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2
CAPITULO 1
ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
1.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Se llama ecuación lineal sobre un campo K, a una expresión de la forma:
bxaxaxa nn =+++ K2211 (1)
donde los K, ∈bai y los ix son indeterminadas, incógnitas o variables. Los
escalares ia se denominan coeficientes y b es llamado término constante o
independiente de la ecuación. Un conjunto de valores de las incógnitas, por ejemplo:
nn kxkxkx === ,,, 2211 K
se dice que es una solución de la ecuación (1) si:
bkakaka nn =+++ K2211
generalmente si no hay ambigüedad acerca de la posición de las incógnitas, se
denotará esta solución como la n-upla ),,,( 21 nkkkS K=
NOTA.- En lo que sigue del curso el campo K que se considerará, será el campo de
los números reales (R) o el campo de los números complejos (C).
Ejemplo.1.- Sea la ecuación
22 =− yx
una solución para la ecuación es 1=x e 0=y ; pues reemplazando estos valores en la
ecuación, ésta se verifica
20)1(2 =−x
Nótese que no son los únicos valores para x e y que satisfacen la ecuación. También si
se considera 0=x e 2−=y se verifica la ecuación.
El conjunto de todas las soluciones de la ecuación es llamado conjunto solución de la
ecuación lineal y se obtiene asignando a una de sus variables un valor arbitrario
llamado parámetro y luego despejando la otra variable en términos del parámetro.
Así dando el valor de ax = se tiene ay 22 −= .
3
Interpretación geométrica.- La ecuación 22 =− yx representa una recta en el plano
que se denotará por L. En consecuencia, cualquier punto que pertenece a la recta L es
una solución de la ecuación 22 =− yx .
Ejemplo.2.- Si se considera la ecuación
1=++ zyx
una solución para la ecuación es 1=x , 0== zy . Otra sería 1=y , 0== zx .
El conjunto solución de la ecuación se obtiene asignando dos parámetros diferentes a
dos de las variables y despejando la tercera en términos de los parámetros asignados.
Es decir haciendo ax = e by = se tiene baz −−= 1 , donde a y b pueden tomar el
valor de cualquier número real.
Interpretación geométrica.- La ecuación 1=++ zyx representa un plano en el
espacio que se denotará por P. Luego, cualquier punto del plano P es solución de la
ecuación.
A continuación se definirá un sistema de ecuaciones lineales como una colección
finita de ecuaciones lineales.
O 1
-2
22: =− yxL
X
Y
Z
Y
X
1: =++ zyxP
O 1
1
1
4
Se llamará un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas nxxx ,,, 21 K sobre
el campo K, a una expresión de la forma
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
=+++
=+++=+++
K
MMMM
K
K
2211
22222121
11212111
(2)
donde los K∈iji ba , .
Una forma fácil de resolver un sistema de ecuaciones lineales es haciendo uso del
conocido método de eliminación gaussiana; éste método consiste en reducir un
sistema de ecuaciones lineales a otro equivalente más simple que tiene el mismo
conjunto solución. Para aplicar el método de eliminación hay que tener en cuenta que
el conjunto solución del sistema no se altera si se realizan cuantas veces sean
necesarias las siguientes operaciones:
1. Intercambiar dos ecuaciones.
2. Multiplicar una ecuación por una constante distinta de cero.
3. Sumar el múltiplo de una ecuación a otra.
Ejemplo 3.- Sea el sistema
422
=+=−
yxyx
(3)
Solución
Multiplicando la segunda ecuación por 2
82222
=+=−
yxyx
multiplicando la primera ecuación por 1− y luego sumando a la segunda
6322
==−
yyx
despejando la variable de la segunda ecuación se tiene
2=y
reemplazando el valor de 2=y en la primera ecuación se obtiene el valor de
2=x
Luego, 2=x e 2=y es la solución del sistema (3). El sistema (3) geométricamente
representa dos rectas en el plano, y resolver simultáneamente el sistema significa
hallar los puntos de intersección de las rectas. Si denotamos por 1L la recta
5
determinada por la ecuación 22 =− yx y por 2L la recta determinada por la
ecuación 4=+ yx , entonces })2,2({21 =∩LL como se puede ver en el siguiente
gráfico.
Ejemplo 4..- Sea el sistema
42422−=+−
=−yx
yx (4)
Solución
Multiplicando la segunda ecuación por 21
−
2222
=−=−
yxyx
nótese que las dos ecuaciones son iguales, por consiguiente resolver el sistema se
reduce solamente a resolver una de las ecuaciones. Así dando el valor de ax = se
tiene ay 22 −= lo que significa que el sistema tiene infinitas soluciones.
Geométricamente el sistema (4) representa dos rectas paralelas coincidentes en el
plano como se puede apreciar en el gráfico siguiente.
Y
X
22:1 =− yxL
4:2 =+ yxL
O
(2 ; 2)
Y
X O
424:2 −=+− yxL 22:1 =− yxL
6
Ejemplo 5.- Sea el sistema
82422−=+−
=−yx
yx (5)
Solución
Multiplicando la segunda ecuación por 21
−
4222
=−=−
yxyx
en éste ejemplo nótese que la expresiones de la izquierda en ambas ecuaciones son
iguales, en consecuencia se tendría que 42 = , lo cual es un absurdo. El sistema (5) no
tiene solución. Los sistemas que no tienen solución se denominan incompatibles o
inconsistentes. Geométricamente el sistema (5) representa dos rectas paralelas. Si
denotamos por 1L la recta determinada por la ecuación 22 =− yx y por 2L la
recta determinada por la ecuación 824 =+− yx , entonces Φ=∩ 21 LL , como se
puede ver en el siguiente gráfico.
Ejemplo 6.- Un club social tiene un comedor con 56 mesas de tres tipos diferentes, x
mesas con 4 asientos cada una, y mesas con 8 asientos cada una, y z mesas con 10
asientos cada una. La capacidad de asientos del comedor es de 468. Durante un
almuerzo se ocuparon la mitad de las x mesas, un cuarto de las y mesas y un décimo
de las z mesas, haciendo un total de 12 mesas. ¿Cuántas mesas de cada tipo se usaron
en el almuerzo?.
Solución
El enunciado del problema, se puede expresar mediante el siguiente sistema
Y
X
22:1 =− yxL
42:2 =− yxL
O
7
12101
41
21
468108456
=++
=++=++
zyx
zyxzyx
(6)
multiplicando la primera ecuación por 4− y sumando a la segunda; luego
multiplicando la primera ecuación por 21
− y sumando a la tercera se tiene
1652
41
2446456
−=−−
=++=++
zy
zyzyx
multiplicando la tercera ecuación por 16−
2565
324
2446456
=+
=++=++
zy
zyzyx
multiplicando a la segunda ecuación por 1− y sumando a la tercera
1252
2446456
=+
=++=++
z
zyzyx
en este último sistema, de la tercera ecuación se obtiene el valor de
30=z
y sustituyendo el valor de z en la segunda ecuación se tiene
16=y
y así sucesivamente por retroceso, sustituyendo los valores de z e y en la primera
ecuación se tiene
10=x
Luego, la solución para el sistema (6) es 10=x , 16=y y 30=z .
EJERCICIOS
1. Resuelva el sistema lineal dado mediante el método de eliminación
a) 44382
=−=+
yxyx
b) 10335
=+=+
yxyx
c) 1335
2642−=−
=+yxyx
d) 1596532
−=+−=−
yxyx
8
e) 941114
26523438
−=−=+
−=−
yxyxyx
f) 12332
12432
=++−=+−−=+−
zyxzyxzyx
g) 48224223
=+−=++=++
zyxzyx
zyx h)
85431543212642
−=++=−−
−=++
zyxzyxzyx
i) 632
=+−=−+
zyxzyx
j) 3266123
=++=−+
zyxzyx
2. Dado el sistema lineal
tyxyx
=−=−
2452
a) Determine el valor de t de modo que el sistema tenga una solución.
b) Determine un valor de t de modo que el sistema no tenga solución.
c) ¿Cuántos valores distintos de t se pueden elegir en la parte (b)?
3. Dado le sistema lineal
054032
=+−=−+
zyxzyx
a) Verifique que 1,1,1 111 −=−== zyx ; es una solución.
b) Verifique que 2,2,2 222 ==−= zyx ; es una solución.
c) ¿Es 1,1 2121 =+=−=+= yyyxxx y 121 =+= zzz una solución del sistema
lineal?
d) ¿Es zyx 3,3,3 , donde yx, y z son como en la parte (c) solución del sistema
lineal?
4. Sin utilizar el método de eliminación, resuelva los siguientes sistemas:
a) 473522
==+
−=−−
zzyzyx
b) 12253
13284
=−+−=−−=
zyxyx
x
5. ¿Hay un valor de r tal que 1=x , 2=y , rz = sea una soluciona del siguiente
sistema lineal? En tal caso, determínelo.
1224
721132
=−+−=+−
=−+
zyxzyx
zyx
9
6 ¿Hay un valor de r tal que 1,2, === zyrx sea una solución del siguiente sistema lineal? En tal caso determínelo.
923254
423
=++−−=+−
=−
zyxzyxzx
7. La suma de dos números es 15. El quíntuplo del primer número más el triple del
segundo es 61. Encuentre los dos números. 8. Una refinería produce gasolina con y sin azufre. Cada tonelada de gasolina sin azufre
requiere 5 minutos en la planta de mezclado y 4 en la planta de refinación. Por su parte, cada tonelada de gasolina con azufre requiere 4 minutos en la planta de mezclado y 2 en la planta de refinación. Si la planta de mezclado tiene 3 horas disponibles y la de refinación 2, ¿cuántas toneladas de cada gasolina se deben producir para que las plantas se utilicen al máximo?
9. Un industrial produce dos tipos de plástico: regular y especial. Cada tonelada de
plástico regular necesita 2 horas en la planta A y 5 en la planta B; cada tonelada de plástico especial necesita 2 horas en la planta A y 3 en la planta B. Si la planta A tiene disponibles 8 horas al día y la planta B 15, ¿cuántas toneladas de cada tipo de plástico pueden fabricarse diariamente de modo que las plantas operen a toda su capacidad?
10. Un nutricionista está preparando una dieta que consta de los alimentos A, B y C. Cada
onza del alimento A contiene 2 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 4 unidades de carbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3 unidades de proteína. 2 unidades de grasa y 1 unidad de carbohidratos. Cada onza del alimento C contiene 3 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 2 unidades de carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar exactamente 25 unidades de proteína. 24 unidades de grasa y 21 unidades de carbohidratos, ¿cuántas onzas de cada comida se necesitan?
11. Una farmacia vende 100 unidades de vitamina A, 50 unidades de vitamina C y 25
unidades de vitamina D por un total de $17.50; 200 unidades de vitamina A, 100 unidades de vitamina C y 100 unidades de vitamina D por $45.00; 500 unidades de vitamina A, 80 unidades de vitamina C y 50 unidades de vitamina D por $64.00. Encuentre el costo por unidad de cada una de las vitaminas A, C y D.
12. Un fabricante produce reveladores de películas de 2, 6 y 9 minutos. Cada tonelada de
revelador de 2 minutos requiere 6 minutos en la planta A y 24 en la planta B. Cada tonelada de revelador de 6 minutos requiere 12 minutos en la planta A y 12 en la planta B. cada tonelada de revelador de 9 minutos requiere 12.
10
1.2. MATRICES
Al resolver el sistema
12101
41
21
468108456
=++
=++=++
zyx
zyxzyx
(1)
por el método de eliminación, se ha trabajado básicamente con los coeficientes del
sistema, sin tener que preocuparse por las variables. En la práctica, después de
establecer un orden en la disposición de las variables, el sistema se puede expresar
mediante un arreglo rectangular de la siguiente manera
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
12101
41
21
468108456111
(2)
el arreglo rectangular (2) descrito anteriormente recibe el nombre de matriz
aumentada o matriz ampliada asociada al sistema (1). El concepto de matriz que es
de suma importancia en el álgebra lineal se formaliza en la siguiente definición.
DEFINICIÓN.- Sea K un campo (R o C) y sean m, n números enteros mayores o
iguales a uno. Se llama matriz en K a todo arreglo A de escalares en K de la forma:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nmmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
K
MKMM
K
K
21
22221
11211
que de manera abreviada se escribirá miaA ji ,,1],[ K== y nj ,,1 K= . Si la
matriz A tiene m filas y n columnas, se dirá que A es una matriz de orden m por n, lo
que se escribe como )( nm × .
Ejemplo 1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=103
412A , ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=43
21B ,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
102
C , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
231102011
D ,
[ ]3=E , [ ]5021 −=F y ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−+
−=
iiii
iiG
213132201
11
son matrices. La matriz A es de orden 32× , B es una matriz de orden 22× , C es una
matriz de orden 13× , D es una matriz de orden 33× , E en una matriz de orden 11× ,
F es una matriz de orden 41× y G es una matriz de orden 33× . Las matrices A, B, C,
D, y E tienen como entradas números reales; mientras que las entradas de la matriz G
son números complejos.
NOTA.- Las matrices que tienen una sola fila como la matriz F del ejemplo 1 se
denominan matrices fila o vectores fila y las matrices que tienen una sola columna
como la matriz C del ejemplo 1 son llamadas matrices columna o vectores columna.
