Post on 22-Nov-2021
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Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas
Fe y Alegría Colombia
Fe y Alegría Colombia
Víctor Murillo
Director Nacional
Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos
Jaime Benjumea - Marcela Vega
Autores de la guía 72
Francy Paola González Castelblanco
Andrés Forero Cuervo
Coordinación pedagógica
Francy Paola González Castelblanco
Andrés Forero Cuervo
GRUPO LEMA www.grupolema.org
Revisores
Jaime Benjumea
Francy Paola González Castelblanco
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Guía
72 GRADO 7
ANALIZANDO HISTOGRAMAS Y
JUEGOS DE PROBABILIDAD
GRADO 7 - META 24 - PENSAMIENTO ALEATORIO
Guía 70
(Duración 13 h)
• Población y variable estadística
• Muestras representativas y no
representativas
• Partición e intervalos
• Histogramas
• Polígonos de frecuencia
• Máximos y mínimos en gráficas de
línea
• Tendencias de cambio
Guía 71
(Duración 13 h)
ACTIVIDAD 1
• Conteo usando árboles
• El principio de multiplicación para
conteos
ACTIVIDAD 2
• Experimentos multi-paso
• Eventos simples y eventos
compuestos
• Probabilidad de un evento
Guía 72
(Duración 13 h)
ACTIVIDAD 1
• Análisis de histogramas
• Medidas de tendencia en datos
agrupados
ACTIVIDAD 2
• Análisis de juegos de probabilidad
• Juegos justos y sesgados
• Simulación de experimentos
aleatorios mediante juegos
META DE APRENDIZAJE N. 24
Analizo muestras representativas de poblaciones de variables como frecuencias de lectura, gastos en la canasta
familiar, entre otras, usando tablas de frecuencias, histogramas, polígonos de frecuencias y otras
representaciones donde agrupo datos; calculo medidas de tendencia central (moda, mediana y promedio). Hallo
la probabilidad de un evento compuesto en experimentos de uno o más pasos, la represento con ayuda de tablas
y diagramas de árboles, y la expreso como fracción, decimal o porcentaje. Así, aprendo a generar nueva
información general a partir de información simple y cotidiana.
PREGUNTAS ESENCIALES, GUÍA 72:
● ¿Cómo podemos analizar críticamente la información estadística que leemos? ● ¿Qué elementos puedo analizar en un histograma, más allá de la lectura explícita de los datos?
● ¿Cómo puedes saber si en un juego de azar tienes la mismas posibilidades de ganar que tus oponentes? ● ¿Cómo podemos usar juegos para simular distintos experimentos del azar?
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EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE, GUÍA 72
● Comprendo información explícita de una tabla o gráfica estadística ● Analizo información en detalle de una tabla o gráfica estadística ● Voy más allá de una tabla o gráfica estadística, haciendo preguntas críticas y autocorrigiendo mi análisis
● Entiendo y describo la condición de victoria en un juego de azar ● Comparo distintas representaciones de juegos de azar (un árbol, una tabla o un área) ● Decido si un juego de azar es justo o sesgado, y justifico por qué
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GUÍA 72
GRADO 7
ACTIVIDAD
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ACTIVIDAD 1: ANALICEMOS UN CONJUNTO DE DATOS
A TRAVÉS DE UN HISTOGRAMA
Aplicaremos lo que sabemos sobre histogramas para analizar un conjunto de datos y para
comparar dos conjuntos de datos en cuanto a rangos, forma de la distribución, posibles centros y
datos atípicos. También practicaremos cómo ir más allá de lo que nos dice el histograma.
A) RECORDEMOS: DATOS AGRUPADOS Y MEDIDAS DE TENDENCIA
RECUERDA QUE...
● Un conjunto de datos numéricos agrupados se puede representar de muchas formas, por ejemplo con:
Una tabla de frecuencia
(“cuántos por categoría”)
Un polígono de frecuencia (a partir del histograma;
las barras ahora son puntos)
Un histograma (una barra por categoría; su altura
es la frecuencia de la categoría)
Un diagrama circular (para ver fácilmente el
porcentaje por categoría)
● Para analizar un conjunto de datos numéricos, podemos mirar lo siguiente:
○ ¿Dónde están los datos? (máximo, mínimo y rango). La palabra rango a veces se usa para
indicar el intervalo [min, max], y a veces para la longitud o amplitud de este intervalo.
○ ¿Qué valor único podría resumir o representar a la gran mayoría de los datos?
Moda: el valor, si
existe, que más se
repite. A veces
pueden haber 2 o
más modas.
Promedio (media aritmética): si se
equilibran los datos sin que cambie
la suma de ellos, cuál es el valor de
equilibrio? (suma de datos, dividida
entre cantidad de datos)
Mediana: valor a “mitad de camino”
al ordenar los datos, si hay un número
impar. Si hay un número par de datos,
tomamos el valor en el medio de los
dos datos más centrales).
