y sus Graficas
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ObjetivosDefinicion del Concepto FuncionPrueba de la Recta VerticalFunciones Inyectivas, Suprayectivas y BiyectivasPrueba de la Recta HorizontalFunciones Crecientes, Decrecientes, Constantes
Objetivos:
Discutiremos:
funcion
funcion real
dominio, codominio, imagen (rango o recorrido) de unafuncion
grafica de una funcion
tipos de funciones (inyectivas, suprayectivas, biyectivas)
prueba de la recta vertical
prueba de la recta horizontal
funciones crecientes, decrecientes, constantes
funciones pares, funciones impares
Rivera-Morales, Carlos A. Funciones Reales y sus Graficas
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ObjetivosDefinicion del Concepto FuncionPrueba de la Recta VerticalFunciones Inyectivas, Suprayectivas y BiyectivasPrueba de la Recta HorizontalFunciones Crecientes, Decrecientes, Constantes
Objetivos:
Discutiremos:
funcion
funcion real
dominio, codominio, imagen (rango o recorrido) de unafuncion
grafica de una funcion
tipos de funciones (inyectivas, suprayectivas, biyectivas)
prueba de la recta vertical
prueba de la recta horizontal
funciones crecientes, decrecientes, constantes
funciones pares, funciones impares
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Objetivos:
Discutiremos:
funcion
funcion real
dominio, codominio, imagen (rango o recorrido) de unafuncion
grafica de una funcion
tipos de funciones (inyectivas, suprayectivas, biyectivas)
prueba de la recta vertical
prueba de la recta horizontal
funciones crecientes, decrecientes, constantes
funciones pares, funciones impares
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Objetivos:
Discutiremos:
funcion
funcion real
dominio, codominio, imagen (rango o recorrido) de unafuncion
grafica de una funcion
tipos de funciones (inyectivas, suprayectivas, biyectivas)
prueba de la recta vertical
prueba de la recta horizontal
funciones crecientes, decrecientes, constantes
funciones pares, funciones impares
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Discutiremos:
funcion
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dominio, codominio, imagen (rango o recorrido) de unafuncion
grafica de una funcion
tipos de funciones
(inyectivas, suprayectivas, biyectivas)
prueba de la recta vertical
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grafica de una funcion
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Discutiremos:
funcion
funcion real
dominio, codominio, imagen (rango o recorrido) de unafuncion
grafica de una funcion
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Objetivos:
Discutiremos:
funcion
funcion real
dominio, codominio, imagen (rango o recorrido) de unafuncion
grafica de una funcion
tipos de funciones (inyectivas, suprayectivas, biyectivas)
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Introduccion: Uno de los conceptos mas importantes enmatematica es el de funcion.
Las funciones permiten describir elmundo real en terminos matematicos, como por ejemplo, lasvariaciones de la temperatura, el movimiento de los planetas,las ondas cerebrales, los ciclos comerciales, el ritmo cardıaco, elcrecimiento poblacional, etc.
El termino funcion fue usado por primera vez en 1637 por elmatematico frances Rene Descartes para designar una potenciaxn de la variable x.
El matematico suizo Leonard Euler (1707-1783) dio unadefinicion precisa de funcion e introdujo en 1734 el sımbolo f(x)para designar la imagen de x por una funcion f .
Rivera-Morales, Carlos A. Funciones Reales y sus Graficas
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Introduccion: Uno de los conceptos mas importantes enmatematica es el de funcion. Las funciones permiten describir elmundo real en terminos matematicos, como por ejemplo, lasvariaciones de la temperatura, el movimiento de los planetas,las ondas cerebrales, los ciclos comerciales, el ritmo cardıaco, elcrecimiento poblacional, etc.
El termino funcion fue usado por primera vez en 1637 por elmatematico frances Rene Descartes para designar una potenciaxn de la variable x.
El matematico suizo Leonard Euler (1707-1783) dio unadefinicion precisa de funcion e introdujo en 1734 el sımbolo f(x)para designar la imagen de x por una funcion f .
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Introduccion: Uno de los conceptos mas importantes enmatematica es el de funcion. Las funciones permiten describir elmundo real en terminos matematicos, como por ejemplo, lasvariaciones de la temperatura, el movimiento de los planetas,las ondas cerebrales, los ciclos comerciales, el ritmo cardıaco, elcrecimiento poblacional, etc.
El termino funcion fue usado por primera vez en 1637 por elmatematico frances Rene Descartes para designar una potenciaxn de la variable x.