Ejemplo 2.- Una empresa tiene cuatro plantas, en cada una de ellas se fabrican tres
productos. Si ija denota el número de unidades del producto i elaborado por la planta
j durante una semana. La siguiente matriz
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3800
80
200480390
370400350
210240420
3Pr2Pr1Pr
4321
oductooductooducto
PlantaPlantaPlantaPlanta
da la producción de la empresa en una semana.
42011 =a , es el número de unidades del producto 1 que produce la empresa en la
planta 1
37032 =a , es el número de unidades del producto 3 que produce la empresa en la
planta 2
Nótese que la empresa no produce el producto 2 en la planta 4.
Ejemplo 3.- La siguiente matriz da las distancias (en kilómetros) entre las ciudades
de Lima, Tumbes, Tacna y Huaraz.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
01787897452
17870
26841335
8972684
01349
45213351349
0
HuarazTacna
TumbesLima
HuarazTacnaTumbesLima
12
El conjunto formado por todas las matrices de orden nm× con elementos en el
campo K se denota por
AAnm /{=×K es una matriz de orden )( nm× con elementos en el campo K }
Igualdad de matrices.- Dos matrices de orden nm× nmjiaA ×= ][ y nmjibB ×= ][ se
dice que son iguales si ijij ba = para todo njmi ≤≤≤≤ 1,1 .
Ejemplo 4.-Si
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−++
21064
yxtztzyx
hallar los valores de x, y, z y t.
Solución
De la definición de igualdad de matrices se tiene
21064
=−=−=+=+
yxtztz
yx
sumando la primera y cuarta ecuación se obtiene
362 =⇒= xx
y sustituyendo el valor de x en la primera ecuación se obtiene el valor de 1=y .
Análogamente, sumando la segunda y tercera ecuación se tiene
8162 =⇒= zz
y reemplazando el valor de z en las segunda ecuación resulta 2−=t .
Luego, 8,1,3 === zyx y 2−=t .
TIPOS DE MATRICES
1. Matriz nula.- Dada la matriz nmjiaA ×= ][ , se dice que A es una matriz nula y
denota por 0=A si y solo si 0=jia para todo mi ,,1 K= y nj ,,1 K= .
Explícitamente, se escribe como
nm×⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
000
000000
0
K
MKMM
K
K
13
2. Matriz cuadrada.- Una matriz nmjiaA ×= ][ se dice que es cuadrada si y solo si
nm = .
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
K
MKMM
K
K
21
22221
11211
es decir una matriz es cuadrada si el número de sus filas es igual al número de sus
columnas. En una matriz cuadrada de orden n se llama diagonal principal a los
escalares nnaaa ,,, 2211 L y a la suma de los elementos de la diagonal principal
se denomina traza de A lo que se denota por )(ATr ; es decir
nn
n
iii aaaaATr +++== ∑
=
L22111
)(
Ejemplo 5.- Dadas las siguientes matrices
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
4132
A y ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
243531021
B
se tiene que:
642)( =+=ATr
2231)( −=+−−=BTr
3. Vector fila y vector columna de una matriz.
Dada la matriz
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nmmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
K
MKMM
K
K
21
22221
11211
La primera fila de A se denotará por: ][)( 112111 naaaAF K= y a la i-ésima fila
por: ][)( 21 niiii aaaAF K= , de manera análoga,
14
la primera columna por:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1
21
11
1 )(
ma
aa
ACM
y a la j-ésima columna por:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
jm
j
j
j
a
aa
ACM2
1
)(
Luego la matriz A se puede escribir como
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
)(
)()(
2
1
AF
AFAF
A
m
M en término de sus filas y
como [ ])()()( 21 ACACACA nK= en término de sus columnas.
a) )(,),(),( 21 AFAFAF mK se denominan vectores filas de la matriz A.
b) )(,),(),( 21 ACACAC nK se denominan vectores columnas de la matriz A.
Ejemplo 6.- Dada la matriz
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
627450
312A
Los vectores fila de la matriz A son: [ ]312)(1 −=AF , [ ]450)(2 −=AF y
[ ]627)(3 =AF .
Los vectores columna de A son:⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
702
)(1 AC , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
251
)(2 AC , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=64
3)(3 AC
4. Matriz diagonal.- Se dice que una matriz cuadrada nnijaA ×= ][ de orden n es
diagonal si y solo si 0=ija para todo ji ≠ ; nji ≤≤ ,1
Ejemplo 7.- Las siguientes matrices son diagonales
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
500030002
A , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010001
B y
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
3000030000300003
C
15
5. Matriz escalar.- Se llama matriz escalar a una matriz diagonal donde todos los
elementos de la diagonal principal son iguales a una constante k diferente de 0 y
de 1.
Ejemplo 8.- Las siguientes matrices son escalares
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
200020002
A , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
500050005
B ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
3000030000300003
C
6. Matriz identidad.- Una matriz cuadrada ][ ijaA = de orden n tal que
⎩⎨⎧
≠=
=jisijisi
aij 01
.
para i, j variando de 1 hasta n es llamada matriz identidad de orden n y se
denota por nI .
Ejemplo 9.- Las siguientes matrices son matrices identidades
[ ]11 =I , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1001
2I , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010001
3I ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
100
010001
K
MKMM
K
K
nI
1. Matriz triangular superior y matriz triangular inferior.- Una matriz cuadrada
][ ijaA = de orden n se dice que es
a) Triangular superior si 0=ija para ji > . Es decir, explícitamente
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nn
n
n
n
a
aaaaaaaa
A
0000
000
a
333
22322
1131211
OMMM
L
L
L
b) Triangular inferior si 0=ija para ji < . Es decir, explícitamente
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nnnnn aaaa
aaa
A
0
0a00a000a
321
333231
2221
11
OMMM
L
L
L
16
OPERACIONES CON MATRICES
1. SUMA DE MATRICES.- Dadas dos matrices nmjiaA ×= ][ y nmjibB ×= ][ del
mismo orden. La suma de A y B es una matriz del mismo orden que se define
como
( )nmjiji baBA
×+=+ njmi ≤≤≤≤ 1,1
Explícitamente si
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nmmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
K
MKMM
K
K
21
22221
11211
y
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nmmm
n
n
bbb
bbbbbb
B
K
MKMM
K
K
21
22221
11211
se tiene que
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
++++++
=+
mnnmmmmm
nn
nn
bababa
babababababa
BA
K
MKMM
K
K
2211
2222222121
1112121111
Dos matrices del mismo orden se dice que son conformables respecto a la adición
de matrices.
Ejemplo 10.- Dadas las matrices
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=401132
A y ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
142321
B
calcular BA+ .
Solución
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=+142321
401132
BA
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++−+−+−++
=1440)2(131)2(312
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=543413
Ejemplo 11.- Una empresa metalmecánica fabrica tres modelos A, B y C de un
producto. Partes de cada uno se elaboran en la fábrica 1F ubicada en Arequipa, y
después se terminan en la fábrica 2F ubicada en Lima. El costo total de cada
17
producto consta de los costos de manufactura y de embarque. Entonces los costos
en cada fábrica (en dólares) se pueden describir mediante las matrices 1F y 2F
CModeloBModeloAModelo
F
embarquedeCosto
amanufacturdeCosto
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
353020
804035
1
CModeloBModeloAModelo
F
embarquedeCosto
amanufacturdeCosto
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
302030
1406050
2
La matriz
CModeloBModeloAModelo
FF
embarquedeCosto
amanufacturdeCosto
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=+
655050
22010085
21
proporciona los costos totales de manufactura y embarque de cada producto. Así,
los costos totales del modelo B por manufactura y embarque son 100 y 50 dólares
respectivamente.
2. Multiplicación de una matriz por un escalar.- Dada la matriz
K∈= × kaA nmji ,][ . La multiplicación de la matriz A por el escalar k denotado
por kA se define como
nmjiakkA ×= ][
Explícitamente si
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nmmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
K
MKMM
K
K
21
22221
11211
y K∈k
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nmmm
n
n
kakaka
kakakakakaka
kA
K
MKMM
K
K
21
22221
11211
18
Ejemplo 12.- Dada las matrices
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=401132
A
calcular A3
SOLUCIÓN
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=1203396
401132
33A
Ejemplo 13.- Dadas las matrices
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=401132
A y ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
142321
B
calcular BA 25 −
SOLUCIÓN
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=−142321
2401132
525 BA
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=284642
200551510
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−=
18811198
3. Transpuesta de una matriz.- Dada una matriz nmjiaA ×= ][ se llama transpuesta de
A a la matriz denotada por TA que se define como
mnijT aA ×= ][
Escrito en forma explicita,
si
nmnmmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
×⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
K
MKMM
K
K
21
22221
11211
, entonces
mnnmnn
m
m
T
aaa
aaaaaa
A
×⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
K
MKMM
K
K
21
22212
12111
Ejemplo 14.- Sean las matrices
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
2413
A , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
034751
B ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
043
5
C y [ ]7421 −−=D
entonces, sus transpuestas son:
19
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=2143TA ,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
073541
TB , [ ]0435 −=TC y
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
7421
TD
EJERCICIOS
1. Calcular la matriz BA 335
− . Sabiendo que:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−=
3122/102
A y ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
3/203/1012
B
2. Determinar la matriz:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
uzyx
X , sabiendo que IX =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
+2210
3. Si
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−+
3424
2222
dcdcbaba
determinar los valores de a, b, c y d.
4. Encuentre todos los valores de x para los cuales
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +xxx
exxxx
x 199319941994
)ln(1993
2
22
5. Sean las matrices:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
412321
A , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
231201
B , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
312514313
C ,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
4223
D , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
123410542
E y ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
3254
F
en caso de ser posible calcular:
a) EC 52 − b) )(3 FD + c) TEC )32( +
d) TT AB )23( − e) TFD )23( − f) TTFEC )( ++
6. Sean
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
423331352
A y ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010001
I
20
Si λ es un número real, calcule AI −λ .
7. Escribir en forma explícita las siguientes matrices:
a) 43][ ×= ijaA , si jij ia )1(2 −+=
b) 33][ ×= ijbB , si ⎩⎨⎧
<+−−≥+
= + 3)1(3},min{
jisiijjisiji
b jiij
8. En relación al ejercicio 6 hallar.
a) TA y TB .
b) )(ATr .
9. Sea
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
feeedccba
A
a) Calcule TAA − .
b) Calcule TAA +
c) Calcule ( )TTAA −
10. Dada la matriz 55][ ×= ijaA , donde ⎩⎨⎧
+−+−
=imparesjisipjqi
paresjisiqjpiaij . Si se
cumple que 1524 aa = y 153255 =+ aa , hallar la traza de A.
11. Sea 33][ ×= ijaA tal que
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−
<+
=jisi
ji
jisiji
aij
22
2 y ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−+−+++−−
=2/32/12
2/51232/1
zyxzyx
zyxB
Si BA = , hallar el valor de )(2 zyx ++ .
12. Dadas las matrices ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=1231
A , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=1342
B y ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
3215
C . Resolver la
ecuación CXABCX +−−=+ )](3[2)(3 .
13. Resolver el sistema ⎩⎨⎧
=+=−
BYXAYX
32
, si ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=0132
A y ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
3524
B .
14. Hallar la matriz X, si )(2)](2[3 BCCBXA −=+−+ , donde
⎩⎨⎧
≥+<−
=jisijijisiji
aij
2 ,
⎩⎨⎧
≠=−
=jisiijjisii
bij
2 y ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
2312
C
21
1.3. PRODUCTO PUNTO Y MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
Producto punto o producto interior .- El producto punto o producto interior o
producto escalar de los n-vectores [ ]naaa L21=a y
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nb
bb
M2
1
b se define como
[ ] ∑=
+++==
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⋅n
innii
n
n babababa
b
bb
aaa1
22112
1
21 LM
Lba
Ejemplo 1.- Dados los 4-vectores [ ]4312 −=u y
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
523
1
v se tiene
[ ] 9)5)(4()2)(3()3)(1()1)(2(
523
1
4312 −=−++−−+=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−=⋅ vu
Ejemplo 2.- Sean los 3-vectores [ ]x23−=a y ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
x23
b
Si 17=⋅ba hallar x.
Solución
[ ] 24174923
23 22 ±=⇒=⇒=++=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−=⋅ xxx
xxba
Producto de matrices.- Sean las matrices pmjiaA ×= ][ y npjibB ×= ][ el producto de
A por B denotado por AB se define como:
nmjicCAB ×== ][ donde ∑=
=p
kjkkiji bac
1 ; para todo njmi ,,1,,,1 KK ==
la componente ijc es el producto punto o producto interior de la i-ésima fila de A y
la j-ésima columna de B. Es decir, si )(,),(),( 21 AFAFAF mK denotan los vectores
22
filas de la matriz A y )(),(),( 21 BCBCBC nK denotan los vectores columnas de la
matriz B, entonces
)()( BCAFc jiji = donde mi ,,1 K= y nj ,,1 K= .
Escrito de manera explícita
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
)()()()()()(
)()()()()()()()()()()()(
21
22212
12111
BCAFBCAFBCAF
BCAFBCAFBCAFBCAFBCAFBCAF
AB
nmmm
n
n
L
MKMM
K
K
Observaciones
1) El producto AB está definido si y solo si el número de columnas de la matriz A es
igual al número de filas de la matriz B.
2) Si el producto AB está definido, se dice que A es conformable con B respecto a la
multiplicación.
3) Si AB está definido, no necesariamente BA está definido.