○ ¿Cómo se distribuyen los datos?
■ Ejemplos (a partir de ver un histograma, por ejemplo):
● Montaña: hay un grupo donde se acumulan los datos.
● Dos jorobas: dos grupos grandes separados que acumulan juntos a la mayoría de los datos.
● Horizontal: ningún grupo es mucho más grande que otros. La distribución es uniforme.
PRACTICA
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GRADO 7
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i) Considera el siguiente conjunto de 10 datos:
1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, 7, 7.
Calcula el mínimo (MIN), el máximo (MAX), el
promedio (p), la mediana (ME) y la moda (MO),
y ordena estos valores, dibujándolos en una
recta numérica.
ii) Considera el siguiente conjunto de 12 datos: 1, 1, 2, 455, 456, 458, 460, 461, 463, 467, 469, 471.
a) Verifica que el promedio es 347 y la moda es 1.
b) ¿Por qué el promedio y la moda en este caso no son
buenos valores para representar lo que nos dicen los
datos?
c) Crees que la mediana puede ser más adecuada?
Explica tus ideas.
B) Conceptos
Exploremos: Estaturas de los colombianos y colombianas
Un investigador quiso analizar cómo son las estaturas de personas adultas en una cierta
región del país, por lo que en el año 2016 tomó una muestra de 500 hombres, y otra muestra
de 500 mujeres, midiendo sus estaturas en centímetros (cm).
Después de agrupar los datos para cada género, generó estos 2 histogramas:
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ACTIVIDAD
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▶Paso 1: Comprender la información explícita
¿Qué nos
muestran
los
gráficos?
• Cada gráfico nos muestra la distribución de personas según su estatura. Nos dan
intervalos de a 5 cm, y para cada uno nos dice cuántas personas tienen una estatura
dentro de ese rango.
• En cada gráfico: el eje vertical nos da la partición del rango en intervalos de la misma
amplitud, con medidas en cm. El eje horizontal nos da las alturas de cada barra, que
representan # de personas.
¿Qué NO
muestran?
¿Lo
podríamos
hallar o al
menos
estimar?
• Las gráficas NO muestran datos individuales. Si los quisiéramos, tendríamos que
pedírselo a quien realizó las gráficas.
• No se menciona explícitamente cuántos datos hay, pero si sumamos las alturas de las
barras en cada gráfica podemos hallarlo fácilmente (500 en cada una).
• Las gráficas NO muestran el promedio, la moda, ni la mediana de los datos. ¡Piensa cómo
podrías estimar el promedio y la mediana! (La moda realmente no se puede.)
• No nos dan las frecuencias combinadas (es decir, hombres y mujeres juntos), pero esto
lo podemos construir a partir de los histogramas, ya que sus intervalos son del mismo
tipo (de 5 en 5, comenzando o terminando en múltiplos de 10).
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▶ Paso 2: Examinar la información en detalle
¿Qué
puedes
concluir
sobre las
estaturas
de los
hombres?
• Rango: Todas las estaturas están entre 140 y 200 cm. El
rango de los datos es [140,200) (o un intervalo algo más
pequeño). Suponiendo que la muestra es representativa, va
a ser muy poco probable (pero posible) encontrar un
hombre en la población (la región del país) cuya estatura
sea menor que 140 cm o mayor o igual que 200 cm.
• Barra más alta: la de [170, 175), esta mide 111, que es un
poco más del 20% de 500. Así, poco más del 20% de los
hombres miden alrededor de 175,2 cm.
• Forma: La forma del histograma es de “montaña”, con pico
en [170, 175). Es una distribución simétrica
(aproximadamente) con respecto a dicha barra (como un espejo). Esta simetría nos dice
que esa barra es un centro, por lo cual es plausible que el promedio de los datos esté en
ese rango.
• Mayoría: Dado que 63+94+111+92+66 = 426 (que es cerca del 85% de 500), cerca del
85% de los hombres tienen una estatura en el rango [160, 185). Así, solo hay un 15% de
probabilidad que si seleccionamos un hombre al azar, su estatura no esté en este rango.
¿Cómo
comparas
las dos
gráficas?
• Rangos: el rango del histograma de los hombres es [140,
200) y el de las mujeres es [130, 195). Son rangos
similares en amplitud.
• Formas: ambos histogramas tienen forma aproximada de
montaña simétrica, lo que nos dice que tienen tendencias
similares y ambas tienen un centro. Esto es razonable,
pues estamos midiendo estaturas en humanos.
• Centros: el centro del histograma de hombres parece ser
alrededor de 172,5 cm, mientras que el centro de
histograma de mujeres parece ser alrededor de 160 cm.