El matematico suizo Leonard Euler (1707-1783) dio unadefinicion precisa de funcion e introdujo en 1734 el sımbolo f(x)para designar la imagen de x por una funcion f .
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Introduccion: Uno de los conceptos mas importantes enmatematica es el de funcion. Las funciones permiten describir elmundo real en terminos matematicos, como por ejemplo, lasvariaciones de la temperatura, el movimiento de los planetas,las ondas cerebrales, los ciclos comerciales, el ritmo cardıaco, elcrecimiento poblacional, etc.
El termino funcion fue usado por primera vez en 1637 por elmatematico frances Rene Descartes para designar una potenciaxn de la variable x.
El matematico suizo Leonard Euler (1707-1783) dio unadefinicion precisa de funcion e introdujo en 1734 el sımbolo f(x)para designar la imagen de x por una funcion f .
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Definicion del Concepto Funcion
Definicion: Sean A y B dos conjuntos no vacıos.
Entonces,una funcion f de A en B es una ley, regla o correspondenciaque asigna a cada elemento x ∈ A un, y solo un, elementoy ∈ B. Se denota por
f : A −→ B
El conjunto A es el dominio de f ; el conjunto B es elcodominio de f .
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Definicion del Concepto Funcion
Definicion: Sean A y B dos conjuntos no vacıos. Entonces,una funcion f de A en B es una ley, regla o correspondenciaque asigna a cada elemento x ∈ A un, y solo un, elementoy ∈ B.
Se denota por
f : A −→ B
El conjunto A es el dominio de f ; el conjunto B es elcodominio de f .
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Definicion del Concepto Funcion
Definicion: Sean A y B dos conjuntos no vacıos. Entonces,una funcion f de A en B es una ley, regla o correspondenciaque asigna a cada elemento x ∈ A un, y solo un, elementoy ∈ B. Se denota por
f : A −→ B
El conjunto A es el dominio de f ; el conjunto B es elcodominio de f .
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Definicion del Concepto Funcion
Definicion: Sean A y B dos conjuntos no vacıos. Entonces,una funcion f de A en B es una ley, regla o correspondenciaque asigna a cada elemento x ∈ A un, y solo un, elementoy ∈ B. Se denota por
f : A −→ B
El conjunto A es el dominio de f ;
el conjunto B es elcodominio de f .
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Definicion del Concepto Funcion
Definicion: Sean A y B dos conjuntos no vacıos. Entonces,una funcion f de A en B es una ley, regla o correspondenciaque asigna a cada elemento x ∈ A un, y solo un, elementoy ∈ B. Se denota por
f : A −→ B
El conjunto A es el dominio de f ; el conjunto B es elcodominio de f .
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Notas: Sea f : A −→ B funcion.
1 La notacion y = f(x) senala que y es una funcion de x.Lavariable x es la variable independiente y la variable y sellama variable dependiente; f es el nombre de la funcion.
2 Si y = f(x), entonces se dice que y es la imagen de xmediante f y que x es una preimagen de y.
3 El conjunto de todas las imagenes de los elementos de Amediante o a traves de f se denomina Imagen, Recorrido,Campo de Valores o Rango de f . Generalmente utilizaremosImf o Rf para denotar la imagen o rango de f .
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Notas: Sea f : A −→ B funcion.
1 La notacion y = f(x) senala que y es una funcion de x.
Lavariable x es la variable independiente y la variable y sellama variable dependiente; f es el nombre de la funcion.
2 Si y = f(x), entonces se dice que y es la imagen de xmediante f y que x es una preimagen de y.
3 El conjunto de todas las imagenes de los elementos de Amediante o a traves de f se denomina Imagen, Recorrido,Campo de Valores o Rango de f . Generalmente utilizaremosImf o Rf para denotar la imagen o rango de f .
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Notas: Sea f : A −→ B funcion.
1 La notacion y = f(x) senala que y es una funcion de x.Lavariable x es la variable independiente y la variable y sellama variable dependiente; f es el nombre de la funcion.
2 Si y = f(x), entonces se dice que y es la imagen de xmediante f y que x es una preimagen de y.
3 El conjunto de todas las imagenes de los elementos de Amediante o a traves de f se denomina Imagen, Recorrido,Campo de Valores o Rango de f . Generalmente utilizaremosImf o Rf para denotar la imagen o rango de f .
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Notas: Sea f : A −→ B funcion.
1 La notacion y = f(x) senala que y es una funcion de x.Lavariable x es la variable independiente y la variable y sellama variable dependiente; f es el nombre de la funcion.
