Post on 01-Mar-2018
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
1/50
OINARRIZKO
FUNTZIOAK (I)
ARRASATE BHI (ARRASATE)
Batxilergo Zientifko-Teknikoa
1. maila
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
2/50
Funtzioak zer diren
Funtzio batek bi aldagai erlazionatzen ditu:Dei telefoniko baten kostuadeiaren iraupenarenaraberakoa da
Etxebizitzarenprezioaetxearen azalerarenfuntziopean dago
Esfera baten bolumenabere erradioarenmenpekoa da
........
Bi aldagai erlazionatzen dira, bat independentea(x) eta bestea dependenteaedo menpekoa (y).
Funtzioakf, g, h...letrez adierazten oidira.
!f(") idazkerak esan nai du !y" aldagaia !x" ren menpe dagoela.
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
3/50
#rafikoa
Funtzioak koordenatu$ardatzetan irudikatzen dira.
%bzisa$ardatzeanx$ren balioen multzoa adieraziko dugu, eta
ordenatu$ardatzeany = f(x)funtzioaren balioen multzoa.
#"$%ren &a'io &akoitzari #$ &akarra dagokio.
(x,y) bikoteak funtzioaren marraren puntuak dira.
&
'
x
y(x,y)
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
4/50
Ezkerrekoa funtzioa da, eskuinekoa ez
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
5/50
y=x(Funtzioa da
i funtzio diraEz dafuntzioa
Ez dafuntzioa
1 4 9
-3
-2
-1
1
2
3
y=x
y )*x
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
6/50
"$k ar ditzakeen balioen multzoari
funtzioaren e"itentzia%eremuaesaten
zaio. *(f)eran adierazten da.
y = x2 funtzioan xaldagaiari edozein balio emanday$ren balioa lortzen
da. Funtzio oriRosoan definituta dagoela esango dugu edo bereexistentzia$eremuaR edo dela.( ,)
Baina funtzioan, berriz, xaldagaiari ezin dizkiogu balio
negatiborik eman. Funtzio orren existentzia$eremua da.
y= x
[+,)
y=(
xR{, }
-odu berean, funtzioan, x$ri ezin diogu balioa
eman. Funtzio orren existentzia$eremua da.
+"itentzia%eremua
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
7/50
y=x+ funtzioaren
eremua [ $,)da .
y=2x+1 funtzioareneremua R da
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
8/50
Funtzioen irudi multzoa (Ibiltartea)
rudi diren zenbaki errealen
multzoari f funtzioaren i&i'tartea
esaten zaio.
f(x)/
0/1Funtzio bornatua da, bai
goitik eta beetik.
f(x) $x*2
#oitik bornatua3 beetik ez.( ,2 ]
f(x )={x(+( , x+ bada
, x>+ denean
Beetik bornatua3 goitik ez.
{,} [(,)
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
9/50
Zein da untzio bakoitzaren eremuaeta irudi multzoa (ibiltartea)?
y=
x(
y=2x
Eremua: R-{2}
Irudi multzoa: R-{0}
Ez dago bornatua, ez goitik ez behetik.
Eremua:
Irudi multzoa:
Behetik bornatua dago; goitik ez.
(, 2 )
(+,)
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
10/50
. 4aukizuzen baten perimetroa + 5m$koa da. %dieraz
ezazu laukizuzenaren azaleraxaldearen funtzioan
Ariketak
. 4or itzazu ondoko funtzioen existentzia$eremua.
y=/
x( ++; y =
x( ++/
; y =/
x( + ++; y =x( 6
y= 6x( ; y=x
(+(x 2 ; y=2 (x x( ; y=x
x( 7x+/
y= (x( ; y= x+(x ; y= x(x+2 ; y =x2 8x
y =x( ; y= +x8 ; y= x
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
11/50
!"%- funtzioaren grafikoa
0
2
-4
0
x y
Aki da ondoko &i puntuak ezagutzea
Non mozten du /0 ardatza1 !/ "! 2 A(,/)+ta /3 ardatza1 "!/ !%- 2 (/,%-)
!a", zuzenaren malda da
b=0denean, zuzena (0,0)puntutik pasatzen da
y= kzuzena, orizontala da3 x= k, ordea, bertikala
. mailako !untzio "olinomikoak: # $a%&b 'zuzenak(
-1 1 2 3x
-6
-4
-2
2
f x
Zuzenaren ma'da
y=y
(y
x(x
=+(8 )
(+=
8
(= (
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
12/50
)uzenak 'Adibide gra!ikoak(! " % 4 x y
+ $2
2 +
! 4%"x y
+ 2
2 +
! 4
! -"x y
+ +
8
" ! %5/
-10
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
13/50
Ariketa e&atzia Zein da irudiko zuzenaren adierazpen ana'itikoa1
I)yax*b forma du.