Esta es una diferencia de 12,5 cm.
• Variaciones: ambos conjuntos de datos tienen una variación o dispersión similar.
▶ Paso 3: Ir más allá (¿qué te llamó la atención? ¿qué más quisieras saber?)
Ejemplos:
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● ¿Cómo se eligió cada muestra? ¿Es representativa?
● El histograma de las mujeres tiene una barra que me llama la atención: la de [190, 195). ¿Por qué
hay 11 mujeres tan altas? ¿Tal vez son jugadoras de baloncesto? Son datos atípicos en el conjunto.
● ¿Cómo se comparan estos datos con datos de toda la población colombiana? Lee este artículo: https://www.eltiempo.com/archivo/documento/CMS-
13128617#:~:text=Dentro%20de%20los%20principales%20hallazgos,148%2C5%20y%20171%20cm.
“... la talla promedio del hombre colombiano adulto es de 172 cm, y se encuentra en un nivel de normalidad
entre los 159 y 186 cm. Mientras, la mujer colombiana promedio debe medir 160, y se considera normal en
un rango entre los 148,5 y 171 cm.”
Responde: A partir del histograma de las mujeres:
a) Realiza la primera parte del paso 2 (¿qué puedes concluir sobre las estaturas de las mujeres?).
b) La MODA de los datos es imposible de conocer solo con el histograma, e incluso imposible de
aproximar. Explica por qué.
c) El PROMEDIO de los datos es imposible de conocer con exactitud solo con el histograma, pero por lo
menos lo podemos aproximar de la siguiente forma:
- Primero, hacemos un diagrama de líneas a partir del histograma. Ahora sí tenemos 500 datos (no son los
datos originales, pero sí son una buena aproximación).
- Luego sumamos los 500 datos y dividimos entre 500. Este es un promedio aproximado.
Usando este método, calcula el promedio aproximado y analiza si es razonable.
d) La MEDIANA de los datos es imposible de conocer con exactitud solo con el histograma, pero se puede
aproximar. ¿Se te ocurre cómo hacerlo usando el histograma? ¡Házlo!
MINI-EXPLICACIÓN
ANALIZAR UN
CONJUNTO DE
DATOS CON UN
HISTOGRAMA
Supongamos que nos dan un histograma que representa cierto conjunto de datos y
queremos analizar al conjunto de datos usando el histograma. Para ello podemos
seguir los siguientes 3 pasos:
▶ Paso 1: Comprender la información explícita: Entender muy bien cómo leer el
histograma y hacer preguntas si algo no se entiende, o parece contradictorio. Es fácil
a veces malinterpretar la información (en cuanto a unidades, lo que se mide, etc).
Además, conocer la fuente y el año.
▶ Paso 2: Examinar la información en detalle: Esto significa leer valores numéricos,
identificar el rango, las amplitudes, la barra más alta y las más bajas; identificar la
forma del histograma y cómo interpretar esto en la situación que estamos.
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▶ Paso 3: Ir más allá: Preguntarse: ¿qué me llamó la atención? ¿Qué más quisiera
saber? Cuestionar críticamente la información dada, incluso proponerse buscar
información complementaria.
PROYECTO
GRUPAL APLIQUEMOS LO APRENDIDO
Formen grupos de 4 estudiantes. Vamos a trabajar en un proyecto para analizar conjuntos de datos a
partir de un histogramas:
Instrucciones:
1. Elijan 1 tema de interés para hacer el análisis estadístico, donde la variable sea numérica.
Aquí hay algunas ideas:
Estatura de los padres
y madres de nuestro
colegio o barrio, en cm.
Precio de camisetas en
distintos almacenes, en
COP.
Peso de distintas
piedras en una playa o
en un parque, en g.
Duración de canciones
de cierto género
musical, en segundos.
Cantidad relativa de
azúcar en comidas y
bebidas de tiendas y
supermercado, en g.
Tiempo de lectura de
un párrafo específico
de un libro por varias
personas, en segundos.
Volumen de distintas
cajas en una tienda o
fábrica, en cm3.
Área de distintas
ciudades de cierto país,
en km2.
2. Consigan 2 histogramas relativos a dos poblaciones similares, de acuerdo al tema elegido. Por
ejemplo: “duraciones de canciones de salsa” y “duraciones de canciones de cumbia”.
Los histogramas los pueden buscar en internet, pero mucho mejor si ustedes mismos recogen los
distintos datos. Pueden utilizar MICROSOFT EXCEL, GOOGLE SHEETS, u otro programa (pide
indicaciones a tu maestro).
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3. Completen los 3 pasos indicados para analizar cada conjunto de datos usando los histogramas:
▶ Paso 1: Comprender la información explícita.
