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Funciones Trascendentales
Funciones Trascendentales
Veronica Briceno V.
noviembre 2013
Veronica Briceno V. () Funciones Trascendentales noviembre 2013 1 / 13
En esta Presentacion...
En esta Presentacion veremos:
Funcion Logaritmo Natural
Funcion Exponencial
Veronica Briceno V. () Funciones Trascendentales noviembre 2013 2 / 13
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En esta Presentacion veremos:
Funcion Logaritmo NaturalFuncion Exponencial
Veronica Briceno V. () Funciones Trascendentales noviembre 2013 2 / 13
Funcion Logaritmo Natural
MAT021
y = ex ⇐⇒ x = ln(y)
DefinicionSea L :]0,+∞[→ R definida por:
L(x) =∫ x
1
dtt
Observacion
L(x) = ln(x)
Veronica Briceno V. () Funciones Trascendentales noviembre 2013 3 / 13
Funcion Logaritmo Natural
MAT021
y = ex ⇐⇒ x = ln(y)
DefinicionSea L :]0,+∞[→ R definida por:
L(x) =∫ x
1
dtt
Observacion
L(x) = ln(x)
Veronica Briceno V. () Funciones Trascendentales noviembre 2013 3 / 13
Funcion Logaritmo Natural
MAT021
y = ex ⇐⇒ x = ln(y)
DefinicionSea L :]0,+∞[→ R definida por:
L(x) =∫ x
1
dtt
Observacion
L(x) = ln(x)
Veronica Briceno V. () Funciones Trascendentales noviembre 2013 3 / 13
Propiedades
1 ln(1) = 02 Si x > 0 entonces ln(x) > 03 Si 0 < x < 1 entonces ln(x) < 0
Demostrar usando definicion.
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Teorema
Sean a,b ∈ R+ y r ∈ R se verifica:1 ln(a · b) = ln(a) + ln(b)2 ln(a
b ) = ln(a)− ln(b)3 ln(ar ) = r ln(a)4 ln(1
a) = − ln(a)Demostrar usando definicion.
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Ejercicio Propuesto
Analizar la grafica de ln(x), para ello estudiar:crecimiento / decrecimientoconcavidad convexidad
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Funcion Exponencial
DefinicionSea exp : R→]0,+∞[ definida por:
exp(x) = L−1(x)
Observacion
exp(x) = ex
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Funcion Exponencial
DefinicionSea exp : R→]0,+∞[ definida por:
exp(x) = L−1(x)
Observacion
exp(x) = ex
Veronica Briceno V. () Funciones Trascendentales noviembre 2013 7 / 13
Propiedades
1 exp(0)=12 exp(x) > 0, ∀x ∈ R
Demostrar usando definicion.
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Teorema
Sean a,b, r ∈ R1 exp(a + b) = exp(a) · exp(b)2 exp(a− b) = exp(a)
exp(b)
3 exp(ra) = exp(a)r
Demostrar usando definicion.
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Ejercicio Propuesto
Analizar la grafica de ex , para ello estudiar:crecimiento / decrecimientoconcavidad convexidad
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Derivadas e Integral
Ya sabemos que:ddx (e
x) = ex
ddx (ln x) = 1
x∫exdx = ex + c
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Ejercicios PropuestosEncontrar el valor de a ∈ R+ ∪ {0} de modo que se cumpla:∫ 2
1ln(ax)dx = 0
Justifica la desigualdad:
1n + 1
< lnn + 1
n<
1n
INDICACION:Dado n ∈ N existe x ∈ [n,n + 1] tal que 1
n+1 < 1x < 1
nDemuestre que para x > −1 y x 6= 0 se cumple:
x1 + x
< ln(x + 1) < x
Muestre que y = exp(x) es la unica funcion derivable que cumpley ′(x) = y(x) con y(0) = 1.
Veronica Briceno V. () Funciones Trascendentales noviembre 2013 12 / 13
Ejercicios PropuestosEncontrar el valor de a ∈ R+ ∪ {0} de modo que se cumpla:∫ 2
1ln(ax)dx = 0
Justifica la desigualdad:
1n + 1
< lnn + 1
n<
1n
INDICACION:Dado n ∈ N existe x ∈ [n,n + 1] tal que 1
n+1 < 1x < 1
n
Demuestre que para x > −1 y x 6= 0 se cumple:
x1 + x
< ln(x + 1) < x
Muestre que y = exp(x) es la unica funcion derivable que cumpley ′(x) = y(x) con y(0) = 1.
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Ejercicios PropuestosEncontrar el valor de a ∈ R+ ∪ {0} de modo que se cumpla:∫ 2
1ln(ax)dx = 0
Justifica la desigualdad:
1n + 1
< lnn + 1
n<
1n
INDICACION:Dado n ∈ N existe x ∈ [n,n + 1] tal que 1
n+1 < 1x < 1
nDemuestre que para x > −1 y x 6= 0 se cumple:
x1 + x
< ln(x + 1) < x
Muestre que y = exp(x) es la unica funcion derivable que cumpley ′(x) = y(x) con y(0) = 1.
Veronica Briceno V. () Funciones Trascendentales noviembre 2013 12 / 13
Ejercicios PropuestosEncontrar el valor de a ∈ R+ ∪ {0} de modo que se cumpla:∫ 2
1ln(ax)dx = 0
Justifica la desigualdad:
1n + 1
< lnn + 1
n<
1n
INDICACION:Dado n ∈ N existe x ∈ [n,n + 1] tal que 1
n+1 < 1x < 1
nDemuestre que para x > −1 y x 6= 0 se cumple:
x1 + x
< ln(x + 1) < x
Muestre que y = exp(x) es la unica funcion derivable que cumpley ′(x) = y(x) con y(0) = 1.
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Ejercicios Propuestos
Calcular para a > 1: ∫ a
1lnxdx +
∫ lna
0eydy
y dar una interpretacion geometrica de esta cantidad.
Muestre que si 0 < a < b entonces
√ab <
b − alnb − lna
<a + b
2
Muestre que la funcion
f (x) ={
e−1/t si t > 00 si t = 0
es C∞(R).
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Ejercicios Propuestos
Calcular para a > 1: ∫ a
1lnxdx +
∫ lna
0eydy
y dar una interpretacion geometrica de esta cantidad.Muestre que si 0 < a < b entonces
√ab <
b − alnb − lna
<a + b
2
Muestre que la funcion
f (x) ={
e−1/t si t > 00 si t = 0
es C∞(R).
Veronica Briceno V. () Funciones Trascendentales noviembre 2013 13 / 13
Ejercicios Propuestos
Calcular para a > 1: ∫ a
1lnxdx +
∫ lna
0eydy
y dar una interpretacion geometrica de esta cantidad.Muestre que si 0 < a < b entonces
√ab <
b − alnb − lna
<a + b
2
Muestre que la funcion
f (x) ={
e−1/t si t > 00 si t = 0
es C∞(R).
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