Ejemplo 3. Dadas las matrices
4214322103
×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=A y
34214203110121
×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
=B se tiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
1269814
214203110121
14322103
AB
Nótese que BA no está definido; pues el número de columnas de B es 3 y es diferente
al número de filas de A que es 2.
Ejemplo 4.- Sean las matrices
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=213
21 xA y
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
1xy
B .
Si ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
26
AB , hallar los valores de x, y.
Solución
23
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++−
+=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=26
233
1213
21yxyx
xy
xAB
22363
=++−=+
yxyx
⇒ 0363
=+−=+
yxyx
multiplicando la primera ecuación por 3
03
1839=+−=+
yxyx
y restando la segunda ecuación de la primera
59
1810 =⇒= xx
y finalmente reemplazando el valor de x en la segunda ecuación se obtiene
53
59
3 =⇒= yy
Ejemplo 5.- Dadas las matrices
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
304132
A y ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
421313
B
calcular las siguientes entradas del producto AB .
a) La entrada )2,1(
b) La entrada )3,2(
c) La entrada )1,3(
d) La entrada )3,3(
Solución
a) La entrada )2,1( se halla multiplicando la primera fila de la matriz A por la
segunda columna de la matriz B.
[ ] 4)2)(3()1)(2(21
32)()( 21 =+−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⋅ BCAF
b) La entrada )3,2( se calcula multiplicando la segunda fila de la matriz A por la
tercera columna de la matriz B.
[ ] 13)4)(4()3)(1(43
41)()( 32 =+−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⋅ BCAF
24
c) La entrada )1,3( se halla multiplicando la tercera fila de la matriz A por la
primera columna de la matriz B.
[ ] 3)1)(3()3)(0(13
30)()( 13 =+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⋅ BCAF
d) La entrada )3,3( se halla multiplicando la tercera fila de la matriz A por la tercera
columna de la matriz B.
[ ] 12)4)(3()3)(0(43
30)()( 33 =+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⋅ BCAF
Ejemplo 6. Un proyecto de investigación nutricional comprende adultos y niños de
ambos sexos. La composición de los participantes está dada por la matriz:
MujeresHombres
A
niñosadultos
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
200120
10080
El número de gramos diarios de proteínas, grasa y carbohidratos que consume cada
niño y cada adulto está dada por la matriz
NiñoAdulto
B
tosCarbohidraGrasaoteínas
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
3020
2020
1020
Pr
a) ¿Cuántos gramos de proteínas ingieren diariamente todos los hombres del
proyecto?.
b) ¿Cuántos gramos de grasa consumen a diario todas las mujeres?.
Solución
Calculando el producto de las matrices A y B se obtiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
800060004000520040002800
302010202020
20010012080
AB
a) Al multiplicar la primera fila de la matriz A (hombres) por la primera columna de
la matriz B (proteínas) se obtiene 2800 gramos de proteínas que es lo que
consumen todos los hombres del proyecto.
b) Al multiplicar la segunda fila de la matriz A (mujeres) por la segunda columna de
la matriz B (grasa) se obtiene 6000 gramos de grasa que es lo que consumen todas
las mujeres del proyecto.
25
Ejemplo 7.- Dadas las matrices
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
532141
A y ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
142332
B
al efectuar el producto de la matriz A por B se obtiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1725106
AB
Por otra parte nótese que:
a) al multiplicar la matriz A por la primera columna de la matriz B se obtiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
256
432
532141
)(1 BAC
b) análogamente al multiplicar la matriz A por la segunda columna de la matriz B se
tiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
1710
123
532141
)(2 BAC
Luego, de a) se puede observar que multiplicando la matriz A por la primera columna
de B se obtiene la primera columna de la matriz AB; es decir )()( 11 ABCBAC = . De
igual manera, multiplicando la matriz A por la segunda columna de B se obtiene la
segunda columna de la matriz AB; es decir )()( 22 ABCBAC = .
NOTA.- El resultado del ejemplo anterior se puede generalizar del siguiente modo. Si
A es una matriz de orden pm× y B es una matriz de orden np× , entonces la
columna j-ésima del producto de AB se calcula multiplicando la matriz A por la
columna j-ésima de la matriz B. Es decir, )()( BACABC jj = .
Observación.- Sean u y v dos n-vectores que representan matrices columna de orden
1×n , el producto punto de u por v denotado por vu ⋅ se define por vuvu T ⋅⋅ = .
Escribiendo explícitamente se tiene
Si
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nu
uu
M2
1
u ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nv
vv
M2
1
v , entonces [ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
== ⋅⋅
n
n
v
vv
uuuM
L 2
1
21vuvu T
nnvuvuvu +++= L2211
26
Ejemplo 8.- Si
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=31
2u y
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
241
v , entonces
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=⋅=⋅
241
312vuvu T
)2)(3()4)(1()1)(2( −+−+=
2−=
Producto de matriz-vector escrito en términos de columna.
Sea
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nmmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
K
MKMM
K
K
21
22221
11211
una matriz de orden nm×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nb
bb
M2
1
b un n-vector o
matriz columna de n componentes. El producto bA es una matriz de orden 1×n .
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
++++++
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
nmnmm
nn
nn
nnmmm
n
n
bababa
babababababa
b
bb
aaa
aaaaaa
L
M
L
L
M
K
MKMM
K
K
2211
2222121
1212111
2
1
21
22221
11211
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nmn
nn
nn
mm ba
baba
ba
baba
ba
baba
ML
MM2
1
22
222
212
11
121
111
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
mn
n
n
n
mm a
aa
b
a
aa
b
a
aa
bM
LMM
2
1
2
22
12
2
1
21
11
1
)()()( 2211 ACbACbACb nn+++= L
Luego se tiene
)()()( 2211 ACbACbACbA nn+++= Lb (1)
La expresión (1) es llamada combinación lineal de las columnas de A.
27
Ejemplo 9
Dada la matriz ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
514123
A y el vector columna ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
231
b ; expresar el
producto bA como una combinación lineal de las columnas de A.
Solución
Efectuando el producto bA se tiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
35
231
514123
bA
Luego usando el resultado obtenido en (1)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
51
212
343
135
Matrices y sistemas de ecuaciones
Sea el sistema de m ecuaciones con n incógnitas
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
=+++
=+++=+++
K
MMMM
K
K
2211
22222121
11212111
(2)
donde los K∈iij ba , .
Haciendo uso del producto de matrices el sistema (2) se puede escribir como:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
mnmnmm
n
b
bb
x
xx
aaa
aaaaaa
MM
K
MKMM
K
K
2
1
2
1
21
212221
11211
(3)
denotando por
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
mnmm
n
aaa
aaaaaa
A
K
MKMM
K
K
21
212221
11211
,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nx
xx
M2
1
x ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
mb
bb
M2
1
b
luego el sistema (2) se puede escribir como
bx =A (4)
28
donde la matriz nmA ×∈K es llamada matriz de coeficientes del sistema, 1×∈ nKx es
el vector de incógnitas y 1×∈ mKb es el vector de términos independientes.
La matriz que se obtiene agregando o aumentando a la matriz de coeficientes la
columna del vector de términos independientes es una matriz de orden )1( +× nm y
es llamada matriz ampliada o aumentada asociada al sistema (2) y se denota por
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
mmnmm
n
b
bb
aaa
aaaaaa
AM
K
MKMM
K
K
2
1
21
212221
11211
b
Nota.- El vector de términos independientes del sistema (2) se puede expresar
como una combinación lineal de los vectores columna de su matriz
asociada. Es decir
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
mmn
n
n
n
mm b
bb
a
aa
x
a
aa
x
a
aa
xMM
LMM
2
1
2
1
2
22
12
2
1
22
11
1
Ejemplo 10.- Dado el sistema
56162121521562
=−+=−=−+
zyxyx
zyx (5)
expresar como un producto de matrices y determinar su matriz aumentada.
Solución
Denotando la matriz de coeficientes por ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
11620152621
A , el vector de incógnitas
por ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
zyx
x y el vector de términos independientes por ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
561215
b el sistema (5) se
puede escribir como
29
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
561215
11620152621
zyx
La matriz ampliada asociada al sistema es [ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
561215
11620152621
bA .
Ejemplo 11.- Escriba el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
1532
7201201245033022
Solución
El sistema correspondiente a la matriz ampliada es
17252234532322
431
421
431
421
−=++=++−=+++−=++
xxxxxxxxxxxx
EJERCICIOS
1. En los siguientes ejercicios calcular el producto punto ba ⋅ .
a) [ ]13 −=a , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
52
b b) [ ]24 −−=a , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
32
b
c) [ ]432 −=a , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
126
b d) [ ]121 −=a , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
126
b
2. Sean [ ]13 −= xa , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
1
2xb . Si 15=⋅ba , hallar el valor de x.
30
3. Sean ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
yA
13121
y ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
2yx
B . Si ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
36
AB , hallar x e y.
4. Dada las matrices
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=304221
A , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
531241
B , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
212133541
C , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=21
32D
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
343502213
E y ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
2431
F
en caso de ser posible calcule
a) AB b) BA c) DCB + d) DFAB +
e) )(BDA f) DAB)( g) AEAC + h) AFD )( +
5. Dadas A una matriz de 33× , B una matriz de 33× , C una matriz de orden 43× ,
D una matriz de 34× y E una matriz de 24× . Determine cuáles de las
siguientes expresiones matriciales existe, en caso que existan indicar el orden de
la matriz resultante.
a) AB b) CB )( 2 c) )(53 CDA +
d) ABDB 2+ e) )(3 DBDA + f) DC 2−
g) DACBCDAB ))(3())((2 +
6. Sean las matrices:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
112010122/1
A , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
213011
B y ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=22
C
Hallar: 2A , ABC y TT AB .
e) Dada las matrices ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−=
201530
223A ,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
176122053
B , ABC = y
BAD = .
Sin calcular en cada caso, toda la matriz, calcule los siguientes elementos:
a) 31c y 32c de C b) 12d y 33d de D
31
8. Mediante un ejemplo muestre que la multiplicación de matrices no es
conmutativa.
9. Dadas las matrices
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
=
512130431231
A y ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
224154301331
B . Usando el
método descrito en el ejemplo 9 calcule:
a) La segunda y cuarta columnas de AB.
b) La primera y tercera columnas de BA.
10. Sean ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
321242513
A y ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
312
b . Exprese bA como una combinación
lineal de las columnas de A.
11. Dadas las matrices ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
213412
A y ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
212343101
B , exprese las columnas
del producto AB como una combinación lineal de las columnas de A.
12. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
3235549532222
=++−=−+−=−−+=++−
uzyxuzyxuzyxuzyx
a) Determine la matriz de coeficientes asociada al sistema..
c) Escriba el sistema lineal en forma matricial.
d) Determine la matriz aumentada asociada al sistema
13. Escriba cada una de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en forma de
una ecuación matricial bx =A .
a) 374
1252328
321
321
321
−=+−=−−−=−+
xxxxxxxxx
b) 234
93625
21
21
21
−=−=+=+
xxxxxx
32
c) 957
263
321
321
−=++=+−
xxxxxx
d) 44352
125925833
4321
431
4321
=+−+=+++
−=+−−
xxxxxxxxxxx
14. En los siguientes ejercicios se da la matriz ampliada a sistema de ecuaciones
lineales. Se pide escribir el sistema correspondiente.
a) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
223
401110
121 b)
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−−
1632
720120121203
3012
15. ¿Cuál es la relación entre los sistemas lineales cuyas matrices aumentadas son las
siguientes:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−12
622331
y ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−01
2
000622331
16. Determine en cada uno de los siguientes ejercicios el valor de a tal que 0=TAB
donde:
a) [ ]13 −= aA y [ ]412=B
b) [ ]12−= aA y [ ]aB 13=
17. Un empresario fabrica sillas y mesas, que deben de pasar por un proceso de
armado y acabado. Los tiempos que se requieren para estos procesos están dados
(en horas) por la matriz
SillaMesa
A
acabadodeoceso
armadodeoceso
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
42
32
PrPr
El empresario tiene una planta en Pucallpa y otra en Lima. Los costos por hora
de cada proceso están dadas (en dólares) por la matriz
acabadodeocesoarmadodeoceso
B
LimaPucallpa
PrPr
1210
109
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
33
¿Cómo debe interpretar el empresario las entradas del producto de las matrices
AB ?.
18. Un fabricante elabora dos tipos de productos P y Q, en dos plantas, X e Y. En el
proceso de fabricación, se producen los contaminantes bióxido de azufre, óxido
nítrico y partículas suspendidas. Las cantidades de cada contaminante están dadas
(en kilogramos) por la matriz
QoductoPoducto
A
PartículasnítricoÓxido
AzufredeBióxido
PrPr
400150
250100
200300
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
Existen normas de protección del medio ambiente que exigen la eliminación de
estos contaminantes. El costo diario por eliminar cada kilogramo de contaminante
esta dado (en dólares) por la matriz.
ssuspendidaPartículasnítricoÓxido
azufredeBióxidoB
YPlantaXPlanta
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
109
12
1578
¿Cómo debe interpretar el empresario las entradas del producto de matrices AB ?.
19. Una empresa paga a sus ejecutivos un salario, además les da acciones de la compañía a manera de gratificación anual. El año pasado el presidente de la compañía recibió $80 000 y 50 acciones, cada uno de los tres vicepresidentes recibió $45 000 y 20 acciones y al tesorero se le dieron $40 000 y 10 acciones. a) Exprese los pagos hechos en dinero y en acciones mediante una matriz de
32× . b) Exprese el número de ejecutivos de cada rango por medio de un vector
columna. c) Utilice la multiplicación matricial a fin de calcular la cantidad total de dinero
y el número total de acciones que la compañía pagó a estos ejecutivos el año pasado
34
1.4 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES
A continuación se enunciará a modo de teoremas las propiedades más importantes del
álgebra de matrices.
