Post on 28-Mar-2020
Generalidades
2013 – 1erC
Mecánica del Continuo “Hipótesis del Continuo”: Ignorar la naturaleza atómica o molecular de la materia y asumir que la distribución de la masa es una función continua de la posición.
(Asumiremos que el cuerpo es mecánicamente Homogéneo e Isótropo, a menos que se especifique lo contrario).
El Modelo Matemático se basa en:
Principios de Conservación (ecuaciones diferenciales).
Geometría y Dimensiones (condiciones de contorno).
Materiales (permite resolver el sistema anterior).
Resolución en régimen elástico
a) las ecuaciones de equilibrio estático
b) las ecuaciones de compatibilidad
c) las condiciones de contorno
d) las relaciones entre tensiones y deformaciones en el rango elástico (aquí: Ley de Hooke)
e) un criterio de fluencia que establezca la transición de la región elástica a la plástica
Teoría de la Elasticidad La Teoría de la Elasticidad Lineal es una simplificación de la Teoría General de la Elasticidad, es suficiente para la mayoría de las aplicaciones ingenieriles.
Hipótesis:
a) Deformaciones infinitesimales:
a1) Desplazamientos pequeños:
a2) Gradientes de desplazamientos pequeños:
(las derivadas de orden 2 ó más de los desplazamientos se desprecian)
b) Existencia de un estado neutro en el que las tensiones y deformaciones son nulas.
c) Proceso de deformación isotérmico y adiabático (la termoelasticidad amplía a la resolución de procesos no isotérmicos).
XxuXx ≅⇒+=
j
i
j
i
xu
XU
∂∂
=∂∂
Estado de Tensiones Vector Tracción:
Componentes del Tensor de Tensiones:
Tensiones Normales:
Tensiones Tangenciales o de Corte:
Ecuaciones de Equilibrio Equilibrio de Fuerzas (Ej. Dirección x):
Equilibrio de Momentos alrededor de un eje (Ej. Eje z):
(3 ecuaciones)
(3 ecuaciones)
Estado de Deformaciones Alargamientos Específicos:
Desplazamiento de A en x:
Incremento de Longitud de OA:
Alargamiento Específico en la dirección x:
(3 ecuaciones)
Estado de Deformaciones Deformaciones Angulares:
Desplazamiento de A en y:
Desplazamiento de B en x:
Deformación Angular entre los Planos xz e yz:
(3 ecuaciones)
Ecuaciones de Compatibilidad Componentes del Tensor de Deformaciones:
Ecuaciones de Compatibilidad:
Punto de vista Matemático y Físico.
(6 ecuaciones)
(3 ecuaciones) (3 ecuaciones)
Relaciones Constitutivas Las Relaciones Constitutivas no son un descriptor matemático del material per se, sino del comportamiento particular exhibido bajo las condiciones de interés.
Múltiples teorías pueden ser necesarias para describir la enorme cantidad de comportamientos exhibidos por [el mismo/distintos] material/es bajo [la misma/distintas] condición/es.
Aún teniendo “relaciones constitutivas adecuadas” no necesariamente “comprendemos” las causas que producen ciertos efectos. En muchos casos nuestras “leyes” son fenomenológicas o son simples correlaciones empíricas.
Relaciones Constitutivas - Elasticidad Lineal
σδσε ννkkijijij EE
...1−
+=
Ley de Hooke Generalizada:
Alargamientos Específicos:
Deformaciones Angulares:
Expresión Compacta:
(3 ecuaciones)
(3 ecuaciones)
(6 ecuaciones)
Algunos Ensayos Estáticos
Algunos Ensayos Estáticos
Elasticidad Lineal Plana Independencia de z.
Estado Plano de Tensiones (EPT).
e << L.
Estado Tensional de la forma:
Ecuaciones Constitutivas:
Deformaciones:
=
00000
yyyx
xyxx
σσσσ
σ[ ]
[ ]
[ ] 021
0211
211
==+−=
==−=
=−=
yzyzyxzz
xzxzxyyy
xyxyyxxx
GE
GE
GE
σεσσνε
σενσσε
σενσσε
)(1
0000
),( yxzz
zz
yyyx
xyxx
vyx εενε
εεεεε
ε +−
−=
=
Elasticidad Lineal Plana Estado Plano de Deformaciones (EPD).