2 Si y = f(x), entonces se dice que y es la imagen de xmediante f y que x es una preimagen de y.
3 El conjunto de todas las imagenes de los elementos de Amediante o a traves de f se denomina Imagen, Recorrido,Campo de Valores o Rango de f . Generalmente utilizaremosImf o Rf para denotar la imagen o rango de f .
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Notas: Sea f : A −→ B funcion.
1 La notacion y = f(x) senala que y es una funcion de x.Lavariable x es la variable independiente y la variable y sellama variable dependiente; f es el nombre de la funcion.
2 Si y = f(x), entonces se dice que y es la imagen de xmediante f y que x es una preimagen de y.
3 El conjunto de todas las imagenes de los elementos de Amediante o a traves de f se denomina Imagen, Recorrido,Campo de Valores o Rango de f . Generalmente utilizaremosImf o Rf para denotar la imagen o rango de f .
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Pictoricamente:
Sea f : A −→ B funcion.
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Pictoricamente:
Sea f : A −→ B funcion.
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Ejercicio: Indique cuales de las siguientes aplicaciones sonfunciones.
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Funcion Real
Definicion: Sean A y B dos conjuntos no vacıos. Entonces,una funcion real f en una variable x es una funcionf : A −→R, donde A⊆R. Usualmente se denota por la formulay = f(x) .
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Grafica de una funcion real
Definicion: La grafica de una funcion real es el conjunto depuntos en el plano R2 correspondientes a los pares ordenados(x, y) de la funcion.
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Representaciones de una funcion real
Una funcion real f , en general, se puede representar de distintasformas.
Se puede representar mediante:
1 un conjunto de pares ordenados de numeros reales.
2 una tabla de valores.
3 una expresion verbal, donde se da una descripcion enpalabras de la regla que define la funcion.
4 una una expresion algebraica haciendo uso de una formula.
5 una grafica en un sistema de coordenadas cartesianas.
Nota: Estas cinco formas de representar una funcion sonequivalentes, sin embargo no siempre es posible el paso de una aotra.
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Representaciones de una funcion real
Una funcion real f , en general, se puede representar de distintasformas. Se puede representar mediante:
1 un conjunto de pares ordenados de numeros reales.
2 una tabla de valores.
3 una expresion verbal, donde se da una descripcion enpalabras de la regla que define la funcion.
4 una una expresion algebraica haciendo uso de una formula.
5 una grafica en un sistema de coordenadas cartesianas.
Nota: Estas cinco formas de representar una funcion sonequivalentes, sin embargo no siempre es posible el paso de una aotra.
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Representaciones de una funcion real
Una funcion real f , en general, se puede representar de distintasformas. Se puede representar mediante:
1 un conjunto de pares ordenados de numeros reales.
2 una tabla de valores.
3 una expresion verbal, donde se da una descripcion enpalabras de la regla que define la funcion.
4 una una expresion algebraica haciendo uso de una formula.
5 una grafica en un sistema de coordenadas cartesianas.
Nota: Estas cinco formas de representar una funcion sonequivalentes, sin embargo no siempre es posible el paso de una aotra.
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Representaciones de una funcion real
Una funcion real f , en general, se puede representar de distintasformas. Se puede representar mediante:
1 un conjunto de pares ordenados de numeros reales.
2 una tabla de valores.
3 una expresion verbal, donde se da una descripcion enpalabras de la regla que define la funcion.
4 una una expresion algebraica haciendo uso de una formula.
5 una grafica en un sistema de coordenadas cartesianas.
Nota: Estas cinco formas de representar una funcion sonequivalentes, sin embargo no siempre es posible el paso de una aotra.
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Representaciones de una funcion real
Una funcion real f , en general, se puede representar de distintasformas. Se puede representar mediante:
1 un conjunto de pares ordenados de numeros reales.
2 una tabla de valores.
3 una expresion verbal, donde se da una descripcion enpalabras de la regla que define la funcion.
4 una una expresion algebraica haciendo uso de una formula.
5 una grafica en un sistema de coordenadas cartesianas.
Nota: Estas cinco formas de representar una funcion sonequivalentes, sin embargo no siempre es posible el paso de una aotra.
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Representaciones de una funcion real
Una funcion real f , en general, se puede representar de distintasformas. Se puede representar mediante:
1 un conjunto de pares ordenados de numeros reales.
2 una tabla de valores.
3 una expresion verbal, donde se da una descripcion enpalabras de la regla que define la funcion.
4 una una expresion algebraica haciendo uso de una formula.