▶ Paso 2: Examinar la información en detalle.
▶ Paso 3: Ir más allá.
Sigan el ejemplo al inicio de la actividad, pero pueden agregar nuevos descubrimientos al análisis
que hagan. Escriban sus hallazgos en una cartelera para pegar en el salón.
4. Comparen los dos histogramas (semejanzas y diferencias).
5. Presenten su cartelera a otros compañeros, exponiendo lo que analizaron.
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Ejemplo: formas básicas de un histograma
Estudiemos en detalle algunas formas posibles de un histograma y lo que estas nos dicen sobre la
distribución de los datos y su variación.
Considera los siguientes estudios estadísticos:
E1: se midieron los tiempos de carrera de varios
atletas profesionales en 100 metros planos.
E2: se midieron los volúmenes reales de líquido en
varias botellas del mismo tamaño de una empresa.
E3: se midieron la hora a la que una persona iba a
cierto restaurante abierto de 10 am a 11 pm.
E4: con una ruleta del 1 al 100, se registraron los
resultados obtenidos por varias personas.
Para cada estudio se
hizo un histograma y
los siguientes fueron
los resultados, pero
NO están en el mismo
orden de los estudios
arriba, ni tienen
indicados los números
ni unidades. Observa:
Intentemos emparejar E1 − E4 con a − d, según los datos que recogimos y las formas de
los histogramas.
E1: Como se miden tiempos de atletas, que están muy bien entrenados, no esperamos mucha variación en
los datos. Es decir, el rango debe ser pequeño. Esperamos que muy pocos atletas logren los mejores tiempos,
y muy pocos atletas logren los peores tiempos, con el resto de atletas en la mitad.
- Así que buscamos una montaña apeñuscada. La gráfica es la d (aunque c también es plausible).
E2: se espera muy poca variación de botella en botella. Además como hay estándares de calidad, esperamos
que la mayoría de botellas tengan el mínimo posible, y algunas pocas tengan algo más de líquido. Las botellas
con menos líquido del estipulado han sido retiradas por control de calidad.
- Así, buscamos media montaña apeñuscada, con su pico o cima a la izquierda.
La gráfica más plausible es la c (aunque d también podría ser, si no hubo control de calidad).
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E3: El restaurante abre de 10 am a 11 pm. Esperamos dos picos de comensales: hacia el mediodía (almuerzo)
y hacia las 7 u 8 pm (cena). Entonces hay mucha variación en los tiempos, con pocas frecuencias en la mitad
(entre 3 y 6 pm).
- Así, buscamos una forma con dos montañas separadas. La gráfica es la b.
E4: La probabilidad de sacar cualquier número en la ruleta es el mismo, así que hay mucha variabilidad en
las frecuencias de los grupos, y que las barras tengan alturas muy similares.
- La gráfica es la a.
Completa este ejemplo: ¿Cuál será la forma?
Para cada conjunto de datos, pensemos en cómo sería la forma de su histograma
al agrupar en intervalos y justifiquemos por qué. Para ello, completa la siguiente
tabla:
Conjunto de datos Distribución y variación en los datos y
forma del histograma
Un posible dibujo del
histograma
E5: Se registraron las
horas de salida de las
personas durante y después
de un concierto musical.
Esperamos que alguna poca gente salga antes
de acabarse el espectáculo, la gran mayoría
salga unos pocos minutos después del final, y
unos pocos se queden más tiempo conversando.
E6: Se registraron las
edades de todos los
asistentes a una fiesta
infantil de un niño de 6
años.
Esperamos muchos niños pequeños (por
ejemplo, entre 4 y 8 años) y muchos adultos
(sus padres). Así que esperamos un histograma
con mucha variabilidad y dos montañas
separadas.
?
E7: En una cena, cada
persona se sirvió agua en un
vaso de cartón. Se registró
el porcentaje al que cada
persona llenó el vaso.
?
?
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GRADO 7
ACTIVIDAD
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1-2-4: Tu turno (individual, en parejas y después en grupos de 4)
Individualmente piensa en un posible conjunto de datos. Descríbelo, identifica qué tanto podría
variar, y qué forma posible tendría el histograma. Dibuja la forma del histograma (no tienes que
poner números). Dibújalo en una hoja separada.
Después, comparte tu descripción del conjunto de datos con otro estudiante, pídele adivinar la
forma de tu histograma y luego muéstralo. Discutan sus ideas (es posible argumentar que hay
más de una forma posible. (También deberás adivinar la forma del histograma que él dibujó a
partir de su conjunto de datos.)
Intercambien sus dibujos. Ahora tú estarás a cargo de explicar lo que hizo tu compañero.
Después, júntense con otra pareja y compartan sus histogramas, dándose retroalimentación.