Teorema 1 [Propiedades de la suma de matrices]
Sean A, B y C matrices de orden nm× , entonces se verifican las siguientes
propiedades:
a) BA + es una matriz de orden nm× .
b) ABBA +=+
c) CBACBA ++=++ )()(
d) Existe una única matriz de orden nm× denotada por 0 tal que
AA =+ 0
la matriz 0 es llamada matriz nula o elemento neutro aditivo.
e) Para toda matriz A existe una única matriz denotada por A− tal que
0)( =−+ AA
la matriz A− es llamada opuesto o inverso aditivo de A.
PRUEBA
Se verificarán algunas propiedades y de las otras, se dará un ejemplo para ilustrar la
aplicación de la propiedad.
a) Esta propiedad lo que nos dice es si se suman dos matrices de orden nm× ,
entonces el resultado es una matriz también de orden nm× . Es decir la operación
de adición en las matrices es cerrada o cumple con la propiedad de cerradura.
b) Sean ][ ijaA = , ][ ijbB = matrices de orden nm×
][][ ijij baBA +=+ sustitución
njmiba ijij ≤≤∀≤≤∀+= 1,1;][ por definición de adición
][ ijij ab += , por ser K∈ijij ba ,
35
njmiab ijij ≤≤∀≤≤∀+= 1,1;][][ por definición de adición
AB += sustitución
Luego queda demostrado que ABBA +=+ , es decir que la operación de adición
definida en las matrices es conmutativa.
d) Sean ][ ijaA = y ][ ijxX = matrices de orden nm× .
Si se verifica que AXA =+ para toda matriz A de orden nm× se tiene
][][][ ijijij axa =+ sustitución
njmiaxa ijijij ≤≤∀≤≤∀=+ 1,1;][][ por definición de adición de matrices.
njmiaxa ijijij ≤≤∀≤≤∀=+ 1,1; por definición de igualdad de matrices
njmixij ≤≤∀≤≤∀= 1,1;0
Luego 0=X es la matriz nula de orden nm× .
Las propiedades anteriores se ilustran mediante los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1.- Dadas las siguientes matrices
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
210312
A , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
311121
B y ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
103241
C
Verificando b) la propiedad conmutativa de la suma ABBA +=+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=+
311121
210312
BA
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−++−++−+
=32)1(110
)1(32112
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
501213
Por otra parte calculando,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=+
210312
311121
AB
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++−++−−++
=231)1(0131)1(221
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
501213
Luego se verifica que ABBA +=+
36
Verificando c) la propiedad asociativa de la suma CBACBA ++=++ )()(
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=++
103241
311121
210312
)( CBA
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
214122
210312
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
404434
Por otra parte
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=++
103241
311121
210312
)( CBA
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
103241
501213
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
404434
Luego se verifica que CBACBA ++=++ )()( .
Verificando d) la existencia del elemento neutro aditivo.
Existe la matriz ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
000000
0 de orden 32× .
Si se considera la matriz ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
210312
A , se tiene que
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=+
000000
210312
0A sustitución
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+++++−+
=020100030102
por definición de adición
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
210312
propiedad de la adición en K.
A= sustitución
Luego se verifica que AA =+ 0
Verificando e) la existencia del inverso aditivo.
Para ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
210312
A existe ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−−
=−210312
A tal que
37
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=−+
210312
210312
)( AA
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
000000
0=
Teorema 2 [Propiedades de la multiplicación de matrices]
Sean A, B y C matrices conformables respecto a la suma y producto, entonces se
verifican las siguientes propiedades:
a) CABBCA )()( =
b) ACABCBA +=+ )(
c) BCACCBA +=+ )(
d) Si A es una matriz de orden nm× y mI y nI son matrices identidad de
ordenes m y n respectivamente, entonces se verifica
AAIAI nm ==
Con los siguientes ejemplos se ilustran las propiedades antes enunciadas.
Ejemplo 2.- Dadas las matrices
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
110312
A , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
110211
B y ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
131201
C
Verificando a) la propiedad asociativa de la multiplicación
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
131201
110211
110312
)(BCA
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
2119
110312
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
18327017
Por otra parte
38
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
131201
110211
110312
)( CAB
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=131201
121633332
)( CAB
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
18327017
Luego se verifica la propiedad asociativa del producto de matrices.
Ejemplo 3.- Sean las matrices ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
110312
A , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
110211
B y ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
113121
C
Verificando c) la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=+
113121
110211
110312
)( CBA
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
223132
110312
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=151396081
Por otro lado, calculando
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=+
113121
110312
110211
110312
ACAB
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−−−
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=232363351
121633332
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=151396081
39
Luego se verifica ACABCBA +=+ )( .
Ejemplo 4.- Para ilustrar la propiedad d) .
Dada la matriz ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
110312
A
considerando ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010001
3I se tiene AAI =3
y considerando ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1001
2I se tiene AAI =2
Observación.
El producto de matrices no es conmutativo. En efecto, para las matrices
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
101312
A y ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
113121
011B se tiene que
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
113121
011
101312
AB
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
1044110
Sin embargo el producto BA no es posible efectuar pues el número de columnas
de B es 3 que es diferente al número de filas de A que es 2.
Cuando existen matrices A, B tales que su producto sea conmutativo se dice que
las matrices son permutables.
Potenciación de matrices.- Sea A una matriz cuadrada de orden n, se define
nIA =0
AAA =2
AAA 23 =
M
AAA kk 1−= donde 2, ≥∈ kk Z
40
Teorema 3.- [Propiedades de la potenciación de matrices]
Dada una matriz A cuadrada de orden n, para todo +∈Zqp, se cumplen las
siguientes propiedades.
a) qpqp AAA +=
b) pqqp AA =)(
Observación.- En general ppp BAAB ≠)( . Solo se cumple la igualdad si y solo si
BAAB = .
Ejemplo 5.-
Si ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100110111
A , calcular nA .
Solución
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ +
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
1002102
)12(221
100210321
100110111
100110111
2A
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ +
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡==
1003102
)13(331
100310631
100110111
100210321
23 AAA
Luego, se puede conjeturar que
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ +
=100
102
)1(1
n
nnn
An
lo cual se puede verificar usando inducción matemática.
Teorema 4.- [Propiedades de la multiplicación por escalares]
Si A y B son matrices conformables respecto a la adición y multiplicación de matrices
y r y s escalares, entonces se verifican las siguientes propiedades:
a) ArssAr )()( =
b) sArAAsr +=+ )(
c) rBrABAr +=+ )(
41
d) )()()( ABrBrArBA ==
Ejemplo 6. Ilustrando la propiedad d).
Sea 3=r , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
203112
A y ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
120131
B se tiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
3331515
360393
203112
)3( BA
Ahora calculando,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
21211515
120131
609336
)3( BA
Ahora calculando,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=21211515
7755
3)(3 AB
Lugo se tiene que se verifica )()()( ABrBrArBA == .
Teorema 5.- [Propiedades de la transpuesta]
Sea r un escalar, A y B matrices conformables respecto a la adición y multiplicación
de matrices, respectivamente. Se verifican las siguientes propiedades:
a) AA TT =)(
b) TTT BABA +=+ )(
c) TTT ABAB =)(
d) TT rArA =)(
PRUEBA
Se probará a modo de ejemplo la propiedad c)
c) Sean pmijaA ×= ][ , npijbB ×= ][ .
Denotando nmijcCAB ×== ][ se tiene que
)()( BCAFcc ijjiTij ==
42
[ ]⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
pi
i
i
jpjj
b
bb
aaaM
L2
1
21
pijpijij bababa +++= L2211
Tip
Tpj
Ti
Tj
Ti
Tj bababa +++= L2211
Tpj
Tip
Tj
Ti
Tj
Ti ababab +++= L2211
)()(2T
jT ACBF=
Luego, se puede ver que Tijc es la ),( ji entrada de la matriz TT AB .
Ejemplo 7.- Para ilustrar la propiedad c) del teorema 5 consideremos las matrices
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
213121
A y ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
112311201
B
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=⇒⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−−=
11313
21)(
1112331 TABAB
Por otra parte,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
11313
21
211231
132110
211TT AB
Luego se verifica la propiedad c) TTT ABAB =)( .
Matrices simétricas y antisimétricas
Dada una matriz A cuadrada de orden n se dice que es:
a) Simétrica si y solo si TAA = . Las matrices simétricas tienen la propiedad de
que sus entradas que equidistan de la diagonal principal son iguales.
b) Antisimétrica si y solo si TAA −= . Las matrices antisimétricas tienen la
propiedad de que todas las entradas correspondientes a la diagonal principal son
iguales a cero y sus entradas que equidistan de la diagonal principal son iguales
en valor absoluto pero de signos opuestos.
43
Ejemplo 8.- Las siguientes matrices son simétricas
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=32
21A ,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
423201312
B y
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
017872974521787026841335297268401349452133513490
C
Ejemplo 9.-Las siguientes matrices son antisimétricas
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=0220
D , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
023201
310E y
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−
=
017872974521787026841335297268401349452133513490
F
Observación .- Toda matriz cuadrada A de orden n se puede expresar como la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica. En efecto, toda matriz se puede escribir como
)(21
)(21 TT AAAAA −++=
Se deja como al lector, a modo de ejercicio verificar que TAA + es una matriz simétrica y TAA − es una matriz antisimética.
EJERCICIOS
1. Calcular la matriz X, si se cumple que ( ) ( )TTTT BABXXBA −=+ , donde
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=2111
A y ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=3112
B
2. Calcular la matriz X, si satisface la ecuación matricial ICBABX TTT =−− 2)( .
Sabiendo que ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=
3241
2CBA TT y ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
3/103/13/1
B .
3. Hallar la matriz X, si satisface la ecuación matricial ( ) TTTT XBBACX −=− ,
donde ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−=
4321
A ; ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
5322
B y ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2102
C .
4. Hallar la matriz triangular superior B, si ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
6403683B .
5. Sabiendo que la matriz ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+++
−−=
1120
211
2 wxxyw
xA , donde 0>x es simétrica.
Demostrar que 3A es simétrica.
44
6. Una matriz cuadrada nnA ×∈K , se dice que es idempotente si y solo si AA =2 .
Averigüe si las siguientes matrices son idempotentes:
a) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=2163
A b) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=100100
221B
7. Demostrar que si A y B son matrices idempotentes y permutables en nn×K ,
entonces AB es idempotente.
8. Una matriz cuadrada nnA ×∈K , se dice que es involutiva si y solo si nIA =2 .
Averigüe si las siguientes matrices son involutivas:
a) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=10
01A b)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−=441331
340B
9. Demostrar que una matriz nnA ×∈K es involutiva si y solo si
0))(( =+− AIAI nn .
10. Dadas las matrices ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
110010011
A y ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−=
444222111
B
a) Verificar que la matriz A es involutiva y B es una matriz idempotente.
b) Calcular: ( ) 7563 BABA +
11. Dada la matriz ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100111001
A , resolver la siguiente ecuación matricial:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
412
18 XA .
12. Una matriz cuadrada nnA ×∈K se dice que es periódica si existe un entero
positivo k tal que AAk =+1 . El menor k positivo que cumple dicha condición es
llamado periodo de A.
Averigüe si las siguientes matrices son periódicas. En caso que sea periódica,
indicar su periodo.
a) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=1110
A b) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=010111010
B
45
13. Resuelva la siguiente ecuación matricial: [ ]6232
21=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
X y use este
resultado para calcular el producto: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 62
X .
14. Una matriz cuadrada nnA ×∈K se dice que es nilpotente o nulipotente si existe un
entero positivo k tal que 0=kA . El menor k positivo que cumple dicha condición
es llamado índice de nilpotencia de A.
Averigüe si las siguientes matrices son nilpotentes. En caso sea nilpotente indicar
su índice de nilpotencia.
a) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=1111
A b) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−=
312625311
B
15. Sea la matriz ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=1101
A . Demostrar que IAA −= 22 y calcular nA .
16. Hallar la matriz X, si se cumple que CABX =+ 101)( , donde
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=110010011
A ; [ ]312=B ; y
T
C⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
102
17. Sean las matrices ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−−=
100010101
A y ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=010010011
B
Calcular: )2)(( 202055 BABAE ++=
18. Una matriz cuadrada nnA ×∈K se dice que es ortogonal si y solo si
nTT IAAAA == .
Averigüe si las siguientes matrices son ortogonales.
a) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=0110
A b) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
100001010
B
19. Determinar las matrices 22×∈RX tales que 02 =X , donde 0 es la matriz nula.
20. Demostrar que si 0=TAA , entonces 0=A .
21. Demostrar que si A y B son matrices diagonales en 22×R , entonces AB es diagonal
y AB=BA.
46
22. Demostrar que si una matriz es simétrica, idempotente y con algún elemento nulo
en la diagonal, entonces la fila y la columna de dicho elemento son el vector nulo.
23. Demostrar:
a) 022 ==∧=⇒=+∧= BAABBBIBAAA n
b) TT BABABBAAAB ,,,⇒=∧= son idempotentes.
c) AABIBA n ⇒=∧=+ 0 y B son idempotentes.