5 una grafica en un sistema de coordenadas cartesianas.
Nota: Estas cinco formas de representar una funcion sonequivalentes, sin embargo no siempre es posible el paso de una aotra.
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Representaciones de una funcion real
Una funcion real f , en general, se puede representar de distintasformas. Se puede representar mediante:
1 un conjunto de pares ordenados de numeros reales.
2 una tabla de valores.
3 una expresion verbal, donde se da una descripcion enpalabras de la regla que define la funcion.
4 una una expresion algebraica haciendo uso de una formula.
5 una grafica en un sistema de coordenadas cartesianas.
Nota: Estas cinco formas de representar una funcion sonequivalentes, sin embargo no siempre es posible el paso de una aotra.
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Representaciones de una funcion real
Una funcion real f , en general, se puede representar de distintasformas. Se puede representar mediante:
1 un conjunto de pares ordenados de numeros reales.
2 una tabla de valores.
3 una expresion verbal, donde se da una descripcion enpalabras de la regla que define la funcion.
4 una una expresion algebraica haciendo uso de una formula.
5 una grafica en un sistema de coordenadas cartesianas.
Nota: Estas cinco formas de representar una funcion sonequivalentes, sin embargo no siempre es posible el paso de una aotra.
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Ejemplo 1: (Representacion utilizada: Conjunto de ParesOrdenados)
Definicion: Una relacion es un conjunto de pares ordenado.
Consideremos los siguientes pares ordenados de numerosenteros:
El conjunto f de pares ordenados representa una funcion. Elconjunto g no.
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Ejemplo 1: (Representacion utilizada: Conjunto de ParesOrdenados)
Definicion: Una relacion es un conjunto de pares ordenado.
Consideremos los siguientes pares ordenados de numerosenteros:
El conjunto f de pares ordenados representa una funcion. Elconjunto g no.
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Ejemplo 1: (Representacion utilizada: Conjunto de ParesOrdenados)
Definicion: Una relacion es un conjunto de pares ordenado.
Consideremos los siguientes pares ordenados de numerosenteros:
El conjunto f de pares ordenados representa una funcion. Elconjunto g no.
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Ejemplo 1: (Representacion utilizada: Conjunto de ParesOrdenados)
Definicion: Una relacion es un conjunto de pares ordenado.
Consideremos los siguientes pares ordenados de numerosenteros:
El conjunto f de pares ordenados representa una funcion.
Elconjunto g no.
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Ejemplo 1: (Representacion utilizada: Conjunto de ParesOrdenados)
Definicion: Una relacion es un conjunto de pares ordenado.
Consideremos los siguientes pares ordenados de numerosenteros:
El conjunto f de pares ordenados representa una funcion. Elconjunto g no.
Rivera-Morales, Carlos A. Funciones Reales y sus Graficas
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ObjetivosDefinicion del Concepto FuncionPrueba de la Recta VerticalFunciones Inyectivas, Suprayectivas y BiyectivasPrueba de la Recta HorizontalFunciones Crecientes, Decrecientes, Constantes
Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Ejemplo 2 :(Representacion utilizada: Una tabla de valores)
Consideremos la siguiente tabla de valores:
La tabla representa una funcion f cuyo dominio esDf = {−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Ejemplo 2 :(Representacion utilizada: Una tabla de valores)
Consideremos la siguiente tabla de valores:
La tabla representa una funcion f cuyo dominio esDf = {−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
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Ejemplo 2 :(Representacion utilizada: Una tabla de valores)
Consideremos la siguiente tabla de valores:
La tabla representa una funcion f cuyo dominio esDf = {−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Ejemplo 3: (Representacion utilizada: Descripcion verbal)
Sea A = R y B = R. Consideremos la siguiente regla de A en B:Regla: A cada numero real en A le corresponde su cuadradoen B.
La situacion anterior define una funcion de A en B.
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Ejemplo 3: (Representacion utilizada: Descripcion verbal)
Sea A = R y B = R. Consideremos la siguiente regla de A en B:Regla: A cada numero real en A le corresponde su cuadradoen B.
La situacion anterior define una funcion de A en B.
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Ejemplo 3: (Representacion utilizada: Descripcion verbal)
Sea A = R y B = R. Consideremos la siguiente regla de A en B:Regla: A cada numero real en A le corresponde su cuadradoen B.
La situacion anterior define una funcion de A en B.