%(+,) puntua zuzenean dago3 ots,
5!a(/)6&
Berdin (,+) puntua: /!a()6&.
Beraz, b eta a$9.
uzenaren ekuazioa: ! %"7 6 5
a=malda=+(+
=
(
II);(x,y
) puntu bat eta mmalda ezagutuz,
zuzenaren ekuazioay - y1= m(x - x
1)da.
;untua: %(+,) eta m $9 . Beraz,
y$ $9(x$+)3 y $x9 *
%(+,) eta B(,+)
puntuetatik pasatzen da.i eratan egingo dugu
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
14/50
eintzu dira
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
15/50
BA*I+ AB+*A/
y=|x|=
x ; x+ x ; x
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
16/50
)eintzu diraA, B eta "untuak1
! " 2 ! 4 8 " 2 ! ("%-)
. mai'ako funtzio po'inomikoak ! a"6&" 69 (para&o'ak)
Demagun gorputz bat m!"eg-ko abiadurarekin pa"atzen dela #atorritik 10km-ra dagoen puntu batetik. $ne %orretan azelerazioa kon"tantea bada&e"aterako ' m!"eg'-koa& gorputzaren po"izioa (") eta denbora (t)erlazionatzen duen untzioa& " (t)& %auxe da s = 1 + !t + " #2t2
-2 -1 1 2x
1
2
3
4f(x)=x2
-1 1 x
1
2
3f (x)=3-x2
A B 2 4 6 8 x
f(x)=(x-4)2
D
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
17/50
4. mai'ako funtzio po'inomikoak
-2 -1 1 2 x
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
f (x)=x3
-2 -1 1 2 x
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
f (x)-x3
-3 -2 -1 1x
-2
-1
1
2
3
4
fx)=x3+3x2
! "4 2 ! %"4 2 ! "46 4"
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
18/50
-. mai'ako funtzio po'inomikoak
-2 -1 1 2x
f(x)=x4
-1.5 -1 1 1.5x
f(x)=-x4
-1 1 2x
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
f(x)=x4-x2
! "
-
2 ! % "
-
2 ! "
-
% "
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
19/50
5. mai'ako funtzio irraziona'ak
x y
+ +
$
$8
+"itentzia% eremua ( f) ={x+ }
y=+ x
x y
+
7
2
y= +x(( f) ={x ( }+"itentzia% eremua
-9 -4 -1
1
2
3
y=+ x
2 6 11
1
2
3
OY
y=+x (
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
20/50
Ariketa 4
Zein da funtzio hauen adierazpen ana'itikoa1
-2 -1 1 2x
1
2
3
4
5
6
(2,5)
-2 -1 1
-1
-4
1
4
(-'&*)
(-1&1)
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
21/50
Ariketa -. Zein da funtzio hauen adierazpen ana'itikoa1
-2 -1 1 2x
-4
-3
-'
-1
1
f(x)
-2 -1 1 2 x
-1
1
2
3
4
f (x)
1 4 9OX
1
2
3
OY
(4,2)
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
22/50
Ariketa :
y $x 3 y x*2 3 y *x2
y=|x+2| y=,xy=|2x|
Adierazi grafikoki ondoko funtzioak
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
23/50
A'derantziz proportziona'ak diren funtzioak
" +, +,+ 8 $ $+
+ ++ +,/ $ $+,
" +, +,+ 8 $ ...
$+ $++ $ $+,/ ...
+"itentzia%eremua: I ! R 8 ; /< y= ,x
+"itentzia%eremuaR 8 ; /
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
24/50
Funtzio esponentzialak: y 2! eta y ("#2)!
Txanpon bat+ n+ aldiz botatzen dugu airera.. Zenbat emaitza po"ibledaude?
,e%enego #aurtiketan 'Bigarren '.' /irugarrenean '.'.' *,augarrenean '.'.'.' 1
n #aurtiketa egin ondoren& emaitza guztiak adierazten duen untzioa y= 2n da.dieraz ditzagun grafkoki bi untzio %auek y = 2x eta y = (1$2)x
y = 2%x y =2x
$5 %,%&"25 &2
$4 %,%'25 "'
$& %,"25 (
$2 %,25 4
$" %,5 2
% " "
" 2 %,5
2 4 %,25
& ( %,"25
4 "' %,%'25
5 &2 %,%&"25
x 'x '-x
Existentzia$eremua:R
Funtzioaren balioak (?') beti dira positiboak. biltartea: (+,)
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
25/50
Oinarritzat #e$ zen&akia (,=55>>...)
duen funtzio eponentzia'a ! e"
x y
+
e,@...
e @,2A6...