24. Resolver la ecuación 222 IXA =+ , donde A, X, 2I son matrices cuadradas de
orden 22× y ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=i
iA
11
.
25. Una multiplicación diferente de la usual es importante en muchas áreas de la
ciencia y de la ingeniería; se define entre dos matrices cualesquiera. Si A es una
matriz de orden qp× y B una matriz de orden sr × , entonces el producto de
Kronecker ( o producto tensorial) denotado por BA⊗ se define como la matriz
de orden qspr × que contiene todos los productos de un elemento de A con un
elemento de B, dispuestos de un modo especial: denotando por qpijaA ×= ][ , las
primeras r filas de BA⊗ se definen escribiendo Ba11 seguido por Ba12 a su
derecha, seguido por Ba13 a su derecha y así sucesivamente hasta Ba q1 a su
derecha; las segundas r filas se generan de manera similar escribiendo Ba21 ,
Ba22 , y así sucesivamente; y esto continua a lo largo del p-ésimo conjunto de r
filas.
De acuerdo a la definición dada anteriormente, calcular
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⊗⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1098765
4321
47
1.5 OPERACIONES ELEMENTALES Y SOLUCIONES DE SISTEMAS DE
ECUACIONES.
Matriz escalonada reducida por filas
Sea A una matriz de orden nm× cuyas filas son los n-vectores
)(,),(),( 21 AFAFAF mL y cuyas columnas son los m-vectores
)(,),(),( 21 ACACAC nL . Se dice que A es una matriz escalonada reducida por filas
si satisface las siguientes condiciones:
a) Las primeras r filas ( mr ≤ ) son vectores no nulos y las restantes todos nulos.
b) La primera componente de cada fila no nula es 1 y es llamada entrada principal de
su fila.
c) Dadas dos filas sucesivas i y 1+i no nulas, la entrada principal de la fila 1+i
está a la derecha de la entrada principal de la fila i. Las entradas principales están
dispuestos en forma de escalera.
d) Si una columna contiene una entrada principal de alguna fila entonces el resto de
las entradas de esta columna son todos iguales a cero.
Es decir una matriz escalonada reducida por filas tiene la forma:
nm
A
×⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
0000000
0000000**10000
**01000**00100
KK
MKMMKMMMM
KK
KK
MKMMKMMMM
KK
KK
Ejemplo 1.- Las siguientes matrices son escalonadas reducidas por filas
a)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
0000000021001010
A b)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
=
000000000063100
54021
B
r filas no nulas
m-r filas nulas
48
c)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
00001000010000100001
d)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
000000000000000051000000
2010000010023100
D
Observación.- Una matriz que cumple las condiciones a), b) y c) pero no la
condición d) se dice simplemente que es una matriz escalonada por filas.
Ejemplo 2.- Las siguientes matrices son escalonadas por filas pero no escalonadas
reducida por filas.
a)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
=
0000210043105201
A b)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=
0000210012105321
B
Operaciones elementales por filas
Sea ][ ijaA = una matriz de orden nm× . Se llama operación elemental sobre las
filas de A a una de las siguientes tres operaciones:
a) Intercambiar dos filas de A. La operación de intercambiar las posiciones relativas
de las filas i y j de la matriz A se denota por ji FF × .
b) Multiplicar una fila de A por un escalar diferente de cero. La operación de
multiplicar la fila i de la matriz A por el escalar k se denota por ikF .
c) Sumar a una fila el múltiplo escalar de otra. La operación de sumar a la fila i de A
la fila j de A multiplicada por el escalar 0≠k se denota por ji kFF + .
Ejemplo 3.- Dada la matriz
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=131144571
3063A
efectuar las siguientes operaciones elementales sobre las filas de A en forma
consecutiva:
a) Intercambiar las posiciones relativas de las filas 1 y 2.
b) Sumar a la segunda fila la primera fila multiplicada por 3− .
c) Sumar a la tercera fila la primera fila multiplicada por 4− .
d) Multiplicar la segunda fila por 151
− .
49
e) Sumar a la primera fila la segunda fila multiplicada por 7− .
f) Sumar a la tercera fila la segunda fila multiplicada por 17.
Solución
a) Intercambiar las posiciones relativas de las filas 1 y 2. La operación denotamos
por 21 FF × y se tiene
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −⎯⎯⎯ →⎯
×
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
1311430634571
131144571
306321 FF
A
b) Sumar a la segunda fila la primera fila multiplicada por 3− . La operación
denotamos por )3( 12 FF −+ y se tiene
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
−⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
131141515150
4571)3(
1311430634571
12 FF
c) Sumar a la tercera fila la primera fila multiplicada por 4− . La operación
denotamos por )4( 13 FF −+ y se tiene
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
−
17171701515150
4571)4(
131141515150
457113 FF
d) Multiplicar la segunda fila por 151
− . La operación la denotamos por 2151
F− y se
tiene
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
⎯⎯⎯ →⎯−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−
171717011104571
151
17171701515150
45712F
e) Sumar a la primera fila la segunda fila multiplicada por 7− . La operación la
denotamos por )7( 21 FF −+ y se tiene
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
17171701110
3201)7(
171717011104571
21 FF
f) Sumar a la tercera fila la segunda fila multiplicada por 17. La operación la
denotamos por 23 17FF +
50
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−⎯⎯⎯⎯ →⎯
+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
00001110
320117
171717011104571
23 FF
Matrices equivalentes.
Dada dos matrices A y B del mismo orden. Se dice que la matriz A es equivalente por
filas a la matriz B si existe un número finito de operaciones elementales que aplicadas
sucesivamente a las filas de A nos permite obtener la matriz B. Este hecho se denota
por BAF~ .
Ejemplo 4.- Las matrices
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=131144571
3063A y
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
00001110
3201B
son equivalentes por filas; pues existe un número finito de operaciones elementales
que aplicadas sucesivamente a las filas de A nos permite obtener B. Del ejemplo 3 se
puede observar que las operaciones elementales aplicadas a las filas de A para obtener
B son: 21 FF × , )3( 12 FF −+ , )4( 13 FF −+ , 2151
F− , )7( 21 FF −+ y 23 17FF + .
Teorema 1.- Toda matriz A de orden nm× no nula es equivalente a una matriz
escalonada reducida por filas del mismo orden.
Prueba
Sea
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
K
MKMM
K
K
21
22221
11211
y sea
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
mj
j
j
j
a
aa
ACM2
1
)( la primera columna no nula, sin
pérdida de generalidad podemos suponer que 01 ≠ja .
La matriz A tiene la forma:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
mnmj
nj
nj
aa
aaaa
A
KK
MKMMKM
KK
KK
00
0000
22
11
51
Aplicando la operación elemental del segundo tipo a la primera fila de A se tiene:
1
1,
21,22
11,1
1,
21,22
11,11
00
00100
1
00
0000
1 A
aaa
aaabb
Fija
aaa
aaaaaa
A
mnjmmj
njj
nj
mnjmmj
njj
njj
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎯⎯⎯ →⎯−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
+
+
+
+
+
+
LL
MOMMMLM
LL
LL
LL
MOMMMLM
LL
LL
Luego aplicando las operaciones elementales del tercer tipo a las filas de 1A para
tener debajo de la entrada principal todos los elementos igual a cero se tiene
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−+−+
+
+
+
mnjm
nj
nj
mjnmjn
bb
bbbb
AFaFFaF
LL
MOMMMLM
LL
LL
L
1,
21,2
11,1
111
000
000100
)]([)]([
Ahora tomando la primera columna de )(α que tenga un 0≠lkb ;donde 1>l y
jk > y repitiendo el proceso anterior las veces que sea necesario se tiene que:
así sucesivamente tenemos que:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
00000
*1000*0*10
~
00
0000
22
11
KKK
MKMKMMKM
KKK
KKK
KK
MKMMKM
KK
KK
F
mnmj
nj
nj
aa
aaaa
A
Ejemplo 5.- Hallar la matriz escalonada reducida por filas equivalente a la matriz
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
14320213105423032100
A
Solución
Paso 1.- Determinamos la primera columna no nula. La primera columna no nula es la
columna 2, ésta es la columna pivote.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
14320213105423032100
A
↑ columna pivote
)(α
52
Paso 2.- Como en la columna pivote hay un 1 en la tercera fila y 0 en la primera fila
realizamos la siguiente operación elemental 31 FF × sobre las filas de A
obteniendo
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
⎯⎯⎯ →⎯×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
14320321005423021310
14320213105423032100
31 FFA
Ahora 1 es el elemento pivote en la columna pivote.
Paso 3.- El objetivo siguiente es que todos los demás elementos donde aparece el 1 de
la columna pivote se transformen en ceros. Para ello, efectuamos las
operaciones elementales del tercer tipo sobre las filas de la matriz obtenida
en el paso 2.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
−+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
−+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
363003210017700
21310
)2(
)3(
14320321005423021310
14
12
FF
FFA
)3( 12 FF −+ significa que a la segunda fila se le ha sumado la primera fila
multiplicada por 3− y )2( 14 FF −+ significa que a la cuarta fila se le ha
sumado la primera fila multiplicada por 2− .
Paso 4.- El objetivo es haciendo operaciones elementales sobre las filas de la última
matriz del paso 3; el 7− de la segunda fila y tercera columna transformarlo
en 1; para ello multiplicamos la segunda fila por 71
− obteniendo
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
⎯⎯⎯ →⎯−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
3630032100
110021310
71
363003210017700
21310
712F
Paso 5.- Ahora se debe transformar todos los demás elementos donde aparece el 1 de
la columna pivote 2 en ceros. Para ello, efectuamos las operaciones
elementales del tercer tipo sobre las filas de la matriz obtenida en el paso 4
53
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
+⎯⎯⎯ →⎯
+−+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
718
722
71
711
24
21
71
300010001100
2010
3
)3(
3630032100
110021310
23
FF
FFFF
Paso 6.- Observando la matriz obtenida en el paso 5, la cuarta fila es la columna
pivote y el 1 ubicado en la cuarta fila es el elemento pivote. Luego hay que
transformar los elementos que están encima y debajo del elemento pivote en cero lo
cual se obtiene aplicando las operaciones elementales del tercer tipo
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−+⎯⎯⎯ →⎯
+−+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
120000100001000010
)3(
)2(
300010001100
2010
722
723
733
34
31
718
722
71
71
32
FF
FFFF
Paso 7.- Ahora la columna pivote es la quinta columna y el elemento pivote es -12
que está ubicado en la cuarta fila, luego hay que transformar 12− en 1 aplicando una
operación elemental del segundo tipo.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
⎯⎯⎯⎯ →⎯−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
10000100001000010
)121(
120000100001000010
722
723
733
722
723
733
4F
Paso 8.- En la matriz obtenida en el paso 7 solo resta transformar en ceros los
elementos que están encima del elemento pivote. Esto se consigue, aplicando las
operaciones elementales del tercer tipo
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+
⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯−+
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
10000010000010000010
)722
(
)723(733
10000100001000010
43
41
722
723
733
42
FF
FF
FF
Luego, se ha obtenido finalmente la matriz escalonada reducida por filas equivalente
a A.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
10000010000010000010
~
14320213105423032100
FA
54
Ejemplo 6.- Hallar la matriz escalonada reducida por filas equivalente a la matriz:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
562533214212121
A
Solución
Sumando a la segunda fila la primera fila multiplicada por 2− . Luego sumando a la tercera fila la primera multiplicada por 3− , se tiene
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
−+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
2125101630012121
)3(
)2(
562533214212121
13
12
FF
FFA
Intercambiando la segunda fila con la tercera
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−⎯⎯⎯ →⎯
×
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
1630021251012121
2125101630012121
32 FF
Multiplicando la segunda fila por 1−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−⎯⎯⎯ →⎯
−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
16300212510
12121)1(
1630021251012121
2F
Sumando a la primera fila la segunda multiplicada por 2− se tiene
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
16300212510
522901)2(
16300212510
1212121 FF
Multiplicando la tercera fila por 31
.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
312100212510
52290131
1630021251012121
3F
Sumando a la primera fila la tercera multiplicada por 9− y luego sumando a la
segunda fila la tercera multiplicada por 5 se tiene
55
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
31
31
3231 2100
201024001
5
)9(
2100212510
52290131
FF
FF
Luego,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
31
31
21002010
24001~
562533214212121
FA
Ejemplo 7.
Verificar que
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
0000000011/311/51011/1311/401
~
51141352351102131
Solución de sistemas de ecuaciones lineales
Dos sistemas de ecuaciones lineales bx =A y dx =C cada una con m ecuaciones
y n incógnitas se dice que son equivalentes si y solo si sus matrices ampliadas son
equivalentes. Es decir, [ ] [ ]db CA ~ .
Teorema 2.- Si bx =A y dx =C , son dos sistemas equivalentes, entonces tienen las
mismas soluciones.
Prueba
La prueba es una consecuencia directa de la definición de matrices equivalentes. Es
decir, una de las matrices ampliadas se obtiene a partir de la otra aplicando un número
finito de operaciones elementales a sus filas. La solución no varía cuando se efectúan
cualesquiera de los tres tipos de operaciones elementales.
Corolario 1.- Si 0=xA y 0=xC son dos sistemas tal que A es equivalente por
filas a C, entonces tienen las mismas soluciones.
Corolario 2.- Si bx =A y dx =C son dos sistemas equivalentes y bx =A no
tiene solución, entonces dx =C tampoco tiene solución.
Ejemplo 8.- Averiguar si son equivalentes los siguientes sistemas:
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=++=+=++=++−
125021235432
wyxwz
zyxwzyx
(1)
56
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=+=+−−=+−−
−=−++
022121518131211
444
wzwzy
wzywzyx
(2)
Solución
Las matrices ampliadas asociadas a los sistemas (1) y (2) son:
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=
1015
1025120002134132
bA y [ ]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
−−−−
−
=
02113
4
1200215180121110
4141
dC
Aplicando operaciones elementales sobre las filas de [ ]bA se tiene
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
−
⎯⎯⎯⎯ →⎯−+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=
104
5
102512004141
4132)(
1015
1025120002134132
12 FFA b
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−
−
⎯⎯⎯ →⎯×
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
−
1054
1025120041324141
104
5
102512004141
4132
21 FF
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
−−
−−
⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯−+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−
−
21054
215180120041324141
)5(
1054
1025120041324141
14 FF
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
−−−
−
⎯⎯⎯ →⎯×
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
−−
−−
02154
120021518041324141
21054
215180120041324141
43 FF
57
[ ]dCFF
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
−−−−
−
⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯−+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
−−−
−
02113
4
1200215180121110
4141)2(
02154
120021518041324141
12
Del desarrollo anterior se tiene
[ ] [ ]bd AFFFFFFFFFFC ))()())(5()())(2(( 1221144312 −+×−+×−+=
Luego, [ ]bA es equivalente por filas a [ ]dC y en consecuencia los sistemas (1)
y (2) son equivalentes.
Método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
El método de Gauss-Jordan es uno de los más conocidos para resolver sistemas de
ecuaciones lineales. Éste método se basa en hallar la matriz escalonada reducida por
filas que es equivalente a la matriz ampliada asociada al sistema de ecuaciones
lineales dado. Se consideran los siguientes pasos:
Paso 1.- Construir la matriz aumentada asociada al sistema ]|[ bA .
Paso 2.- Efectuando operaciones elementales sobre las filas de ]|[ bA , hallar la matriz
escalonada reducida por filas equivalente a ]|[ bA .
Paso 3.- El sistema lineal asociado a la matriz escalonada reducida por filas obtenida
en el paso 2 es equivalente al sistema dado inicialmente. Es decir, tiene las mismas
soluciones que el sistema original; en cada fila no nula de la matriz escalonada
reducida por filas se despeja la incógnita correspondiente a la entrada principal de la
fila. Las filas nulas se omiten, pues la ecuación correspondiente será satisfecha para
cualquier valor que tomen las incógnitas.
Ejemplo 9.- Resolver el sistema
335252
=++−=++−=+−
zyxzyx
zyx (3)
Solución
Paso 1. La matriz ampliada correspondiente al sistema es
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−
=315
113211121
]|[ bA
58
Paso 2.- Hallando la matriz escalonada reducida por filas equivalente a ]|[ bA .
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
−
−
−+⎯⎯⎯⎯ →⎯
−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−
=1845
270130121
)3(
)(
315
113211121
]|[
43
12
FF
FFA b
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
−
−⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
−
−
18
5
27010
12131
1845
270130121
34
31
2F
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
−−+⎯⎯⎯⎯ →⎯
+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
−
−
326
34
37
313
31
35
23
34
31
001001
)7(
2
18
5
27010
12121
FF
FF
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−⎯⎯⎯ →⎯
−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
− 21001001
133
001001
34
37
31
35
326
34
37
313
31
35
3F
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−+
⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
221
100010001
)31
(
)35(
21001001
32
34
37
31
35
31
FF
FF
Luego,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−
=2
21
100010001
~315
113211121
]|[ bA
Paso 3.- El sistema original
335252
=++−=++−=+−
zyxzyx
zyx (3)
es equivalente al sistema
59
2
21
−===
zy
x (4)
Al ser equivalentes los sistemas (3) y (4) tienen la misma solución. Las ventajas de
hallar la solución en el sistema (4) saltan a la vista, la solución del sistema está dado
por
2
21
−===
zyx
Ejemplo 10.- Resolver el siguiente sistema
7267532422342225732
54321
5431
54321
54321
−=++−−=++−
−=++−−−=++−−
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
(5)
Solución
Paso 1. La matriz ampliada correspondiente al sistema es
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−−−−−−−
=
7322
26751124021342125732
]|[ bA
Paso 2.- Calcular la matriz escalonada reducida por filas equivalente a ]|[ bA .
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−−−−−−−
⎯⎯⎯ →⎯×
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−−−−−−−
=
7322
26751124022573213421
7322
26751124021342125732
]|[ 21 FFA b
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−−−−
−−−
−+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
−+
−+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−−−−−−−
5722
1333014440
0111013421
)(
)2(
)2(
7322
26751124022573213421
14
12
13
FF
FF
FF
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
−+
+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−−−−
−−−
11
22
1000010000
0111011201
3
)4(
2
5722
1333014440
0111013421
24
21
23
FF
FF
FF
60
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
⎯⎯⎯ →⎯−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
1122
10000100000111011201
)1(
11
22
1000010000
0111011201
3F
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
−+⎯⎯⎯⎯ →⎯
−+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
0121
00000100000111001201
)(
)(
1122
10000100000111011201
34
31
FF
FF
Luego,
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−−−−−−−
=
0121
00000100000111001201
~
7322
26751124021342125732
]|[ bA
Paso 3.- El sistema original es equivalente al sistema
1212
5
432
431
==−+=+−
xxxxxxx
(6)
Luego, al despejar en cada una de las ecuaciones la incógnita correspondiente a la
entrada principal se tiene
12
21
5
432
431
=+−=−+=
xxxxxxx
Asignando los parámetros r y s a las variables 3x y 4x , respectivamente se tiene
la solución del sistema
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∈===
+−=−+=
Rsrxsxrx
srxsrx
,;1
221
5
4
3
2
1
61
Ejemplo 11.- Resolver el siguiente sistema
76257234532132
342
−=−+=−+=−+
−=+−=−+
zyxzyx
zyxzyxzyx
(7)
Solución
Paso 1. La matriz ampliada correspondiente al sistema es
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−−−
−−
=
7751
3
625234132
321421
]|[ bA
Paso 2.- Hay que determinar la matriz escalonada reducida por filas que es
equivalente a la matriz ampliada correspondiente al paso 1.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−
−
−+−+
⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯−+
−+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−−−
−−
=
22514
3
14801450710740421
)5()4(
)2(
)(
7751
3
625234132
321421
]|[
15
14
12
13
FFFF
FF
FF
A b
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
−−
⎯⎯⎯ →⎯−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−
−
2251
13
14801450710
10421
41
22514
3
14801450710740421
47
2F
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
++⎯⎯⎯ →⎯
+
−+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
−−
140011
00000001001
85
)2(
2251
13
14801450710
10421
421
421
47
21
25
24
21
47
23
FFFF
FF
FF
62
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
140011
00000
1001001
214
140011
00000001001
421
47
21
421
421
47
21
3F
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−+
⎯⎯⎯⎯ →⎯+
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
140011
000000100010001
)421
(
)47(21
140011
00000
1001001
34
31
421
47
21
32
FF
FF
FF
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎯⎯⎯ →⎯−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 10011
000000100010001
141
140011
000000100010001
5F
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎯⎯⎯ →⎯×
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
01011
000000100010001
10011
000000100010001
54 FF
Luego
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−−−
−−
=
01011
000000100010001
~
7751
3
625234132
321421
]|[ bA
Paso 3.- El sistema (7) es equivalente al sistema
1000011
=++===
zy
x
(8)
63
Pero de la cuarta ecuación del sistema (8) se tiene
1000 =++ zyx
La ecuación no se verifica para ningún valor de x, y y z. Luego el sistema (8) no
tiene solución; es decir es incompatible. Por consiguiente, en virtud del corolario 3, el
sistema (7) no tiene solución.
Sistemas homogéneos
Se denomina sistema homogéneo a un sistema de la forma
0
00
2211
2222121
1212111
=+++
=+++=+++
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxaxaxaxa
K
MMMM
K
K
(9)
matricialmente, de manera breve se escribe como
0=xA
Todo sistema homogéneo es compatible; es decir, tiene solución al menos
021 ==== nxxx L
que es la llamada solución trivial. Para hallar las soluciones de un sistema
homogéneo el procedimiento es similar a los ejemplos antes desarrollados, solo hay
que tener en cuenta que la columna de términos independientes correspondiente a la
matriz ampliada tiene todos sus elementos igual a cero.
Ejemplo 12.- Resolver el sistema homogéneo de ecuaciones
0303202
=+−=++=+−
zyxzyxzyx
(9)
Solución
La matriz ampliada del sistema es
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
000
311312211
]|[ 0A
Hallando la matriz escalonada reducida por filas equivalente a la matriz ampliada
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
−+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−= −
000
10010
21131
000
100130
211
)(
)2(
000
311312211
]|[ 31
13
212F
FF
FFA b
64
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⎯⎯⎯ →⎯
+−
000
100010001
31
)35(
000
1001001
32
31
35
3121
FF
FFFF
Luego el sistema (9) es equivalente a
000
===
zy
x
y en consecuencia, el sistema (9) tiene una única solución que es la trivial
000
===
zyx
Ejemplo 13.- Resolver el siguiente sistema
0854023064
=++=++=++
zyxzyxzyx
(10)
Solución
La matriz ampliada del sistema es
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
000
854213641
]|[ 0A
Hallando la matriz escalonada reducida por filas asociada al sistema
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
000
1611016110641
)4(
)3(
000
854213641
]|[
13
12
FF
FFA 0
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
−+−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⎯⎯⎯ →⎯
−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
000
0001001
11
)4(
000
1611010
641111
000
1611016110641
1116
112
23
1116 212
FF
FFF
El sistema (10) es equivalente a
00
1116
112
=+=+
zyzx
(11)
De (11), despejando x e y en términos de z se tiene
65
zyzx
1116
112
==
y asignando el parámetro t a z se puede escribir la solución del sistema como
R∈=
−=−=
ttztytx
;11
16
112
Del ejemplo 13, nótese que un sistema homogéneo puede tener infinitas soluciones.
Teorema 3.- Un sistema homogéneo 0=xA de m ecuaciones con n incógnitas tiene
una solución diferente de la trivial si el número de incógnitas es mayor que el número
de ecuaciones; es decir si nm < .
Prueba
Sea el sistema 0=xA el sistema homogéneo dado en (9) y ]|[ 0A su matriz
ampliada que escribimos explícitamente
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++++++
+
+
+
0
00
00
1,21
,11,1,12,11,1
1,21
11,222221
11,111211
M
M
LL
MOMMOMM
LL
LL
MOMMOMM
LL
LL
nnrmmrmm
nrrrrrrr
rnrrrrrr
nrr
nrr
aaaaa
aaaaaaaaaa
aaaaaaaaaa
Como nm < , sea nmr <≤ el número de filas no nulas de la matriz escalonada
reducida por filas equivalente a ]|[ 0A
]|[
0
00
00
00000
00000100
010001
~]|[ 1,
11,2
11,1
00 Bbb
bbbb
A rnrr
nr
nr
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
+
M
M
LL
MOMMOMM
LL
LL
MOMMOMM
LL
LL
Luego, resolviendo las r ecuaciones con n incógnitas se puede despejar las primeras r
incógnitas en términos de las (n-r) restantes, de tal forma que éstas últimas puedan
asumir cualquier valor. En consecuencia, eligiendo una de las (n-r) incógnitas
66
diferente de cero se obtiene una solución distinta de la trivial con lo cual queda
demostrado el teorema.
De 0=xB y por lo tanto de 0=xA se tiene:
0
0
0
11,
211,22
111,11
=+++
=+++
=+++
++
++
++
nrnrrrr
nnrr
nnrr
xbxbx
xbxbx
xbxbx
L
MMO
L
L
Asignando a las variables nr xx ,,1 L+ los parámetros nr tt ,,1 L+ se escribe la
solución como
Rtttx
tx
tbtbx
tbtbx
tbtbx
nrnn
rr
nrnrrrr
nnrr
nnrr
∈=
=
−−−=
−−−=
−−−=
+
++
++
++
++
,,; 1
11
11,
211,22
111,11
L
M
L
MM
L
L
También se puede escribir como
Rtt
b
bb
tb
bb
t
x
xx
xx
nr
rn
n
n
nrr
r
r
r
n
r
r
∈⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
++
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
+
+
,,;1
0
0
1
1
2
1
1,
1,2
1,1
1
1
2
1
L
M
M
L
M
M
M
M
Observación .-Sea el sistema de ecuaciones lineales
bx =A (12)
y 0=xA (13)
su sistema homogéneo asociado.
Si Px es una solución particular e y una solución cualesquiera del sistema (12) se
tiene que
0=−=−=− bbxyxy PP AAA )(
67
Esto significa que Pxy − es una solución del sistema homogéneo asociado (13) lo
que denotamos por
Ph xyx −=
Luego, se tiene que
hP xxy += (14)
La relación obtenida en (14) nos muestra que toda solución del sistema (12) se puede
expresar como la suma de una solución particular y una solución del sistema
homogéneo asociado.