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Ejemplo 4: (Representacion utilizada: Una formula)
La formula f(x) = x2 − 2x define una funcion de R en R:
Ejercicios: Determine:
1 f(−2)
2 f(5)
3 f(a− 1)
4 f(a + h)
5f(a + h)− f(a)
h
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Ejemplo 4: (Representacion utilizada: Una formula)
La formula f(x) = x2 − 2x define una funcion de R en R:
Ejercicios: Determine:
1 f(−2)
2 f(5)
3 f(a− 1)
4 f(a + h)
5f(a + h)− f(a)
h
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Ejemplo 4: (Representacion utilizada: Una formula)
La formula f(x) = x2 − 2x define una funcion de R en R:
Ejercicios: Determine:
1 f(−2)
2 f(5)
3 f(a− 1)
4 f(a + h)
5f(a + h)− f(a)
h
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Ejemplo 5: (Representacion utilizada: Una grafica)
La grafica a continuacion define una funcion f :
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Ejemplo 5: (Representacion utilizada: Una grafica)
La grafica a continuacion define una funcion f :
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Ejercicios: Determine:
1 Df
2 If3 f(−2)
4 f(2)
5 f(4)
6 todos los valores x ∈ Df para los cuales f(x) = 0.
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Funciones en una Variable Real y sus Graficas
Prueba de la Recta Vertical
Una grafica en el plano R2 es la grafica de una funcion si, y solosi, ninguna lınea vertical se interseca con la grafica mas de unavez.
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ObjetivosDefinicion del Concepto FuncionPrueba de la Recta VerticalFunciones Inyectivas, Suprayectivas y BiyectivasPrueba de la Recta HorizontalFunciones Crecientes, Decrecientes, Constantes
Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Acuerdos: Sea f una funcion real definida mediante la formulao ecuacion y = f(x).
1 Regla del maximo dominio: Cuando no se presenta eldominio de f de forma explıcita, se considera como sudominio, el maximo subconjunto de R, donde la formulapuede evaluarse. Este conjunto es le llama el dominio dedefinicion de f , o simplemente, el dominio de f . A vecestambien se le llama el dominio natural de f .
2 En aplicaciones especıficas, el dominio de una funcionesta restringido por las condiciones de un problema. Esusual llamar dominio practico al conjunto de valores quepuede tomar la variable independiente para que elproblema especıfico tenga sentido.
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Acuerdos: Sea f una funcion real definida mediante la formulao ecuacion y = f(x).
1 Regla del maximo dominio: Cuando no se presenta eldominio de f de forma explıcita, se considera como sudominio, el maximo subconjunto de R, donde la formulapuede evaluarse.
Este conjunto es le llama el dominio dedefinicion de f , o simplemente, el dominio de f . A vecestambien se le llama el dominio natural de f .
2 En aplicaciones especıficas, el dominio de una funcionesta restringido por las condiciones de un problema. Esusual llamar dominio practico al conjunto de valores quepuede tomar la variable independiente para que elproblema especıfico tenga sentido.
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Acuerdos: Sea f una funcion real definida mediante la formulao ecuacion y = f(x).
1 Regla del maximo dominio: Cuando no se presenta eldominio de f de forma explıcita, se considera como sudominio, el maximo subconjunto de R, donde la formulapuede evaluarse. Este conjunto es le llama el dominio dedefinicion de f ,
o simplemente, el dominio de f . A vecestambien se le llama el dominio natural de f .
2 En aplicaciones especıficas, el dominio de una funcionesta restringido por las condiciones de un problema. Esusual llamar dominio practico al conjunto de valores quepuede tomar la variable independiente para que elproblema especıfico tenga sentido.
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Acuerdos: Sea f una funcion real definida mediante la formulao ecuacion y = f(x).
1 Regla del maximo dominio: Cuando no se presenta eldominio de f de forma explıcita, se considera como sudominio, el maximo subconjunto de R, donde la formulapuede evaluarse. Este conjunto es le llama el dominio dedefinicion de f , o simplemente, el dominio de f .
A vecestambien se le llama el dominio natural de f .
2 En aplicaciones especıficas, el dominio de una funcionesta restringido por las condiciones de un problema. Esusual llamar dominio practico al conjunto de valores quepuede tomar la variable independiente para que elproblema especıfico tenga sentido.
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Acuerdos: Sea f una funcion real definida mediante la formulao ecuacion y = f(x).
1 Regla del maximo dominio: Cuando no se presenta eldominio de f de forma explıcita, se considera como sudominio, el maximo subconjunto de R, donde la formulapuede evaluarse. Este conjunto es le llama el dominio dedefinicion de f , o simplemente, el dominio de f . A vecestambien se le llama el dominio natural de f .