$ 9e +,27@A...
Existentzia$eremua:R
biltartea: (+,)
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
26/50
Oinarritzat #e$ zen&akia (,=55>>...) duen funtzio 'ogaritmikoa.
x y
+
+,762
2 ,+66
+,/ $+,762
! 'n " +z dago zen&akinegati&oen
'ogaritmorik.+"itentzia% eremua: 0x+1
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
27/50
y=exy=(x
Ariketa ?
Irudikatu grafikoki ondoko funtzioak
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
28/50
So&uzioa'
-4 -2 2 4x
-20
-10
10
20
(",2)
($",2)
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
29/50
y =
x , baldin x$2
2 baldin $,< x
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
30/50
y =( ; x
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
31/50
, ; x+( x ; +< x
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
32/50
So&uzioa'
, ; x+
( x ; +< x
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
33/50
Ariketa >
y =,x baldin x+
x(
baldin x>+
{
y =x ; x
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
34/50
y =x ; x
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
35/50
Zein da untzio %auen adierazpenanalitikoa?
Ari'eta
-2 -1 1 2 3 4 5x
1
2
3
4
f(x)
(2,4)
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
36/50
Funtzio trigonometrikoak
x $6+C +C 2+C 6+C A+C @+C 27+C
y sin x $ + +./ + $ +
x $6+C +C 7+C 6+C A+C @+C 27+C
y 5os x + +./ + $ +
! in "
Existentzia$eremua:R
biltartea: $ ,
Funtzio periodikoa : sin x sin (x * k )
;eriodoa 27+C
#
! 9o "
Existentzia$eremua:R
biltartea: $ ,
Funtzio periodikoa: 5os x 5os (x * k )
;eriodoa 27+C
#
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
37/50
"intota bertikalakx =#
(,#
(,
2#
(, .. . puntuetan .
! tg "
@+C
......
+A+C
6+C
8/C
++
$$8/C
$6+C
! tg ""
Existentzia$eremua:R $ %-&0', &0', 20',*
biltartea:R
Funtzio periodikoa: tg x tg (x * k )
;eriodoa A+C
#
2tg x
-1
1
#
(#
#
8
2#
(
(##
(
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
38/50
imetria duten eraikinak eta irudia
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
39/50
imetria %* ardatzari be+ira
fsimetrikoa da # ardatzaribe+ira x
eta (x)$ek irudi berbera dutenean-
.ots,
!'%($ !'-%(denean/
Adibidez:
0(2) 4 eta 0($2) 4
0(") " eta 0($") "
1ota .orietako 0untzioak !untzio
bikoitiakdirela esaten da/-3 -2 -1 1 2 3
X
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
910
Y
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
40/50
imetria (%,%) puntuari be+ira
fsimetrikoa da (%,%) "untuari
be+ira xeta (!)$ek irudi aurkakoa
dutenean- .ots, !'%($- !'-%(denean 0(2) 0($2) $
1ota .orietako 0untzioak !untziobakoitiakdirela esaten da/
-4 -3 -2 1 1 2 3 4X
-32
-24
-16
-8
8
16
24
32Y
3imetria 4xi"tentzia eremua 5rudi
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
41/50
3imetria. 4xi"tentzia-eremua. 5rudimultzoa
Aukeratu erantzuna "/imetria
a/(%,%) puntuari be+ira
b/Funtzio bakoitia da
3/Funtzio bikoitia da
d/* ardatzari be+ira e/
2.E%itentzia- eremua
a/
a/
a/
3.Irudi multzoa
a.
a.a . ( ,6]
b . (,)a . ( ,6)
b . ( ,)
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
42/50
rantzuna: imetria, eremua, irudi$multzoa
"/imetria (3,d)
Funtzio bikoitia da
* ardatzari be+ira
a/ 2.E%itentzia-eremua(b)
a/
3.Irudi multzoa 'a(
a.
b . (,)
a . (, 6 ]
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
43/50
imetria, eremua, irudi$multzoa
"/imetria a/Funtzio bakoitia da
b/Funtzio bikoitia da
3/* ardatzari be+ira
d/(%,%) puntuari be+ira
e/
2.E%itentzia- eremua
&/
a)
a)
3.Irudi multzoa
a.