Ejemplo 14.- Resolver el siguiente sistema:
117234832332
=++=++=++
zyxzyxzyx
(15)
Solución
La matriz ampliada es
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
143
1723832321
]|[ bA
Hallando la matriz escalonada reducida por filas que es equivalente a ]|[ bA
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
82
3
840210321
)(
)2(
143
1723832321
]|[
13
12
FF
FFA b
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−⎯⎯⎯ →⎯
−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
823
840210
321)1(
82
3
840210321
2F
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−
+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
021
000210
701
4
)2(
823
840210
321
23
21
FF
FF
El sistema correspondiente a la matriz escalonada reducida por filas que es
equivalente al sistema (15) es
68
2217
=−−=+
zyzx
(16)
y sus sistema homogéneo asociado es
0207
=−=+
zyzx
(17)
Para hallar la solución del sistema homogéneo (17) asignamos a la variable z el
parámetro t, luego se tiene
Rttz
tytx
∈==
−=
;27
Lo cual se puede escribir también como
Rttzyx
h ∈⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= ;
127
x
Para hallar una solución particular Px del sistema (16) podemos asignar un valor
arbitrario a la variable z; por comodidad consideramos 0=z , luego se tiene
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
021
zyx
Px
Luego, en virtud de la relación (14) de la observación, el conjunto solución SC
correspondiente al sistema (15) se puede escribir como
Rttzyx
CS ∈⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡;
127
021
:
La interpretación geométrica de la solución del sistema homogéneo (17) es una recta
que pasa por el origen y que tiene la dirección del vector )1,2,7(− ; el conjunto
formado por todas las soluciones del sistema homogéneo es llamado espacio
solución. Mientras que el conjunto solución del sistema (15) representa una recta que
pasa por el punto )0,2,1(− en la dirección del vector )1,2,7(− . En el siguiente
gráfico se ilustra este hecho; nótese en el gráfico que la recta que representa a la
69
solución del sistema homogéneo es paralela a la recta que representa a la solución del
sistema inicialmente dado
Ejemplo 14.-Resolver el siguiente sistema
7267532422342225732
−=++−−=++−
−=++−−−=++−−
wuzyxwuzxwuzyxwuzyx
(18)
Solución
La matriz ampliada correspondiente al sistema es
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−−−−−−−
=
7322
26751124021342125732
]|[ bA
Calculando la matriz escalonada reducida por filas equivalente a la matriz ampliada
X
Y
Z
SE
O
SC
)0,2,1(−•
70
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−−−−−−−
⎯⎯⎯ →⎯×
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
−−−−−−−
=
7322
26751124022573213421
7322
26751124021342125732
]|[ 21 FFA b
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−−−−
−−−
−+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
−+
−+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−−−−−−−
5722
1333014440
0111013421
)(
)2(
)2(
7322
26751124022573213421
14
12
13
FF
FF
FF
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
−+
+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−−−−−−−
11
22
1000010000
0111011201
3
)4(
2
7322
26751124022573213421
24
21
23
FF
FF
FF
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
⎯⎯⎯ →⎯−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
1122
10000100000111011201
)1(
11
22
1000010000
0111011201
3F
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
−+⎯⎯⎯ →⎯
−
−+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
0121
00000100000111001201
)(
)1(
)(
1122
10000100000111011201
34
31
3
FF
F
FF
El sistema correspondiente a la matriz escalonada reducida por filas es
1212
==−+=+−
wuzyuzx
(19)
y su sistema homogéneo asociado es
0002
==−+=+−
wuzyuzx
(20)
Despejando las variables principales en el sistema homogéneo (20) se tiene
71
0
2
=+−=−=
wuzyuzx
y asignando los parámetros s y t respectivamente a las variables z y u se tiene
Rtststs
tsts
wuzyx
h ∈
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡+−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
= ,;
01011
0011
2
0
2
x
Ahora para hallar una solución particular, hacemos 0== uz en el sistema (19) y se
tiene
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
00021
wuzyx
Px
Luego el conjunto solución del sistema se puede escribir como
Rtsts
wuzyx
CS ∈
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
,;
01011
0011
2
00021
:
EJERCICIOS
1. De las siguientes matrices diga cuáles tienen la forma escalonada reducida por
filas.
a) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
210004010030001
A b) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=2100040100
50010B
c) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
320104010050010
C d)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
10000000004100010000
20010
D
72
e)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
00000310000010020001
E f)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
000000100032100
00000
F
g)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
000001100020010
10001
G h)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
00001000
20101001
H
2. Dada la matriz
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
=
515413224301
A
Determine las matrices obtenidas al realizar las siguientes operaciones
elementales por filas en A
a) Intercambiar la segunda y cuarta fila.
b) Multiplicar la tercera fila por 3.
c) Sumar (-5) veces la primera fila a la cuarta
3. Dada la matriz
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
113124026523
A
Determine las matrices obtenidas al realizar las siguientes operaciones
elementales por filas en A
a) Intercambiar la segunda y tercera filas.
b) Multiplicar la segunda fila por –3.
c) Sumar (4) veces la tercera fila a la primera.
4. Determine tres matrices que sean equivalentes por renglones a
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
43251210
4312A
73
5. Determine tres matrices que sean equivalentes por renglones a
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−=
410231215734
B
6. Para cada una de las siguientes matrices determine la matriz escalonada reducida
por filas que sea equivalente.
a) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
7611132111641
b)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
2011513252312021
c)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
21310543201423032100
d)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
701026811
40513241
e)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
2121603210123011
f)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−−
40111300102131015201
g)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−
14370516022403120211
h)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−−−
−
115701330740631120153
13121
7. Para cada uno de los sistemas de ecuaciones dados, halle todas sus soluciones.
a) 33
5212
=++−=+−−=++
zyxzyxzyx
b) 863
842723
=+=+−
=+++
zywyx
wzyx
c) 2232
1
=++=−+=++
zyxzyx
zyx d)
13821332
=−++=++−=+++
wzyxwzyxwzyx
74
e)
76257234
532132
342
=−+=−+=−+−=+−
=−+
zyxzyx
zyxzyxzyx
f)
3825296
12623
122
=−+−−=−++
−=−−+−=−+−
=−++
wzyxwzyx
wzyxwzyx
wzyx
h) 5235
4332
−=−−−=+−=+−
zyxzyxzyx
i) 623
326
=++=−+
=+++
wyxzyx
wzyx
8. En los siguientes determine todos los valores de a para los cuales el sistema lineal
resultante (i) no tenga solución, (ii) tenga una única solución, y (iii) tenga una infinidad de soluciones.
a) azayx
zyxzyx
=−++
=++=−+
)5(32
2
2
b) 1)1(32
52322
2 +=−++
=++=++
azayxzyx
zyx
c) azayx
zyxzyx
=−++
=−+=++
)5(32
2
2
d) ayax
yx=−+
=+
)8(3
2
9. En los siguientes ejercicios se da la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones
lineales, resuelva el sistema lineal.
a) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
111030110111
b)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0331021101110321
c) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
097501110321
d)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
1241211321520141027121
e) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
312017103181321
f)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
7033210353124321
75
10. Dada la matriz
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
410111501
A
a) Determine una solución no trivial del sistema homogéneo
0=−− x)( 334 AI
b) Determine una solución no trivial del sistema homogéneo
0=− x)2( 3 AI
11. Determine una ecuación que relacione a, b y c de modo que el sistema lineal
czyxbzyx
azyx
=−+=++=−+
695332
32
Sea consistente para cualesquiera valores de a, b y c que satisfagan esa ecuación.
12. Determine una ecuación que relacione a, b y c de modo que el sistema lineal
czyxbzyx
azyx
=+−=+−=++
2353
322
Sea consistente para cualesquiera valores de a, b y c que satisfagan esa ecuación
13. Determine una matriz x de 12× cuyas entradas no sean todas nulas, tal que
xx 4=A , donde ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2014
A .
[Sugerencia: Escriba la ecuación matricial xx 4=A como
0=−=− xxx )4(4 2 AIA y resuelva el sistema homogéneo.]
14. Determine una matriz x de 13× cuyas entradas no sean todas nulas, tal que
xAx 3= , donde
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
544101121
A
15. En los siguientes ejercicios, determine el polinomio cuadrático que interpole los
puntos dados.
a) )8,5(,)3,3(,)2,1( b) )44,3(,)12,2(,)5,1(
16. En los siguientes ejercicios, determine el polinomio cúbico que interpole los
puntos dados
76
a) )34,3(,)8,2(,)0,1(,)6,1( −− b) )10,2(,)2,1(,)2,1(,)2,2( −−
17. Un industrial fabrica sillas, mesas para café y mesas para comedor. Se necesitan
10 minutos para lijar una silla, 6 para pintarla y 12 para barnizarla. Se necesitan
12 minutos para lijar una mesa para café, 8 para pintarla y 12 para barnizarla. Se
necesitan 15 minutos para lijar una mesa para comedor, 12 para pintarla y 18 para
barnizarla. La mesa de lijado esta disponible 16 horas a la semana, la mesa de
pintura 11 horas a la semana y la mesa de barnizado 18 horas. ¿Cuántas unidades
de cada mueble deben fabricarse por semana de modo que las mesas de trabajo se
ocupen todo el tiempo disponible?
18. Un editor publica un posible éxito de librería en tres presentaciones distintas: libro
de bolsillo, club de lectores y edición de lujo. Cada libro de bolsillo necesita un
minuto para cosido y 2 para el pegado. Cada libro para el club de lectores necesita
2 minutos para el cosido y 4 para el pegado. Cada libro en edición de lujo necesita
3 minutos para el cosido y 5 para el pegado. Si la planta de cosido esta disponible
6 horas diarias y la planta de pegado 11 horas,¿Cuántos libros de cada
presentación se pueden producir por día de modo que las plantas se aprovechen a
toda su capacidad?.
1.6 MATRICES INVERSIBLES
Definición - Sea A una matriz cuadrada de orden n con elementos en el campo K. Se
dice que A es inversible o no singular si existe una matriz B también cuadrada de
orden n con elementos en K tal que:
nIBAAB ==
donde nI es la matriz identidad de orden n, la matriz B es llamada inversa de A.
Teorema 1.- La inversa de una matriz, si es que existe, es única.
Prueba
En efecto, si B y B' son inversas de A, entonces:
BBIBABABBIBB nn ===== )'()('''
Notación.- Si la inversa de una matriz cuadrada A de orden n, existe ésta se denota
por 1−A .
Ejemplo 1.- Si ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1112
A se tiene que ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=−
21111A
77
Teorema 1. [Propiedades de la inversa de una matriz]
Sean A y B matrices no singulares, entonces se cumplen las siguientes propiedades:
a) AA =−− 11 )(
b) 111)( −−− = ABAB
c) TT AA )()( 11 −− =
Prueba
a) Como A es no singular por definición existe 1−A única también no singular.
Luego, para 1−A existe su que denotamos por tal que B
nIBABA == −− 11 (1)
Por otra parte como se verifica que
nIAAAA == −− 11 (2)
De (1), (2) y por la unicidad de la inversa se tiene que AB = pero como 11)( −−= AB se tiene que AA =−− 11)( .
b) Demostrar que 111)( −−− = ABAB es equivalente a probar que
nn IABABIABAB =∧= −−−− ))(())(( 1111
En efecto,
nn IBBBIBBAABABAB ==== −−−−−− 111111 )()())((
y
nn IAAAIAABBAABAB ==== −−−−−− 111111 )()())((
Luego, por la unicidad de inversa se tiene que
111)( −−− = ABAB
c) Si A es no singular, entonces existe 1−A tal que nIAAAA == −− 11 .
Mostrar que TT AA )()( 11 −− = es equivalente a demostrar que
nTT
nTT IAAIAA =∧= −− )()( 11
En efecto,
)()( 11 AAAA TT −− = por propiedad de transpuesta
TnI )(=
nI=
De manera análoga,
78
)()( 11 −− = AAAA TT por propiedad de transpuesta
TnI )(=
nI=
Luego, por la unicidad de la inversa se tiene que
TT AA )()( 11 −− =
Teorema 2.- Sean A y B matrices cuadradas de orden n.
a) Si nIAB = , entonces nIBA =
b) Si nIBA = , entonces nIAB =
Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa de una matriz
Un método práctico para calcular la inversa de una matriz cuadrada A de orden n es el
de Gauss-Jordan; éste procedimiento consta de 3 pasos:
Paso 1.- Se forma la matriz ]|[ nIA de orden nn 2× .
Paso 2.- Se halla la matriz escalonada reducida por filas equivalente a ]|[ nIA y sea
]|[ BC dicha matriz. Es decir, ]|[~]|[ BCIA n .
Paso 3.- Con los resultados obtenidos en el paso 2 se puede concluir lo siguiente:
a) Si nIC = , entonces BA =−1 .
b) Si nIC ≠ , entonces la inversa de A no existe.
Ejemplo 2.- Usando el método de Gauss-Jordan hallar la inversa de la matriz
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
1112
A
Solución
Paso 1.- Construimos la matriz
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
1001
1112
]|[ 2IA
Paso 2.- Calculamos la matriz escalonada reducida por filas equivalente a ]|[ 2IA .
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎯⎯ →⎯⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
100
1112
1
1001
1112
]|[ 21
21
21F
IA
79
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−⎯⎯⎯⎯ →⎯−+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −10
01)(
100
111
21
21
23
21
21
21 12 FF
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−⎯⎯ →⎯⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
32
31
21
21
21
21
23
21 0
1013
2
10
01 2F
]|[10012
10
101
32
31
31
31
32
31
21
21 21
BCFF
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
⎯⎯⎯⎯ →⎯+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
Luego, se tiene que ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
32
31
31
31
1001
~1001
1112
Paso 3. De los resultados obtenidos en el paso 2 se tiene que 2IC = , luego
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=−
32
31
31
31
1A
Ejemplo 3.- Hallar la inversa de la matriz
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
123584461
A
En caso de que exista.
Solución
Paso 1.- Construimos la matriz
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010001
123584461
]|[ 3IA
Paso 2.- Calculamos la matriz escalonada reducida por filas equivalente a ]|[ 3IA .
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−−
−+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
103014001
1116011160461
)3(
)4(
100010001
123584461
]|[
13
312
FF
FFIA
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−⎯⎯⎯ →⎯
−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−−
1030001
1116010
461161
103014001
1116011160461
161
41
1611
2F
80
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−
+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−
11100
0001001
16
)6(
1030001
1116010
461
161
41
83
21
1611
81
23
161
41
1611 21
FF
FF
]|[111
00
0001001
)41
(
)21(
11100
0001001
41
163
21
81
1611
81
32
161
41
83
21
1611
81
31CB
FF
FF=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−
−+
⎯⎯⎯⎯ →⎯+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−
Luego, se tiene que
]|[111
00
0001001
~100010001
123584461
]|[ 41
163
21
81
1611
81
3 CBIA =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
Paso 3.- Del paso 2 se tiene que
31611
81
0001001
IC ≠⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=
En consecuencia la matriz ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
123584461
A no tiene inversa. Es singular.
Ejemplo 4.- Hallar la inversa de la matriz
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
220011102
A
En caso de que exista.
Solución
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
10001000
220011
0121
100010001
220011102
]|[2
12
1
3
1FIA
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⎯⎯⎯ →⎯
+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
1000100
2201001
10001000
220011
01
21
21
21
21
21
21
12 FF
81
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
1210100
1001001
)2(
1000100
2201001
21
21
21
21
21
21
21
21
23 FF
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−+
⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
1212111
100010001
)21
(
)21(
1000100
1001001
21
21
32
21
21
21
21
31
FF
FF
Luego, ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=−
1212111
21
21
1A
Ejemplo 5.- Hallar la inversa de la matriz
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=
111111111111
1111
A
si es que existe.
Solución
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−−−−
−+⎯⎯⎯⎯ →⎯
−+
−+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=
1001010100110001
022020202200
1111
)(
)(
)(
1000010000100001
111111111111
1111
]|[
14
12
4 13
FF
FF
FF
IA
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−−−−
⎯⎯⎯ →⎯×
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−−−−
1001001101010001
122022002020
1111
1001010100110001
022020202200
1111
32 FF
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−−−−
⎯⎯⎯ →⎯−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−−−−
10010011000001
02202200
10101111
21
1001001101010001
022022002020
1111
21
21
2F
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−−−⎯⎯⎯⎯ →⎯
+
−+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−−−−
110000110000
22002200
10100101
2
)(
10010011000001
02202200
10101111
21
21
21
2121
21
21
24 FF
FF
82
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−⎯⎯⎯⎯ →⎯
−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−−−
1100000000
2200110010100101
)21(
110000110000
22002200
10100101
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
3F
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
⎯⎯⎯⎯ →⎯+
−+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
− 1111000000
4000110010101001
2
)(
1100000000
2200110010100101
21
21
21
21
21
2131
21
21
21
21
21
21
34 FF
FF
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
⎯⎯⎯ →⎯⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
41
41
41
41
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
000000
1000110010101001
41
1111000000
4000110010101001
4F
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
−+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
−+
+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
43
41
41
41
41
41
21
21
21
21
21
21
1000010000100001
)(
)(2000000
1000110010101001
4
FF
FF
FF
Luego
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=−
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
1A
Teorema 3.- Una matriz cuadrada de orden n es no singular si y solo si nIA F~ .
Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de inversión de
matrices
Sea bx =A un sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Si A es una matriz no
singular, entonces existe su inversa 1−A y se tiene que
bxbxbxbx 111111 )()()( −−−−−− =⇒=⇒=⇒= AAIAAAAAA n
Luego la solución del sistema es
bx 1−= A
y es la única por ser A no singular.
83
Ejemplo 5.- Resolver el siguiente sistema mediante el método de inversión de
matrices.
632
=+−=−
yxyx
Solución
En el sistema se tiene que ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1112
A ; ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
63
b
La inversa de A es ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=−
32
31
31
31
1A , entonces se tiene que
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡51
63
32
31
31
31
yx
Luego,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡51
yx
Ejemplo 6.- Resolver el siguiente sistema por el método de inversión de matrices
5221
32
=++−=−
=−
zyyx
zx
Solución
Se tiene que ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
220011102
A y ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=51
3b
Como A es no singular, existe ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=−
31
32
31
61
32
31
61
31
31
1A y se tiene
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
0513
25
23
31
32
31
61
32
31
61
31
31
zyx
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
02
5
23
zyx
84
El método descrito anteriormente, tiene aplicación en la solución de diversos
problemas relacionados con las ciencias básicas, ingeniería y ciencias sociales. En
particular, en los problemas industriales donde un proceso es descrito mediante un
sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas bx =A ; la matriz de coeficientes
del sistema A es llamada matriz industrial, el vector x matriz de entrada y el vector b
matriz de salida.
Ejemplo 7.- En un proceso industrial cuya matriz es la matriz
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=
111111111111
1111
A
dada en el ejemplo 5. Hallar la matriz de entrada si se quiere que la matriz de salida
sea
a)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
4312
b b)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
2531
b
Solución
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=
111111111111
1111
A es no singular y
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=−
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
1A , luego
a)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
4312
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
4
3
2
1
xxxx
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
1
1
43
25
4
3
2
1
xxxx
85
b)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
2531
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
41
4
3
2
1
xxxx
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
45
41
43
411
4
3
2
1
xxxx
Teorema 4.- Sea el sistema homogéneo 0=xA , donde A es una matriz cuadrada de
orden n. El sistema tiene solamente la solución trivial si y solo si A es no singular.
Prueba
En efecto, si A es no singular, entonces existe 1−A ; luego
00
00
=⇒=⇒
=⇒= −−−
xx
xx
nIAAAAA )()( 111
Luego la única solución del sistema es la trivial.
Observación. El teorema anterior es equivalente al siguiente enunciado: El sistema
tiene una solución no trivial si y solo si A es singular.
Ejemplo 8.- Resolver el siguiente sistema
0303202
=+−=+−=+−
zyxzyxzyx
Solución
Del sistema se tiene ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=311312211
A . Al calcular la inversa de A se obtiene
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=−
201013110
1A , luego la única solución del sistema es la trivial 0=== zyx .
Ejemplo 9.- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
0230584046
=++=++=++
zyxzyxzyx
Solución
86
La matriz de coeficientes del sistema es
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
123584461
A
y su matriz ampliada
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
000
123584461
]|[ 0A
Calculando la matriz escalonada reducida por filas equivalente a ]|[ 0A se tiene
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
000
0001001
~000
123584461
]|[ 1611
81
FA 0
Luego el sistema original es equivalente a
00
1611
81
=+=−
zyzx
Asignando el parámetro t a la variable z se tiene
Rttzty
tx
∈=−=
=
;1611
81
En consecuencia como A es singular, el sistema tiene una solución no trivial para
0≠t
A continuación resumimos los resultados más importantes que se desprenden del
estudio de las matrices no singulares.
Equivalencias no singulares
Las siguientes proposiciones son equivalentes:
a) A es no singular
b) 0=xA solo tiene la solución trivial.
c) A es equivalente por filas a nI .
d) El sistema bx =A tiene una única solución para cada matriz b de orden 1×n .
Ejemplo 10.- [Una aplicación de la inversión de matrices a la criptografía]
La criptografía es el proceso de codificar y decodificar mensajes. La palabra
criptografía proviene de los vocablos griegos kryptos, que significa “ocultar” y grafos
87
“escribir”, es decir literalmente significa “escritura oculta”. El origen de esa técnica
se remonta a las civilizaciones más antiguas que hicieron uso en las campañas
militares de forma tal que si un mensajero era interceptado por el enemigo la
información que portaba no corriera el peligro de ser conocida. En la actualidad con
la ayuda de la informática, los gobiernos y las grandes empresas utilizan técnicas
sofisticadas para codificar y decodificar su información confidencial utilizando los
recursos que nos ofrece el álgebra lineal de tal forma se pueda realizar el intercambio
de mensajes de manera que sólo puedan ser leídos por las personas a quienes va
dirigido.
En primer lugar se debe determinar previamente el alfabeto que se va a utilizar en la
construcción de los mensajes; en nuestro caso el alfabeto castellano. Asignamos a
cada uno de los caracteres del alfabeto un número entre 1 y 27 y el número 28 al
guión que indica separación entre dos palabras como se indica en la siguiente tabla
1413121110987654321↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓nmlkjihgfedcba
2827262524232221201918171615↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓−zyxwvutsrqpoñ
luego elegimos una matriz A no singular; en este caso consideraremos una matriz de
orden 33× (puede ser de cualquier orden mayor o igual a 2).
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
211321
331A
Sea el mensaje a encriptar o codificar
VIVA EL PERU
De acuerdo a la tabla se tendrá la siguiente correspondencia
22195172812528123923↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
−− UREPLEAVIV
88
Como para la codificación del mensaje se está usando una matriz de orden 33× , para codificar el mensaje se divide el mensaje numerado en matrices de columna de 13× , de la siguiente manera:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
23923
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
5281
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
172812
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
22195
en el caso que sobren espacios; a éstos se les asigna el número 28 que corresponde al
guión.
El mensaje se codifica multiplicando cada una de las matrices columna, anteriores,
por la matriz codificadora A. Así se tiene
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
206191423174228
14216865
22175231928289512123
211321
331
Las columnas de la matriz obtenida de la multiplicación producen el mensaje
codificado. El mensaje se transmite en forma lineal de la siguiente manera:
65, -28, 14, -68, 42, -19, -21, 17, -6, 14, -23, 20
Para decodificar el mensaje, el receptor escribe esta lista como una sucesión de
matrices columna de 13× ; es decir
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−
206191423174228
14216865
y se repite la técnica anterior usando la inversa de la matriz codificadora. La inversa
de la matriz codificadora llamada matriz decodificadora, en nuestro ejemplo es
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=−
541651331
1A
Para decodificar el mensaje, se efectúa la siguiente multiplicación de matrices
89
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
22175231928289512123
206191423174228
14216865
541651331
el mensaje original se obtiene escribiendo en forma lineal las columnas de la ultima
matriz:
UREPLEAVIV −−↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓22195172812528123923
EJERCICIOS
2. Hallar la inversa de las siguientes matrices en caso que exista.
a) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−− 4221
b) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
320155111
c) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
100210321
d) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
121311522
e)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
100021003210
7531
f)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 3212431100230012
h) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−+−
iiii
ii
311
211 i) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡− θθ
θθcos
cossen
sen
j) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
301210312
k)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
5124131202143211
2. ¿Cuáles de los siguientes sistemas lineales tiene una solución no trivial?
a) 032
022032
=++=+
=++
zyxzy
zyx b)
022202
02
=+−=+
=−+
zyxyx
zyx
90
c) 030202
=+−=++=++
zyxzyxzyx
d) 0222
020
=+−=+=+−
zyxyx
zyx
3. En los siguientes ejercicios determine A si:
a) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−
41321A b) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=−
11431A
4. Muestre que una matriz que tiene una fila o una columna formados
exclusivamente por ceros debe ser singular. 5. Determine todos los valores de a para los cuales la inversa de
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
aA
21001011
exista ¿Cuánto vale 1−A ?. 6. Considere un proceso industrial cuya matriz es
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=112123
312A
determine la matriz de entrada para cada una de las siguientes matrices de salida:
a) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
102030
b) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
148
12
7. ¿Es la inversa de una matriz simétrica no singular siempre simétrica?. Justifique
su respuesta.
8. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones y justifique brevemente a) ( ) 111 −−− +=− BABA
b) ( ) 11 1 −− = Ac
cA
9. ¿Para qué valores de λ el siguiente sistema tiene soluciones distintas de la trivial
0)1(202)1(
=−λ+=+−λ
yxyx
10. Si A y B son no singulares ¿son no singulares A+B, A-B, y –A?. Justifique su
respuesta.
11. Despeje x de bAx = si
91
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−
14321A y ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
35
b
12. Sea A una matriz de orden 33× . Supongamos que
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
321
x
es una solución del sistema homogéneo 0=Ax . ¿Es A singular o no singular?
Justifique su respuesta.
13. Muestre que la inversa de una matriz triangular superior (inferior) no singular es
triangular superior (inferior).
14. Muestre que si A es singular y 0, ≠= bbAx tiene una solución. Entonces tiene
una infinidad.
15. Muestre que si A es una matriz simétrica no singular. Entonces 1−A es simétrica.
16. Sea A una matriz diagonal con entradas diagonales distintas de cero
nnaaa ....,, 2211 . Muestre que 1−A es no singular y que 1−A es una matriz diagonal
con entradas diagonales nnaaa
1,...,1,12211
.
17. Imitando el ejemplo 10; use la matriz
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
814312201
Para codificar el mensaje SALUD DINERO Y AMOR.
18. Decodifique el mensaje
43, 70, 173, 3, -9, 26, 68, 111, 277, 52, 87, 213, 46, 79, 188, 57, 58, 256
codificado mediante la matriz del ejercicio 17.