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12
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Fundamentos Matemticos
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPOS: 1PM1
gvilla@ipn.mx
Fundamentos Matemticos
Fundamentos Matemticos Pgina 2
Nombre: SOLUCIN Calificacin
Grupo: 1PM1 Fecha:06-06-2012
Fundamentos Matemticos
Instrucciones:
La realizacin de este examen tiene un peso sobre la calificacin del 60%
Problemas
Problema 1
Identifique la cnica como una circunferencia, o una elipse. Despus encuentre el
centro, los radios, los vrtices, los focos y la excentricidad de la cnica (si es
aplicable) y trace su grfica.
2 24 6 20 2 0x y x y
Solucin
Agrupamos trminos semejantes
2 2
22
2
2
256 9 4 5 2 9 25
4
53 4 36
2
5
3 21
36 9
x x y y
x y
yx
Elipse
2 2
2 2
36 6, 9 3
36 9 27 3 3
a a b b
c a b
Centro
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5 3,
3
5( , ) 3,
2
con h k
C h k C
Vrtices
1 2
5( , ) 3 6,
2
5 59, , 3,
2 2
V h a k V
V V
Focos
1 2
5( , ) 3 3 3,
2
5 53 3 3, , 3 3 3,
2 2
F h c k F
F F
Excentricidad
3 3 3
6 2
ce
a
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Problema 2
Arquitectura. Un arco semieliptico sobre un tnel, para un camino en un sentido a
travs de una montaa, tiene un eje mayor de 50 pies y una altura en el centro de
10 pies.
a) Dibuje un sistema coordenado rectangular sobre el bosquejo del tnel con el
centro del camino entrando al tnel en el origen. Identifique las coordenadas
de los puntos desconocidos.
b) Encuentre una ecuacin del arco semieliptico sobre el tnel.
c) Usted conduce un camin que tiene un ancho de 8 pies y una altura de 9
pies. Pasara el camin por la abertura del arco?
x
y
-15 -10 -5 0 5 10 15
-5
0
5
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Solucin
Inciso a
Inciso b
Tomando los datos del bosquejo anterior tenemos:
2 2
2 2
2 2
25, 10
1
1625 100
a b
x y
a b
x y
Inciso c
Considerando que el camin tiene un ancho de 8 pies, tomamos el valor cuando:
2 2
2
4
41
625 100
16 2436100 1
625 25
24369.87 9
25
x
y
y
y pies pies
Por lo tanto pasara el camin por la abertura del arco de acuerdo a la justificacin
anterior donde indica que el ancho del ancho es mayor al ancho del camin.
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Problema 3
Encuentre de forma grfica los puntos de interseccin de las grficas y despus
verifique empleando algn graficador.
2 2
2 2
4 6 4 0
4 6 12 0
x y x y
x y x y
Solucin
Planteamiento del Problema
Agrupando las ecuaciones tenemos
2 22 2
2 22 2
2
4 6 4 0 3 2 1
4 6 12 0 2 3 1
2 12 16 0
2( 2)( 4) 0
2 4
x y x y y x
x y x y x y
y y
y y
y y
2 2
2
2
2 y sustituyendo en la ecuacin 2 tenemos
2 4 6(2) 12 0
4 4 0
2 0
2
Con y
x x
x x
x
x
2 2
2
2
y 4 y sustituyendo en la ecuacin 2 tenemos
4 4 6(4) 12 0
4 4 0
2 0
2
Con
x x
x x
x
x
Por lo tanto el punto de interseccin es (2,2) y 2,4
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Por lo tanto graficando las ecuaciones tenemos:
Las Soluciones respectivas son:
Problema 4
Un espejo hiperblico. Un espejo hiperblico (empleado en algunos telescopios)
tiene la propiedad de que un haz de luz dirigido a un foco es reflejado al otro foco.
El foco de un espejo hiperblico (vea la figura) tiene coordenadas (24,0). Determine
el vrtice del espejo si la montura en el borde superior del espejo tiene
coordenadas (24,24).
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Centro: (0,0) ( , )h k
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2
24,0 24
Punto Solucin 24,24
24 24
1
24 241 1
24 24
Despejando a tenemos
12 2 3 5 12 5 1 14.83
355.9876
Entonces nosotros tenemos
1220.0124 355.9876
P
F c
a b b a
x h y k
a b
x y
a a a a
a a
b
x y
or lo tanto el vertice es ,0 14.83,0a
Problema 5
Encuentre el vrtice, el foco y la directriz de la parbola. Emplee un graficador para
representar grficamente la parbola.
2 4 6 2 0x x y
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Solucin
Planteamiento del Problema
2
2
2
2
2
4 6 2 0
4 6 2
4 4 6 2 4
2 6 1
32 4 1
2
32, 1,
2
Vertice: , 2,1
1Focos: , 2,
2
5:
2
Por lo tanto reescribiendo la ecuacin de la parabola tene
x x y
x x y
x x y
x y
x y
h k p
h k
h k p
Directriz y k p y
2mos
14 2
6y x x
Graficando esta ecuacin tenemos:
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Problema 6
Antena parablica. Un receptor de una antena cncava de televisin se encuentra a
1.4 metros del vrtice y se ubica en el foco (vea la figura). Escriba una ecuacin
para una seccin transversal del reflector (suponga que la antena parablica esta
dirigida hacia arriba y el vrtice esta en origen).
Solucin
Planteamiento del Problema
Vrtice: 0,0 0, 0h k
Focos: 0,4.5 4.5p
2
2
2 2
4 ( )
0 4 4.5 0
118
18
x h p y k
x y
x y x
Problema 7
Dada la ecuacin de la circunferencia 2 2 2 2x y ax ay . Calcular su centro y su
radio.
1.4m
Receptor
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Solucin
Planteamiento del Problema
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 0
2 2 0
2 2
2
x y ax ay
x y ax ay
x ax y ay
x ax a y ay a a a
x a y a a
Por lo tanto
( , ) y 2C a a r a
Problema 8
Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por el origen, 10r y la abscisa
de su centro es 6
Solucin
Planteamiento del problema
Como la circunferencia pasa por el origen se tiene que
2 2 2
2
2
bien
36 100
100 36 64
8
x y r
y
y
y
Entonces
2 2
2 2
6 8 100
6 8 100
x y
x y
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Desarrollando lo anterior tenemos
2 2 12 16 0x y x y
2 2 12 16 0x y x y
Graficando lo anterior tenemos: