Post on 09-Jul-2022
CH-FyA-0511
Guía 95: Cónica dinámicas y espaciales
2
Guía
95 Meta 31
GRADO 10
GUÍA DEL ESTUDIANTE
CÓNICAS DINÁMICAS
Y ESPACIALES
3
Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas
Fe y Alegría Colombia
Fe y Alegría Colombia
Víctor Murillo
Director Nacional
Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos
Jaime Benjumea - Marcela Vega
Autores de la guía 95
Julio Cesar Galarcio Del Toro, IED Puerta de Oro
Tania Jennifer Navarrete Santiago, IED Puerta de Oro
Coordinación pedagógica
Francy Paola González Castelblanco
Andrés Forero Cuervo
GRUPO LEMA www.grupolema.org
Revisores
Jaime Benjumea
Carmen Yaneth Sanchez Portilla, Colegio Los Colorados
Francy Paola González Castelblanco
Andrés Forero Cuervo
4
9
Guía
95 GRADO 10
CÓNICAS DINÁMICAS Y ESPACIALES
GRADO 10 - META 32 - PENSAMIENTO MÉTRICO ESPACIAL
Guía 94
(Duración 13 h)
• Coordenadas, rectas, distancias y
ángulos en el plano cartesiano
• Problemas de distancia, velocidad
y aceleración en situaciones
cotidianas
• Trigonometría: Leyes de seno y
coseno
• Utiliza la noción de semejanza
entre triángulos para comprender
que la razón de dos lados de un
triángulo rectángulo permanece
constante aunque el triángulo se
agranda o se reduce.
• Utiliza las razones trigonométricas
entre las longitudes de dos lados
para determinar el medida de uno de
los ángulos agudos.
• Utiliza las razones trigonométricas
entre la longitud de un lado y la
medida de un ángulo agudo para
determinar la longitud de otro lado
del triángulo.
Guía 95
(Duración 13 h) ACTIVIDAD 1
• Secciones cónicas: parábola,
elipse, hipérbola.
• Construcción de cónicas en
plastilina; construcción de elipse con
pita.
ACTIVIDAD 2
• Ecuaciones de, parábolas y elipses
Guía 96
(Duración 13 h)
• Hipérbolas (ecuaciones)
• Aplicaciones de parábolas, elipses
e hipérbolas (antenas parabólicas,
trayectorias elípticas y
hiperbólicas, etc).
META DE APRENDIZAJE N. 32 Explico fenómenos dinámicos usando cónicas (círculo, elipse, parábola, hipérbola): trayectorias de planetas,
máquinas elípticas, formas de antenas, reflexión de ondas y galería de susurros, entre otras; infiero propiedades
de las distancias entre puntos del espacio y cortes de sólidos y planos; con círculos, mido longitudes y ángulos
(conversión radianes-ángulos, sectores circulares); con la trigonometría, mido lados de triángulos rectángulos, así
como lados de cualquier triángulo (leyes del seno y coseno); abordo problemas de ángulos y distancias en mapas;
mido distancia, velocidad y aceleración, las relaciono y las uso en situaciones de movimiento en mi vida. Así,
comprendo la utilidad de medir distancias rectas y curvas en mi entorno
5
PREGUNTAS ESENCIALES:
Actividad 1: ● ¿Cómo explicarías la ubicación de tu colegio con respecto a tu barrio utilizando coordenadas cartesianas? ● Alguna vez has observado el lanzamiento de tiro libre en un partido de fútbol,¿Qué trayectoria describe el
balón?
● ¿Qué figuras cónicas asocias a objetos que hallamos en nuestro entorno? Actividad 2:
● ¿Que figura cónica posee una galería de susurros, y para qué sirve? ● La tierra está en constante movimiento alrededor del sol describiendo un movimiento elíptico, ¿Cómo crees que
se puede obtener la distancia mínima y máxima entre el sol y la tierra?
EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE Actividad 1:
● Identifico las secciones cónicas a partir de los diferentes cortes hechos a un cono
● Describo y diferencio las características de las figuras cónicas a partir de sus ecuaciones.
Actividad 2:
● Relaciono y aplico los diferentes procedimientos matemáticos en la solución de ejercicios que involucran
ecuaciones y gráficas de las secciones cónicas.
● Propongo soluciones a situaciones tipo prueba SABER a partir de las características presentes en las
ecuaciones de figuras cónicas.
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
1
6
ACTIVIDAD 1: CALCULEMOS ESPACIOS
Conozcamos la relación que tienen las figuras cónicas con los elementos de nuestra vida.
A) Activando saberes previos
En la guia 94 aprendimos el procedimiento para ubicar puntos en el plano, calcular la distancia
entre dos puntos y la distancia entre un punto y una recta. Así que es momento que practiquemos
lo aprendido resolviendo estas actividades:
1.- Hallar la distancia entre los puntos P1 (-5, 3) y P2 (4, 3).
2.- Representar y calcular la distancia entre los puntos (−2,6) y (−5,2) del plano.
3.- Calcula la distancia del punto P(2, -1) a la recta r de ecuación 3x+4y=0
Verifica las respuestas de la sección A con tu profesor.
B) Relacionemos las matemáticas con nuestro entorno
¿Sabías que las cónicas son unas curvas que aparecen en más situaciones cotidianas de las que podemos
imaginar? Observa y analiza las siguientes imágenes, en ellas apreciamos diferentes curvas, pero cada una
tiene nombre y características especiales identificadas en el área de las Matemáticas. ¿Reconoces algunas
de ellas?
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
1
7
Tomado de https://www.bluradio.com/tecnologia/ciencia/asi-es-el-
telescopio-mas-grande-de-colombia
Tomado de https://www.ejemplos.co/15-ejemplos-de-movimiento-
eliptico/
https://www.shutterstock.com/es/image-vector/roller-coaster-ride-
theme-park-illustration-1129725269/
B.1) Construyendo Figuras a partir de un cono
Observa detenidamente de izquierda a derecha las secuencias que se muestran en el siguiente recuadro,
después de revisarlas y observar el video que se te sugiere, construye las secciones cónicas utilizando
plastilina y una espátula o tarjeta plástica.
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
1
8
PASO 1
Moldeando la plastilina,
construyo el cono como se
muestra.
Recordemos:
El cono: Es el cuerpo de revolución
obtenido al hacer girar un
triángulo rectángulo alrededor de
uno de sus catetos.
PASO 2
Con ayuda de la espátula o la
tarjeta plásticas realiza un
corte horizontal al cono como lo
muestra la imagen.
Observemos que al realizar el
corte la intersección resultante
es un círculo y contorno lo
conocemos como circunferencia.
Podemos apreciar el círculo y su
contorno la circunferencia.
PASO 3
Realizamos un corte inclinado
sin cortar la base.
Observamos que luego del corte
realizado, tenemos una elipse
Podemos ver en detalle el corte
realizado en el siguiente gráfico:
PASO 4
Con ayuda de la Tarjeta o la
espátula realiza un corte al
cono paralelo a la generatriz
como lo muestra la imagen.
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
1
9
Realizamos el corte inclinado,
pero esta vez asegurándonos de
que si corte la base.
De tal modo que obtenemos dos
cortes que nos muestran
parábolas, como se puede ver en la
imagen.
PASO 5
Con ayuda de la espátula o la
tarjeta plástica realiza un
corte al cono paralelo a la
altura del cono o realiza un
nuevo corte vertical a la parte
restante del cono como lo
muestra la imagen.
En detalle podemos observar que
el corte realizado nos genera una
hipérbola.
Como resultado final obtenemos
las curvas de la Hipérbola como se
muestra en la imagen:
Para complementar puedes
observar el video siguiendo el
link:
https://www.youtube.com/wat
ch?v=dZkNLFUYn7o
llamado secciones cónicas en
Youtube.
Observa con tus compañeros el siguiente video
https://www.youtube.com/watch?v=EFPPrRjiWw8&feature=youtu.be
Ahora discute con ellos la siguiente pregunta ¿Es el sol el foco de una
elipse en el Universo?
Definición Algebraica de Cónicas: Son el conjunto de curvas formadas por ecuaciones de dos variables y
de segundo grado, las cuales son la parábola, la elipse, y la hipérbola.
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
1
10
Definición Geométrica de Cónicas: Son el resultado de los cortes de un plano en un cono tridimensional.
Dependiendo de la inclinación en el corte del plano, se puede obtener una circunferencia, una parábola, una
elipse o una hipérbola
1 2 3
Parábola: Es el lugar
geométrico de los puntos
en el plano, tales que
equidistan de un punto fijo
llamado foco, y de una
recta llamada Directriz.
Elipse: Es el lugar
geométrico de los puntos en
el plano, tales que la suma de
las distancias a dos puntos
fijos llamados focos, es
constante.
Hipérbola: Es el lugar
geométrico de los puntos en el
plano, tales que la diferencia de
las distancias de cualquiera de
ellos a dos puntos fijos llamados
Focos es constante. Esta
diferencia es la distancia mayor
menos la distancia menor,
siempre.
MINI - EXPLICACIÓN: Conozcamos un poco más acerca de La parábola
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
1
11
Elementos de la Parábola
Eje Focal: es una recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz.
Vértice: Es el punto de corte del eje focal con la parábola.
Distancia P: Longitud que hay entre el foco y el vértice, y del vértice a la directriz.
Lado Recto: Segmento rectilíneo perpendicular al eje focal que corta al foco, (AB = lado recto).
Piensa...
1. ¿Para qué sirve la parábola en la vida real?