¡Debes exponer las ideas de tu compañero! (A ver si realmente las entendiste). Finalmente,
busquen a su profesor para dialogar y compartir sus creaciones, aclarando los conceptos.
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C) Resuelve y practica
1) Considera el siguiente conjunto de datos, que
indican volúmenes, en cm3, de ciertas piedras:
2 2,1 2,1 2,1 2,1 2,2 2,2 2,3 2,6 2,6
2,7 3 3 3,3 3,5 3,7 4,1 4,2 4,5 5,1
Haz un histograma para representar estos datos y
analízalo utilizando los pasos 1, 2 y 3 descritos en la
Mini-explicación de la actividad. Es decir:
▶ Paso 1: Comprender la información explícita.
▶ Paso 2: Examinar la información en detalle.
▶ Paso 3: Ir más allá.
2) Estás estudiando la posibilidad de organizar un
servicio escolar para acortar los tiempos de viaje de
algunos estudiantes, pues escuchas que muchos
estudiantes se demoran más de una hora y media en
llegar a la escuela.
Haces una encuesta eligiendo una muestra
representativa de 100 estudiantes y creas esta tabla
de frecuencias acumuladas:
Duración del trayecto de
la casa a la escuela
¿Cuántos estudiantes?
Menos de 15 minutos 2
Menos de 30 minutos 5
Menos de 45 minutos 11
Menos de 60 minutos 20
Menos de 75 minutos 32
Menos de 90 minutos 50
Menos de 105 minutos 100
Según esto, ¿cuántos estudiantes tienen un
tiempo de trayecto en el intervalo [15, 30)?
Explica.
b) A partir de la Tabla dada, completa esta
tabla de frecuencias por intervalos
“separados” (disjuntos), así:
Intervalo de tiempo Frecuencia
[0, 15) 2
[15, 30) 3
[30, 45)
[45, 60)
[60, 75)
[75, 90)
[90, 105)
c) Haz un histograma a partir de la tabla
anterior y analízalo usando los pasos 1-3.
En particular, responde la pregunta inicial.
3) Observa este histograma:
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ACTIVIDAD
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a) Según la tabla, 2 estudiantes se demoran una
cantidad de minutos en el intervalo [0, 15), y 5
estudiantes se demoran una cantidad de minutos en
el intervalo [0, 30).
Analiza e interpreta este histograma. ¿Qué
conjunto de datos podría estar midiendo?
(Puedes elegir los intervalos que quieras).
D) Resumen
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ACTIVIDAD
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E) Valoración
i) Califica tu comprensión por tema en tu
cuaderno
Tema ⚫⚪⚪ Todavía no
entiendo los
conceptos
⚫⚫⚪ Voy bien
pero quiero
más práctica
⚫⚫⚫ Comprendí
muy bien
el tema
Comprendo
información
explícita de una
tabla o gráfica
estadística
Analizo
información en
detalle de una
tabla o gráfica
estadística
Voy más allá de
una tabla o
gráfica
estadística,
haciendo
preguntas
críticas y
autocorrigiendo
mi análisis.
ii) Preguntas de comprensión 1) V/F: El promedio siempre es la mejor
medida del centro de un conjunto numérico de
datos.
[ ] Verdadero.
[ ] Falso.
2) Si un histograma tiene dos jorobas
separadas, entonces...
[ ] el promedio es una medida de tendencia
adecuada.
[ ] el promedio NO es una medida de
tendencia adecuada.
3) Si un histograma tiene forma de montaña
simétrica, entonces
[ ] el promedio es una medida de tendencia
adecuada.
[ ] el promedio NO es una medida de
tendencia adecuada.
4) Si un conjunto de datos se obtiene al azar
lanzando un “dado” de 100 caras y hacemos el
histograma, entonces este probablemente...
[ ] tendrá forma plana de meseta (pocos
cambios en alturas de las barras).
[ ] tendrá forma de montaña.
(Verifica las respuestas con tu docente)
iii) Resuelvo un problema Decides jugar al tiro al blanco. Decides lanzar el dardo 200 veces, anotando la
DISTANCIA al centro de la diana (es decir, 0 significa que le diste a todo el
centro). Luego agrupas los datos y hacer un histograma.
a) Dibuja el histograma como te lo imaginarías (entre más detalles, mejor). Explica
cómo llegaste a tu gráfica.
b) Si alguien analiza tu histograma, ¿qué podría concluir acerca de tu consistencia y
precisión en este juego? Explica. [Puedes buscar o preguntar por el significado de las palabras
“consistencia” y “precisión”.]