w >> L, sección que se mueve sobre una Generatriz. Hipótesis sobre los desplazamientos:
Campo de Deformaciones:
( )( )
=
0,,yxuyxu
u y
x
021
0
0
=
∂
∂+
∂∂
=
=∂
∂=
=∂∂
=
yzyx
xy
xzy
yy
zzx
xx
xu
yu
yuxu
εε
εε
εε
)(00
00
),( yyxxzz
zz
yyyx
xyxx
yx σσνσσ
σσσσ
σ +=
=
Ecuaciones Constitutivas:
0)1(
)1()21)(1()1(
)1()21)(1()1(
==+
=
−
−−+
−=
−
−−+
−=
yzxzxyxy
xxyyyy
yyxxxx
E
E
E
σσεν
σ
εν
νενν
νσ
εν
νενν
νσ
=
00000
),( yyyx
xyxx
yx εεεε
ε
Tensiones:
Deformaciones Deformación Lineal Convencional (Ingenieril):
Deformación Lineal Logarítmica (Verdadera):
Relación entre ambas Deformaciones:
00
0
00LL
LLL
Ldle
L
L
∆=
−== ∫
0
ln0
LL
LdlL
L
== ∫ε
)1ln(ln100
0
0
0
0
+==⇒+=+−
= eLLe
LL
LLL
LL ε
Deformaciones Variación de Volumen Unitario:
Hipótesis de Constancia de Volumen:
Por lo tanto:
zyx
zyxzyx
eeeVV
eeedxdydz
dxdydzdxdydzeeeVV
++≈∆
−+++=−+++
=∆ 1)1)(1)(1(
)1)(1)(1(
0... =∆
==VVLALALA FinalFinalInicialInicial
01ln)1ln()1ln()1ln(
1)1)(1)(1(101)1)(1)(1(
321 =++⇒=+++++
=+++=+∆
⇒=−+++=∆
εεεzyx
zyxzyx
eee
eeeVVeee
VV
Deformaciones
0LL
ε,e
10
−=LLe
0
lnLL
=ε
COMPRESIÓN ε > e
TRACCIÓN ε < e
∀ L/L0 ε ≤ e
Deformaciones Aditividad de las deformaciones verdaderas:
Ejemplo: Determinar las deformaciones ingenieriles y verdaderas de una barra: a) cuya longitud se reduce a la mitad, b) cuya longitud se duplica.
a) b)
ε
εεε
==
=
=+++=+++
−
−
011
2
0
1
11
2
0
121
ln...ln
ln...lnln...
LL
LL
LL
LL
LL
LL
LL
n
n
n
n
nn
Tensiones Tensión uniaxial convencional:
Tensión uniaxial verdadera:
Si puede asumirse (y aplicarse) constancia de volumen:
Comentario sobre Notación: (e,ε) y (s,σ)
0APs =
AP
=σ
)1(
1
00
0
000
+===∴
+==⇒=
esLL
AP
AP
eLL
AAALLA
σ
Estados Complejos de Tensión Componentes esférica (hidrostática) y desviadora del tensor de tensiones (y deformaciones):
33/
3/3/
3/
3/0003/0003/
332211
333231
232221
131211
333231
232221
131211
σσσσσ
σσσσσσσσσσσσ
σσ
σ
σσσσσσσσσ
σσσ
++==
−−
−+
=
=
=+=
iim
ii
ii
ii
ii
ii
ii
de
Estados Complejos de Tensión Tensión Equivalente:
Deformación Equivalente:
Para Tracción Uniaxial:
( )
( ) 2/1222222
2/1213
232
221
)(6)()()(2
1
)()()(2
1
zxyzxyxzzyyx
equiv
τττσσσσσσ
σσσσσσσ
+++−+−+−=
=−+−+−=
( )
( ) 2/1222222
2/1213
232
221
)(6)()()(32
)()()(32
zxyzxyxzzyyx
equiv
εεεεεεεεε
εεεεεεε
+++−+−+−=
=−+−+−=
11
321
1321
2,0
0,0
εεεεεε
σσσσσ
=⇒−
==>
=⇒==>
equiv
equiv
00 321 =++⇒=∆ εεεVV
Estados Complejos de Tensión Aplicación: Calcular la tensión equivalente para un material sometido a: a) Tracción Uniaxial:
b) Compresión Uniaxial: c) Compresión Hidrostática: d) Corte Puro:
( ) ( )( ) 11
2/121
21321 2
10,0 σσσσσσσσ ==+=⇒==> equiv
( ) ( )( ) 33
2/123
23321 2
10,0 σσσσσσσσ −==+=⇒<== equiv
( )( ) 032
1 2/12321 =−=⇒−=== ppp equivσσσσ
( ) ( )( ) ( )( )
( ) 1
2/121
2/1211
21
21231
362
12
10,
σσσ
σσσσσσσσ
==
−−+−−+=⇒=−=
equiv
equiv