Se recrea un aula de clase en donde La profe Clara le muestra a los estudiantes algunas
de las tantas aplicaciones que tiene la parábola, muestra como es necesario conocer la
parábola para construir satélites y la importancia que tiene la reflexión de la parábola
para el uso de esta en las antenas de televisión, como esta misma propiedad se utiliza
también se utiliza en hornos solares; además como sus propiedades contribuyen para
poder crear telescopios, linternas, faros y otros elementos.
2. ¿Qué aplicaciones en la vida real tiene la parábola?
B.2) Construyendo la Elipse con la ayuda de “pita”
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
1
12
A continuación, observa el siguiente video el cual te guiará para conocer mejor los
elementos de la elipse y te ayudará a construir una figura similar, utilizando clavos,
pita o lana, marcador y cartulina. https://www.youtube.com/watch?v=P- PhOy9F7Sg
Observa el paso a paso de izquierda a derecha:
PASO 1
Una vez terminado de observar
el video toma un octavo de
cartulina y ubica dos puntos,
los cuales serán los focos de la
elipse, en línea recta
horizontal a una distancia de
20 centímetros el uno del otro,
como se muestra a
continuación.
PASO 2
Ahora toma un pedazo de lana que
mida 30 centímetros y amarralos a
los clavos, así:
PASO 3
Toma un lápiz, esfero o
marcador delgado y con
la ayuda de la lana
sostenida por los clavos
traza la elipse.
PASO 4
Identifica y señala en la elipse
que acabas de crear, los
elementos de esta.
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
1
13
MINI - EXPLICACIÓN: Conozcamos un poco más acerca de La Elipse
Elementos de la Elipse
Focos: Son los puntos medios de la elipse y el centro de toda su geometría, ya que de ellos parten todos
los demás elementos de la figura.
La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos siempre es constante, normalmente se
denotan con las letras F y F’.
Eje Focal: También conocido como eje mayor, es una recta horizontal que atraviesa la elipse tocando los
dos focos y formando dos vértices. Divide la figura en 2 partes iguales.
Vértices: Son los 4 puntos donde los ejes focal y secundario se interceptan con la elipse.
Centro(0): Es el lugar donde se cruzan los ejes focal y secundario, aunque también puede precisarse como
el punto medio entre los 2 focos de una elipse.
Distancia Focal: Es la distancia existente entre los 2 focos de una elipse. Suele denotarse como 2C. Al
mismo tiempo, C es la distancia semifocal, que va desde uno de los focos hasta el centro.
Eje Mayor: Corresponde a la distancia entre el centro y uno de los lados de la elipse (vértice) unidos con
una línea recta horizontal.
Su valor es la suma de las distancias de un punto cualquiera a los focos dividido entre 2, de la forma a
= (d1 + d2) / 2, donde a es el semieje mayor y d la distancia de un punto de la elipse a un foco.
Eje Menor: El semieje menor es el opuesto del semieje mayor. Este cruza la elipse de forma vertical
pasando por el centro y tocando la figura en 2 puntos.
https://www.lifeder.com/elementos-elipse/
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
1
14
MINI - EXPLICACIÓN: La circunferencia
Partiendo de la elipse, podemos construir una circunferencia, de los dos segmentos cuyas longitudes son a
y b, dibujamos dos circunferencias con centro en el origen de coordenadas O. Por los puntos A y B trazar
rectas perpendiculares a los ejes de coordenadas, la
intersección de estas rectas es un punto P que pertenece
a la elipse.
Puedes interactuar cambiando la configuración de los
elementos de la figura en este enlace
https://www.geogebra.org/m/z9vQ5ctE
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
1
15
Observa detenidamente siguientes las imágenes y haciendo uso de diferentes tonalidades de colores,
resalta las partes en las que consideres fue empleada una circunferencia
1. Después de mirar las imágenes en las cuales identificaste las circunferencias, responde las
siguientes consignas:
a. ¿Son útiles las circunferencias en el arte? Justifica tu respuesta.
b. ¿En qué contextos pueden resultar útiles las circunferencias? Justifica tu respuesta.
MINI - EXPLICACIÓN: Conozcamos un poco más acerca de La Hipérbola
Elementos de la
hipérbola
Focos: son los dos puntos fijos (F1 y F2).
Radio vector: es la distancia R de un punto de la hipérbola (P) a cualquiera de los focos.
Eje focal: es el eje de simetría E que une a los dos focos. También se llama eje transverso.
Eje no transverso: es la mediatriz T del eje focal.
Centro: es el punto medio O de los dos focos. También se puede definir como la intersección del eje focal
y el transverso.
Vértices: son los dos puntos de intersección del eje focal con la hipérbola (V1 y V2).
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
1
16
Distancia focal: es la distancia 2C entre focos. También se denota como F1F2.
Eje real: es la distancia 2a entre vértices.
Eje imaginario: es la distancia 2b de los puntos B1 y B2. Los puntos B1 y B2 se generan como vemos en las
relaciones entre semiejes.
Así pues, existe una relación entre los semiejes y la distancia focal:
Asíntotas: son las líneas rectas (A1 y A2) que se aproximan a la hipérbola en el infinito.
Puntos interiores y exteriores: la hipérbola divide el plano en tres regiones. Dos regiones que contienen
un foco cada una y otra región sin ningún foco. Los puntos contenidos en las regiones con un foco se llaman
interiores (I) y los otros exteriores (Ex).
Tangentes de la hipérbola: sobre cada punto Pi de ambas ramas de la misma. Cada tangente es la bisectriz
de los dos radios vectores del punto Pi.
PROBLEMAS Y JUEGOS DE REFUERZO:
Sigue el orden de la imagen de la rutina de aprendizaje tun
1 - tun 2 - tun 3 y soluciona el crucigrama
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
1
17
Horizontales
1. Está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto.
3. Recta fija que dista de un punto que se mueve en el plano con igual longitud al foco.
7. Es la razón entre su distancia focal y su eje mayor.
9. Es el eje paralelo al eje focal y no toca a la hipérbola en ningún punto.
11. Es la distancia más pequeña situada entre las intersecciones de la elipse con los ejes.
12. Rectas que pasan por el centro de la hipérbola.
14. Es el eje comprendido entre los vértices de la hipérbola.
15. es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que la suma de sus distancias
a dos puntos fijos, es siempre igual a una constante.
16. Es el grupo de figuras geométricas que se forman al cortar de manera paralela a la base, perpendicular,
oblicua y paralela a un lado de un cono.
17. Es el eje en donde se localizan los focos.
Verticales
2. Segmento de recta que pasa por el foco y es paralelo a la directriz.
4. Se define como una curva plana y ordenada cuyos puntos equidistan de otro punto interior llamado centro.
5. Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que el valor absoluto de la
diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad
constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.
6. Conjunto de puntos que cumplen determinadas condiciones o propiedades geométricas.
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
1
18
8. Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de tal manera que su distancia de una recta
fija, es siempre igual a su distancia de un punto fijo.
10. Es la distancia más grande situada entre las intersecciones de la elipse con los ejes.
13. Puntos en donde se cortan las secciones cónicas con los ejes.
https://repositorio.iberopuebla.mx/bitstream/handle/20.500.11777/2000/Flores%20Torres%2C%20Samuel.pdf?s
equence=2&isAllowed=y
C) Resuelve y practica
¿Cuáles de las siguientes imágenes corresponden a una aplicación de la elipse en la vida real? Coloca una X
https://contenidosparaaprender.colombiaaprende.edu.co/G_10/M/SM/SM_M_G10_U04_L04.pdf
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
1
19
RECURSOS DIGITALES PARA TRABAJAR CON CONICAS
Contesta las siguientes preguntas referidas a la construcción de la grafica
de una parábola, para ello te proponemos que te dirijas al siguiente enlace
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/c12_para
bola_constr.html
1. ¿Qué tipo de curva describe el punto P (activa su traza para
comprobarlo)?
2. ¿Qué se puede decir de los segmentos PF y PD?
3. ¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?
4. Define la parábola como lugar geométrico.
Contesta las siguientes preguntas referidas a la construcción de la grafica
de una elipse, para ello te proponemos que te dirijas al siguiente enlace
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/c4_elipse
_constr.html
1. ¿Qué tipo de curva describe la traza de P?
2. ¿Qué representan los segmentos morados?
3. ¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?
4. Define la elipse como lugar geométrico.
Contesta las siguientes preguntas referidasa a la construcción de la grafica
de una circunferencia, para ello te proponemos que te dirijas al siguiente
enlace
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/c1_circun
f_constr.html
1. ¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?
2. ¿Qué tipo de curva describe P en su movimiento? Compruébalo: activa
el trazo de P y vuelve a moverlo.
3. ¿Cuáles son las coordenadas del punto C? ¿Y la medida de r?
4. ¿Qué cumplirán las coordenadas (x,y) del punto P?
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
1
20
Contesta las siguientes preguntas referidasa a la construcción de la grafica
de una circunferencia, para ello te proponemos que te dirijas al siguiente
enlace
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/c7_hiper
bola_constr.html
1. ¿Qué tipo de curva describe la traza de P?
2. ¿Qué representan los segmentos verde y lila?
3. ¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?
4. Desliza ahora el punto P'
5. Define la hipérbola como lugar geométrico.
Dirigete al enlace que se te presenta https://www.geogebra.org/m/ZdAJXFFu
y explora deslizando los puntos, comenta con tus compañeros que tipo de figura
cónica descubriste.
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
1
21
D) Resumen
Secciones Cónicas: Se denomina sección cónica a la curva intersección de un
cono con un plano que no pasa por su vértice. Según como
corte el plano al cono tendremos:
● Hipérbola: El plano forma con la base un
ángulo mayor que el que forma la generatriz.
● Parábola: El plano es paralelo a la
generatriz.
● Elipse: El plano forma con la base un ángulo
menor que el que forma la generatriz.
● Circunferencia: El plano es paralelo a la
base.
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
1
22
E) Valoración
i) Califica tu comprensión por tema en tu
cuaderno
Evi-
den-
cias
1.
2.
Evidencias actividad 1:
1. Identifica las secciones cónicas a partir
de los diferentes cortes hechos a un
cono.
2. Describe y diferencia las características
de las figuras cónicas a partir de sus
ecuaciones.
i) auto-diagnóstico.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ii) Valoración individual
1. Señala el nombre de las cónicas que se mencionan
en esta guía: ● Cono
● Círculo
● Hipérbola
● Circunferencia
● Elipse
● Parábola
2. Indica si las siguientes frases son verdaderas o
falsas:
● El círculo se obtiene cortando el cono por un
plano paralelo a su base.
● La parábola se obtiene al cortar con un plano
paralelo al suelo.
● El balón de rugby es una elipse.
3. En el caso de los chorros y las gotas de agua que
salen de los caños de las
numerosas fuentes que
podemos encontrar en las
ciudades. El desplazamiento
bajo la acción de la atracción
gravitatoria de la Tierra
permite obtener bonitos
arcos.
¿Qué forma tienen esos chorros? _____________
1. Usa una cámara fotográfica y tómale dos fotos a los objetos que tengan forma de secciones cónicas que
puedas apreciar en tu entorno.
2. Dado que has visto que es muy común encontrar elementos de forma cónica, como herramientas, como
utensilios de cocina, muebles, instrumentos musicales, artes, en la naturaleza, etc… ¿Cuál consideras que
es la importancia de las secciones cónicas en la vida diaria?
3. Hagan una lista de otros objetos que tengan forma de las diferentes secciones cónicas.
http://objetos.ciersur.co/LO/M_G10_U04_L02/M_G10_U04_L02/Material/SM_M_G10_U04_L02.pdf
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
2
23
ACTIVIDAD 2: IDENTIFICANDO LAS CÓNICAS
A PARTIR DE SU ECUACIÓN
En esta sección aprenderemos a trabajar con las ecuaciones de la parábola y la elipse.
A) Activando saberes previos
RECUERDA QUE...
Hay varias formas de estudiar las cónicas:
Se pueden estudiar como lo hicieron los griegos como lo has visto en las figuras anteriores, en términos
de intersecciones del cono con planos. En Grecia, en la época de Platón se consideraba que la
circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola procedían de la intersección de un cono con un plano.
Dichas cónicas tienen en común a la ecuación general de segundo grado
Se pueden estudiar como casos particulares de ecuaciones de segundo grado con dos variables x e y.
Sin embargo, las estudiaremos como lugares geométricos de puntos que cumplen cierta propiedad
geométrica.
Una ecuación cuadrática es una ecuación de grado 2 con una incógnita. Se expresa de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 +
𝑐 = 0, con 𝑎, 𝑏, 𝑐 ϵ R y 𝑎 ≠ 0.
Una ecuación cuadrática de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 es completa si el valor de la constante b y c es
diferente de cero. La solución de una ecuación cuadrática completa se puede obtener factorizando,
completando cuadrados o utilizando la fórmula general.
Fórmula general: las soluciones de una ecuación que tiene la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 están dadas por la
expresión:
𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
2
24
PRACTICA
En la actividad 2 de la guía 84 aprendimos a trabajar con las gráficas de la ecuaciones de segundo grado
de la forma 𝑥2.
1. Apoyándote en el Software de Matemáticas Geogebra te invitamos a graficar las siguientes ecuaciones:
A. f(x) = 𝑥2
B. f(x) = 2𝑥2 +3
C. f(x) = -𝑥2 + 2x + 1
D. f(x) = 5𝑥2 -1
E. f(x) = -0.5𝑥2 - 2x +4
F. f(x) = 𝑥2 - x
2. Observa y compara detenidamente las gráficas de las funciones anteriores ¿En qué se parecen?
3. La funciones utilizadas son de la forma: y= a𝒙𝟐 +bx+c. El valor de a puede ser positivo o negativo,
NUNCA nulo a.
3.1. ¿Qué sucede con la gráfica cuando a es positivo?
3.2. ¿Qué sucede con la gráfica cuando a es negativo?
4. Determine algebraicamente el vértice de las funciones (A), (B) y (C).
4.1. Compare este resultado con el valor que se presenta en las gráficas.
4.2. Tomando como referente la gráfica (A), diga cuál es el eje de simetría de cada gráfica.
5. Si se toman dos puntos de la gráfica que estén a la misma distancia del eje X (o sea que tengan el mismo
valor en Y), ¿cómo es la distancia de esos puntos con respecto al eje de simetría? Explique.
6. Menciona tres situaciones distintas que puedan ser modeladas o representadas gráficamente mediante
una parábola.
Verifica las respuestas de la sección A con tu profesor.
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
2
25
B) Ecuación Canónica y General
Una cónica es el lugar geométrico de los puntos (x,y) que
satisfacen:
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Donde las letras en mayúsculas (A, B, C, D, E y F) representan a constantes.