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GRADO 7
ACTIVIDAD
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ACTIVIDAD 2: SIMULEMOS Y JUGUEMOS JUEGOS DE PROBABILIDAD
Analicemos juegos de 1 o de 2 jugadores en donde influye el azar, y apliquemos lo que sabemos
para encontrar la probabilidad teórica de ganar de cada jugador. Esto lo usaremos para decidir
si el juego es justo, o está sesgado. Además, crearemos juegos justos y sesgados.
A) Recordemos: Equiprobabilidad; Experimentos multi-paso
RECUERDA QUE...
● En un experimento de azar equiprobable, todos los resultados posibles tienen la misma probabilidad.
○ La probabilidad de un evento cualquiera es igual a FAVORABLE / TOTAL, en donde
FAVORABLE es el tamaño del evento y TOTAL es el tamaño del espacio muestral.
○ En experimentos MULTI-PASO, lo primero que podemos hacer es un árbol para visualizar el
espacio muestral (sus resultados posibles).
PRACTICA
i) Lanzas dos dados de 6 caras y calculas el máximo valor
M.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que M sea igual a 1?
b) Cuál es la probabilidad de que M sea mayor que 4?
ii) Lanzas dos dados de 6 caras y calculas el producto
entre ellos, P.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que P sea igual a 24?
d) Cuál es la probabilidad de que P sea un cuadrado
perfecto? (si no sabes lo que un cuadrado
perfecto es, búscalo en internet u otra fuente.)
iii) Lanzas tres monedas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que NO
todas caigan en lo mismo?
iv) Seleccionas un número al azar entre los
siguientes 8:
1
3 ;
1
2 ;
1
4 ;
1
6 ; 2 ; 0,98 ;
1
8 ; 4,25.
Multiplicas ese número por 6. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener un número entero?
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GRADO 7
ACTIVIDAD
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B) Conceptos: probabilidad de ganar
Exploremos: ¿Quién tiene más chances de ganar?
Vamos a considerar varios juegos y a analizar qué jugador tendría más probabilidad de ganar (o si ambos
tienen la misma probabilidad). ¡Lee esta actividad con otra persona, ya que van a jugar durante ella!
Nota: también puedes jugar en modo solitario, simplemente eligiendo alguno de los jugadores.
▶ Juego #1: Pares Vs Impares
2 jugadores (Jugador 0 y jugador 1).
El jugador 0 se pide los números pares, el
otro jugador los impares. En cada turno se
lanza un dado: según la paridad del
resultado, el jugador correspondiente
gana 1 punto.
Por ejemplo, si cae 5, entonces el jugador
que se pidió a los impares gana 1 punto.
Se juega al primero que llegue a 3 puntos.
¡Jueguen este juego varias veces!
Análisis
¿Creen que este juego es justo, o algún
jugador tiene más probabilidad de ganar?
(Piensen y discutan antes de leer abajo)
R: Los resultados posibles en cada turno
son 1, 2, 3, 4, 5, 6. Como hay igual
cantidad de pares que de impares, la
probabilidad P de que el jugador 0 gane 1
punto es igual a P = 3
6=
1
2, y la
probabilidad Q de que el jugador 1 gane 1
punto es igual a Q = 1
2.Como cada nuevo
turno es independiente del turno anterior,
y cada turno es justo, concluimos que el
juego es justo.
¿Cómo modificarían el juego para que
quede sesgado? Es decir, no justo.
▶ Juego #2: Iguales Vs. Distintos
2 jugadores (Jugador 0 y jugador 1).
En cada turno se lanzan 2 dados:
● Si los dados caen en el mismo valor, el jugador 0
gana 1 punto.
● Si los dados caen en valores distintos, el jugador 1
gana 1 punto.
primero que llegue a 3 puntos.
¡Jueguen este juego varias veces!
Análisis
¿Creen que este juego es justo, o algún jugador tiene más
probabilidades de ganar?
(Piensen y discutan antes de leer abajo)
R: En cada turno hay 36 (6×6) resultados posibles:
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
De esos resultados posibles, solo 6 son favorables para el
jugador 0 ( (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) y (6,6)). Así, este
jugador tiene probabilidad P = 6
36=
1
6de ganar en cada
turno (muy baja). El otro jugador tiene probabilidad Q =
1 −1
6=
5
6de ganar en cada turno. Cada nuevo turno es
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R: Una forma sería que un jugador tuviera
más de 3 valores (por ejemplo 1, 2, 3 y 4).
Entonces en cada turno ganaría 1 punto
con probabilidad de4
6=
2
3> 0,5, por lo
que tendría mayores chances de ganar.
independiente del turno anterior y cada turno es sesgado a
favor del jugador 1, así que el juego es injusto.
¿Cómo modificarían el juego para que quede justo?
R: Una forma sería que el jugador 0 gana 1 punto si la suma
de los dados es par (y de lo contrario el jugador 1 gana 1
punto). ¡Jueguen y verifiquen que este es un juego justo!