2 En aplicaciones especıficas, el dominio de una funcionesta restringido por las condiciones de un problema. Esusual llamar dominio practico al conjunto de valores quepuede tomar la variable independiente para que elproblema especıfico tenga sentido.
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Acuerdos: Sea f una funcion real definida mediante la formulao ecuacion y = f(x).
1 Regla del maximo dominio: Cuando no se presenta eldominio de f de forma explıcita, se considera como sudominio, el maximo subconjunto de R, donde la formulapuede evaluarse. Este conjunto es le llama el dominio dedefinicion de f , o simplemente, el dominio de f . A vecestambien se le llama el dominio natural de f .
2 En aplicaciones especıficas, el dominio de una funcionesta restringido por las condiciones de un problema.
Esusual llamar dominio practico al conjunto de valores quepuede tomar la variable independiente para que elproblema especıfico tenga sentido.
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Acuerdos: Sea f una funcion real definida mediante la formulao ecuacion y = f(x).
1 Regla del maximo dominio: Cuando no se presenta eldominio de f de forma explıcita, se considera como sudominio, el maximo subconjunto de R, donde la formulapuede evaluarse. Este conjunto es le llama el dominio dedefinicion de f , o simplemente, el dominio de f . A vecestambien se le llama el dominio natural de f .
2 En aplicaciones especıficas, el dominio de una funcionesta restringido por las condiciones de un problema. Esusual llamar dominio practico al conjunto de valores quepuede tomar la variable independiente para que elproblema especıfico tenga sentido.
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Ejemplos:1) Determine el dominio de la funcion f(x) =
√1− 3x
Solucion: Para que la funcion este definida en R, el radicando1− 3x tiene que asumir valores no negativos. Esto es,1− 3x ≥ 0. Hay que resolver esta desigualdad lineal.−3x ≥ −1
x ≤ 1
3
Por lo tanto, Domf = (−∞),1
3].
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Ejemplos:1) Determine el dominio de la funcion f(x) =
√1− 3x
Solucion: Para que la funcion este definida en R, el radicando1− 3x tiene que asumir valores no negativos.
Esto es,1− 3x ≥ 0. Hay que resolver esta desigualdad lineal.−3x ≥ −1
x ≤ 1
3
Por lo tanto, Domf = (−∞),1
3].
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Ejemplos:1) Determine el dominio de la funcion f(x) =
√1− 3x
Solucion: Para que la funcion este definida en R, el radicando1− 3x tiene que asumir valores no negativos. Esto es,1− 3x ≥ 0. Hay que resolver esta desigualdad lineal.−3x ≥ −1
x ≤ 1
3
Por lo tanto, Domf = (−∞),1
3].
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Ejemplos:1) Determine el dominio de la funcion f(x) =
√1− 3x
Solucion: Para que la funcion este definida en R, el radicando1− 3x tiene que asumir valores no negativos. Esto es,1− 3x ≥ 0. Hay que resolver esta desigualdad lineal.−3x ≥ −1
x ≤ 1
3
Por lo tanto, Domf = (−∞),1
3].
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Ejemplos:
2) Determine el dominio de la funcion f(x) =3x2 + 5x
x2 − 5
Solucion:El dominio es el conjunto R, excepto aquellos numeros realespara los cuales el denominador es 0; la division por 0 noesta definida. Por lo tanto, tenemos que excluir los numerosreales para los cuales x2 − 5 = 0.Esto es, x = ±
√5
Por lo tanto, Domf =R \ {±√
5}.
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Ejemplos:
2) Determine el dominio de la funcion f(x) =3x2 + 5x
x2 − 5
Solucion:El dominio es el conjunto R, excepto aquellos numeros realespara los cuales el denominador es 0; la division por 0 noesta definida.
Por lo tanto, tenemos que excluir los numerosreales para los cuales x2 − 5 = 0.Esto es, x = ±
√5
Por lo tanto, Domf =R \ {±√
5}.
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Ejemplos:
2) Determine el dominio de la funcion f(x) =3x2 + 5x
x2 − 5
Solucion:El dominio es el conjunto R, excepto aquellos numeros realespara los cuales el denominador es 0; la division por 0 noesta definida. Por lo tanto, tenemos que excluir los numerosreales para los cuales x2 − 5 = 0.Esto es, x = ±
√5
Por lo tanto, Domf =R \ {±√
5}.