Para identificara una cónica de una ecuación general de segundo grado utilizaremos el “indicador”, que se
representa de la siguiente manera:
𝐼 = 𝐵2 − 4𝐴𝐶
Como se muestra en la fórmula, los valores que debemos tomar en cuenta, serán las constantes A, B y C,
respetando los signos que contengan. Los criterios que debemos tomar en cuenta, se dividirán en dos
casos:
● Caso 1: cuando B=0, es decir, 𝑨𝒙𝟐 + 𝑪𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
Es parábola si: A = 0 ó C = 0.
Es circunferencia si: A = C.
Es elipse si: A y C deben de ser diferentes y positivos.
● Caso 2: cuando B es diferente de cero, es decir, toma un valor numérico y está presente en la
ecuación general de segundo grado, 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Es parábola si: 𝐵 2 − 4𝐴𝐶 = 0
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
2
26
Es elipse si: 𝐵 2 − 4𝐴𝐶 < 0
Tomado de https://blog.unitips.mx/anal%C3%ADtica-c%C3%B3nicas-gu%C3%ADa-de-temas-para-el-
examen-
unam#:~:text=Es%20circunferencia%20si%3A%20A%3DC,y%20C%20tienen%20signos%20contrari
¿Qué tanto sabes?
Determinar el tipo de cónica que representa cada ecuación:
1. 𝟐𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓𝒚 + 𝟕 = 𝟎
2. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒 = 𝟎
3. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
MINI - EXPLICACIÓN: Conozcamos las diferentes ecuaciones de la Parábola
1. Parábola con V(0,0) ; abre a la derecha 5. Parábola con V(h,k) ; abre a la derecha
Ecuación:𝑦2 = 4𝑝𝑥
Foco: F(p,0)
Directriz D: x = - p
Eje: Y =0
Ecuación:(𝑦 − 𝑘)2 =
4𝑝(𝑥 − ℎ
Foco: F(p+h,k)
Directriz D: x = -
p+h
Eje: Y =k
2. Parábola con V(0,0) ; abre a la izquierda
6. Parábola con V(h,k) ; abre a la izquierda
Ecuación:𝑦2 = -4px
Foco: F(-p, 0)
Directriz D: x = p
Eje: Y =0
Ecuación:(𝑦 − 𝑘)2 =
−4𝑝(𝑥 − ℎ)
Foco: F(-p+h, k)
Directriz D: x = p+h
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
2
27
Eje: Y =k
3. Parábola con V(0,0) ; abre hacia arriba 7. Parábola con V(h,k) ; abre hacia arriba
Ecuación: 𝑥2 = -4py
Foco: F(0,p)
Directriz D: y = -p
Eje: X =0
Ecuación: (𝑥 − ℎ2 =
4𝑝(𝑦 − 𝑘)
Foco: F(h,p+k))
Directriz D: y = -p+k
Eje: X =h
4. Parábola con V(0,0) ; abre hacia abajo 8. Parábola con V(h,k); abre hacia abajo
Ecuación: 𝑥2 = -4py
Foco: F(0, -p)
Directriz D: y = p
Eje: X =0
Ecuación: (𝑥 − ℎ)2 =
−4𝑝(𝑦 − 𝑘)
Foco: F(h, -p+k)
Directriz D: y = p+k
Eje: X =h
Aplica:
Encuentra la ecuación canónica de la parábola utilizando la información dada.
PASO 1: Observa el ejemplo.
Eje focal paralelo al eje Y que tiene por vértice el punto (3, 2) y su
distancia focal es 5.
De acuerdo con los datos sabemos que: (h, k) = (3, 2)
p = 5
entonces, (𝑥 − 3)2 = 4 (5) (𝑦 − 2) Aplicamos ecuación: (𝑥 − ℎ)2 = 4 𝑝 (𝑦 − 𝑘)
(𝑥 − 3)2 = 20 (𝑦 − 2)
PASO 2: Resuelve el siguiente ejercicio con ayuda de tu profesor:
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
2
28
● Vértice = (0, 0) distancia focal = 2
PASO 3: Ahora coloca en práctica lo aprendido y soluciona:
a. Vértice = (-3, -4) y distancia focal 1
b. Vértice = (1, -4) distancia focal 3
Ecuación general de la parábola con eje focal paralelo al eje Y
Tiene la forma: 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑦 + 𝐷 = 0. Y puede obtenerse a partir de la ecuación canónica.
Escribe la ecuación general de la parábola en los siguientes ejercicios, teniendo en cuenta los datos dados.
PASO 1: Observa el ejemplo.
Vértice el punto (5,3) su distancia focal es 3.
En primer lugar escribimos la ecuación canónica de la parábola:
(𝑥 − 5)2 = 4 (3) ( 𝑦 − 3)
Luego realizamos las operaciones indicadas.
𝑥2 − 10𝑥 + 25 = 12 ( 𝑦 − 3)
𝑥2 − 10𝑥 + 25 = 12 𝑦 − 36
𝑥2 − 10𝑥 − 12 𝑦 + 61 = 0
PASO 2: Resuelve el siguiente ejercicio con ayuda de tu profesor:
● Vértice = ( -2, 0) y distancia focal = 1
PASO 3:Coloca en práctica resuelve:
a) Vértice = (5, 4) y distancia focal = 4
b) Vértice = (3, -2) y distancia focal 3
4
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
2
29
MINI - EXPLICACIÓN
Conozcamos las diferentes ecuaciones de la Elipse
1) Elipse Horizontal con C(0,0)
Ecuación Canónica:
𝑥2
𝑎2+
𝑦2
𝑏2= 1
Vértices:
𝐴2 = (−𝑎,0) ; 𝐴1 = (𝑎,0)
𝐵2 = (0, −𝑏) ; 𝐵1 = (0, 𝑏)
Focos:
𝐹2 = (−𝑐,0); 𝐹1 = (𝑐,0)
Directrices: 𝐷1 𝑦 𝐷2 𝑥 = ± 𝑎
𝑒= ±
𝑎2
𝑐
Eje mayor: Y=0
Eje menor: X=0
2) Elipse Horizontal con C(h,k)
Ecuación Canónica:
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2= 1
Vértices:
𝐴2 = (−𝑎 + ℎ, 𝑘) ; 𝐴1 = (𝑎 + ℎ, 𝑘)
𝐵2 = (ℎ, −𝑏 + 𝑘) ; 𝐵1 = (ℎ, 𝑏 + 𝑘)
Focos:
𝐹2 = (−𝑐 + ℎ, 𝑘); 𝐹1 = (𝑐 + ℎ, 𝑘)
Directrices: 𝐷1 𝑦 𝐷2 𝑥 = ± 𝑎
𝑒+ ℎ = ±
𝑎2
𝑐+ ℎ
Eje mayor: Y=k
Eje menor: X=h
3) Elipse Vertical con C(0,0) Ecuación Canónica:
𝑥2
𝑏2+
𝑦2
𝑎2= 1
Vértices:
𝐴2 = (0, −𝑎) ; 𝐴1 = (0, 𝑎)
𝐵2 = (−𝑏,0) ; 𝐵1 = (𝑏,0)
Focos:
𝐹2 = (0, −𝑐); 𝐹1 = (0, 𝑐)
Directrices: 𝐷1 𝑦 𝐷2 𝑥 = ± 𝑎
𝑒= ±
𝑎2
𝑐
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
2
30
Eje mayor: X=0
Eje menor: Y=0
4) Elipse Vertical con C(h,k)
Ecuación Canónica:
(𝑥ℎ)2
𝑏2+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2= 1
Vértices:
𝐴2 = (ℎ, −𝑎 + 𝑘) ; 𝐴1 = (ℎ, 𝑎 + 𝑘)
𝐵2 = (−𝑏 + ℎ, 𝑘) ; 𝐵1 = (𝑏 + ℎ, 𝑘)
Focos:
𝐹2 = (ℎ, −𝑐 + 𝑘); 𝐹1 = (ℎ, 𝑐 + 𝑘)
Directrices: 𝐷1 𝑦 𝐷2 𝑥 = ± 𝑎
𝑒+ 𝑘 = ±
𝑎2
𝑐+ 𝑘
Eje mayor: X=h
Eje menor: Y=K
Halla la ecuación canónica de las siguientes elipses: Observa el ejemplo dado para guiarte.
a. Con eje mayor paralelo al eje X que tiene por centro el punto (3, -2), su eje mayor mide 4 su eje
menor 3.
Identifiquemos la información que nos dan:
(h, k) = (3, 2)
2a = 4
2b = 3
(𝑥 − 3 )2
22
+(𝑦 + 2 )2
(32
)2 =1
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
2
31
b. Indica la ecuación de la elipse que tiene eje mayor paralelo al eje Y, cuyo centro es el punto (-1, 1),
su eje mayor mide 10 y su eje menor 6.
c. Centro = (0, -3), eje mayor paralelo al eje X, longitud del eje mayor = 5, longitud del eje menor 1.
PROBLEMAS Y JUEGOS DE REFUERZO:
1. En el software de Matemáticas Geogebra, Teniendo presente la definición de elipse como lugar
geométrico, prueba que 𝑥 2
𝑎2+𝑦2
𝑏2=1 es la ecuación de una elipse con centro en el origen del sistema de
coordenadas, eje focal coincidiendo con el eje “x”, focos F(c, 0) y F’(-c, 0), semieje mayor igual a “a”
y semieje menor igual a “b”.
2. Determina la ecuación de la elipse de centro en el origen, foco en (0,3) y semieje mayor igual a 5.
Utilizando Geogebra verifica tu respuesta.