MINI-EXPLICACIÓN
JUEGOS
JUSTOS Y
SESGADOS
Un juego de azar entre 2 o más jugadores es JUSTO si todos los jugadores tienen la
misma probabilidad de ganar. En este caso, y si hay k jugadores, cada uno tendrá
probabilidad de ganar de 1
𝑘.
Un juego que no es justo es SESGADO. En este caso, no todos los jugadores tienen la
misma probabilidad de ganar. Por ejemplo, un juego de 4 jugadores donde las
probabilidades de ganar de los jugadores sean 35%, 35%, 20% y 10% respectivamente.
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Ejemplo: El juego de supervivencia
Este es un juego solitario. Necesitas un dado para jugarlo.
● Lanzas un dado: si sacas 1, pierdes automáticamente.
● De lo contrario, vuelves a lanzar: si sacas 1 o 2, pierdes
automáticamente. De lo contrario, ganas el juego.
Ejemplifiquemos algunos juegos: > lanzas y sacas 2. Sobrevives. Vuelves a lanzar y sacas 1. ¡Perdiste!
> lanzas y sacas 6. Sobrevives. Vuelves a lanzar y sacas 2. ¡Perdiste!
> lanzas y sacas 2. Sobrevives. Vuelves a lanzar y sacas 3. ¡Ganaste!
¿Es este juego justo o sesgado? Y si es sesgado, ¿es a favor o en
contra del jugador?
Antes de continuar, juega este juego 20 veces y anota qué
porcentaje de las veces ganaste. Vamos a ver si esa probabilidad
que observas se asemeja a la probabilidad teórica.
Observemos el siguiente TRUCO para pensar en este juego: el
juego es equivalente a lanzar dos dados numerados (dado #1 y
dado #2): si dado #1 cae en 1, ni tenemos que mirar el otro dado
(ya perdimos). De lo contrario, miramos el dado #2 y ganamos si
cae en 3 o más (de lo contrario, perdemos).
Con el truco, podemos dibujar un árbol para representar este
juego y calcular la probabilidad de ganar.
El árbol de la derecha muestra los 36 resultados posibles, de los
cuales 20 son favorables, como se ve. Calculamos:
Probabilidad de ganar = 20
36=
5
9; como
5
9>
5
10,entonces el juego
está ligeramente sesgado a favor del jugador. Como 5
9es cerca de
0,55, en cada juego tienes 55% de chance de ganar. Es decir, de cada 20 juegos, esperas ganar 11. ¿Fue
esto lo que ocurrió en tu experimento? (Si ganaste menos de 11 juegos, ¡mala suerte!)
Completa este ejemplo: el juego de las monedas tercas
Juguemos el siguiente juego: tenemos 2 monedas. Vamos a ganar si logramos que todas queden en sello.
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● Lanzamos las 2 monedas.
○ Si todas caen en sello,
ganamos automáticamente.
○ Si todas caen en cara,
perdemos automáticamente.
○ Si no, lanzamos de nuevo la
moneda que NO cayó en
sello:
■ Si todas caen en sello,
ganamos.
■ De lo contrario,
perdemos el juego.
Queremos averiguar la probabilidad de
ganar.
Nos inventamos este truco: simulamos
el juego lanzando tres monedas (#1,
#2, #3), en donde #1 y #2
representan el primer lance, y #3
representa el segundo lance en caso de que se necesite. Así, hay 8 resultados posibles.
Completa la información de este árbol que nos indica en qué casos gana el jugador.
Usando el árbol, calcula la probabilidad de ganar y verifica que el juego es justo.
Finalmente, interpreta esta otra forma de razonar sobre el problema:
Primero, considera el experimento aleatorio de “lanzar dos monedas”.
Completa los porcentajes de cada uno de los 3 eventos, de modo que
sumen 100%. En este dibujo:
● El área del cuadrado grande es 1 (es decir, 100%)
El área del cuadrado C C es 25% ya que la probabilidad de obtener C C
es de un cuarto
● .
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Ahora revisa el siguiente diagrama y completa la última explicación. Compara el último dibujo con el árbol.
¿Puedes encontrar la relación entre cada región del cuadrado y cierto conjunto de nodos finales del
árbol?
Tu turno: El juego de supervivencia extrema
Considera esta variante del juego anterior:
Necesitas un dado para jugarlo.
● Lanzas un dado:
○ si sacas 1, pierdes automáticamente.
○ De lo contrario, vuelves a lanzar:
■ si sacas 1 o 2, pierdes automáticamente.
■ De lo contrario, vuelves a lanzar:
● si sacas 1, 2 o 3 pierdes
automáticamente.