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Ejemplos:
2) Determine el dominio de la funcion f(x) =3x2 + 5x
x2 − 5
Solucion:El dominio es el conjunto R, excepto aquellos numeros realespara los cuales el denominador es 0; la division por 0 noesta definida. Por lo tanto, tenemos que excluir los numerosreales para los cuales x2 − 5 = 0.Esto es, x = ±
√5
Por lo tanto, Domf =R \ {±√
5}.
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Funcion Inyectiva
Definicion: Una funcion f es inyectiva cuando a diferenteselementos del dominio le corresponden distintos elementos delrango, y recıprocamente, a distintos elementos del rango se leasocian diferentes elementos del dominio.
Tambien se le conocecomo funcion uno a uno.
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Funcion Inyectiva
Definicion: Una funcion f es inyectiva cuando a diferenteselementos del dominio le corresponden distintos elementos delrango, y recıprocamente, a distintos elementos del rango se leasocian diferentes elementos del dominio. Tambien se le conocecomo funcion uno a uno.
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Funcion Inyectiva
Definicion: Una funcion f es inyectiva cuando a diferenteselementos del dominio le corresponden distintos elementos delrango, y recıprocamente, a distintos elementos del rango se leasocian diferentes elementos del dominio. Tambien se le conocecomo funcion uno a uno.
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Prueba de la Recta Horizontal
Una grafica en plano R2 es la grafica de una funcion inyectiva ouno a uno si cada lınea horizontal corta su grafica comomaximo en un punto.
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Funcion Suprayectiva
Definicion: Una funcion f es suprayectiva si cualquierelemento del codominio es imagen de por lo menos un elementodel dominio de la funcion.
Tambien se le conoce comosobreyectiva o sobre. En una funcion suprayectiva elcodominio y rango son iguales.
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Funcion Suprayectiva
Definicion: Una funcion f es suprayectiva si cualquierelemento del codominio es imagen de por lo menos un elementodel dominio de la funcion. Tambien se le conoce comosobreyectiva o sobre. En una funcion suprayectiva elcodominio y rango son iguales.
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Funcion Suprayectiva
Definicion: Una funcion f es suprayectiva si cualquierelemento del codominio es imagen de por lo menos un elementodel dominio de la funcion. Tambien se le conoce comosobreyectiva o sobre. En una funcion suprayectiva elcodominio y rango son iguales.
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Funcion Biyectiva
Definicion: Una funcion f es biyectiva si cumple con serinyectiva y suprayectiva.
La regla de correspondencia esbiunıvoca.
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Funcion Biyectiva
Definicion: Una funcion f es biyectiva si cumple con serinyectiva y suprayectiva. La regla de correspondencia esbiunıvoca.
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Funcion Biyectiva
Definicion: Una funcion f es biyectiva si cumple con serinyectiva y suprayectiva. La regla de correspondencia esbiunıvoca.
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Funciones de una Variable Real y sus Graficas
Nota: Pueden existir funciones que no son inyectivas nisuprayectivas, es decir, en donde la asociacion no sea uno a unoy ademas que no cumplan que el rango y el codominio seaniguales, como por ejemplo:
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Nota: Pueden existir funciones que no son inyectivas nisuprayectivas, es decir, en donde la asociacion no sea uno a unoy ademas que no cumplan que el rango y el codominio seaniguales, como por ejemplo:
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Funciones en una Variable Real y sus Graficas
Funciones Crecientes, Decrecientes, Constantes
Definicion: Una funcion f es:
creciente en un intervalo I ⊆ Df si
f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2, para todo x1, x2 ∈ I.
decreciente en un intervalo I ⊆ Df si
f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2, para todo x1, x2 ∈ I.
constante en un intervalo I ⊆ Df si
f(x1) = f(x2) para todo x1, x2 ∈ I.
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Funciones Crecientes, Decrecientes, Constantes
Definicion: Una funcion f es:
creciente en un intervalo I ⊆ Df si
f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2, para todo x1, x2 ∈ I.
decreciente en un intervalo I ⊆ Df si
f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2, para todo x1, x2 ∈ I.
constante en un intervalo I ⊆ Df si
f(x1) = f(x2) para todo x1, x2 ∈ I.
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Funciones en una Variable Real y sus Graficas
Funciones Crecientes, Decrecientes, Constantes
Definicion: Una funcion f es:
creciente en un intervalo I ⊆ Df si
f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2, para todo x1, x2 ∈ I.
decreciente en un intervalo I ⊆ Df si
f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2, para todo x1, x2 ∈ I.
constante en un intervalo I ⊆ Df si
f(x1) = f(x2) para todo x1, x2 ∈ I.
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Funciones en una Variable Real y sus Graficas
Funciones Crecientes, Decrecientes, Constantes
Definicion: Una funcion f es:
creciente en un intervalo I ⊆ Df si
f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2, para todo x1, x2 ∈ I.
decreciente en un intervalo I ⊆ Df si
f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2, para todo x1, x2 ∈ I.
constante en un intervalo I ⊆ Df si
f(x1) = f(x2) para todo x1, x2 ∈ I.
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Funciones en una Variable Real y sus Graficas
Ejemplo: La funcion cuya grafica aparece en la figura es:
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Funciones en una Variable Real y sus Graficas
Funciones Pares, Impares
Definicion: Sea f : D −→R, donde D ⊆R tal que siempre quex ∈ Df se tiene que −x ∈ Df . Entonces f es,
par ⇐⇒ f (−x) = f (x) ∀x ∈ Df .
impar ⇐⇒ f (−x) = -f (x) ∀x ∈ Df .
Notas:
La grafica de una funcion par es simetrica con respecto aleje-Y.
La grafica de una funcion impar es simetrica con respectoal origen del plano cartesiano.
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Funciones Pares, Impares
Definicion: Sea f : D −→R, donde D ⊆R tal que siempre quex ∈ Df se tiene que −x ∈ Df . Entonces f es,
par ⇐⇒ f (−x) = f (x) ∀x ∈ Df .
impar ⇐⇒ f (−x) = -f (x) ∀x ∈ Df .
Notas:
La grafica de una funcion par es simetrica con respecto aleje-Y.
La grafica de una funcion impar es simetrica con respectoal origen del plano cartesiano.
Rivera-Morales, Carlos A. Funciones Reales y sus Graficas
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ObjetivosDefinicion del Concepto FuncionPrueba de la Recta VerticalFunciones Inyectivas, Suprayectivas y BiyectivasPrueba de la Recta HorizontalFunciones Crecientes, Decrecientes, Constantes
Funciones en una Variable Real y sus Graficas
Funciones Pares, Impares
Definicion: Sea f : D −→R, donde D ⊆R tal que siempre quex ∈ Df se tiene que −x ∈ Df . Entonces f es,
par ⇐⇒ f (−x) = f (x) ∀x ∈ Df .
impar ⇐⇒ f (−x) = -f (x) ∀x ∈ Df .
Notas:
La grafica de una funcion par es simetrica con respecto aleje-Y.
La grafica de una funcion impar es simetrica con respectoal origen del plano cartesiano.
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Funciones en una Variable Real y sus Graficas
Funciones Pares, Impares
Definicion: Sea f : D −→R, donde D ⊆R tal que siempre quex ∈ Df se tiene que −x ∈ Df . Entonces f es,
par ⇐⇒ f (−x) = f (x) ∀x ∈ Df .
impar ⇐⇒ f (−x) = -f (x) ∀x ∈ Df .
Notas:
La grafica de una funcion par es simetrica con respecto aleje-Y.
La grafica de una funcion impar es simetrica con respectoal origen del plano cartesiano.
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Funciones Pares, Impares
Definicion: Sea f : D −→R, donde D ⊆R tal que siempre quex ∈ Df se tiene que −x ∈ Df . Entonces f es,
par ⇐⇒ f (−x) = f (x) ∀x ∈ Df .
impar ⇐⇒ f (−x) = -f (x) ∀x ∈ Df .
Notas:
La grafica de una funcion par es simetrica con respecto aleje-Y.
La grafica de una funcion impar es simetrica con respectoal origen del plano cartesiano.
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Funciones Pares, Impares
Definicion: Sea f : D −→R, donde D ⊆R tal que siempre quex ∈ Df se tiene que −x ∈ Df . Entonces f es,
par ⇐⇒ f (−x) = f (x) ∀x ∈ Df .
impar ⇐⇒ f (−x) = -f (x) ∀x ∈ Df .
Notas:
La grafica de una funcion par es simetrica con respecto aleje-Y.
La grafica de una funcion impar es simetrica con respectoal origen del plano cartesiano.
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Funciones en una Variable Real y sus Graficas
Ejemplos:
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Funciones en una Variable Real y sus Graficas
Ejercicio: Determine cuales de las siguientes funciones pares ycuales son impares.
1 y = x2 − 1
2 y = x3
3 y =x4 + x2 − 1
x2 + 3
4 y =x2
x− 1
5 y =x3
x5 + x
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