3. Es hora de competir...
Reúnete con un compañero para colocar en práctica qué tan ágil son para reconocer las ecuaciones con su
respectiva cónica, ganará aquel que tenga más aciertos.
𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟑 𝒚 + 𝟏𝟎 = 0
𝟒𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟐 = 0
𝟏𝟔(𝒙 + 𝟐)𝟐 + 𝟒(𝒚 + 𝟏)𝟐 = 𝟔𝟒
𝒙𝟐=𝟏
𝟒y
𝒙 𝟐
𝒂𝟐+𝒚𝟐
𝒃𝟐=1
(𝒙 +𝟒)𝟐
𝟗+
(𝒚+𝟐)𝟐
𝟒=1
(𝒙 − 𝟏)𝟐 = 𝟒(𝒚 + 𝟏)𝟐
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
2
32
C) Resuelve y practica
Completa según los conocimientos adquiridos:
Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de
la siguiente elipse:
𝑥2+4𝑦2 = 16 .
➢ Obtenemos ecuación canónica de:
𝑥2+4𝑦2 = 16 𝑥2
16+
𝑦2
4=1
➢ Eje _______
➢ Obtenemos el valor del semieje ____
𝑎2=16 a =
➢ Y así encontrarás sus vértices
A (4,0) A’ ( , 0)
➢ Eje _______
➢ Obtenemos el valor del semieje ____
𝑏2=4 b =
➢ Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son
B ( , ) B’( , )
➢ Focos
Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal
𝑐 = √16 − 4 𝑐 = 2 √3
y con éste, localizar los focos
𝐹 (2 √3,0) 𝐹′ ( , )
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
2
33
➢ Excentricidad
La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal el semieje mayor
e =
➢ Gráfica
En el software de Matemáticas geogebra, grafica las
siguientes ecuaciones de elipses:
a. 𝑥2
52+
𝑦2
32=1
b. 𝑥2= 4y
c. (𝑥+1)2
16+
(𝑦 − 3)2
4=1
RESPONDE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS
CON BASE A LA INFORMACIÓN
Al cortar un cono de manera transversal y en forma
oblicua con un plano se logra obtener alguna cónica
como hemos visto anteriormente. Si el corte se
hiciera de forma longitudinal, con el plano
perpendicular a la base y pasando por el centro de
ella como se muestra en la imagen, ¿cuál sería la
figura resultante si la altura y el diámetro del cono
es h?
A. Una parábola.
B. Una circunferencia de radio h/2.
C. Un triángulo de base y altura h.
D. Una elipse de eje mayor h.
0bserva la siguiente gráfica:
Si la circunferencia se desplaza 3 unidades
hacia la izquierda y 4 unidades hacia abajo,
¿cuál de las siguientes coordenadas
pertenece a la nueva circunferencia?
A. (4,-2)
B. (0,2)
C. (5,-2)
D. (-2,-3)
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
2
34
¿Cuál sería la figura resultante si se cortara un
cilindro con las mismas condiciones?
A. Una elipse de eje mayor h.
B. Un cuadrado de lado h.
C. Un rectángulo de lados h y 2h.
Una circunferencia de radio mayor h.
¿Cual es la ecuación que representa la
circunferencia?
A. (x-2)2+(y-4)2=16
B. (x-4)2+(y-2)2=16
C. (x+4)2+(y+2)2=16
D. (x+2)2+(y+4)2=16
D) Resumen
https://sites.google.com/site/pfmpesquer/3-geometria-analitica
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
2
35
https://sites.google.com/site/aswdafhhjwefjk/3-1-conjunto-de-numeros-reales/3-2/3-3-ecuaciones-
cuadraticas/3-4-geometria-analitica/3-4-1-mapas-conceptuales
E) Valoración
Con el fin de que valores lo que aprendiste en la actividad Nº 2, te invitamos a realizarla:
i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno
Evidencias
1.
2.
Evidencias actividad 1:
1. Relaciona y aplica los diferentes procedimientos
matemáticos en la solución de ejercicios que
involucran ecuaciones y gráficas de las secciones
cónicas.
ii) Valoración individual
Responde verdadero o falso según cada
proposición:
1) La ecuación canónica de la parábola con
eje focal paralelo al eje es 𝑥2= 4py
________________.
2) la gráfica Parábola con V(0,0) ; abre a
la izquierda es de la forma
Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno
GUÍA 95
GRADO 10
ACTIVIDAD
2
36
2. Propone solución a situaciones tipo prueba SABER
a partir de las características presentes en las
ecuaciones de figuras cónicas.
i) Me auto - diagnóstico
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
_____________.
________________.
3) ¿Bajo ciertas condiciones la parábola
se puede transformar a Circunferencia?
________________.
Problemas:
1. Determina el foco, la directriz, la longitud del lado recto el gráfico de la parábola 𝑦2= 18x
2. Escribe la ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de
abscisas, sabiendo que pasa por el punto P(10, -4) y que su eje mayor es igual al doble del menor.