● Si sacas más de 3, ganas el juego.
a) Juega el juego varias veces
para comprenderlo.
b) Predice: ¿Crees que el juego es
justo, o está sesgado? Si crees
que está sesgado, ¿cuál estimas
que es la probabilidad de ganar?
c) Sigue el razonamiento del
ejemplo anterior para calcular de
forma exacta la probabilidad de
ganar, y compara con tu respuesta
en la parte b).
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C) Resuelve y practica
1) Considera la siguiente región que está en una
cuadrícula de 4 x 4:
Hay dos jugadores. Uno representa la parte
blanca, otro la parte sombreada.
Se selecciona al azar un punto dentro de la región.
Según donde caiga, ganará el jugador
correspondiente.
¿Es este un juego justo? Explica por qué.
2) Considera este juego de dos jugadores: Cada
uno usa un dado de 6 caras numeradas del 1 al 6:
• El jugador 1 lanza un dado y le suma 1.
• El jugador 2 lanza un dado y le suma 2.
Si el valor del jugador 2 es mayor al del jugador 1,
el jugador 2 gana. De lo contrario (incluyendo que
tengan el mismo valor), el jugador 1 gana.
a) Juega este juego varias veces para entenderlo.
b) Haz un árbol de todos los resultados posibles en
el juego.
c) ¿Quién tiene más probabilidad de ganar? ¿O es
este un juego justo?
3) Considera este juego de dos jugadores: Cada
uno usa un dado de 6 caras numeradas del 1 al 6:
• El jugador 1 lanza un dado.
• El jugador 2 lanza un dado y le resta 1.
Si obtienen el mismo valor, ambos vuelven a lanzar,
hasta que un jugador obtenga un valor mayor que
el del otro jugador, en cuyo caso este primero
gana.
a) Juega este juego varias veces para entenderlo.
b) ¿Quién tiene más probabilidad de ganar? ¿O es
este un juego justo?
4) Considera esta nueva versión de Piedra, papel o
tijera. Se comienza igual: ambos jugadores
seleccionan al azar una de las siguientes: piedra,
papel o tijera.
• El jugador 1 gana si ambos jugadores eligen lo
mismo.
• De lo contrario, el jugador 2 gana.
a) Juega este juego varias veces para entenderlo.
b) ¿Quién tiene más probabilidad de ganar? ¿O es
este un juego justo?
5) Reto: Considera este juego de dos jugadores:
• El jugador A lanza dos dados y los suma.
• El jugador B lanza un dado y le suma 3,5.
Gana quien tenga mayor valor.
a) Juega este juego varias veces para entenderlo.
b) ¿Quién tiene más probabilidad de ganar? ¿O es
este un juego justo?
[ayuda: este es un juego con 6 x 6 x 6 = 216
resultados posibles (con repeticiones). Usa Excel u
otro progama para resolverlo si puedes. De lo
contrario, puedes hacer 6 tablas, cada una de 6x6,
y luego unir toda la información].
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D) Resumen
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E) Valoración
i) Califica tu comprensión por tema en tu
cuaderno
Tema ⚫⚪⚪ Todavía no
entiendo
los
conceptos
⚫⚫⚪ Voy bien pero
quiero más
práctica
⚫⚫⚫ Comprend
í muy
bien el
tema
Entiendo y
describo la
condición de
victoria en un
juego de azar
Comparo
distintas
representacio
nes de juegos
de azar (un
árbol, una
tabla o un
área)
Decido si un
juego de azar
es justo o
sesgado, y
justifico por
qué
ii) Preguntas de comprensión
1) Supón un juego de 3 jugadores, donde uno de
los jugadores tiene 30% de chance de ganar.
Este juego:
[ ] es necesariamente sesgado.
[ ] puede ser justo (habría que conocer la
probabilidad de ganar de cada uno de los demás
jugadores).
2) Considera este juego solitario:
Una bolsa tiene 12 fichas rosadas, 3 fichas
rojas y 9 verdes. Sacamos una ficha al azar y
ganamos exactamente en el caso de que NO
salga una rosada. Este juego es:
[ ] justo.
[ ] sesgado.
3) Para que un juego de 5 jugadores sea
sesgado:
[ ] Es necesario que algún jugador tenga más de
50% de chances de ganar.
[ ] Es suficiente que algún jugador tenga menos
del 20% de chances de ganar.
4) Considera este juego solitario:
Lanzas 4 monedas y ganas si y solo si salen
exactamente 2 caras. Este juego es:
[ ] justo.
[ ] sesgado. (Verifica las respuestas con tu profesor)
iii) Resuelvo un problema Vas a crear un juego JUSTO de 3 jugadores (Héctor, Camila y Pedro), usando una moneda y un dado.
Completa sus reglas:
Se lanza una moneda y un dado al tiempo.
● Si sale cara y además un valor menor que 5, Héctor gana.
➢ …
➢ …