Aukeratu erantzuna
a . (, )b . (,)
b . (,)
a . (2,2)
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
44/50
3imetria& eremua& irudi-multzoaErantzuna'
"/imetria (a,d)
Funtzio bakoitia da
(%,%) puntuari be+ira
a/
a/
2.E%itentzia-eremua(b)
a/
3.Irudi multzoa 4
b . (,)
b . (,)
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
45/50
%riketa +
%zter ezazu ondoko funtzioen simetriak:
a ) y=x8
2
x
(
+,
; b ) y= x2
,
+ ) y=x2 x ; d ) y=,
x ; e ) y=
,
x(
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
46/50
untzioen'on*osizioa
Adiidea ,4man ditzagun eta g(x) x'- 1 untzioak. 6alkula ditzagun (g o f)(x)
eta (f o g)(x)untzio konpo"atuak. (g o f)(x) = g[f(x)] =
(f o g)(x) ka"uan& f untzioa g-ren emaitzari aplikatu be%ar zaio x g(x) f(g(x)). /au da& (f o g)(x) = f[g(x)] = f[x2-1] =
(f o -) eta (- o f) ez dira erdina'
f(x ) = x
,(x)= (x )( = x
x(
/ar ditzagun f(x) = x+3eta g(x) = x2-1untzioak eta zenbaki erreal bat& x 'adibidez.
,e%enik& ' balioaren f bidezko irudia kalkula dezakegu& eta %orrela f(2) = 5lortuko dugu& eta #arraian g bidezko irudia8 %au da g() g((')) '
' (') g((')) '
9ro %ar& feta guntzioak emanik&xbalioari -(f(x))balioa egokitzen dion
untzioari f%ren eta -%renfuntzio 'on*osatuaderitzo eta - o feran idaztenda.
x f(x) g(f(x)) = (g o f)(x)
Eragiketa onetan guntzio bat & f(x)be"te untzio baten emaitzaren gain aritzen da.
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
47/50
5. f(x) x* eta g(x) xizanik , kalkula itzazu f o g eta g o f
funtzio konposatuak . Betetzen al da trukatze propietatea>
4.Egiazta ezazu y (8x )+funtzioa funtzio konposatua dela. Gorretarako,
ar itzazu f(x)x+eta g(x)8x$ funtzioak eta kalkulatu (f o g)(").
-. Egizu gauza bera y sin 2x funtzioarekin. Gar itzazu f(x)sin x
eta g(x)2x funtzioak eta kalkulatu (f o g)(").
%riketak
. izanik , kalkula itzazu (f o g) () eta (g o f) ()f(x ) =(
x+ eta g(x) =x2
A'd i k f i k i i kik
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
48/50
A'derantzizko funtzioa konpoizioarekikoFuntzio batzuk, beste funtzio ezagun batzuren alderantzizko gisa sortu dira.
Esaterako, funtzioa (x) = x2$aren alderantzizkoa da.f(x)=x
4"ate baterako& balioaren irudiaf bidez ' balioa bada& orduan g-ren bidez ' balioari balioadagokio.
g(x) untzioari f%rena&derantziz'ofuntzioaderitzo
(f.1)
8': ;1 ...
f(x)=x (x) = x2; : 1...
5ku" dezakezunez& bi grafkoak
"imetrikoakdira 1. eta ;. koadranteenerdikariarekiko8 %au da 2 xzuzenarekiko.
/orren zergatia ondokoa da (a & b)puntua funtzioaren grafkokoa bada&(b & a) puntua f 1untzioaren grafkokoa
da.
[+, ) tartean:zter ditzagun eta f 1(x)= x2 untzioarengrafkoak
f(x) = x
1 2 3 4 9
1
2
3
4
9
y!
2
y!
y=x
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
49/50
No'a ka'ku'atu funtzio &aten a'derantzizkoa 1
x= y2
(
dibidez& %ar dezagun y = f(x) = 2x +3untzioa. lderantzizkountzioa lortzeko& ondoko prozedura erabiliko dugu
xaldagaia bakanduko dugu
yaldagaiaren ordezx#arriko dugu& eta alderantziz& zerennormalean aldagai independenteaxletraz adierazten baitaeta aldagai dependentea yletraz
y= x2
(
. adi&idea. Halkula dezagun y = x2- funtzioaren alderantzizkoa.
xaldagaia bakandu:
%ldagaiak trukatu:
x = y+2
y= x+2y=sin x , y=+os x eta y=t x funtzioen
alderantzizkoak y=ar+ sin x, y=ar+ +os x eta y=ar+
t xdira, urrenez urren.
Gori dela eta, ar+ sin 0,. = 0', ar+ +os(-1) = 1/0',
ar+ t 1 = 4.'Idira.
7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf
50/50